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專題4-5 因式分解 章末檢測(cè)卷
全卷共26題 測(cè)試時(shí)間：90分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1.（2023·浙江八年級(jí)月考）代數(shù)式，，中的公因式是（　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把5a2b（b a）變形為 5a2b（a b）， 120a3b3（a2 b2）變形為 120a3b3（a＋b）（a b），再根據(jù)確定公因式的方法確定公因式即可得出答案．
【詳解】解：因?yàn)?a2b（b a）＝ 5a2b（a b）， 120a3b3（a2 b2）＝ 120a3b3（a＋b）（a b），
所以代數(shù)式15a3b3（a b），5a2b（b a）， 120a3b3（a2 b2）中的公因式是5a2b（b a）．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了公因式，熟練應(yīng)用公因式的概念進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
2．（2023·浙江湖州·七年級(jí)期末）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用因式分解的定義，把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式，進(jìn)而判斷得出即可．
【詳解】A、右邊不是整式的積的形式，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、右邊不是整式的積的形式，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、，是因式分解，故此選項(xiàng)符合題意；
D、右邊不是整式的積的形式，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了因式分解的定義，解題的關(guān)鍵是正確掌握因式分解的定義．
3．（2023·河北玉田·）已知，，則的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
【答案】B
【分析】首先將 變形為，再代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，∴ ，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查提公因式法因式分解，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出公因式，將原式分解因式．
4．（2023·安徽蜀山·八年級(jí)期末）下列四個(gè)多項(xiàng)式中，能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】嘗試用提公因式或者公式法因式分解的方法分解各選項(xiàng)，即可
【詳解】A.B.C選項(xiàng)都不能通過提公因式或者公式法直接因式分解，=，故選D
【點(diǎn)睛】本題考查了公式法分解因式，熟悉完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·山東茌平·七年級(jí)期末）下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1； ③a2+ab+b2； ④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mn+m2n2，用公式法分解因式的有（　　）
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)每個(gè)多項(xiàng)式的特征，結(jié)合平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，綜合進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：①-x2-y2=-(x2+y2)，因此①不能用公式法分解因式；
②-a2b2+1=1-(ab)2=(1+ab)(1-ab)，因此②能用公式法分解因式；
③a2+ab+b2不符合完全平方公式的結(jié)果特征，因此③不能用公式法分解因式；
④﹣x2+2xy﹣y2=-(x2﹣2xy+y2)=-(x-y)2，因此④能用公式法分解因式；
⑤-mn+m2n2=(-mn)2，因此⑤能用公式法分解因式；
綜上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解-運(yùn)用公式法，掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是應(yīng)用的前提．
6．（2023·達(dá)州·八年級(jí)期中）已知多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果為，則的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】把根據(jù)乘法法則計(jì)算后與比較即可．
【詳解】解：=2(x2+x-2x-2)=2x2+2x-4x-4=2x2-2x-4，
∵=2x2-2x-4，∴b=-2，c=-4，故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，以及多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法計(jì)算，熟練掌握因式分解與乘法運(yùn)算是互為逆運(yùn)算的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．
7．（2023·四川古藺·）若，則的值為（ ）
A．13 B．18 C．5 D．1
【答案】A
【分析】先將代數(shù)式前三項(xiàng)利用完全平方公式適當(dāng)變形，然后將代入計(jì)算即可．
【詳解】解：
∵∴原式故選A
【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，完全平方公式．做此類題，首先必須做到心中牢記公式的“模型”，在此前提下認(rèn)真地對(duì)具體題目進(jìn)行觀察，想方設(shè)法通過調(diào)整項(xiàng)的位置和添括號(hào)等變形技巧，把式子湊成公式的“模型”，然后就可以應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算了．
8．（2023·四川宜賓市·八年級(jí)期末）因式分解時(shí)，甲看錯(cuò)了的值，分解的結(jié)果是，乙看錯(cuò)了的值，分解的結(jié)果為，那么分解因式正確的結(jié)果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)甲看錯(cuò)了的值可以知道，甲的分解結(jié)果中的值是正確的，根據(jù)乙看錯(cuò)了的值可以知道，乙的分解結(jié)果中的值是正確的，據(jù)此即可得到、的值，進(jìn)而得到答案．
【詳解】∵甲看錯(cuò)了的值，∴，∴；
∵乙看錯(cuò)了的值，∴，∴，
∴分解因式正確的結(jié)果為：，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，解題的關(guān)鍵是正確理解因式分解的定義．
9．（2023·重慶北碚·西南大學(xué)附中八年級(jí)開學(xué)考試）已知a、b滿足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，則x，y的大小關(guān)系是（　　）
A．x＝y(tǒng) B．x＞y C．x＜y D．x≥y
【答案】D
【分析】計(jì)算x，y的差，利用完全平方公式將a2﹣6ab+9b2-4a+12b+4轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)平方的非負(fù)性解題．
【詳解】解：x-y= a2﹣6ab+9b2-（4a﹣12b﹣4）
a2-6ab+9b2-4a+12b+4
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減，涉及完全平方公式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
10．（2023·浙江溫州·八年級(jí)期末）將邊長(zhǎng)為m的三個(gè)正方形紙片按如圖1所示擺放并構(gòu)造成邊長(zhǎng)為n的大正方形時(shí)，三個(gè)小正方形的重疊部分是兩個(gè)邊長(zhǎng)均為1的正方形；將其按如圖2所示擺放并構(gòu)造成一個(gè)鄰邊長(zhǎng)分別為3m和n的長(zhǎng)方形時(shí)，所得長(zhǎng)方形的面積為35．則圖2中長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是（　　）
A．24 B．26 C．28 D．30
【答案】A
【分析】由題意：按如圖1所示擺放并構(gòu)造成邊長(zhǎng)為n的大正方形時(shí)，三個(gè)小正方形的重疊部分是兩個(gè)邊長(zhǎng)均為1的正方形；將其按如圖2所示擺放并構(gòu)造成一個(gè)鄰邊長(zhǎng)分別為3m和n的長(zhǎng)方形時(shí)，所得長(zhǎng)方形的面積為35，列出方程組，求出3m=7，n=5，即可解決問題．
【詳解】依題意，由圖1可得，，由圖2可得，
即解得或者（舍）時(shí)，
則圖2中長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是．故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用因式分解解方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·四川內(nèi)江八年級(jí)開學(xué)考試）分解因式：________．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可．
【詳解】原式==，故答案是：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分解因式，掌握提取公因式法以及完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·廣東八年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于的多式的一個(gè)因式是，則的值是__．
【答案】
【分析】設(shè)另一個(gè)因式為，根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開，左右兩邊對(duì)比得到等量關(guān)系求解即可；
【詳解】設(shè)另一個(gè)因式為，則，
即，，解得，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·廣水市教學(xué)研究室）若多項(xiàng)式x2-3(m-2)x+36能用完全平方式分解因式，則m的值為_________．
【答案】或者
【分析】先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項(xiàng)即可確定m的值．
【詳解】x2-3(m-2)x+36能用完全平方式分解因式，
即，
，解得：或者，故答案為：或者．
【點(diǎn)睛】此題考查因式分解的定義，完全平方公式，根據(jù)平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·全國(guó)八年級(jí)專題練習(xí)）將多項(xiàng)式加上一個(gè)單項(xiàng)式后，使它能成為另一個(gè)整式的完全平方，下列添加單項(xiàng)式正確的是
【答案】、、
【分析】把分別加上各選項(xiàng)的單項(xiàng)式，再按完全平方公式分解因式即可得到答案.
【詳解】解：: 是完全平方式；
:是完全平方式；
:是完全平方式；
【點(diǎn)睛】本題考查的是完全平方式，利用完全平方公式分解因式，理解完全平方式是解題的關(guān)鍵.
15．（2023·河北安國(guó)·八年級(jí)期末）因式分解：2xy+9﹣x2﹣y2＝___．
利用因式分解計(jì)算：（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020＝___．
【答案】; 22020．
【分析】先分組利用完全平方公式，再利用平方差公式因式分解．先提公因式22020得22020（22-2-1）計(jì)算括號(hào)內(nèi)的即可．
【詳解】解： 2xy+9﹣x2﹣y2=，
，故答案為；
（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020＝22022-22021-22020=22020（22-2-1）=22020． 故答案為22020．
【點(diǎn)睛】本題考查分組法因式分解，以及因式分解應(yīng)用計(jì)算，掌握分組法因式分解方法，會(huì)利用因式分解應(yīng)用計(jì)算是解題關(guān)鍵．
16．（2023·江蘇金壇·八年級(jí)期末）因式分解：__________．
【答案】
【分析】先分組，然后根據(jù)公式法因式分解．
【詳解】．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了分組分解法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·河南汝州·八年級(jí)期末）邊長(zhǎng)為a，b的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為14，面積為10，則 的值為 ___．
【答案】490
【分析】根據(jù)題意可得： ， ，再將代數(shù)式進(jìn)行因式分解，代入即可求解．
【詳解】解：∵邊長(zhǎng)為a，b的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為14，面積為10，∴ ， ，
∴ ．故答案為：490．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式的因式分解，根據(jù)題意得到 ， 是解題的關(guān)鍵．
18．（2023·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校）閱讀下面材料：
分解因式：．
因?yàn)椋O(shè)．
比較系數(shù)得，．解得．所以．
解答下面問題：在有理數(shù)范圍內(nèi)，分解因式________．
【答案】
【分析】先用十字相乘法分解因式得到，再設(shè)，比較系數(shù)得到，解方程組即可求解．
【詳解】解：
設(shè)
比較系數(shù)得，，解得，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查分組分解法分解因式，十字相乘法分解因式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8小題，共66分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·廣西八年級(jí)期中）分解因式：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；
（6）；（7）；（8）；（9）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）
【分析】（1）先提取公因式y(tǒng)，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式2x，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先去括號(hào)，然后利用完全平方公式分解因式即可；
（4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（5）先提取公因式x，然后利用平方差公式分解因式即可；
（6）先把原式變?yōu)椋倮闷椒讲罟椒纸庖蚴郊纯桑?br/>（7）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（8）利用十字相乘的方程分解因式即可；
（9）利用十字相乘的方程分解因式即可．
【詳解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．
20．（2023浙江七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，為正整數(shù)，且，求，的值．
【答案】
【分析】根據(jù)因式分解得到，列出方程組或，計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，
∴或，∴或，
∵，為正整數(shù)，∴．
【點(diǎn)睛】此題考查解二元一次方程組，多項(xiàng)式因式分解，正確掌握因式分解的方法及解二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．
21．（2023·浙江七年級(jí)期中）利用因式分解計(jì)算：（1）
（2） （3）
【答案】（1）5050；（2）564；（3）
【分析】（1）原式結(jié)合后，利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果；
（2）原式第二項(xiàng)分子分母乘以52-1，利用平方差公式化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果；
（3）原式計(jì)算后，提取公因式，約分即可得到結(jié)果．
【詳解】解：（1）1002-992+982-972+…+42-32+22-12
=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（4+3）（4-3）+（2-1）（2+1）
=100+99+98+97+…+4+3+2+1=101×50=5050；
（2）1+24（52+1）（54+1）（58+1） … （532+1）
=1+24××（52+1）（54+1）（58+1） … （532+1）
=1+564-1=564；
（3）===
【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
22．（2023·湖南漣源·七年級(jí)月考）下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過程．
解：設(shè)，則原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列問題：
（1）該同學(xué)第二步到第三步所用的因式分解的方法是（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．兩數(shù)和的完全平方公式 D．兩數(shù)差的完全平方公式
（2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？______（填“徹底”或“不徹底”）若不徹底，請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果__________________．
（3）請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．
【答案】（1）C；（2）不徹底；（x 2）4；（3）（）4
【分析】（1）從第三步的結(jié)果得出結(jié)論；（2）觀察最后結(jié)果中的x2 4x＋4是否還能因式分解，得出結(jié)論；
（3）設(shè)＝y(tǒng)，然后因式分解，化簡(jiǎn)后再代入，再因式分解．
【詳解】解：（1）由y2＋8y＋16＝（y＋4）2得出運(yùn)用了兩數(shù)和的完全平方公式，故選：C;
（2）∵x2 4x＋4＝（x 2）2，∴分解不徹底，（x2 4x＋4）2＝[（x 2）2]2＝（x 2）4．
故答案為：不徹底；（x 2）4．
（3）設(shè)＝y(tǒng)，
原式＝y(tǒng)（y＋18）＋81＝y(tǒng)2＋18y＋81＝（y＋9）2＝（＋9）2＝[（）2]2＝（）4．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，主要是考查學(xué)生對(duì)于完全平方公式和換元法進(jìn)行因式分解的掌握情況，要求學(xué)生在換元分解，回代之后還要再觀察是否能夠繼續(xù)進(jìn)行因式分解，很多學(xué)生會(huì)忘記繼續(xù)分解，是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)．
23．（2023·濟(jì)寧市第十三中學(xué)八年級(jí)月考）閱讀材料，回答下列問題：
若，求，的值．
解：∵，
∴，
即，
又，，
∴，，
∴，．
（1）若，求，的值；
（2）已知的三邊，，滿足．判斷的形狀，并說明理由．
【答案】（1）；（2）等邊三角形，理由見解析
【分析】（1）參照例題，將等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)完全平方的和等于0的形式，進(jìn)而求得的值；
（2）方法同（1）．
【詳解】（1），
，
即，
又，
，
．
（2），
，
即，
又，
，
，
．
是等邊三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
24．（2023·湖南祁陽·七年級(jí)期末）請(qǐng)看下面的問題：把x4+4分解因式
分析：這個(gè)二項(xiàng)式既無公因式可提，也不能直接利用公式，怎么辦呢？
19世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家蘇菲 熱門抓住了該式只有兩項(xiàng)，而且屬于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必須添一項(xiàng)4x2，隨即將此項(xiàng)4x2減去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人們?yōu)榱思o(jì)念蘇菲 熱門給出這一解法，就把它叫做“熱門定理”，請(qǐng)你依照蘇菲 熱門的做法，將下列各式因式分解．
（1）x4+64（2）x4+4y4；（3）x2﹣2ax﹣b2+2ab．
【答案】（1）（x2+4x+8）（x2﹣4x+8）；（2）（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；（3）（x﹣b）（x+b﹣2a）
【分析】
（1）根據(jù)蘇菲 熱門的做法，將原式配上16x2后，根據(jù)完全平方公式和平方差公式即可進(jìn)行因式分解；
（2）根據(jù)蘇菲 熱門的做法，將原式配上4x2y2后，根據(jù)完全平方公式和平方差公式即可進(jìn)行因式分解；
（3）先分組，再利用提公因式法因式分解．
【詳解】解：（1）原式＝x4+16x2+82﹣16x2
＝（x2+8）2﹣（4x）2
＝（x2+4x+8）（x2﹣4x+8）；
（2）原式＝x4+4y4+4x2y2﹣4x2y2
＝（x2+2y2）2﹣（2xy）2
＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；
（3）原式＝（x2﹣b2）+（﹣2ax+2ab）
＝（x+b）（x﹣b）﹣2a（x﹣b）
＝（x﹣b）（x+b﹣2a）．
【點(diǎn)睛】考查了添項(xiàng)法湊公式因式分解，用公式法因式分解，分組分解法，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
25.（2023·湖南天元·） 教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求最值問題．例如：分解因式x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；
例如求代數(shù)式2x2+4x-6=2(x+1)2-8，當(dāng)x= -1時(shí)，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：（1）分解因式：m2-4m-5=（2）當(dāng)a，b為何值時(shí)，多項(xiàng)式2a2+3b2-4a+12b+18有最小值，求出這個(gè)最小值．（3）當(dāng)a，b為何值時(shí)，多項(xiàng)式a2 - 4ab+5b2 - 4a+4b+27有最小值，并求出這個(gè)最小值．
【答案】（1）；（2）當(dāng)，時(shí)，最小值為4；（3）當(dāng)，時(shí)，最小值為19．
【分析】（1）根據(jù)閱讀材料，先將變形為，再根據(jù)完全平方公式寫成，然后利用平方差公式分解即可；（2）利用配方法將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為完全平方式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答；（3）利用配方法將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為完全平方式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答．
【詳解】解：（1）．
故答案為；
（2），
∴當(dāng)，時(shí)，有最小值，最小值為4；
（3），
當(dāng)，時(shí)，多項(xiàng)式有最小值19．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式、以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．
26．（2023·山東薛城·八年級(jí)期末）整式乘法與多項(xiàng)式因式分解是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩種變形．
例如，是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則；把這個(gè)法則反過來，得到，這是運(yùn)用提取公因式法把多項(xiàng)式因式分解．
又如、是多項(xiàng)式的乘法公式；把這些公式反過來，得到、，這是運(yùn)用公式法把多項(xiàng)式因式分解．
有時(shí)在進(jìn)行因式分解時(shí)，以上方法不能直接運(yùn)用，觀察甲、乙兩名同學(xué)的進(jìn)行的因式分解．
甲：
（分成兩組）
（分別提公因式）
乙：
（分成兩組）
（運(yùn)用公式）
請(qǐng)你在他們解法的啟發(fā)下，完成下面的因式分解
問題一：因式分解：（1）；（2）．
問題二：探究：對(duì)、定義一種新運(yùn)算，規(guī)定：（其中，均為非零常數(shù)）．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意有理數(shù)、都成立，試探究，的數(shù)量關(guān)系．
【答案】問題一：因式分解：（1）（2）；問題二：探究，的數(shù)量關(guān)系．
【分析】問題一：因式分解：（1）按系數(shù)成比分組提公因式再利用平分差公式因式分解，最后整理為即可；（2）按完全平方公式分組然然后利用公式變形為再利用平方差公式因式分解即可；
問題二：探究:先求，再求，由，可得，合并同類項(xiàng)，由，對(duì)任意有理數(shù)、都成立，可得即可．
【詳解】解：?jiǎn)栴}一：因式分解：
（1）；=，==，=；
（2）．=，=，=，=；
問題二：探究，
，
∵，∴，
∴，∴，
∵，對(duì)任意有理數(shù)、都成立，∴，∴，的數(shù)量關(guān)系．
【點(diǎn)睛】本題考查分組因式分解的方法，新定義實(shí)數(shù)運(yùn)算，利用因式分解與多項(xiàng)式乘法之間關(guān)系，掌握分組因式分解的方法，利用因式分解與多項(xiàng)式乘法之間關(guān)系，構(gòu)造恒等式找出m與n關(guān)系是解題關(guān)鍵．
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專題4-5 因式分解 章末檢測(cè)卷
全卷共26題 測(cè)試時(shí)間：90分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1.（2023·浙江八年級(jí)月考）代數(shù)式，，中的公因式是（　）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江湖州·七年級(jí)期末）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·河北玉田·）已知，，則的值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1
4．（2023·安徽蜀山·八年級(jí)期末）下列四個(gè)多項(xiàng)式中，能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·山東茌平·七年級(jí)期末）下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1； ③a2+ab+b2； ④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mn+m2n2，用公式法分解因式的有（　　）
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
6．（2023·達(dá)州·八年級(jí)期中）已知多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果為，則的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
7．（2023·四川古藺·）若，則的值為（ ）
A．13 B．18 C．5 D．1
8．（2023·四川宜賓市·八年級(jí)期末）因式分解時(shí)，甲看錯(cuò)了的值，分解的結(jié)果是，乙看錯(cuò)了的值，分解的結(jié)果為，那么分解因式正確的結(jié)果為（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·重慶北碚·西南大學(xué)附中八年級(jí)開學(xué)考試）已知a、b滿足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，則x，y的大小關(guān)系是（　　）
A．x＝y(tǒng) B．x＞y C．x＜y D．x≥y
10．（2023·浙江溫州·八年級(jí)期末）將邊長(zhǎng)為m的三個(gè)正方形紙片按如圖1所示擺放并構(gòu)造成邊長(zhǎng)為n的大正方形時(shí)，三個(gè)小正方形的重疊部分是兩個(gè)邊長(zhǎng)均為1的正方形；將其按如圖2所示擺放并構(gòu)造成一個(gè)鄰邊長(zhǎng)分別為3m和n的長(zhǎng)方形時(shí)，所得長(zhǎng)方形的面積為35．則圖2中長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是（　　）
A．24 B．26 C．28 D．30
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）
11．（2023·四川內(nèi)江八年級(jí)開學(xué)考試）分解因式：________．
12．（2023·廣東八年級(jí)專題練習(xí)）已知關(guān)于的多式的一個(gè)因式是，則的值是__．
13．（2023·廣水市教學(xué)研究室）若多項(xiàng)式x2-3(m-2)x+36能用完全平方式分解因式，則m的值為______．
14．（2023·全國(guó)八年級(jí)專題練習(xí)）將多項(xiàng)式加上一個(gè)單項(xiàng)式后，使它能成為另一個(gè)整式的完全平方，下列添加單項(xiàng)式正確的是
15．（2023·河北安國(guó)·八年級(jí)期末）因式分解：2xy+9﹣x2﹣y2＝___．
利用因式分解計(jì)算：（﹣2）2022+（﹣2）2021﹣22020＝___．
16．（2023·江蘇金壇·八年級(jí)期末）因式分解：__________．
17．（2023·河南汝州·八年級(jí)期末）邊長(zhǎng)為a，b的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為14，面積為10，則 的值為 ___．
18．（2023·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校）閱讀下面材料：
分解因式：．
因?yàn)椋O(shè)．
比較系數(shù)得，．解得．所以．
解答下面問題：在有理數(shù)范圍內(nèi)，分解因式________．
三、解答題（本大題共8小題，共66分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·廣西八年級(jí)期中）分解因式：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；
（6）；（7）；（8）；（9）．
20．（2023浙江七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，為正整數(shù)，且，求，的值．
21．（2023·浙江七年級(jí)期中）利用因式分解計(jì)算：（1）
（2） （3）
22．（2023·湖南漣源·七年級(jí)月考）下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過程．
解：設(shè)，則原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列問題：
（1）該同學(xué)第二步到第三步所用的因式分解的方法是（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．兩數(shù)和的完全平方公式 D．兩數(shù)差的完全平方公式
（2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？______（填“徹底”或“不徹底”）若不徹底，請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果__________________．
（3）請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．
23．（2023·濟(jì)寧市第十三中學(xué)八年級(jí)月考）閱讀材料，回答下列問題：
若，求，的值．
解：∵，
∴，
即，
又，，
∴，，
∴，．
（1）若，求，的值；
（2）已知的三邊，，滿足．判斷的形狀，并說明理由．
24．（2023·湖南祁陽·七年級(jí)期末）請(qǐng)看下面的問題：把x4+4分解因式
分析：這個(gè)二項(xiàng)式既無公因式可提，也不能直接利用公式，怎么辦呢？
19世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家蘇菲 熱門抓住了該式只有兩項(xiàng)，而且屬于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必須添一項(xiàng)4x2，隨即將此項(xiàng)4x2減去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人們?yōu)榱思o(jì)念蘇菲 熱門給出這一解法，就把它叫做“熱門定理”，請(qǐng)你依照蘇菲 熱門的做法，將下列各式因式分解．
（1）x4+64（2）x4+4y4；（3）x2﹣2ax﹣b2+2ab．
25.（2023·湖南天元·） 教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求最值問題．例如：分解因式x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；
例如求代數(shù)式2x2+4x-6=2(x+1)2-8，當(dāng)x= -1時(shí)，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8，根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：（1）分解因式：m2-4m-5=（2）當(dāng)a，b為何值時(shí)，多項(xiàng)式2a2+3b2-4a+12b+18有最小值，求出這個(gè)最小值．（3）當(dāng)a，b為何值時(shí)，多項(xiàng)式a2 - 4ab+5b2 - 4a+4b+27有最小值，并求出這個(gè)最小值．
26．（2023·山東薛城·八年級(jí)期末）整式乘法與多項(xiàng)式因式分解是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩種變形．
例如，是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則；把這個(gè)法則反過來，得到，這是運(yùn)用提取公因式法把多項(xiàng)式因式分解．
又如、是多項(xiàng)式的乘法公式；把這些公式反過來，得到、，這是運(yùn)用公式法把多項(xiàng)式因式分解．
有時(shí)在進(jìn)行因式分解時(shí)，以上方法不能直接運(yùn)用，觀察甲、乙兩名同學(xué)的進(jìn)行的因式分解．
甲：
（分成兩組）
（分別提公因式）
乙：
（分成兩組）
（運(yùn)用公式）
請(qǐng)你在他們解法的啟發(fā)下，完成下面的因式分解
問題一：因式分解：（1）；（2）．
問題二：探究：對(duì)、定義一種新運(yùn)算，規(guī)定：（其中，均為非零常數(shù)）．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意有理數(shù)、都成立，試探究，的數(shù)量關(guān)系．
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