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專(zhuān)題4-2 平行四邊形及其性質(zhì)
模塊1：學(xué)習(xí)目標(biāo)
1. 理解平行四邊形的概念。
2. 探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理，并能運(yùn)用它們進(jìn)行證明和計(jì)算。
3. 了解兩條平行線之間距離的意義 ，能度量?jī)蓷l平行線之間的距離。
4. 通過(guò)經(jīng)歷平行四邊形的性質(zhì)定理的探索過(guò)程，豐富學(xué)生的教學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，進(jìn)一步 培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。
5. 通過(guò)平行四邊形性質(zhì)定理的相關(guān)問(wèn)題證明和計(jì)算，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力。
模塊2：知識(shí)梳理
1）平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形。平行四邊形用“ ”表示，平行四邊形ABCD表示為“ ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”。
注：只要滿(mǎn)足對(duì)邊平行的四邊形都是平行四邊形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形
2）平行四邊形的高：一條邊上任取一點(diǎn)作另一邊的垂線，該垂線的長(zhǎng)度稱(chēng)作平行四邊形在該邊上的高。
3）平行四邊形的性質(zhì)：考慮邊、角、對(duì)角線，有時(shí)還會(huì)涉及對(duì)稱(chēng)性。如下圖，四邊形ABCD是平行四邊形：
（1）性質(zhì)1（邊）：①對(duì)邊相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC
（2）性質(zhì)2（角）：對(duì)角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
（3）性質(zhì)3（對(duì)角線）：對(duì)角線相互平分，即：AO=OC，BO=OD
（4）性質(zhì)4（對(duì)稱(chēng)性）：平行四邊形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形。
4）平行線之間的距離與平行四邊形的綜合
定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離。
性質(zhì)：平行線之間距離處處相等。
模塊3：核心考點(diǎn)與典例
考點(diǎn)1、平行四邊形的性質(zhì)
例1．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)校考期中）下列性質(zhì)中，平行四邊形不一定具備的是（ ）
A．對(duì)邊相等 B．鄰角互補(bǔ) C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角互補(bǔ)
【答案】D
【分析】利用平行四邊形性質(zhì)：對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分、對(duì)邊平行且相等，進(jìn)而分析得出即可．
【詳解】解：平行四邊形對(duì)邊相等，故A正確，不合題意；
平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，故B正確，不合題意；
平行四邊形對(duì)角線互相平分，故C正確，不合題意；
平行四邊形對(duì)角不一定互補(bǔ)，故D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
變式1. （2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，將四根木條用釘子釘成一個(gè)矩形框架，然后向左扭動(dòng)框架，觀察所得四邊形的變化．下面判斷錯(cuò)誤的是（ ）

A．四邊形由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅?B．對(duì)角線的長(zhǎng)度減小
C．四邊形的面積不變 D．四邊形的周長(zhǎng)不變
【答案】C
【分析】根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性、矩形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合圖形前后變化逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A、因?yàn)榫匦慰蚣芟蜃笈?dòng)，，，但不再為直角，所以四邊形變成平行四邊形，故A正確，不符合題意；
B、向左扭動(dòng)框架，的長(zhǎng)度減小，故B正確，不符合題意；
C、因?yàn)槔善叫兴倪呅魏螅咦冃×耍走厸](méi)變，所以面積變小了，故C錯(cuò)誤，符合題意；
D、因?yàn)樗倪呅蔚拿織l邊的長(zhǎng)度沒(méi)變，所以周長(zhǎng)沒(méi)變，故D正確，不符合題意，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、四邊形的不穩(wěn)定性，弄清圖形變化前后的變量和不變量是解答此題的關(guān)鍵．
變式2．（2021·四川宜賓·中考真題）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．平行四邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形 B．平行四邊形的鄰邊相等
C．平行四邊形的對(duì)角線互相垂直 D．平行四邊形的對(duì)角線互相平分
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)，即可得到答案．
【詳解】解：A. 平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，
B. 平行四邊形的鄰邊不一定相等，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，
C. 平行四邊形的對(duì)角線互相平分，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，
D. 平行四邊形的對(duì)角線互相平分，故該選項(xiàng)正確．故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)2、利用平行四邊形的性質(zhì)求角度
例1．．（2023春·北京東城·八年級(jí)北京一七一中校考期中）如圖，平行四邊形中，，則的度數(shù)為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由在平行四邊形中，，根據(jù)平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，即可求得答案．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，
∵，∴．故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
變式1. （2023·新疆喀什·統(tǒng)考二模）如圖，在中，過(guò)點(diǎn)C作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)是_______．
【答案】/37度
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，
∵，∴；故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟記所學(xué)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
變式2. （2023春·北京海淀·八年級(jí)人大附中校考期中）如圖，在中，，，作于E，則______；______．
【答案】 /30度
【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)求得，根據(jù)三角形內(nèi)角定理即可求得；利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求得的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，
∵，∴，∴；
∵四邊形是平行四邊形，，∴，∴，
，故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
考點(diǎn)3、利用平行四邊形的性質(zhì)求長(zhǎng)度
例1．（2023春·河北廊坊·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，用尺規(guī)作圖得到點(diǎn)和點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖可知是的角平分線，且，可得，四邊形是菱形，在中，求出的長(zhǎng)度，根據(jù)，由此即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意可知，是的角平分線，，，
∴是的垂直平分線，如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，
∵四邊形是平行四邊形，∴根據(jù)對(duì)角線相互垂直且平分的四邊形是菱形可得，四邊形是菱形，∵，，∴，
在中，，∴，故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形，菱形，勾股定理的綜合，掌握平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
變式1. （2023春·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則的周長(zhǎng)是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：∵是的垂直平分線∴，
∵四邊形是平行四邊形，∴，
∴的周長(zhǎng)是，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式2. （2023春·北京海淀·八年級(jí)校考期中）如圖，的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，若，，則的長(zhǎng)是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，利用勾股定理得出，進(jìn)而利用平行四邊形的性質(zhì)得出即可．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，
∵，，∴，∴，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握平行四邊形的對(duì)角線互相平分是解答本題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)4、利用平行四邊形的性質(zhì)求坐標(biāo)
例1．（2023春·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，位于第一象限中，已知頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，結(jié)合坐標(biāo)系即可求解．
【詳解】解：∵位于第一象限中，頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，
∴，∴，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式1. （2023春·遼寧鐵嶺·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，平行四邊形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，，，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)解題，由B點(diǎn)到A點(diǎn)的平移過(guò)程，可將線段先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到線段，由C點(diǎn)坐標(biāo)確定D點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】解：四邊形 是平行四邊形，且，
將線段先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度、再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到線段，
C點(diǎn)坐標(biāo)先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度、再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度可得D點(diǎn)的坐標(biāo)，即；故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用平移確定點(diǎn)的坐標(biāo)，易錯(cuò)點(diǎn)是平移的方向和平移的長(zhǎng)度．
變式2. （2023春·西藏·八年級(jí)校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，點(diǎn)D為平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)______．
【答案】或或
【分析】分三種情況：①為對(duì)角線時(shí)，②為對(duì)角線時(shí)，③為對(duì)角線時(shí)；由平行四邊形的性質(zhì)容易得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【詳解】解：分三種情況：①為對(duì)角線時(shí)，平行且等于，可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
②為對(duì)角線時(shí)，平行且等于，可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
③為對(duì)角線時(shí)，平行且等于，可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)可能是或或，
故答案為：或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)5、利用平行四邊形的性質(zhì)求面積
例1．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)P是內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接，得到，設(shè)它們的面積分別是，給出如下結(jié)論：
①；②如果，則；③若，則；
④如果P點(diǎn)在對(duì)角線上，則；⑤若，則P點(diǎn)一定在對(duì)角線上
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，，設(shè)點(diǎn)到，，，的距離分別是，，，，再根據(jù)三角形的面積公式整理判斷①；然后根據(jù)三角形面積公式可判斷②③；再根據(jù)兩個(gè)等高的三角形面積的比等于底的比，得出，判斷④；最后根據(jù)已證關(guān)系式，得出，，判斷⑤，綜合即可得出答案．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，．
設(shè)點(diǎn)到，，，的距離分別是，，，，點(diǎn)C到的距離分別為，
則，，，．
∵，，
∵，∴，故①正確；
根據(jù)只能判斷，不能判斷，即不能判斷，故②錯(cuò)誤；
根據(jù)，能得出，不能得出，即不能判斷，故③錯(cuò)誤；
∵點(diǎn)在對(duì)角線上，∴，，∴，故④正確；
由和，得，，
∴，∴，
∴點(diǎn)一定在對(duì)角線在上，故⑤正確，綜上所述，正確的結(jié)論是①④⑤．故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積等，用平行四邊形的面積表示出相應(yīng)的兩個(gè)三角形的面積的和是解本題的關(guān)鍵．
變式1. （2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，對(duì)角線、交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與、交于點(diǎn)、，若的面積是3，的面積是5，則四邊形的面積是（ ）
A．13 B．16 C．24 D．32
【答案】B
【分析】先根據(jù)證明，得，則，再由，得，進(jìn)而可求四邊形的面積．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，
∵，∴，同理可求，∴．故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式2.（2023·廣西北海·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E．若，，，則圖中陰影部分的面積是（　　）

A．1.5 B．3 C．6 D．4
【答案】C
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，利用三角形全等，把陰影面積轉(zhuǎn)化為的面積計(jì)算即可．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，，，
在和中，∵，∴，∴，
在和中，∵，∴，∴，
∵，，，∴是直角三角形，且，
∴，故選：C．
考點(diǎn)6、平行四邊形的對(duì)角線相關(guān)問(wèn)題
例1．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考期中）平行四邊形的一邊長(zhǎng)為10，那么它的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度可以是（　　 ）
A．8和12 B．4和16 C．20和30 D．8和6
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分和三角形兩邊之和大于第三邊逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：如圖，設(shè)，對(duì)角線相交于點(diǎn)E，
A.它的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)為8和12時(shí)，，不符合題意；
B.它的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)為4和16時(shí)，，不符合題意；
C.它的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)為20和30時(shí)，設(shè)AE=15，BE=10，，符合題意；
D.它的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)為6和8時(shí)，，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵是明確兩條較短邊的和大于最長(zhǎng)邊可構(gòu)成三角形．
變式1. （2023·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)期末）如圖，在中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC⊥BC，的面積為48，OA＝3，則BC的長(zhǎng)為（ ）
A．6 B．8 C．12 D．13
【答案】B
【分析】由平行四邊形對(duì)角線互相平分得到AC的值，由AC⊥BC，可得，代入即可求出BC邊長(zhǎng).
【詳解】解：∵在中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∴OA=OC，
∵OA=3，∴AC=2OA=6，∵AC⊥BC，∴，∴BC=8.故選：B
【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)和平行四邊形的面積，掌握平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.
變式2. （2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，相交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到，使點(diǎn)落在上，直線相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，靈活運(yùn)用這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理求出線段的長(zhǎng)度，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)證明，求出線段的長(zhǎng)度，最后利用勾股定理求的長(zhǎng)．
【詳解】解：，
，．
由旋轉(zhuǎn)可知，，，，，
又，，，
，．故選：B．
考點(diǎn)7、平行線之間的距離相關(guān)問(wèn)題
例1．（2023春·福建廈門(mén)·八年級(jí)校考期中）如圖，若直線，A，D在直線m上，B，E在直線n上，，，，的面積為6，則直線m與n之間的距離為_(kāi)_____．
【答案】4
【分析】先根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)三角形的面積公式即可得．
【詳解】解：直線，，四邊形是平行四邊形，，
，，設(shè)直線與之間的距離為，
的面積為6，，解得，故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
變式1．（2023·廣東廣州市·九年級(jí)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，BE⊥AC，AC＝24，BE＝5，AD＝8，則兩平行線AD與BC間的距離是_____．
【答案】15
【分析】利用等面積法,得2S△ABC=S四邊形ABCD,表示出面積即可.
【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴2S△ABC=S四邊形ABCD,
設(shè)平行線AD與BC間的距離為h,即AC·BE=AD·h∵AC＝24， BE＝5，AD＝8，∴h=15.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),等面積法,中等難度,利用等面積法是解題關(guān)鍵.
變式2．（2024·貴州銅仁市·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，是直線上的兩個(gè)定點(diǎn)，且直線.對(duì)于下列各值：①點(diǎn)到直線的距離；②的周長(zhǎng)；③的面積；④的大小．其中不會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線間的距離不變即可判斷①；根據(jù)三角形的周長(zhǎng)和點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)變化可判斷②④；根據(jù)同底等高的三角形的面積相等可判斷③；進(jìn)而可得答案．
【詳解】解：∵直線，∴①點(diǎn)到直線的距離不會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化；
∵PA、PB的長(zhǎng)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化，
∴②△PAB的周長(zhǎng)會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化，④∠APB的大小會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化；
∵點(diǎn)到直線的距離不變，AB的長(zhǎng)度不變，∴③△PAB的面積不會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化；
綜上，不會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化的是①③．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線間的距離和同底等高的三角形的面積相等等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握平行線間的距離的概念是關(guān)鍵．
考點(diǎn)8、平行四邊形性質(zhì)綜合
例1．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中結(jié)論正確的序號(hào)有（ ）

A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】C
【分析】根據(jù)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，可知是等邊三角形，得出，，進(jìn)而得出，根據(jù)平行四邊形得性質(zhì)可判斷①，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，即可說(shuō)明是否平分，然后說(shuō)明是的中位線，可判斷和的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)O是的中點(diǎn)，得，由點(diǎn)E是的中點(diǎn)，得，進(jìn)而得，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，即可判斷④，得出答案．
【詳解】∵，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴.
∵，，∴，∴是等邊三角形，
∴，，∴，∴．
∵四邊形是平行四邊形，∴，，
∴，，∴是平分．則①②正確；
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴是的中位線，
∴，∴．則③正確；∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴．
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∴．
由平行四邊形的性質(zhì)得，∴，即．則④不正確．
所以正確的有①②③.故選：C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，求三角形的面積等，弄清各三角形的面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
變式1. （2023·山東泰安市·九年級(jí)期末）如圖，的對(duì)角線交于點(diǎn)平分交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②平分；③；④垂直平分．其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）
A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)
【答案】C
【分析】求得∠ADB=90°，即AD⊥BD，即可得到S ABCD=AD BD；依據(jù)∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE，進(jìn)而得出DB平分∠CDE；依據(jù)Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE；依據(jù)O是BD中點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，可得BE=DE，利用三角形全等即可得OE⊥BD且OB=OD．
【詳解】解：在中，∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，∴△ADE是等邊三角形，，
∴E是AB的中點(diǎn)，∴DE=BE，，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S ABCD=AD BD，故①正確；
∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°，
∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正確；
∵Rt△AOD中，AO＞AD，∵AD=DE，∴AO＞DE，故③錯(cuò)誤；
∵O是BD的中點(diǎn)，∴DO=BO,∵E是AB的中點(diǎn)，∴BE=AE=DE
∵OE =OE ∴△DOE≌△BOE(SSS)∴∠EOD=∠EOB
∵∠EOD+∠EOB=180°∴∠BOE=90°∴OE垂直平分BD，故④正確；正確的有3個(gè)，故選擇：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的面積公式的綜合運(yùn)用，三角形全等判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)定理和等邊三角形判定定理，三角形全等判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
判定定理進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵．
模塊4：同步培優(yōu)題庫(kù)
全卷共25題 測(cè)試時(shí)間：80分鐘 試卷滿(mǎn)分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2023·廣東清遠(yuǎn)市·八年級(jí)期末）在下列性質(zhì)中，平行四邊形不一定具有的是（ ）
A．對(duì)邊相等 B．對(duì)邊平行 C．對(duì)角相等 D．對(duì)角線相等
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，平行四邊形對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等，而對(duì)角線可以相等也可以不相等．
【詳解】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可知：A、B、C均是平行四邊形的性質(zhì)，只有D選項(xiàng)不是．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)：①平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行；②平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等；③平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等；④平行四邊形的對(duì)角線互相平分．
2．（2023·湖南株洲市·七年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AC與BD相交于點(diǎn)O，若S△ABD＝10cm2，S△ACD為（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可知△ABD和△ACD如果都以AD做底邊時(shí)，此時(shí)底邊上的高相等，從而可以得到S△ACD的值．
【詳解】解∵四邊形ABCD中，AD∥BC，AC與BD相交于點(diǎn)O，S△ABD=10cm2，
∴△ABD和△ACD如果都以AD做底邊時(shí)，此時(shí)底邊上的高相等，∴S△ACD=10cm2，故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線間的距離，解題的關(guān)鍵是找到兩個(gè)三角形之間的關(guān)系，同底等高．
3．（2022·黑龍江·大慶市八年級(jí)期末）在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，則m的取值范圍是（ ）
A．24【答案】C
【分析】作出平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，然后在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可確定m的取值范圍．
【詳解】解：如圖所示：
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，，
在中，，∴，即，故選：C．
【點(diǎn)睛】題目主要考查平行四邊形的性質(zhì)及三角形三邊的關(guān)系，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．
4．（2023春·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形中，，，，則的周長(zhǎng)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分即可得出答案．
【詳解】解：∵平行四邊形中，，，∴，，
∴的周長(zhǎng)，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
5．（2023·山東青島市·八年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形中，為上一點(diǎn)，，且，，則下列選項(xiàng)正確的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠EBC＝∠BEC，利用平行四邊形的性質(zhì)解答即可．
【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABE＝∠BEC＝28°，
∵CE＝BC，∴∠EBC＝∠BEC＝28°，∴∠ABC＝56°，∴∠BAD＝∠C＝124°，∠DAE＝56°，
∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠AED，∵AE＝ED，∴∠D＝∠DAE＝56°，∴∠BAE＝124° 56°＝68°，
∴∠AED＝180° 56° 56°＝68°，∴∠AEB＝180° 68° 28°＝84°，故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠EBC＝∠BEC解答．
6．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）已知中，∠A=55°，分別以點(diǎn)B，點(diǎn)C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交于點(diǎn)M，N，作直線交于點(diǎn)E，則的度數(shù)為（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】D
【分析】由得，根據(jù)題意得是得垂直平分線，則，得，即求得的度數(shù)．
【詳解】∵解：四邊形是平行四邊形，
∴，，則，
∵以點(diǎn)B，點(diǎn)C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交于點(diǎn)M，N，作直線交于點(diǎn)E，
∴是得垂直平分線，則，所以，
那么，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平行四邊形性質(zhì)以及垂直平分線等知識(shí)內(nèi)容，熟練掌握垂直平分線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7.（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，平分，交邊于點(diǎn)，連接，若，則的長(zhǎng)為（ ）

A．6 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得，，，由平行線的性質(zhì)可得，由角平分線的定義可得，從而得到，推出，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得，，，即可得到答案．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，，，
平分，，，，
，，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
則，，
，，，
，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)F，平分交于點(diǎn)E，，則長(zhǎng)為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)平行和角平分線，推出均為等腰三角形，得到，進(jìn)而得到，即可得解．
【詳解】解：∵，∴，
∴，∵平分，平分，
∴，∴，
∴，∴；故選B．
9．（2022·浙江杭州市·八年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形中，，．作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，記的度數(shù)為，，．則以下選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．的度數(shù)為
C．若，則四邊形的面積為平行四邊形面積的一半
D．若，則平行四邊形的周長(zhǎng)為
【答案】C
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出，，，，得出，求出，得出；由平行四邊形的面積得出；若，則，求出，由直角三角形的性質(zhì)得出，，得出，，求出平行四邊形的周長(zhǎng)；求出的面積，的面積，平行四邊形的面積，得出四邊形的面積平行四邊形的面積的面積的面積平行四邊形面積的一半；即得出結(jié)論．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，，，，
于點(diǎn)，于點(diǎn)，
，；
平行四邊形的面積，，，
，；若，則，
，，，
，，平行四邊形的周長(zhǎng)；
的面積，的面積，平行四邊形的面積，
四邊形的面積平行四邊形的面積的面積的面積平行四邊形面積的一半；
綜上所述，選項(xiàng)、、不符合題意，選項(xiàng)符合題意；故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形面積等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·黑龍江·雞西市九年級(jí)期中）在平行四邊形中，，于，于，， BF相交于H，BF與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，下面給出四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】先判斷△DBE是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理可推導(dǎo)得出BD=BE，可判斷①不正確；根據(jù)∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，可得∠BHE=∠C，再由∠A=∠C，可判斷②正確；證明△BEH≌△DEC，從而可得BH=CD，再由AB=CD，可判斷③正確；利用對(duì)應(yīng)邊不等可判斷④不正確，據(jù)此即可得到選項(xiàng)．
【詳解】解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E，
∴∠DEB=90°，∠BDE=180°-∠DBE-∠DEB=180°-45°-90°=45°，
∴BE=DE，∴在Rt△DBE中，BE2+DE2=BD2，∴BD=BE，故①正確；
∵DE⊥BC，BF⊥DC，∴∠HBE+∠BHE=90°，∠C+∠FBC=90°，
∴∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，∴∠BHE=∠C，
又∵在 ABCD中，∠A=∠C，∴∠A=∠BHE，故②正確；
在△BEH和△DEC中，，∴△BEH≌△DEC（AAS），∴BH=CD，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD，∴AB=BH，故③正確；
∵BE＞BH＞BE=DE，BC＞BF＞BH=DC，∠FBC=∠EDC，
∴不能得到△BCF≌△DCE，故④錯(cuò)誤．故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上）
11．（2023春·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)校考期中）如圖，點(diǎn)O是平行四邊形對(duì)角線的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O分別與相交于點(diǎn)E、F，若平行四邊形的周長(zhǎng)為24，，那么四邊形的周長(zhǎng)為 _______．
【答案】16
【分析】先證，得，，則，再求出，然后由四邊形的周長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，∴，
∵平行四邊形的周長(zhǎng)為24，∴，
∴四邊形的周長(zhǎng)，
故答案為：16．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是．則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．

【答案】
【分析】根據(jù)“平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)”得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，且，即可得到結(jié)果．
【詳解】解：在中，，，，
，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，此題充分利用了“平行四邊形的對(duì)邊相等且平行”的性質(zhì)．
13．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)校考期中）如圖，的對(duì)角線相交于O，，則的周長(zhǎng)為_(kāi)__．
【答案】
【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得出，再由平行四邊形的對(duì)邊相等可得，繼而代入可求出的周長(zhǎng)．
【詳解】解：是平行四邊形，，，
，的周長(zhǎng)．故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的對(duì)邊相等及對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，難度一般．
14．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)期中）如圖，在，點(diǎn)F是上的一點(diǎn)，連接，平分，交于中點(diǎn)E，連接．若，，，則______．
【答案】4
【分析】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義可得，根據(jù)等腰三角形的判定可得，再利用定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，最后根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，
平分，且，，
四邊形是平行四邊形，，，
，，為的中點(diǎn)，，
在和中，，，
，（等腰三角形的三線合一），
，，則在中，，故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形和等腰三角形是解題關(guān)鍵．
15.（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，按如下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)，；②分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線交于點(diǎn)．若，則為 ．

【答案】
【分析】先利用基本作圖得，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到，從而得到．
【詳解】解：由作法得平分，，
四邊形為平行四邊形，，，
，．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作角平分線，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·山東淄博市·八年級(jí)期末）如圖，是的對(duì)角線，點(diǎn)在上，，，則的度數(shù)是______．
【答案】
【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，得到∠ABC=∠D=102°，再AD=AE=BE，得出∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠BCA，繼而得到∠ACB=2∠BAC，再根據(jù)∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC求解即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC， ∠ABC=∠D=102°，
∵AD=AE=BE，∴BC=AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠BCA，
∵∠BEC=∠EAB＋∠EBA=2∠EAB，∴∠ACB=2∠BAC，
∴∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC=180°-102°=78°，
∴3∠BAC=78°，即∠BAC=26°，故答案為：26°．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．
17．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，小宇將一張平行四邊形紙片折疊，使點(diǎn)落在長(zhǎng)邊上的點(diǎn)處，并得到折痕，小宇測(cè)得長(zhǎng)邊，則四邊形的周長(zhǎng)為 ．

【答案】
【分析】可證，從而可得，再證四邊形是平行四邊形，可得，即可求解．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，
由折疊得：，，，
，，，
，，四邊形是平行四邊形，
． 故答案：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形判定及性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在上時(shí)，的長(zhǎng)為 ．

【答案】/
【分析】過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及已知條件得出，進(jìn)而求得，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，進(jìn)而在中，勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∵在中，，，，
∴，
∴，
在中，
∵將沿折疊得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在上時(shí)，∴
又∴∴∴
設(shè)，∴在中，
∴解得：（負(fù)整數(shù)）故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
19．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)和的面積．

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)；的面積為
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，求得，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到；
（2）根據(jù)線段的和差得到；過(guò)D作交的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到的面積．
【詳解】（1）證明：在中，，∴，
∵平分，∴，∴，∴．
（2）解：∵，∴；
過(guò)D作交的延長(zhǎng)線于H，

∵，∴，∴，∴，
∴，∴的面積．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別是邊和上的點(diǎn)，連接，，且．求證：

(1)；(2)．
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）證明四邊形是平行四邊形即可；（2）用證明即可．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，
又．四邊形是平行四邊形．
平行四邊形對(duì)角相等
（2）四邊形是平行四邊形，，，
四邊形是平行四邊形，，，，
在和中，，．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和三角形全等的判定，熟練掌握平行四邊形性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
21．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，平行四邊形中，的平分線交于E，的平分線交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)詳解．(2)13
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一性質(zhì)知識(shí)，
（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和角平分線性質(zhì)可得，．即可得到，．即可求證結(jié)論．（2）過(guò)點(diǎn)A作，垂足為H，利用，可計(jì)算出的長(zhǎng)度，結(jié)合（1）即可求出長(zhǎng)度．
【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形．
∴，，．∴，．
∵是的平分線，是的平分線．
∴，．∴，．
∴，．∴．∴．∴．
（2）過(guò)點(diǎn)A作，垂足為H，如圖：
由（1）知，且，，∴， ．
∵，∴，∴，．
∴．∵．∴．
∴．∴．
22．（2022·陜西西安·二模）如圖，在四邊形中，，在上取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使，連接．(1)若，試說(shuō)明；
(2)在（1）的條件下，連接，，試判斷與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)，詳見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)，得到，，由證明全等即可．（2）由全等的性質(zhì)得到，由證明，即可得到答案．
【詳解】（1）證明：，，，，
在和中，，；
（2） 證明：連接、，

由（1）可知，
在和中．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
23．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）學(xué)行四邊形后，小虹進(jìn)行了拓展性研究．她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一條對(duì)角線的垂直平分線，那么這個(gè)平行四邊形的一組對(duì)邊截垂直平分線所得的線段被垂足平分． 她的解決思路是通過(guò)證明對(duì)應(yīng)線段所在的兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論．請(qǐng)根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：
用直尺和圓規(guī)，作的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)O．（只保留作圖痕跡）

已知：如圖，四邊形是平行四邊形，是對(duì)角線，垂直平分，垂足為點(diǎn)O．
求證：．
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴．∴ ① ．
∵垂直平分，∴ ② ．
又___________③ ．
∴．∴．
小虹再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過(guò)平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線與平行四邊形一組對(duì)邊相交形成的線段均有此特征．請(qǐng)你依照題意完成下面命題：
過(guò)平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線 ④ ．
【答案】作圖：見(jiàn)解析；；；；被平行四邊形一組對(duì)邊所截，截得的線段被對(duì)角線中點(diǎn)平分
【分析】根據(jù)線段垂直平分線的畫(huà)法作圖，再推理證明即可并得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖，即為所求；

證明：∵四邊形是平行四邊形，∴．∴ ．
∵垂直平分，∴．
又．∴．∴．
故答案為：；；；
由此得到命題：過(guò)平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線被平行四邊形一組對(duì)邊所截，截得的線段被對(duì)角線中點(diǎn)平分，
故答案為：被平行四邊形一組對(duì)邊所截，截得的線段被對(duì)角線中點(diǎn)平分．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，作線段的垂直平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及線段垂直平分線的作圖方法是解題的關(guān)鍵．
24．（2023·廣東潮州·二模）如圖，在中，為對(duì)角線．(1)求證：．(2)尺規(guī)作圖：作的垂直平分線，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(3)若的周長(zhǎng)為10，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)20
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，利用即可證明；
（2）以分別為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧交于兩點(diǎn)，過(guò)兩交點(diǎn)作直線，即為所作垂直平分線；（3）利用垂直平分線的性質(zhì)可以得到，結(jié)合，得到，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求得結(jié)論；
【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，
在和中，，∴；
（2）如圖，即為所作；
（3）∵垂直平分，∴，∵的周長(zhǎng)為10，∴，
∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，
∴的周長(zhǎng)．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定，作垂直平分線，垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確作圖是解題的關(guān)鍵．
25．（2023·廣東陽(yáng)江·三模）如圖，平行四邊形中，連接．

(1)尺規(guī)作圖：作對(duì)角線的垂直平分線，分別交，，于點(diǎn)M，O，N（不要求寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(2)連接，，求證：；(3)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)詳見(jiàn)解析(3)
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的作圖方法進(jìn)行作圖即可；（2）根據(jù)證明即可；
（3）根據(jù)，得出，根據(jù)勾股定理求出，即可求出結(jié)果．
【詳解】（1）解：如圖，即為所作；

（2）證明：∵垂直平分，∴，
∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，，
在和中，∴；
（3）解：∵，∴，∵，∴，
∵垂直平分，∴，∴，∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，尺規(guī)作垂直平分線，勾股定理三角形全等的判斷和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握三角形全等的判定方法．
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專(zhuān)題4-2 平行四邊形及其性質(zhì)
模塊1：學(xué)習(xí)目標(biāo)
1. 理解平行四邊形的概念。
2. 探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理，并能運(yùn)用它們進(jìn)行證明和計(jì)算。
3. 了解兩條平行線之間距離的意義 ，能度量?jī)蓷l平行線之間的距離。
4. 通過(guò)經(jīng)歷平行四邊形的性質(zhì)定理的探索過(guò)程，豐富學(xué)生的教學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，進(jìn)一步 培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。
5. 通過(guò)平行四邊形性質(zhì)定理的相關(guān)問(wèn)題證明和計(jì)算，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力。
模塊2：知識(shí)梳理
1）平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形。平行四邊形用“ ”表示，平行四邊形ABCD表示為“ ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”。
注：只要滿(mǎn)足對(duì)邊平行的四邊形都是平行四邊形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形
2）平行四邊形的高：一條邊上任取一點(diǎn)作另一邊的垂線，該垂線的長(zhǎng)度稱(chēng)作平行四邊形在該邊上的高。
3）平行四邊形的性質(zhì)：考慮邊、角、對(duì)角線，有時(shí)還會(huì)涉及對(duì)稱(chēng)性。如下圖，四邊形ABCD是平行四邊形：
（1）性質(zhì)1（邊）：①對(duì)邊相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC
（2）性質(zhì)2（角）：對(duì)角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
（3）性質(zhì)3（對(duì)角線）：對(duì)角線相互平分，即：AO=OC，BO=OD
（4）性質(zhì)4（對(duì)稱(chēng)性）：平行四邊形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形。
4）平行線之間的距離與平行四邊形的綜合
定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離。
性質(zhì)：平行線之間距離處處相等。
模塊3：核心考點(diǎn)與典例
考點(diǎn)1、平行四邊形的性質(zhì)
例1．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)校考期中）下列性質(zhì)中，平行四邊形不一定具備的是（ ）
A．對(duì)邊相等 B．鄰角互補(bǔ) C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角互補(bǔ)
變式1. （2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，將四根木條用釘子釘成一個(gè)矩形框架，然后向左扭動(dòng)框架，觀察所得四邊形的變化．下面判斷錯(cuò)誤的是（ ）

A．四邊形由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅?B．對(duì)角線的長(zhǎng)度減小
C．四邊形的面積不變 D．四邊形的周長(zhǎng)不變
變式2．（2021·四川宜賓·中考真題）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．平行四邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形 B．平行四邊形的鄰邊相等
C．平行四邊形的對(duì)角線互相垂直 D．平行四邊形的對(duì)角線互相平分
考點(diǎn)2、利用平行四邊形的性質(zhì)求角度
例1．．（2023春·北京東城·八年級(jí)北京一七一中校考期中）如圖，平行四邊形中，，則的度數(shù)為（ ）.
A． B． C． D．
變式1. （2023·新疆喀什·統(tǒng)考二模）如圖，在中，過(guò)點(diǎn)C作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)是_______．
變式2. （2023春·北京海淀·八年級(jí)人大附中校考期中）如圖，在中，，，作于E，則______；______．
考點(diǎn)3、利用平行四邊形的性質(zhì)求長(zhǎng)度
例1．（2023春·河北廊坊·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，用尺規(guī)作圖得到點(diǎn)和點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
變式1. （2023春·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則的周長(zhǎng)是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
變式2. （2023春·北京海淀·八年級(jí)校考期中）如圖，的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，若，，則的長(zhǎng)是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
考點(diǎn)4、利用平行四邊形的性質(zhì)求坐標(biāo)
例1．（2023春·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，位于第一象限中，已知頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
變式1. （2023春·遼寧鐵嶺·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，平行四邊形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，，，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
變式2. （2023春·西藏·八年級(jí)校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，點(diǎn)D為平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)______．
考點(diǎn)5、利用平行四邊形的性質(zhì)求面積
例1．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)P是內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接，得到，設(shè)它們的面積分別是，給出如下結(jié)論：
①；②如果，則；③若，則；
④如果P點(diǎn)在對(duì)角線上，則；⑤若，則P點(diǎn)一定在對(duì)角線上
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式1. （2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，對(duì)角線、交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與、交于點(diǎn)、，若的面積是3，的面積是5，則四邊形的面積是（ ）
A．13 B．16 C．24 D．32
變式2.（2023·廣西北海·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E．若，，，則圖中陰影部分的面積是（　　）

A．1.5 B．3 C．6 D．4
考點(diǎn)6、平行四邊形的對(duì)角線相關(guān)問(wèn)題
例1．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考期中）平行四邊形的一邊長(zhǎng)為10，那么它的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度可以是（　　 ）
A．8和12 B．4和16 C．20和30 D．8和6
變式1. （2023·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)期末）如圖，在中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC⊥BC，的面積為48，OA＝3，則BC的長(zhǎng)為（ ）
A．6 B．8 C．12 D．13
變式2. （2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，相交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到，使點(diǎn)落在上，直線相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（ ）
A．8 B． C． D．
考點(diǎn)7、平行線之間的距離相關(guān)問(wèn)題
例1．（2023春·福建廈門(mén)·八年級(jí)校考期中）如圖，若直線，A，D在直線m上，B，E在直線n上，，，，的面積為6，則直線m與n之間的距離為_(kāi)_____．
變式1．（2023·廣東廣州市·九年級(jí)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，BE⊥AC，AC＝24，BE＝5，AD＝8，則兩平行線AD與BC間的距離是_____．
變式2．（2024·貴州銅仁市·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，是直線上的兩個(gè)定點(diǎn)，且直線.對(duì)于下列各值：①點(diǎn)到直線的距離；②的周長(zhǎng)；③的面積；④的大小．其中不會(huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而變化的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
考點(diǎn)8、平行四邊形性質(zhì)綜合
例1．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中結(jié)論正確的序號(hào)有（ ）

A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④
變式1. （2023·山東泰安市·九年級(jí)期末）如圖，的對(duì)角線交于點(diǎn)平分交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②平分；③；④垂直平分．其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）
A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)
模塊4：同步培優(yōu)題庫(kù)
全卷共25題 測(cè)試時(shí)間：80分鐘 試卷滿(mǎn)分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2023·廣東清遠(yuǎn)市·八年級(jí)期末）在下列性質(zhì)中，平行四邊形不一定具有的是（ ）
A．對(duì)邊相等 B．對(duì)邊平行 C．對(duì)角相等 D．對(duì)角線相等
2．（2023·湖南株洲市·七年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AC與BD相交于點(diǎn)O，若S△ABD＝10cm2，S△ACD為（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
3．（2022·黑龍江·大慶市八年級(jí)期末）在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，則m的取值范圍是（ ）
A．244．（2023春·湖南邵陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形中，，，，則的周長(zhǎng)是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·山東青島市·八年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形中，為上一點(diǎn)，，且，，則下列選項(xiàng)正確的為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）已知中，∠A=55°，分別以點(diǎn)B，點(diǎn)C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交于點(diǎn)M，N，作直線交于點(diǎn)E，則的度數(shù)為（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
7.（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，平分，交邊于點(diǎn)，連接，若，則的長(zhǎng)為（ ）

A．6 B．4 C． D．
8．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)F，平分交于點(diǎn)E，，則長(zhǎng)為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022·浙江杭州市·八年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形中，，．作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，記的度數(shù)為，，．則以下選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．的度數(shù)為
C．若，則四邊形的面積為平行四邊形面積的一半
D．若，則平行四邊形的周長(zhǎng)為
10．（2023·黑龍江·雞西市九年級(jí)期中）在平行四邊形中，，于，于，， BF相交于H，BF與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，下面給出四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上）
11．（2023春·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)校考期中）如圖，點(diǎn)O是平行四邊形對(duì)角線的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O分別與相交于點(diǎn)E、F，若平行四邊形的周長(zhǎng)為24，，那么四邊形的周長(zhǎng)為 _______．
12．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是．則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．

13．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)校考期中）如圖，的對(duì)角線相交于O，，則的周長(zhǎng)為_(kāi)__．
14．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)期中）如圖，在，點(diǎn)F是上的一點(diǎn)，連接，平分，交于中點(diǎn)E，連接．若，，，則______．
15.（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，按如下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)，；②分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線交于點(diǎn)．若，則為 ．

16．（2023·山東淄博市·八年級(jí)期末）如圖，是的對(duì)角線，點(diǎn)在上，，，則的度數(shù)是______．
17．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，小宇將一張平行四邊形紙片折疊，使點(diǎn)落在長(zhǎng)邊上的點(diǎn)處，并得到折痕，小宇測(cè)得長(zhǎng)邊，則四邊形的周長(zhǎng)為 ．

18．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在上時(shí)，的長(zhǎng)為 ．

三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
19．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)和的面積．

20．（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別是邊和上的點(diǎn)，連接，，且．求證：(1)；(2)．

21．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，平行四邊形中，的平分線交于E，的平分線交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，，，求的長(zhǎng)．
22．（2022·陜西西安·二模）如圖，在四邊形中，，在上取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使，連接．(1)若，試說(shuō)明；
(2)在（1）的條件下，連接，，試判斷與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

23．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）學(xué)行四邊形后，小虹進(jìn)行了拓展性研究．她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一條對(duì)角線的垂直平分線，那么這個(gè)平行四邊形的一組對(duì)邊截垂直平分線所得的線段被垂足平分． 她的解決思路是通過(guò)證明對(duì)應(yīng)線段所在的兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論．請(qǐng)根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：
用直尺和圓規(guī)，作的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)O．（只保留作圖痕跡）

已知：如圖，四邊形是平行四邊形，是對(duì)角線，垂直平分，垂足為點(diǎn)O．
求證：．
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴．∴ ① ．
∵垂直平分，∴ ② ．
又___________③ ．
∴．∴．
小虹再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過(guò)平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線與平行四邊形一組對(duì)邊相交形成的線段均有此特征．請(qǐng)你依照題意完成下面命題：
過(guò)平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線 ④ ．
24．（2023·廣東潮州·二模）如圖，在中，為對(duì)角線．(1)求證：．(2)尺規(guī)作圖：作的垂直平分線，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(3)若的周長(zhǎng)為10，求的周長(zhǎng)．
25．（2023·廣東陽(yáng)江·三模）如圖，平行四邊形中，連接．

(1)尺規(guī)作圖：作對(duì)角線的垂直平分線，分別交，，于點(diǎn)M，O，N（不要求寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(2)連接，，求證：；(3)若，，求的長(zhǎng)．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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