資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題4-1 多邊形
模塊1：學(xué)習(xí)目標
1．了解多邊形、凹、凸多邊形、正多邊形、多邊形的內(nèi)角、外角、對角線等基本概念。
2．經(jīng)歷探索多邊形內(nèi)角和與外角和公式的過程，體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系。
3．掌握多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)，并能運用公式解決一些實際問題。
4．掌握多邊形內(nèi)角和公式，并能運用多邊形內(nèi)角和公式和外角和結(jié)論解決問題。
模塊2：知識梳理
1）多邊形定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形。
其中，各個角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形。
2）相關(guān)概念：
邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊。
頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點。
內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，
一個n邊形有n個內(nèi)角.n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)。
外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫多邊形的外角。
多邊形的外角和：多邊形的外角和為360°。
對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。
過n邊形的一個頂點可以引(n-3)條對角線，n邊形對角線的條數(shù)為。
平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面。
模塊3：核心考點與典例
考點1、多邊形的概念與分類
例1．（23-24八年級上·廣東汕頭·階段練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形
B．多邊形的兩邊所在直線組成的角是這個多邊形的內(nèi)角或外角
C．各個角都相等，各條邊都相等的多邊形是正多邊形
D．連接多邊形的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線
【答案】C
【分析】根據(jù)多邊形的概念，逐項判斷即可求解．
【詳解】解：A、在平面內(nèi)，由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形，故本選項錯誤，不符合題意；B、多邊形的一邊與另一邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角，多邊形的一邊與另一邊的延長線所組成的角叫做多邊形的外角，故本選項錯誤，不符合題意；
C、各個角都相等，各條邊都相等的多邊形是正多邊形，故本選項正確，符合題意；
D、連接多邊形兩個頂點的線段，分為兩種類型是連接相鄰兩個頂點的線段是多邊形的邊，連接不相鄰的頂點的線段叫做多邊形的對角線，故本選項錯誤，不符合題意；故選：C
【點睛】本題主要考查了多邊形的概念；多邊形內(nèi)角、外角的概念；對角線的概念，熟練掌握由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形是解題的關(guān)鍵．
變式1.（2023九年級上·全國·專題練習(xí)）下列說法不正確的是（　　）
A．圓內(nèi)正n邊形的中心角為 B．各邊相等的，各角相等的多邊形是正多邊形
C．各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形 D．各角相等的多邊形是正多邊形
【答案】D
【分析】根據(jù)正多邊形的定義和性質(zhì)進行判斷即可．
【詳解】解：圓內(nèi)正n邊形的中心角為，故A正確，不符合題意；
各邊相等的，各角相等的多邊形是正多邊形，故B正確，不符合題意；
各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形，故C正確，不符合題意；
各角相等的多邊形不一定是正多邊形，故D錯誤，符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查正多邊形的概念和性質(zhì)，熟練掌握正多邊形的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式2.（23-24七年級上·湖北武漢·開學(xué)考試）用下面的圖表示圖形之間的關(guān)系，不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形的分類，四邊形的分類，進行判定作答即可．
【詳解】解：由題意知，三角形包括等腰三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形，A正確，故不符合要求；四邊形包括平行四邊形、梯形，B正確，故不符合要求；
三角形按照角度分類包括銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，C正確，故不符合要求；
平行四邊形包括長方形，正方形是特殊的長方形，D錯誤，故符合要求；故選：D．
【點睛】本題考查了三角形的分類，四邊形的分類．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
考點2、多邊形的對角線
例1．（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）已知一個多邊形內(nèi)角和為，則這個多邊形可連對角線的條數(shù)是（ ）
A．10 B．16 C．20 D．40
【答案】C
【分析】先根據(jù)多邊形內(nèi)角和計算公式求出這個多邊形是八邊形，再根據(jù)多邊形對角線計算公式求解即可．
【詳解】解：設(shè)這個多邊形為n邊形，
由題意得，，∴，∴這個多邊形為八邊形，
∴這個多邊形可連對角線的條數(shù)是，故選C．
【點睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，多邊形對角線計算公式，熟知n邊形的對角線條數(shù)是是解題的關(guān)鍵．
變式1.（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如果一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，那么從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】A
【分析】先由多邊形內(nèi)角和公式與外角和的關(guān)系可得再解方程，從而可得答案．
【詳解】解：設(shè)這個多邊形為邊形，則，，解得：，
所以從這個多邊形的一個頂點出發(fā)共有條對角線，故選A．
【點睛】本題考查的是多邊形的內(nèi)角和定理與外角和定理，多邊形的對角線問題，掌握“利用多邊形的內(nèi)角和為,外角和為”是解題的關(guān)鍵．
變式2.（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）一個正多邊形每一個中心角都為40°，則這個正多邊形共有 條對角線．
【答案】27
【分析】利用多邊形的中心角之和是度，每個中心角都是，可求多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)一個多邊形有條對角線，即可算出共有多少條對角線．
【詳解】解：，這個正多邊形有條邊；
，這個正多邊形共有條對角線．故答案為：．
【點睛】本題考查正多邊形的中心角、對角線條數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握n邊形對角線條數(shù)．
考點3、多邊形內(nèi)角和
例1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）若七邊形的內(nèi)角中有一個角為，則其余六個內(nèi)角之和為 ．
【答案】/800度
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可得．
【詳解】解：∵七邊形的內(nèi)角中有一個角為，
∴其余六個內(nèi)角之和為，故答案為：．
【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．
變式1. （2023春·北京昌平·八年級校聯(lián)考期中）下列多邊形中，內(nèi)角和為的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式為，進行求解即可．
【詳解】解：∵n邊形的內(nèi)角和公式為，
∴當°，則．∴四邊形的內(nèi)角和等于．故選：C．
【點睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．
變式2. （2023·江蘇連云港·校考三模）一個多邊形的內(nèi)角和等于，那么它是（　　）
A．十邊形 B．十一邊形 C．十二邊形 D．十三邊形
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可以設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理列方程求解即可.
【詳解】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，
∵一個多邊形內(nèi)角和等于，∴，解得，．即它是十三邊形，故選D．
【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角定理，熟記多邊形的內(nèi)角和公式為是解答本題的關(guān)鍵．
變式3. （2022·湖南常德·中考真題）剪紙片：有一張長方形的紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片；從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有3張紙片：從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有4張紙片；……；如此下去，若最后得到10張紙片，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5 張四邊形紙片，則還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為________．
【答案】6
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和進行即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，則每剪一次，所有的多邊形的內(nèi)角和增加360°，10張紙片，則剪了9次，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5 張四邊形紙片，設(shè)還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為，
，解得．故答案為：．
【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，理解題意是解題的關(guān)鍵．
考點4、多邊形外角和
例1．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）正十二邊形的外角和為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)任何多邊形的外角和都為即可解答．
【詳解】解：因為多邊形的外角和為360°，所以正十二邊形的外角和為：．故選：C．
【點睛】本題主要考查了多邊形的外角和，掌握任何多邊形的外角和都為是解答本題的關(guān)鍵．
變式1. （2023·北京通州·統(tǒng)考一模）正七邊形的外角和是（ ）
A．900° B．700° C．360° D．180°
【答案】C
【分析】由多邊形外角和為可得答案．
【詳解】解：∵多邊形的外角和為：，∴正七邊形的外角和是，故選C．
【點睛】本題考查的是正多邊形的外角和問題，熟記多邊形的外角和為是解本題的關(guān)鍵．
變式2. （2023·河北保定·校考模擬預(yù)測）如果一個正多邊形的內(nèi)角比它相鄰的外角大，那么這個多邊形是 邊形．
【答案】九
【分析】設(shè)正多邊形的內(nèi)角為x，則與它相鄰的外角度數(shù)為，根據(jù)題意列方程，求出，進而求出外角的度數(shù)，進而根據(jù)外角和求解即可．
【詳解】設(shè)正多邊形的內(nèi)角為x，則與它相鄰的外角度數(shù)為，
∴，解得，∴，∴．
∴這個多邊形是九邊形．故答案為：九．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，正多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
考點5、多邊形的內(nèi)（外）角和的應(yīng)用
例1．（23-24八年級上·遼寧鞍山·期末）如圖，圖1是我國古代建筑中的一種窗格，其中冰裂紋圖案象征著堅冰出現(xiàn)裂紋并開始消溶，形狀無一定規(guī)則，代表一種自然和諧美.圖2是從圖1冰裂紋窗格圖案中提取的由五條線段組成的圖形，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了多邊形外角和，熟練掌握多邊形的外角和等于360度是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的外角和等于度，即可求解．
【詳解】解：由多邊形的外角和等于度，可得．故選：B．
變式1. （2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）如圖，若干個一模一樣的正六邊形（各邊相等，各角也相等）排成環(huán)狀．圖中所示的是前3個六邊形，要完成這一圓環(huán)，還需這樣的六邊形的數(shù)量為（ ）
A．6個 B．5個 C．4個 D．3個
【答案】D
【分析】如圖，延長正六邊形的兩邊交于點，利用的度數(shù)，求出需要正六邊形的總個數(shù)，即可得解．
【詳解】解：如圖，延長正六邊形的兩邊交于點，
∵正六邊形的每個外角均為：，∴，
∴組成一個圓環(huán)共需：個正六邊形，∴還需要正六邊形的個數(shù)為：，故選D．
【點睛】本題考查正多邊形的外角和的應(yīng)用．熟練掌握正六邊形的外角和是，是解題的關(guān)鍵．
變式2. （23-24八年級上·河南許昌·期中）“花影遮墻，峰巒疊窗”，蘇州園林空透的窗欞中蘊含著許多的數(shù)學(xué)元素．如圖是窗欞中的部分圖案．若，，，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查多邊形的外角和是，由多邊形的外角和是列式計算，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，故選：A．
考點6、多邊形的內(nèi)（外）角和綜合問題
例1．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）若在同一平面內(nèi)將邊長相等的正五邊形徽章和正六邊形模具按如圖所示的位置擺放，連接并延長至點，則______．
【答案】
【分析】根據(jù)正邊形內(nèi)角和，則正邊形一個內(nèi)角的度數(shù)，即可求得正五邊形與正六邊形每個內(nèi)角的度數(shù)，由周角是可得的度數(shù)，再根據(jù)是等腰三角形可求出，最后根據(jù)平角是即可求解．
【詳解】解：五邊形是正五邊形，，
六邊形是正六邊形，，,
正五邊形與正六邊形的邊長相等，，是等腰三角形，，
．故答案為：．
【點睛】本題考查了正多邊形內(nèi)角和公式，以及求正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)，理解并熟練記憶公式，靈活根據(jù)題意運用等腰三角形兩底角相等、以及平角、周角相結(jié)合求角度是解題的關(guān)鍵．
變式1.（2023·江西·模擬預(yù)測）如圖，七邊形中，，的延長線交于點，若，，，的外角和等于，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由外角和內(nèi)角的關(guān)系可求得、、、的和，由五邊形內(nèi)角和可求得五邊形的內(nèi)角和，則可求得．
【詳解】解：、、、的外角的角度和為220°，
，，
五邊形內(nèi)角和，
．故選：C．
【點睛】此題考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是利用內(nèi)角和外角的關(guān)系求得、、、的和．
變式2.（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在正六邊形中，以為邊向內(nèi)作正方形，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正多邊形各邊長度相等，各角度數(shù)相等，即可逐項判斷．
【詳解】解：∵在正六邊形和正方形中，∴，，
∴，故A選項正確，不符合題意；
∵在正六邊形和正方形中，∴，，
∴，故B選項正確，不符合題意；
∵多邊形是正六邊形，∴該多邊形內(nèi)角和為：，
∴，
∵多邊形是正方形，∴該多邊形內(nèi)角和為：，
∴，∴，故C選項正確，不符合題意；
∵，∴，故D選項不正確，符合題意故選：D．
【點睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)以及多邊形內(nèi)角和公式，熟練掌握正多邊形“各邊長度相等，各角度數(shù)相等”是解題的關(guān)鍵．
考點7、多（少）算一個角和截角相關(guān)問題
例1．（23-24八年級下·浙江·課后作業(yè)）小明同學(xué)在計算一個多邊形的內(nèi)角和時，由于粗心少算一個內(nèi)角，結(jié)果得到的結(jié)果是，則少算的這個內(nèi)角的度數(shù)為 ．
【答案】/度
【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，解不等式，設(shè)多邊形的邊數(shù)是n（，且n為整數(shù)），根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理列出不等式，進而求出，再計算出該多邊形內(nèi)角和即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n（，且n為整數(shù)），
依題意得，解得．
∵少算一個內(nèi)角，且該內(nèi)角小于，∴．
∴多邊形的內(nèi)角和是，
∴少算的這個內(nèi)角的度數(shù)為，故答案為：．
變式1. （23-24八年級上·山東·課時練習(xí)）小明在計算一個多邊形的內(nèi)角和時，漏掉了一個內(nèi)角，結(jié)果算得，則這個內(nèi)角的度數(shù)為 ．
【答案】/100度
【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)漏掉的那個內(nèi)角的范圍介于可得關(guān)于n的不等式組，求出n的范圍結(jié)合n為正整數(shù)即得答案．
【詳解】解析：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，依題意，得，解得．
又n為正整數(shù)，∴．∴這個內(nèi)角的度數(shù)為．故答案為：．
【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，正確理解題意、求出n的范圍是關(guān)鍵．
變式2. （22-23八年級上·貴州安順·期末）將一個五邊形紙片，剪去一個角后得到另一個多邊形，則得到的多邊形的內(nèi)角和是（ ）
A． B． C．或 D．或或
【答案】D
【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，找出五邊形紙片剪去一個角出現(xiàn)的情況，再根據(jù)邊形內(nèi)角和公式得出多邊形的內(nèi)角和，即可解題．
【詳解】解：如圖，將一個五邊形沿虛線裁去一個角后得到的多邊形的邊數(shù)是或或，
其中四邊形內(nèi)角和為，五邊形內(nèi)角和為，六邊形內(nèi)角和為，
得到的多邊形的內(nèi)角和是或或，故選：D．
考點8、平面鑲嵌問題
例1．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）“動感數(shù)學(xué)”社團教室重新裝修，如圖是用邊長相等的正方形和正n邊形兩種地磚鋪滿地面后的部分示意圖，則n的值為 ．
【答案】8
【分析】根據(jù)正方形的內(nèi)角為，正n邊形的每個內(nèi)角為，再結(jié)合題意可列出關(guān)于n的方程，解出n的值，即得出答案．
【詳解】解：正方形的每個內(nèi)角為，正n邊形的每個內(nèi)角為，
則根據(jù)題意有，解得：．故答案為：8．
【點睛】本題考查平面鑲嵌，正多邊形的內(nèi)角問題．掌握正n邊形的每個內(nèi)角為是解題關(guān)鍵．
變式1.（2023·吉林長春·校考三模）如圖①是15世紀藝術(shù)家阿爾布雷希特·丟勒利用正五邊形和菱形創(chuàng)作的鑲嵌圖案設(shè)計，圖②是鑲嵌圖案中的某一片段的放大圖，其中菱形的最小內(nèi)角為 度．

【答案】
【分析】根據(jù)平面鑲嵌的定義，結(jié)合正五邊形的內(nèi)角，即可求解．
【詳解】解：正五邊形的每一個內(nèi)角為
設(shè)菱形的最小內(nèi)角為，根據(jù)題意得，解得： 故答案為：．
【點睛】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和公式，平面鑲嵌，熟練掌握平面鑲嵌的定義以及多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．
變式2．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）20世紀70年代，數(shù)學(xué)家羅杰·彭羅斯使用兩種不同的菱形，完成了非周期性密鋪，如下圖，使用了，兩種菱形進行了密鋪，則菱形的銳角的度數(shù)為 °．

【答案】36
【分析】如圖，設(shè)菱形B的銳角為x，菱形A的銳角和鈍角分別為y、z，根據(jù)密鋪的圖案中一個頂點處的周角為列出方程組，解答即可．
【詳解】解：如圖，設(shè)菱形B的銳角為x，菱形A的銳角和鈍角分別為y、z，根據(jù)題意，得
，解得，故答案為：36．

【點睛】本題常考了密鋪問題，涉及了菱形的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和、三元一次方程組等知識，正確理解題意、得出方程組是解題的關(guān)鍵．
模塊4：同步培優(yōu)題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（22-23八年級·浙江·課堂例題）下列說法中，正確的個數(shù)是（　　）
①等腰三角形是正多邊形；②等邊三角形是正多邊形；③長方形是正多邊形；④正方形是正多邊形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本題考查正多邊形的定義，根據(jù)各個邊各個內(nèi)角都相等的圖形叫正多邊形直接逐個判斷即可得到答案；
【詳解】解：由題意可得，等腰三角形不是正多邊形，故①錯誤不符合題意，
等邊三角形是正多邊形，故②符合題意，長方形不是正多邊形，故③錯誤不符合題意，
正方形是正多邊形，故④符合題意，故選：B．
2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考三模）教師在引導(dǎo)學(xué)生探究人教版八年級上冊四邊形的內(nèi)角和的度數(shù)時，是通過連接一條對角線分割成兩個三角形來解決的，探究過程中蘊含的主要數(shù)學(xué)思想為（ ）
A．從一般到特殊思想 B．轉(zhuǎn)化思想 C．類比思想 D．數(shù)形結(jié)合思想
【答案】B
【分析】由于探究人教版八年級上冊四邊形的內(nèi)角和的度數(shù)時，是通過連接一條對角線分割成兩個三角形，從而根據(jù)三角形的內(nèi)角和為探究出任意四邊形的內(nèi)角和等，所以這一過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想．
【詳解】解∶探究人教版八年級上冊四邊形的內(nèi)角和的度數(shù)時，是通過連接一條對角線分割成兩個三角形，從而探究出任意四邊形的內(nèi)角和等于，這一過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想．故選：B．
【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角以及數(shù)學(xué)思想．本題為了解決問題，將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，化未知為已知，化復(fù)雜為簡單，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想．
3．（23-24八年級上·湖北武漢·期中）一個多邊形切去一個角后共有5條對角線，原多邊形不可能是（ ）
A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形
【答案】D
【分析】
本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，解題時注意：一個多邊形截去一個角后它的邊數(shù)可能增加1，可能減少1，或不變．首先求得共有5條對角線的多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個角后邊數(shù)增加1，不變，減少1，即可確定原多邊形的邊數(shù)．
【詳解】解：設(shè)共有5條對角線的多邊形的邊數(shù)是n，則，解得：（負值已舍去）．
∵截去一個角后邊數(shù)可能增加1，不變或減少1，∴原多邊形的邊數(shù)為4或5或6．
原多邊形不可能是七邊形故選：D．
4．（23-24八年級上·四川涼山·階段練習(xí)）如圖，機器人從點出發(fā)朝正東方向走了到達點，記為第1次行走；接著，在點處沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后向前走到達，記為第2次行走；再在點處沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后向前走到達點，記為第3次行走，…，以此類推，該機器人從出發(fā)到第一次回到出發(fā)點時所走過的路程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了正多邊形的邊數(shù)的求法，多邊形的外角和為；根據(jù)題意判斷出機器人走過的圖形是正多邊形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，機器人走過的路程是正多邊形，先用除以求出邊數(shù)，進而即可求解．
【詳解】解：∵機器人每次都是前進再逆時針旋轉(zhuǎn)，
∴機器人走過的圖形是正多邊形，∴邊數(shù)，
∴機器人第1次回到出發(fā)點時，一共走了，故選：C．
5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）已知一個正多邊形的每個外角的度數(shù)都是，則該多邊形的對角線條數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正多邊形的外角和定理，解求出多邊形的邊數(shù)，根據(jù)多邊形頂點引對角線的公式由此即可求解．
【詳解】解：∵正多邊形的每個外角都等于，
∴，∴這個正多邊形是正邊形，如圖所示，
∴（條），∴這個正多邊形的對角線是條．故選：．
【點睛】本題主要考查正多邊形的性質(zhì)，對角線的條數(shù)的計算方法，掌握正多邊形的外角和定理，頂點引對角線的公式是解題的關(guān)鍵．
6.（2023·山東日照·校考三模）我們知道三角形的內(nèi)角和為，而四邊形可以分成兩個三角形，故它的內(nèi)角和為，五邊形則可以分成3個三角形，它的內(nèi)角和為（如圖），依此類推，則八邊形的內(nèi)角和為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式求解即可．
【詳解】解：由多邊形內(nèi)角和公式可得：八邊形的內(nèi)角和為故選：B
【點睛】此題考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和公式．
7．（2024·湖北·一模）正多邊形的一個外角為，則這個正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】本題主要考查正多邊形及多邊形外角和，熟練掌握正多邊形及多邊形外角和是解題的關(guān)鍵；根據(jù)多邊形外角和為可進行求解．
【詳解】解：由題意可知這個正多邊形的邊數(shù)為；故選C．
8．（2023·江西吉安·校考模擬預(yù)測）苯分子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)是由德國化學(xué)家凱庫勒提出的．隨著研究的不斷深入，發(fā)現(xiàn)苯分子中的6個碳原子與6個氫原子均在同一平面，且所有碳碳鍵的鍵長都相等（如圖1），組成了一個完美的六邊形（正六邊形），圖2是其平面示意圖，則的度數(shù)為（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正六邊形的內(nèi)角和公式求出的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求的度數(shù)，同理可得的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，∴， ，
∴，同理，∴，故選：B．
【點睛】本題考查正多邊形內(nèi)角和的計算以及三角形公式，n邊形的內(nèi)角和為．
9．（23-24七年級下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）一個多邊形除去一個內(nèi)角后，其余各內(nèi)角的和為，則這個內(nèi)角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查多邊形內(nèi)角和公式的靈活運用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式建立邊數(shù)與內(nèi)角度數(shù)的等式．設(shè)這個內(nèi)角度數(shù)為，邊數(shù)為，根據(jù)多邊形內(nèi)角和的公式建立等式，再根據(jù)多邊形的一個內(nèi)角一定大于，并且小于計算出邊數(shù)，最后再根據(jù)邊數(shù)和內(nèi)角和計算出所求內(nèi)角的值．
【詳解】解：設(shè)這個內(nèi)角度數(shù)為，邊數(shù)為，則，，
∵為正整數(shù)，， ∴，∴這個內(nèi)角度數(shù)為．故選：C．
10．（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）如圖，甲、乙兩位同學(xué)用個完全相同的正六邊形按如下方式拼成一圈后，使相鄰的兩個正六邊形有公共頂點，設(shè)相鄰兩個正六邊形外圈的夾角為，內(nèi)圈的夾角為，中間會圍成一個正邊形，關(guān)于的值，甲的結(jié)果是，乙的結(jié)果是或4，則（ ）

A．甲的結(jié)果正確 B．乙的結(jié)果正確
C．甲、乙的結(jié)果合在一起才正確 D．甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確
【答案】D
【分析】正六邊形的一個內(nèi)角為，根據(jù)外角的定義有，，得，再討論即可得的值．
【詳解】解：∵正六邊形的一個內(nèi)角為，∴，
∵為正邊形的一個內(nèi)角為度數(shù)，∴，
當時，，則，當時，，則，
當時，，則，當時，，則，
則的值為3或4或5或6．故選：D．
【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和．解題的關(guān)鍵是根據(jù)周角的定義推得．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（23-24八年級上·遼寧營口·期中）如果把一個多邊形剪去一個內(nèi)角，剩余部分的內(nèi)角和為，那么原多邊形有 條邊．
【答案】或或9
【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和度數(shù)，熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：以五邊形為例，如圖所示：

剪去一個內(nèi)角后，多邊形的邊數(shù)可能加，可能不變，也可能減
設(shè)新多邊形的邊數(shù)為，則，解得：
∴原多邊形可能有或或9條邊．故答案為：或或9．
12．（23-24八年級上·湖北恩施·期末）小明從點出發(fā)，沿直線前進了后向左轉(zhuǎn)一定的角度，再沿直線前進，又向左轉(zhuǎn)相同的角度，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地點時，共走了，則他每次向左轉(zhuǎn)的角度是 度．
【答案】
【分析】本題主要查了多邊形的外角和，能熟記多邊形的外角和定理是解此題的關(guān)鍵，注意：多邊形的外角和等于．
先求出小明左轉(zhuǎn)了次，然后根據(jù)多邊形的外角和計算求解．
【詳解】∵他第一次回到出發(fā)地點時，共走了，且每次前進，∴小明左轉(zhuǎn)了次，
∵多邊形的外角和為，∴，∴他每次向左轉(zhuǎn)的角度是度．故答案為：．
13．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在五邊形中，，的平分線與的平分線交于點P，則 ．

【答案】/度
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)五邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．
【詳解】解：在中，∵，∴，
∵平分，平分，∴，
∵，
∴．故答案為：．
【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，解答本題的關(guān)鍵是掌握多邊形形的內(nèi)角和定理以及角平分線定義．
14.（2023·浙江·模擬預(yù)測）用三種邊長相等的正多邊形地磚鋪地，其頂點在一起，剛好能完全鋪滿地面，已知正多邊形的邊數(shù)為x、y、z，則的值為 ．
【答案】/
【分析】利用正n多邊形的內(nèi)角公式求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，這三種邊長相等的正多邊形的內(nèi)角和為，
則，
∴，∴，故答案為：．
【點睛】本題考查正多邊形的內(nèi)角問題，理解題意，得到這三種邊長相等的正多邊形的內(nèi)角和為是解答的關(guān)鍵．
15．（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）淇淇用圖一的六個全等紙片拼接圖2所示的外輪廓是正六邊形，如果用若干個紙片按照圖3所示的方法拼接成外輪廓是正n變形圖案，那么的值為 ．

【答案】九
【分析】先根據(jù)正多邊形內(nèi)角計算公式得出正六邊形的內(nèi)角度數(shù)，得出，再通過三角形內(nèi)角和定理計算出，從而得出正邊形的內(nèi)角度數(shù)，再經(jīng)過多邊形內(nèi)角和公式得出答案．
【詳解】解：正六邊形的每個內(nèi)角，
由圖可知，，，
，
圖3中的正邊形的每個內(nèi)角=，
根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式得，解得，
這個正邊形是正九邊形．故答案為：九．
【點睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，三角形內(nèi)角和定理，對圖像中多邊形內(nèi)角與三角形各角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，將正五邊形紙片折疊，使點與點重合，折痕為，展開后，再將紙片折疊，使邊落在線段上，點的對應(yīng)點為點，折痕為，則的大小為 度．

【答案】
【分析】根據(jù)題意求得正五邊形的每一個內(nèi)角為，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】解：∵正五邊形的每一個內(nèi)角為，
將正五邊形紙片折疊，使點與點重合，折痕為，
則，
∵將紙片折疊，使邊落在線段上，點的對應(yīng)點為點，折痕為，
∴，，
在中，，故答案為：．
【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和的應(yīng)用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）如圖，點在正六邊形的邊上運動．若，寫出一個符合條件的的值_________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】先求得，在根據(jù)點的不同位置，求得的取值范圍，從而得解．
【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，∴，，
當點在點處時，∵，，∴，
當點在點處時，延長交的延長線于點，
∵，，
∴，∴，∴是正三角形，∴，
∵，，∴即，∴是正三角形，
∴，∴，故答案為（答案不唯一）．
【點睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．（2023年河北省石家莊市中考一模數(shù)學(xué)試卷）如圖1，將兩條重合的線段繞一個公共端點沿逆時針和順時針方向分別旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，所得的兩條新線段夾角為，以為內(nèi)角，以圖中線段為邊作兩個正多邊形，正多邊形邊數(shù)為n．如圖2，當時，得到兩個正六邊形．
邊數(shù)n 4 5 6 …
旋轉(zhuǎn)角 90° 108° 120° …
夾角 180° m 120° …
（1）用含的代數(shù)式表示，__________；
（2）邊數(shù)n，旋轉(zhuǎn)角，夾角的部分對應(yīng)值如表格所示，其中__________；
（3）若，則n的最小值是__________．
【答案】 144 72
【分析】（1）由周角的含義建立方程即可；（2）把代入（1）中的結(jié)論可得答案；
（3）由，可得，解得：，利用多邊形的內(nèi)角和公式可得，而且為整數(shù)，從而可得答案．
【詳解】解：（1）由題意可得：，∴，故答案為：．
（2）由題意可得：當時，∴，故答案為：；
（3）當，∴，解得：，
∴，而且為整數(shù)，∴，
解得：，∴的最小值為：．故答案為：．
【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)，利用正多邊形的性質(zhì)建立方程或不等式求解是解本題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（23-24八年級上·云南昆明·期中）閱讀小明和小紅的對話，解決下列問題．
我把一個多邊形的多邊形的內(nèi)角和不可能是 多邊形的內(nèi)角和不可能是，你一定多加了一個銳角
(1)這個“多加的銳角”是_________．
(2)小明求的是幾邊形的內(nèi)角和？并求此多邊形的對角線條數(shù)？
【答案】(1) (2)小明求的是邊形的內(nèi)角和, 此多邊形的對角線條數(shù)為條
【分析】（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和的公式進行估算即可；（2）根據(jù)對話和多邊形的內(nèi)角和公式列方程求解即可，根據(jù)多邊形的對角線的條數(shù)為，即可求解．
【詳解】（1）解：多邊形內(nèi)角和公式為，
當時，多邊形內(nèi)角和為，
當時，多邊形內(nèi)角和為，
小紅說：“多邊形的內(nèi)角和不可能是，你一定多加了一個銳角”，
這個“多加的銳角”是，故答案為：；
（2）設(shè)多邊形為邊形，，，小明求的是邊形的內(nèi)角和；
∴該多邊形的對角線的條數(shù)為（條）
【點睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和和外角和，多邊形的對角線的條數(shù)問題，掌握多邊形內(nèi)角和的計算方法以及多邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
20．（23-24八年級下·浙江·課后作業(yè)）某裝飾材料加工廠有一批從生產(chǎn)線上下來的正六邊形原材料（如圖①），現(xiàn)從一個正六邊形中剪去一個與其邊長相等的等邊三角形，將其移到如圖②所示的位置．為了不浪費材料，你能利用它們鋪滿地面嗎？若不能，請說明理由；若能，請你給出自己的一種設(shè)計．

【答案】能，見解析
【分析】本題考查了作圖—應(yīng)用與設(shè)計；根據(jù)正六邊形可以進行平面鑲嵌，類似的將等邊三角形填充到剪去的位置即可．
【詳解】解：能．設(shè)計方案圖所示．

21．（23-24八年級下·廣東·課后作業(yè)）（1）已知一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍還多，求這個多邊形的邊數(shù)；（2）已知一個多邊形的每一個外角都相等，一個內(nèi)角與一個外角的度數(shù)之比為，求這個多邊形的邊數(shù)．
【答案】（1）9（2）11
【分析】本題主要考查了求多邊形的邊數(shù)，多邊形內(nèi)角和和外角和定理以及一元一次方程的應(yīng)用．
（1）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，利用一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍還多列一元一次方程求解即可得出答案．（2）設(shè)這個多邊形一個內(nèi)角的度數(shù)為，則一個外角的度數(shù)為，根據(jù)題意，列一元一次方程求解出x，再利用多邊形外角為即可求出答案．
【詳解】解：（1）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，
根據(jù)題意，得，解得，所以這個多邊形的邊數(shù)為9．
（2）設(shè)這個多邊形一個內(nèi)角的度數(shù)為，則一個外角的度數(shù)為，
根據(jù)題意，得，解得．∴，
所以這個多邊形的邊數(shù)為11．
22．（23-24八年級下·江蘇·課后作業(yè)）“轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)中的一種重要思想，即把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題．

(1)請你根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的知識求出下面星形圖①中的度數(shù)；
(2)若將圖①中的星形截去一個角，如圖②，請你求出的度數(shù)；
(3)若再將圖②中的星形進一步截去角，你能由題(2)中所得的方法或規(guī)律，猜想出圖③中的的度數(shù)嗎？(只要寫出結(jié)論，不需要寫出解題過程)
【答案】(1)(2)(3)
【分析】主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角之間的關(guān)系． 三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理．
（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和等于可得的度數(shù)；
（3）根據(jù)圖中可找出規(guī)律，并且每截去一個角則會增加，由此即可求出答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴；

（2）∵，，
∴；

（3）觀察可以發(fā)現(xiàn)圖（1）到圖（2）可以發(fā)現(xiàn)每截去一個角，則會增加，
所以當截去5個角時增加了，
則
23．（2023秋·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期末）探究歸納題：
（1）試驗分析：如圖1，經(jīng)過A點可以作1條對角線；同樣，經(jīng)過B點可以作______條對角線；經(jīng)過C點可以作______條對角線；經(jīng)過D點可以作______條對角線．通過以上分析和總結(jié)，圖1共有______條對角線．
（2）拓展延伸：運用1的分析方法，可得：圖2共有______條對角線；圖3共有______條對角線；
（3）探索歸納：對于n邊形，共有______條對角線．（用含n的式子表示）
（4）特例驗證：十邊形有______對角線．
【答案】（1）1、1、1、2；（2）5、9；（3）；（4）35
【分析】（1）根據(jù)對角線的定義，可得答案；（2）根據(jù)對角線的定義，可得答案；
（3）根據(jù)探索，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律；（4）根據(jù)對角線的公式，可得答案．
【詳解】解：（1）經(jīng)過點可以做 1條對角線；同樣，經(jīng)過點可以做 1條；經(jīng)過點可以做 1條；經(jīng)過點可以做 1條對角線．
通過以上分析和總結(jié)，圖1共有 2條對角線．故答案為：1、1、1、2；
（2）拓展延伸：運用（1）的分析方法，可得：
圖2共有 5條對角線；圖3共有 9條對角線，故答案為：5、9；
（3）探索歸納：對于邊形，共有條對角線．故答案為：；
（4）特例驗證：十邊形有對角線．故答案為：35.
【點睛】本題考查了多邊形的對角線，發(fā)現(xiàn)多邊形對角線公式是解題關(guān)鍵．
24．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，小明從點O出發(fā)，前進3米后到達點A（米），向右轉(zhuǎn)，再前進3米后到達點B（米），又向右轉(zhuǎn)，……這樣小明一直右轉(zhuǎn)了n次剛好回到出發(fā)點O處．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)n的值為________．(2)小明走出的這n邊形的周長為________米．
(3)若一個正m邊形的內(nèi)角和比外角和多，求這個正m邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)．
【答案】(1)15(2)45(3)
【分析】（1）根據(jù)多邊形的外角和等于，即可求解；（2）用多邊形的邊數(shù)乘以的長，即可求解；（3）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理可得關(guān)于m的方程，即可求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：．故答案為：15
（2）解：由（1）得：這個n邊形為十五邊形，
∴這n邊形的周長為（米）；故答案為：45
（3）解：根據(jù)題意，得，解得，
∴這個正m邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)為．
【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理的應(yīng)用，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理是解題的關(guān)鍵．
25．（2023 濟南模擬）我們常用各種多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案，也就是說，使用給定的某些多邊形，能夠拼成一個平面圖形，既不留一絲空白，又不互相重疊，這在幾何里叫做平面密鋪（鑲嵌）．我們知道，當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角的和為360°時，就能夠拼成一個平面圖形．某校研究性學(xué)習(xí)小組研究平面密鋪的問題，其中在探究用兩種邊長相等的正多邊形做平面密鋪的情形時用了以下方法：
如果用x個正三角形、y個正六邊形進行平面密鋪，可得60° x+120° y＝360°，化簡得x+2y＝6．因為x、y都是正整數(shù)，所以只有當x＝2，y＝2或x＝4，y＝1時上式才成立，即2個正三角形和2個正六邊形或4個正三角形和1個正六邊形可以拼成一個無縫隙、不重疊的平面圖形，如圖（1）、（2）、（3）．
（1）請你仿照上面的方法研究用邊長相等的x個正三角形和y個正方形進行平面密鋪的情形，并按圖（4）中給出的正方形和正三角形的大小大致畫出密鋪后圖形的示意圖（只要畫出一種圖形即可）；
（2）如果用形狀、大小相同的如圖（5）方格紙中的三角形，能進行平面密鋪嗎？若能，請在方格紙中畫出密鋪的設(shè)計圖．
【解析】解：（1）據(jù)題意，可有60° x+90° y＝360°，化簡得2x+3y＝12，∴當x＝3，y＝2時，有圖：
（2）如圖（5）所示：
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專題4-1 多邊形
模塊1：學(xué)習(xí)目標
1．了解多邊形、凹、凸多邊形、正多邊形、多邊形的內(nèi)角、外角、對角線等基本概念。
2．經(jīng)歷探索多邊形內(nèi)角和與外角和公式的過程，體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系。
3．掌握多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)，并能運用公式解決一些實際問題。
4．掌握多邊形內(nèi)角和公式，并能運用多邊形內(nèi)角和公式和外角和結(jié)論解決問題。
模塊2：知識梳理
1）多邊形定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形。
其中，各個角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形。
2）相關(guān)概念：
邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊。
頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點。
內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，
一個n邊形有n個內(nèi)角.n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)。
外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫多邊形的外角。
多邊形的外角和：多邊形的外角和為360°。
對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。
過n邊形的一個頂點可以引(n-3)條對角線，n邊形對角線的條數(shù)為。
平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面。
模塊3：核心考點與典例
考點1、多邊形的概念與分類
例1．（23-24八年級上·廣東汕頭·階段練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形
B．多邊形的兩邊所在直線組成的角是這個多邊形的內(nèi)角或外角
C．各個角都相等，各條邊都相等的多邊形是正多邊形
D．連接多邊形的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線
變式1.（2023九年級上·全國·專題練習(xí)）下列說法不正確的是（　　）
A．圓內(nèi)正n邊形的中心角為 B．各邊相等的，各角相等的多邊形是正多邊形
C．各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形 D．各角相等的多邊形是正多邊形
變式2.（23-24七年級上·湖北武漢·開學(xué)考試）用下面的圖表示圖形之間的關(guān)系，不正確的是（ ）
A． B． C． D．
考點2、多邊形的對角線
例1．（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）已知一個多邊形內(nèi)角和為，則這個多邊形可連對角線的條數(shù)是（ ）
A．10 B．16 C．20 D．40
變式1.（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如果一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，那么從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
變式2.（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）一個正多邊形每一個中心角都為40°，則這個正多邊形共有 條對角線．
考點3、多邊形內(nèi)角和
例1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）若七邊形的內(nèi)角中有一個角為，則其余六個內(nèi)角之和為 ．
變式1. （2023春·北京昌平·八年級校聯(lián)考期中）下列多邊形中，內(nèi)角和為的是（ ）
A． B． C． D．
變式2. （2023·江蘇連云港·校考三模）一個多邊形的內(nèi)角和等于，那么它是（　　）
A．十邊形 B．十一邊形 C．十二邊形 D．十三邊形
變式3. （2022·湖南常德·中考真題）剪紙片：有一張長方形的紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片；從這2張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有3張紙片：從這3張中任選一張，再用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成了2張紙片，這樣共有4張紙片；……；如此下去，若最后得到10張紙片，其中有1張五邊形紙片，3張三角形紙片，5 張四邊形紙片，則還有一張多邊形紙片的邊數(shù)為________．
考點4、多邊形外角和
例1．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）正十二邊形的外角和為（　　）
A． B． C． D．
變式1. （2023·北京通州·統(tǒng)考一模）正七邊形的外角和是（ ）
A．900° B．700° C．360° D．180°
變式2. （2023·河北保定·校考模擬預(yù)測）如果一個正多邊形的內(nèi)角比它相鄰的外角大，那么這個多邊形是 邊形．
考點5、多邊形的內(nèi)（外）角和的應(yīng)用
例1．（23-24八年級上·遼寧鞍山·期末）如圖，圖1是我國古代建筑中的一種窗格，其中冰裂紋圖案象征著堅冰出現(xiàn)裂紋并開始消溶，形狀無一定規(guī)則，代表一種自然和諧美.圖2是從圖1冰裂紋窗格圖案中提取的由五條線段組成的圖形，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
變式1. （2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）如圖，若干個一模一樣的正六邊形（各邊相等，各角也相等）排成環(huán)狀．圖中所示的是前3個六邊形，要完成這一圓環(huán)，還需這樣的六邊形的數(shù)量為（ ）
A．6個 B．5個 C．4個 D．3個
變式2. （23-24八年級上·河南許昌·期中）“花影遮墻，峰巒疊窗”，蘇州園林空透的窗欞中蘊含著許多的數(shù)學(xué)元素．如圖是窗欞中的部分圖案．若，，，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
考點6、多邊形的內(nèi)（外）角和綜合問題
例1．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）若在同一平面內(nèi)將邊長相等的正五邊形徽章和正六邊形模具按如圖所示的位置擺放，連接并延長至點，則______．
變式1.（2023·江西·模擬預(yù)測）如圖，七邊形中，，的延長線交于點，若，，，的外角和等于，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
變式2.（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在正六邊形中，以為邊向內(nèi)作正方形，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
考點7、多（少）算一個角和截角相關(guān)問題
例1．（23-24八年級下·浙江·課后作業(yè)）小明同學(xué)在計算一個多邊形的內(nèi)角和時，由于粗心少算一個內(nèi)角，結(jié)果得到的結(jié)果是，則少算的這個內(nèi)角的度數(shù)為 ．
變式1. （23-24八年級上·山東·課時練習(xí)）小明在計算一個多邊形的內(nèi)角和時，漏掉了一個內(nèi)角，結(jié)果算得，則這個內(nèi)角的度數(shù)為 ．
變式2. （22-23八年級上·貴州安順·期末）將一個五邊形紙片，剪去一個角后得到另一個多邊形，則得到的多邊形的內(nèi)角和是（ ）
A． B． C．或 D．或或
考點8、平面鑲嵌問題
例1．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）“動感數(shù)學(xué)”社團教室重新裝修，如圖是用邊長相等的正方形和正n邊形兩種地磚鋪滿地面后的部分示意圖，則n的值為 ．
變式1.（2023·吉林長春·校考三模）如圖①是15世紀藝術(shù)家阿爾布雷希特·丟勒利用正五邊形和菱形創(chuàng)作的鑲嵌圖案設(shè)計，圖②是鑲嵌圖案中的某一片段的放大圖，其中菱形的最小內(nèi)角為 度．

變式2．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）20世紀70年代，數(shù)學(xué)家羅杰·彭羅斯使用兩種不同的菱形，完成了非周期性密鋪，如下圖，使用了，兩種菱形進行了密鋪，則菱形的銳角的度數(shù)為 °．

模塊4：同步培優(yōu)題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（22-23八年級·浙江·課堂例題）下列說法中，正確的個數(shù)是（　　）
①等腰三角形是正多邊形；②等邊三角形是正多邊形；③長方形是正多邊形；④正方形是正多邊形．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考三模）教師在引導(dǎo)學(xué)生探究人教版八年級上冊四邊形的內(nèi)角和的度數(shù)時，是通過連接一條對角線分割成兩個三角形來解決的，探究過程中蘊含的主要數(shù)學(xué)思想為（ ）
A．從一般到特殊思想 B．轉(zhuǎn)化思想 C．類比思想 D．數(shù)形結(jié)合思想
3．（23-24八年級上·湖北武漢·期中）一個多邊形切去一個角后共有5條對角線，原多邊形不可能是（ ）
A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形
4．（23-24八年級上·四川涼山·階段練習(xí)）如圖，機器人從點出發(fā)朝正東方向走了到達點，記為第1次行走；接著，在點處沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后向前走到達，記為第2次行走；再在點處沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后向前走到達點，記為第3次行走，…，以此類推，該機器人從出發(fā)到第一次回到出發(fā)點時所走過的路程為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）已知一個正多邊形的每個外角的度數(shù)都是，則該多邊形的對角線條數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
6.（2023·山東日照·校考三模）我們知道三角形的內(nèi)角和為，而四邊形可以分成兩個三角形，故它的內(nèi)角和為，五邊形則可以分成3個三角形，它的內(nèi)角和為（如圖），依此類推，則八邊形的內(nèi)角和為（ ）

A． B． C． D．
7．（2024·湖北·一模）正多邊形的一個外角為，則這個正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
8．（2023·江西吉安·校考模擬預(yù)測）苯分子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)是由德國化學(xué)家凱庫勒提出的．隨著研究的不斷深入，發(fā)現(xiàn)苯分子中的6個碳原子與6個氫原子均在同一平面，且所有碳碳鍵的鍵長都相等（如圖1），組成了一個完美的六邊形（正六邊形），圖2是其平面示意圖，則的度數(shù)為（　　）

A． B． C． D．
9．（23-24七年級下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）一個多邊形除去一個內(nèi)角后，其余各內(nèi)角的和為，則這個內(nèi)角是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）如圖，甲、乙兩位同學(xué)用個完全相同的正六邊形按如下方式拼成一圈后，使相鄰的兩個正六邊形有公共頂點，設(shè)相鄰兩個正六邊形外圈的夾角為，內(nèi)圈的夾角為，中間會圍成一個正邊形，關(guān)于的值，甲的結(jié)果是，乙的結(jié)果是或4，則（ ）

A．甲的結(jié)果正確 B．乙的結(jié)果正確
C．甲、乙的結(jié)果合在一起才正確 D．甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（23-24八年級上·遼寧營口·期中）如果把一個多邊形剪去一個內(nèi)角，剩余部分的內(nèi)角和為，那么原多邊形有 條邊．
12．（23-24八年級上·湖北恩施·期末）小明從點出發(fā)，沿直線前進了后向左轉(zhuǎn)一定的角度，再沿直線前進，又向左轉(zhuǎn)相同的角度，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地點時，共走了，則他每次向左轉(zhuǎn)的角度是 度．
13．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在五邊形中，，的平分線與的平分線交于點P，則 ．

14.（2023·浙江·模擬預(yù)測）用三種邊長相等的正多邊形地磚鋪地，其頂點在一起，剛好能完全鋪滿地面，已知正多邊形的邊數(shù)為x、y、z，則的值為 ．
15．（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）淇淇用圖一的六個全等紙片拼接圖2所示的外輪廓是正六邊形，如果用若干個紙片按照圖3所示的方法拼接成外輪廓是正n變形圖案，那么的值為 ．

16．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，將正五邊形紙片折疊，使點與點重合，折痕為，展開后，再將紙片折疊，使邊落在線段上，點的對應(yīng)點為點，折痕為，則的大小為 度．

17．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）如圖，點在正六邊形的邊上運動．若，寫出一個符合條件的的值_________．
18．（2023年河北省石家莊市中考一模數(shù)學(xué)試卷）如圖1，將兩條重合的線段繞一個公共端點沿逆時針和順時針方向分別旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，所得的兩條新線段夾角為，以為內(nèi)角，以圖中線段為邊作兩個正多邊形，正多邊形邊數(shù)為n．如圖2，當時，得到兩個正六邊形．
邊數(shù)n 4 5 6 …
旋轉(zhuǎn)角 90° 108° 120° …
夾角 180° m 120° …
（1）用含的代數(shù)式表示，__________；
（2）邊數(shù)n，旋轉(zhuǎn)角，夾角的部分對應(yīng)值如表格所示，其中__________；
（3）若，則n的最小值是__________．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（23-24八年級上·云南昆明·期中）閱讀小明和小紅的對話，解決下列問題．
我把一個多邊形的多邊形的內(nèi)角和不可能是 多邊形的內(nèi)角和不可能是，你一定多加了一個銳角
(1)這個“多加的銳角”是_________．
(2)小明求的是幾邊形的內(nèi)角和？并求此多邊形的對角線條數(shù)？
20．（23-24八年級下·浙江·課后作業(yè)）某裝飾材料加工廠有一批從生產(chǎn)線上下來的正六邊形原材料（如圖①），現(xiàn)從一個正六邊形中剪去一個與其邊長相等的等邊三角形，將其移到如圖②所示的位置．為了不浪費材料，你能利用它們鋪滿地面嗎？若不能，請說明理由；若能，請你給出自己的一種設(shè)計．

21．（23-24八年級下·廣東·課后作業(yè)）（1）已知一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍還多，求這個多邊形的邊數(shù)；（2）已知一個多邊形的每一個外角都相等，一個內(nèi)角與一個外角的度數(shù)之比為，求這個多邊形的邊數(shù)．
22．（23-24八年級下·江蘇·課后作業(yè)）“轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)中的一種重要思想，即把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題．

(1)請你根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的知識求出下面星形圖①中的度數(shù)；
(2)若將圖①中的星形截去一個角，如圖②，請你求出的度數(shù)；
(3)若再將圖②中的星形進一步截去角，你能由題(2)中所得的方法或規(guī)律，猜想出圖③中的的度數(shù)嗎？(只要寫出結(jié)論，不需要寫出解題過程)
23．（2023秋·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期末）探究歸納題：
（1）試驗分析：如圖1，經(jīng)過A點可以作1條對角線；同樣，經(jīng)過B點可以作______條對角線；經(jīng)過C點可以作______條對角線；經(jīng)過D點可以作______條對角線．通過以上分析和總結(jié)，圖1共有______條對角線．
（2）拓展延伸：運用1的分析方法，可得：圖2共有______條對角線；圖3共有______條對角線；
（3）探索歸納：對于n邊形，共有______條對角線．（用含n的式子表示）
（4）特例驗證：十邊形有______對角線．
24．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，小明從點O出發(fā)，前進3米后到達點A（米），向右轉(zhuǎn)，再前進3米后到達點B（米），又向右轉(zhuǎn)，……這樣小明一直右轉(zhuǎn)了n次剛好回到出發(fā)點O處．
根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)n的值為________．(2)小明走出的這n邊形的周長為________米．
(3)若一個正m邊形的內(nèi)角和比外角和多，求這個正m邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)．
25．（2023 濟南模擬）我們常用各種多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案，也就是說，使用給定的某些多邊形，能夠拼成一個平面圖形，既不留一絲空白，又不互相重疊，這在幾何里叫做平面密鋪（鑲嵌）．我們知道，當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角的和為360°時，就能夠拼成一個平面圖形．某校研究性學(xué)習(xí)小組研究平面密鋪的問題，其中在探究用兩種邊長相等的正多邊形做平面密鋪的情形時用了以下方法：如果用x個正三角形、y個正六邊形進行平面密鋪，可得60° x+120° y＝360°，化簡得x+2y＝6．因為x、y都是正整數(shù)，所以只有當x＝2，y＝2或x＝4，y＝1時上式才成立，即2個正三角形和2個正六邊形或4個正三角形和1個正六邊形可以拼成一個無縫隙、不重疊的平面圖形，如圖（1）、（2）、（3）．（1）請你仿照上面的方法研究用邊長相等的x個正三角形和y個正方形進行平面密鋪的情形，并按圖（4）中給出的正方形和正三角形的大小大致畫出密鋪后圖形的示意圖（只要畫出一種圖形即可）；
（2）如果用形狀、大小相同的如圖（5）方格紙中的三角形，能進行平面密鋪嗎？若能，請在方格紙中畫出密鋪的設(shè)計圖．
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