資源簡介

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專題4-3 中心對稱
模塊1：學習目標
1.掌握中心對稱和中心對稱圖形的定義和性質，掌握他們之間的區別和聯系。
2.掌握關于原點對稱的點的坐標的特征，以及如何求對應點的坐標。
3.探索圖形之間的變化關系（軸對稱、平移、旋轉及其組合），靈活運用軸對稱、平移和旋轉的組合進行圖案設計。
模塊2：知識梳理
1.中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。
2.中心對稱與中心對稱圖形的區別與聯系：
中心對稱 中心對稱圖形
區別 針對兩個圖形 針對一個圖形
兩個圖形位置上的關系 具有某種性質的一個圖形
對稱點在兩個圖形上 對稱點在一個圖形上
對稱中心在兩個圖形之間 對稱中心在圖形上或圖形內部
聯系 如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這個圖形就是中心對稱圖形；如果把中心對稱圖形對稱的部分看成是兩個圖形，那么它們又關于中心對稱．
3.中心對稱的性質
（1）關于中心對稱的兩個圖形是全等形。
（2）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。
（3）關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等。
4.作圖步驟：（1）連接原圖形上所有的特殊點和對稱中心；（2）將以上所連線段延長找對稱點，使得特殊點與對稱中心的距離和對稱點與對稱中心的距離相等；（3）將對稱點按原圖形的形狀順次連接起來，即可得出關于中心對稱的圖形。
模塊3：核心考點與典例
考點1、中心對稱圖形的辨別
例1.（2023·浙江臺州·九年級統考期末）志愿服務，傳遞愛心，傳遞文明，下列志愿服務標志為中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可．
【詳解】解：A．不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
B．是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
C．不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
D．不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；故選B．
【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形的定義，解題的關鍵在于能夠熟練掌握中心對稱圖形的定義．
變式1. （2023·遼寧鞍山·統考一模）下面圖標中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
B、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
D、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；故選：B．
【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．
變式2. （2023·廣東佛山·八年級校考階段練習）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義判斷即可．
【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；
D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意．故選：D
【點睛】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，熟練運用定義判斷是解題關鍵．
考點2、中心對稱及性質
例1．（23-24九年級上·北京朝陽·期中）下列各圖中，四邊形是正方形，其中陰影部分兩個三角形成中心對稱的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根據成中心對稱的定義進行判斷作答即可．
【詳解】解：由題意知，中陰影部分兩個三角形成中心對稱，故選：A．
【點睛】本題考查了成中心對稱．解題的關鍵在于熟練掌握：如果把一個圖形繞某一點旋轉后能與另一個圖形重合，這兩個圖形成中心對稱．
變式1．（2024八年級下·浙江·專題練習）如圖，與關于點成中心對稱，則下列結論不成立的是（　?。?br/>A．點A與點是對稱點 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查中心對稱，解題的關鍵是理解中心對稱的性質，屬于中考?？碱}型．利用中心對稱的性質一一判斷即可．
【詳解】解：與關于點成中心對稱，
點與點是對稱點，，，，，正確，故選：D．
變式2. （23-24九年級上·河南周口·階段練習）下列圖形中，左邊的圖形與右邊的圖形可看成中心對稱的有 ．
【答案】B，D
【分析】本題考查中心對稱，根據中心對稱的定義逐個判斷即可得到答案；解題的關鍵是熟練掌握中心對稱的定義：將一個圖形沿某點旋轉得到的新圖形與原圖形重合的圖形叫中心對稱圖形．
【詳解】解：由題意可得，
A選項左邊的圖形與右邊的圖形不成中心對稱，不符合題意，
B選項左邊的圖形與右邊的圖形可看成中心對稱，符合題意，
C選項左邊的圖形與右邊的圖形不成中心對稱，不符合題意，
D選項左邊的圖形與右邊的圖形可看成中心對稱，符合題意．故答案為：B，D．
考點3、根據中心對稱的性質求面積、長度、角度
例1．（23-24七年級下·浙江·課后作業）如圖，已知陰影部分圖形關于點O成中心對稱，且，的高，則的面積為（　　）．
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】本題考查中心對稱圖形的性質，三角形的面積公式．根據中心對稱圖形的性質得出是解題關鍵．
【詳解】解：∵陰影部分圖形關于點O成中心對稱，∴,∴．
∵的高，∴．故選D．
變式1．（23-24九年級上·廣東汕頭·期末）如圖，與關于點C成中心對稱，則的長是 。
【答案】
【分析】本題考查中心對稱，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．利用全等三角形的性質以及勾股定理即可解決問題．
【詳解】解：與關于點成中心對稱，
，，，，
，，，故答案為：．
變式2．（23-24九年級上·山東青島·期末）如圖， 在平面直角坐標系中， 若與關于E點成中心對稱， 則對稱中心E點的坐標是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了中心對稱圖形的性質，勾股定理，根據中心對稱圖形對應點連線的中點即為對稱中心所在的位置，得到點E即為的中點，根據兩點中點坐標公式即可得到答案．
【詳解】解：∵中心對稱圖形對應點連線的中點即為對稱中心所在的位置，∴點E即為的中點，
∵，∴，故選A
考點4、畫兩個圖形的對稱中心
例1．（23-24九年級上·遼寧大連·期末）如圖，在平面直角坐標系中（坐標系中每個小正方形單位長度為1），畫關于點成中心對稱的圖形時，小明由于緊張對稱中心選錯，畫出的圖形是，請你找出此時的對稱中心的坐標是 ．
【答案】
【分析】本題考查了求對稱中心，分別求出點的坐標，從而可得的中點坐標是解題關鍵．
【詳解】解：由圖可知，，
∴的中點坐標為，即為，的中點坐標為，即為，
的中點坐標為，即為，∴的中點坐標均為，
∴與的對稱中心是，故答案為：．
變式1. （23-24九年級下·河北邢臺·階段練習）如圖，與成中心對稱則對稱中心是（　　）
A．點 B．點 C．點 D．點
【答案】A
【分析】此題主要考查了中心對稱．熟練掌握中心對稱的性質，是解決問題的關鍵．中心對稱的性質：中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分．
連接（或或），根據中心對稱的性質逐一判斷即得．
【詳解】解：連接，發現經過點M，且被點M平分，故對稱中心為M點．故選：A．
變式2.（23-24八年級上·河北石家莊·期末）如圖，若線段與線段關于某個點對稱，則這個點是（ ）．

A．點G B．點H C．點I D．點J
【答案】C
【分析】本題主要考查中心對稱的圖形的對稱中心，掌握兩組對應點連線的交點即是對稱中心是解題的關鍵．根據對稱中心的確定方法即可解答．
【詳解】解：如圖，連接，它們的相交點，即為對稱中心．

則線段與線段的對稱中心為點I．故選：C．
考點5、畫已知圖形關于某點對稱的圖形
例1．（2024·安徽合肥·一模）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A、B、C的坐標分別是．(1)畫出關于y軸對稱的圖形．(2)以點O為對稱中心，畫出的中心對稱圖形．
【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】本題考查了軸對稱變換的性質，中心對稱的性質，熟練掌握軸對稱變換的性質，中心對稱的性質是解題的關鍵．（1）根據軸對稱變換的性質找出對應點即可求解；（2）根據中心對稱的性質找出對應點即可求解．
【詳解】（1）如圖所示，即為所求；
（2）如圖所示，即為所求．
變式1.（23-24七年級上·上海黃浦·階段練習）在圖中網格上按要求畫出圖形，并回答問題：
(1)如果將三角形平移，使得點A平移到圖中點D位置，點B、點C的對應點分別為點E、點F，請畫出三角形；(2)畫出三角形關于點D成中心對稱的三角形；(3)三角形與三角形_____（填“是”或“否”）關于某個點成中心對稱？如果是，請在圖中畫出這個對稱中心，并記作點O．
【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)是，畫圖見詳解
【分析】本題主要考查作圖-旋轉變換和平移變換，解題的關鍵是熟練掌握旋轉變換和平移變換的定義和性質，并據此得出變換后的對應點．（1）由題意得出，需將點與點先向右平移3個單位，再向下平移1個單位，據此可得；（2）分別作出三頂點分別關于點的對稱點，再首尾順次連接可得；（3）連接兩組對應點即可得．
【詳解】（1）如圖所示，即為所求．（2）如圖所示，即為所求；
（3）如圖所示，與是關于點成中心對稱，故答案為：是．
變式2.（23-24九年級上·山東臨沂·期中）如圖，在平面直角坐標系中，的位置如圖所示（每個小方格都是邊長為個單位長度的正方形），和關于點成中心對稱．

(1)畫出對稱中心，并寫出點的坐標；(2)畫出繞點逆時針旋轉后的并標明對應字母；(3)畫出與關于點成中心對稱的并標明對應字母．
【答案】(1)圖形見解析；點(2)圖形見解析(3)圖形見解析
【分析】本題主要考查了中心對稱、旋轉作圖，解題的關鍵是熟練掌握中心對稱和旋轉的性質．
（1）連接、，交點即為點；（2）分別作出點、、繞點逆時針旋轉后的對應點，然后把對應點順次連接即可得到；（3）分別作出點、、關于點成中心對稱的對應點，然后把對應點順次連接即可得到．
【詳解】（1）D點坐標

（2）如圖，畫出；（3）如圖，畫出．
考點6、中心對稱圖形規律問題
例1．（23-24八年級下·江蘇宿遷·階段練習）如圖，平面直角坐標系中，是邊長為2的等邊三角形，作與關于點成中心對稱，再作與關于點成中心對稱，如此作下去，則（n是正整數）的頂點的坐標是（ ， ）
【答案】 /
【分析】作軸于點C，先根據1是邊長為2的等邊三角形，可得的坐標為，B1的坐標為；分別求出點、、的坐標各是多少，最后總結出An的坐標的規律，求出的坐標是多少即可．
【詳解】解：如圖，作軸于點C，
∵是邊長為2的等邊三角形，∴，，
∴，∴的坐標為，的坐標為，
∵與關于點成中心對稱，∴點與點關于點成中心對稱，
∵，，∴點的坐標是，
∵與關于點成中心對稱，∴點與點關于點成中心對稱，
∵，，∴點的坐標是，
∵與關于點成中心對稱，∴點與點關于點成中心對稱，
∵，，∴點的坐標是，…，
∵，，，，…，
∴的橫坐標是，的橫坐標是，
∵當n為奇數時，的縱坐標是，當n為偶數時，的縱坐標是，
∴頂點的縱坐標是，∴頂點的坐標是．故答案為：，．
【點睛】此題考查了坐標與圖形變化-中心對稱，等邊三角形的性質，含30度角的等腰三角形的性質，以及勾股定理等知識，解答此題的關鍵是分別判斷出的橫坐標、縱坐標各是多少．
變式1.（23-24九年級上·四川廣元·期末）在如圖所示的平面直角坐標系中，是邊長為2的等邊三角形，作與關于點成中心對稱，再作與關于點成中心對稱，…，如此作下去，則的頂點的坐標是 ．
【答案】
【分析】此題考查了中心對稱的性質，坐標與圖形性質，等邊三角形的性質等知識；根據是邊長為2的等邊三角形，可得，同理可求得，，從而總結出點的橫坐標是 ，當n為奇數時，點的縱坐標是，當n為偶數時，點的縱坐標是，即可求解．
【詳解】解：∵是邊長為2的等邊三角形，∴，，
∵與關于點成中心對稱，∴，即，
∵與關于點成中心對稱，∴，即，
以此類推，點的橫坐標是 ，當n為奇數時，點的縱坐標是，當n為偶數時，點的縱坐標是，∴
∴的頂點的坐標是，故答案為：．
變式2. （22-23八年級上·河北保定·期末）已知點，點，點是線段的中點，則，．在平面直角坐標系中有三個點，，，點關于點的對稱點（即，，三點共線，且），關于點的對稱點，關于點的對稱點，…按此規律繼續以，，三點為對稱點重復前面的操作．依次得到點，，…，則點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用定義依次求出各點，再總結規律即可求解．
【詳解】解：由題意，，，，，，，， ……
可得每6次為一個循環，∵，∴點的坐標是，故選：A．
【點睛】本題考查了數式規律，解題關鍵是理解題意并能發現規律．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·河北廊坊·九年級統考期末）如圖，該圖形在繞點按下列角度旋轉后，不能與其自身重合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將該圖形平分成五部分，每部分被分成的圓心角是，因為圓具有旋轉不變性，因而旋轉的整數倍，就可以與自身重合，據此即可得到答案．
【詳解】解：將該圖形平分成五部分，每部分被分成的圓心角是，旋轉的整數倍，就可以與自身重合，因而A、C、D選項都符合題意，
旋轉角為時，旋轉后不能與自身重合，B選項不符合題意，故選B．
【點睛】本題考查了旋轉對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角．
2．（2023·安徽蚌埠·九年級校考期末）剪紙藝術是最古老的中國民間藝術之一，先后入選國家級非物質文化遺產名錄和人類非物質文化遺產代表作名錄．魚與“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪紙藝術中很受喜愛的主題．以下關于魚的剪紙中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
【詳解】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
B．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
D．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意．故選：D．
【點睛】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．
3. （23-24九年級上·云南曲靖·階段練習）下列各組圖形中，不成中心對稱的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題重點考查兩個圖形成中心對稱的定義，欲分析兩個圖形是否成中心對稱，主要把題目中一個圖形繞一個點旋轉，觀察是否能和另一個圖形重合即可，熟練掌握其定義是解決此題的關鍵．
【詳解】根據中心對稱的概A、B、C都是中心對稱，不符合題意；
D是軸對稱，不成中心對稱，符合題意．故選：D．
4．（2023·山東青島·三模）兩個完全相同的三角形紙片，在平面直角坐標系中的擺放位置如圖所示，點P與點是一對對應點，若點P的坐標為，則點的坐標為(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了坐標與圖形性質；在圖形中找出一對對應點的坐標，由兩點坐標找出兩點間的關系，由此即可得出點的坐標．
【詳解】解：觀察圖形可知：點與點為一對對應點，，．
點與點是一對對應點，點的坐標為，
點的坐標為，即．故選：A．
5．（23-24九年級·海南省直轄縣級單位·期末）下列描述中心對稱的特征的語句中，其中正確的是（ ）
A．成中心對稱的兩個圖形中，連接對稱點的線段不一定經過對稱中心
B．成中心對稱的兩個圖形中，對稱中心不一定平分連接對稱點的線段
C．成中心對稱的兩個圖形中，對稱點的連線一定經過對稱中心，但不一定被對稱中心平分
D．成中心對稱的兩個圖形中，對稱點的連線一定經過對稱中心，且被對稱中心平分
【答案】D
【分析】本題考查中心對稱的性質．根據中心對稱的性質，①關于中心對稱的兩個圖形能夠完全重合；②關于中心對稱的兩個圖形，對應點的連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分，判斷各選項即可得出答案．
【詳解】解：A、成中心對稱的兩個圖形中，連接對稱點的線段一定經過對稱中心，故本選項錯誤；
B、成中心對稱的兩個圖形中，對稱中心一定平分連接對稱點的線段，故本選項錯誤；
C、成中心對稱的兩個圖形中，對稱點的連線一定經過對稱中心，且被對稱中心平分，故本選項錯誤；
D、成中心對稱的兩個圖形中，對稱點的連線一定經過對稱中心，且被對稱中心平分，故本選項正確．
故選：D．
6．（23-24八年級上·廣東深圳·期末）八年級某數學興趣小組在一次綜合實踐活動中，為研究中心對稱圖形的性質，對于已知以及外的一點，分別作，，關于的對稱點，，，得到．如圖，則下列結論不成立的是（ ）

A．點與點是對稱點 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了中心對稱的性質，根據中心對稱的性質判斷即可，掌握中心對稱的性質是求解本題的關鍵．
【詳解】解：∵和關于點成中心對稱，
∴點與點是對稱點，，故成立；
∵與是對頂角，∴，故成立；
∵的對應角是，∴，故不成立；故選：．
7．（23-24九年級上·廣東汕頭·期中）如圖，與關于點O成中心對稱，則下列結論不成立的是（　　）
A． B． C． D．點B與點E是對應點
【答案】C
【分析】本題主要考查了中心對稱，解題的關鍵是熟練掌握中心對稱的定義以及性質．
根據中心對稱的兩個圖形，對稱點的連線經過對稱中心且被對稱中心平分，對應線段平行（或在同一條直線上）且相等，逐一判斷．
【詳解】A．，
∵與關于點O成中心對稱，∴，∴此選項正確，不符合題意；
B．，∵，∴，∴此選項正確，不符合題意；
C．，∵，∴此選項不正確，符合題意；
D．點B與點E是對應點，∵點B與點E是對應點，∴此選項正確，不符合題意．故選：C．
8．（23-24九年級上·河北邯鄲·期末）如圖，在正方形網格中，，，，，，，，，，是網格線交點，若與中心對稱，則其對稱中心是（ ）
A．點 B．點 C．點 D．點
【答案】A
【分析】本題考查了中心對稱，根據A、D兩點到M的距離相等且三點在一條直線上，B、E兩點到M都是的網格且三點在一條直線上，C、F兩點到M都是的網格且三點在一條直線上，可得對稱中心是點M．
【詳解】解：如圖，
相交于點M，∴點M是與對稱中心，故選：A．
9.（23-24八年級上·河北石家莊·期末）如圖是一個中心對稱圖形，A為對稱中心，若，則的長為（　?。?br/>A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了直角三角形的性質：的銳所對的直角邊等于斜邊的一半，以及中心對稱圖形的性質．在直角中根據30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求得，而，據此即可求解．
【詳解】解：∵在直角中，1，故選：B．
10．（23-24九年級下·江西贛州·階段練習）如圖，在的方格中，有3個被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中選擇1個涂黑，使涂黑的小正方形組成的新圖形是中心對稱圖形，則可選擇的小正方形有（ ）
　
A．1個 B．2個 C．3個 D．5個
【答案】B
【分析】本題考查了中心對稱圖形的概念．根據中心對稱圖形的概念，如果把一個圖形繞某一點旋轉180度后能與自身重合，這個圖形是中心對稱圖形，據此求解即可．
【詳解】解：選擇一個正方形涂黑，使得4個涂黑的正方形組成軸對稱圖形，如圖，
共有2個，故選：B．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2024·河南安陽·模擬預測）在平面直角坐標系中，若點與點于原點對稱，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了關于原點對稱的點的坐標特點，代數式求值，關于原點對稱的點的橫縱坐標均互為相反數，據此作答即可．
【詳解】∵點與點于原點對稱，∴，∴，故答案為：．
12．（2023春·江蘇·八年級?？贾軠y）在線段、平行四邊形、長方形、圓、等邊三角形這五個圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是______．
【答案】等邊三角形
【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【詳解】解：平行四邊形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，
等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，
線段、長方形、圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故答案為：等邊三角形．
【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．
13．（2023·河南商丘·九年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，經過中心對稱變換得到，那么對稱中心的坐標為_________．
【答案】
【分析】對應點連線的中點即時對稱中心的坐標，以此來求解即可．
【詳解】解：的中點坐標是，故答案是：．
【點睛】本題考查了中心對稱變換，掌握根據對應點找出對稱中心的方法是求解的關鍵．
14．（23-24九年級上·重慶巴南·階段練習）若點與點關于原點成中心對稱，則 ．
【答案】2
【分析】本題主要考查了關于原點對稱的點的坐標特點，代數式求值，根據關于原點對稱的點橫縱坐標都互為相反數得到，據此求出，據此代值計算即可．
【詳解】解：∵點與點關于原點成中心對稱，
∴，∴，∴，故答案為：2．
15．（23-24九年級上·河南商丘·期中）如圖，△ABC和△DEC關于點C成中心對稱，若，，，則的長是 ．
【答案】
【分析】本題考查了中心對稱的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是對中心對稱性質的應用．根據中心對稱的性質及，由勾股定理可求得的長．
【詳解】∵與關于點C成中心對稱，∴，
∴，，∴
由勾股定理得：故答案為：．
16．（23-24八年級下·江蘇宿遷·階段練習）在如圖所示的正方形方格中，選取一個白色的小正方形涂灰，使圖中陰影部分成為一個中心對稱圖形，這樣的涂法有 種．
【答案】1
【分析】本題考查了中心對稱圖形即將圖形繞某點旋轉180°后與原圖形完全重合，正確理解定義是解題的關鍵．根據中心對稱圖形的定義判斷即可．
【詳解】解：根據中心對稱圖形的定義，可得如下涂法，且只有一種，故答案為：1．
17．（22-23九年級上·河北邯鄲·期中）在如圖所示的平面直角坐標系中，是邊長為2的等邊三角形，作與關于點成中心對稱，再作與關于點成中心對稱，點在第 個三角形上，（n是正整數）的頂點的坐標是 ．
【答案】 7
【分析】由題意可以求出點，，，的坐標，找出其中的規律，即可得到第一個空的答案；根據第一個空的規律，可求得第二個空的答案．
【詳解】解：由題意可得，點的坐標為，，，，由此可得，點是的坐標，即該點在第7個三角形上；
法一：由圖可得點，，所以點，則點，由圖可推得點；
法二：由點，，，的坐標，可得點，，
所以點．故答案為7，
【點睛】本題考查圖形類的規律探索題，根據圖形找到規律是解題的關鍵．
18．（2023·山東煙臺·八年級統考期末）用四塊大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖所示的實線圖案，每塊大正方形地磚面積為9，小正方形地磚面積為2，依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形ABCD．則正方形ABCD的面積為_____________．
【答案】11
【分析】連接DK，DN，證明S四邊形DMNT=S△DKN=大正方形的面積，即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接DK，DN，∵∠KDN=∠MDT=90°，∴∠KDM=∠NDT，
∵DK=DN，∠DKM=∠DNT=45°，∴△DKM≌△DNT（ASA），
∴S△DKM=S△DNT，∴S四邊形DMNT=S△DKN=大正方形的面積，
∴正方形ABCD的面積=4××9+2=11．故答案為：11．
【點睛】本題考查中心對稱，全等三角形的判定和性質，圖形的拼剪等知識，解題的關鍵連接DK，DN，構造全等三角形解決問題．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·吉林·模擬預測）圖①、圖②均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點∶的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖．
(1)在圖①中畫使與關于某條直線對稱；
(2)在圖②中畫，使與關于某點成中心對稱．
【答案】(1)見詳解(2)見詳解
【分析】本題考查作軸對稱、中心對稱及平行圖，解題的關鍵是知道平移的性質與規律及軸對稱的性質．（1）根據軸對稱的性質兩個三角形都有邊可得對稱軸是邊的垂直平分線找到G，即可得到答案；（2）根據平行四邊形是中心對稱圖形作平行四邊形即可可得答案．
【詳解】（1）解：由軸對稱的性質兩個三角形都有邊，
所以對稱軸是邊的垂直平分線找到G，連接，如圖所示，即為所求，
；
（2）平行四邊形是中心對稱圖形作平行四邊形如圖所示，即為所求
20．（23-24八年級下·陜西西安·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知三個頂點的坐標分別為、、．
(1)畫出關于原點成中心對稱的圖形，點A，B，C的對應點分別為點，，；
(2)在（1）的條件下，畫出把，向上平移4個單位長度后得到的圖形，點，，的對應點分別為點，，．
【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】本題主要考查作圖-旋轉變換與平移變換，掌握旋轉變換和平移變換的定義與性質并據此得到其變換后對應點是解題的關鍵．（1）根據中心對稱圖形的的性質得到其對應點，然后順次連接即可；（2）將三個頂點分別向上平移4個單位得到其對應點，然后順次連接即可．
【詳解】（1）解：如圖：即為所求．
；
（2）解：如圖：即為所求．
21．（23-24八年級上·山東東營·階段練習）如圖，三個頂點的坐標分別為，，.
(1)請畫出將向左平移4個單位長度后得到的圖形；
(2)請畫出關于原點O成中心對稱的圖形；
(3)在x軸上找一點P，使的值最小，請直接寫出點P的坐標．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)作圖見解析，
【分析】（1）根據網格結構找出點A、B、C平移后的對應點的位置，然后順次連接即可；
（2）找出點A、B、C關于原點O成中心對稱的點的位置，然后順次連接即可；
（3）作A點關于x軸的對稱點，連接交x軸于點P，如圖，則，根據兩點之間線段最短可判斷此時的值最小，再利用待定系數法求出直線的解析式為，然后利用x軸上點的坐標特征確定P點坐標．
【詳解】（1）解：如圖，為所作；（2）解：如圖，為所作；
（3）解：作A點關于x軸的對稱點，連接交x軸于點P，如圖，則，
，，∴此時的值最小，
設直線的解析式為，把分別代入得，解得，
∴直線的解析式為，當時，，解得，∴P點坐標為．
【點睛】本題考查了利用平移變換作圖、作關于原點O成中心對稱的圖形、軸對稱最短路線問題，一次函數的解析式及一次函數與坐標軸交點問題，解題的關鍵是掌握平移和中心對稱的性質．
22．（23-24八年級下·江蘇徐州·階段練習）利用圖中的網格線（最小的正方形的邊長為1）畫圖；
(1)作出關于軸對稱的；(2)作出關于原點對稱的中心對稱圖形．
【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】本題考查了作圖中心對稱、作圖軸對稱變換，解決本題的關鍵是掌握中心對稱和軸對稱的性質．（1）根據軸對稱的性質即可作出關于軸對稱的；
（2）根據中心對稱的性質即可作出關于原點對稱的中心對稱圖形．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；
；
（2）解：如圖，即為所求．
23．（23-24九年級上·河南南陽·期末）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，（每個方格的邊長均為1個單位長度）

(1)將平移，使點A移動到點，請畫出；
(2)作出關于O點成中心對稱的，并直接寫出，，的坐標；
(3)與是否成中心對稱？若是，請寫出對稱中心的坐標；若不是，請說明理由．
【答案】(1)見解析(2)畫圖見解析，，，
(3)與成中心對稱，對稱中心的坐標為
【分析】本題考查作圖平移變換，中心對稱變換等知識，解題的關鍵是掌握平移變換的性質，中心對稱變換的性質．（1）利用平移變換的性質分別作出，的對應點，即可；（2）利用中心對稱變換的性質分別作出，，的對應點，，即可；（3）根據中心對稱的性質求解即可．
【詳解】（1）如圖，△為所作；（2）如圖，△為所作．

∴，，；
（3）連接，，，
根據與的頂點坐標的特點可得，，，交于點，
∵點和點關于點，點和點關于點，點和點關于點，
∴與成中心對稱，對稱中心的坐標為．
24．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，是3個相同大小的6×6的方格，圖1中放置一副七巧板組成的正方形圖案，其頂點均在格點上，稱之為格點圖形．利用七巧板中的3種圖形，按下列要求作出符合條件的格點圖形．(1)在圖2中，拼成一個軸對稱但不是中心對稱的圖形．(2)在圖3中，拼成一個中心對稱但不是軸對稱的圖形．
【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】本題考查圖案設計-軸對稱圖形和中心對稱圖形，熟知軸對稱圖形和中心對稱圖形的性質是關鍵．（1）根據軸對稱圖形的性質拼圖即可；（2）根據中心對稱圖形的性質拼圖即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：
（2）解：如圖所示：
25．（2022九年級上·浙江·專題練習）閱讀理解：我們知道，任意兩點關于它們所連線段的中點成中心對稱，在平面直角坐標系中，任意兩點，、，的對稱中心的坐標為，．
觀察應用：
(1)如圖，在平面直角坐標系中，若點、的對稱中心是點，則點的坐標為　?。?br/>(2)另取兩點、．有一電子青蛙從點處開始依次關于點、、作循環對稱跳動，即第一次跳到點關于點的對稱點處，接著跳到點關于點的對稱點處，第三次再跳到點關于點的對稱點處，第四次再跳到點關于點的對稱點處，則點、的坐標分別為　　、　　．
拓展延伸：(3)求出點的坐標，并直接寫出在軸上與點，點構成等腰三角形的點的坐標．
【答案】(1)點的坐標為(2)、的坐標分別為，；
(3)；或或或．
【分析】（1）直接利用題目所給公式即可求出點A的坐標；
（2）根據題目所給公式求出，，的坐標，依此類推即可求出的坐標；
（3）根據所求出的坐標可得的坐標和的坐標相同，的坐標和的坐標相同，即每6次為一個周期進行循環，利用這個規律即可求出點的坐標；然后分情況討論，根據等腰三角形的性質求出在軸上與點，點構成等腰三角形的點的坐標．
【詳解】（1）解：∵，，∴點的坐標為；
（2）解：∵，，∴的橫坐標為，縱坐標為，即，
∵，∴的橫坐標為，縱坐標為，即，
∵，∴的橫坐標為，縱坐標為，即，
同理可得：，，，，
即點、的坐標分別為，，故答案為：，；
（3）解：，，，，，，，；的坐標和的坐標相同，的坐標和的坐標相同，即每6次為一個周期進行循環，
，的坐標與的坐標相同，即；∴，
設軸上與點、點構成等腰三角形的點為點D，
當時，點D坐標為或；
當時，∵，∴，點D坐標為；
當時，點D在的垂直平分線上，∴點D與原點重合，點D坐標為；
綜上，在軸上與點、點構成等腰三角形的點的坐標為或或或．
【點睛】本題考查了坐標與圖形，中心對稱的性質，規律型—點的坐標，等腰三角形的判定和性質，勾股定理等知識，此題是一個閱讀材料的題目，讀懂題目，靈活運用題目所給公式是解題的關鍵．
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專題4-3 中心對稱
模塊1：學習目標
1.掌握中心對稱和中心對稱圖形的定義和性質，掌握他們之間的區別和聯系。
2.掌握關于原點對稱的點的坐標的特征，以及如何求對應點的坐標。
3.探索圖形之間的變化關系（軸對稱、平移、旋轉及其組合），靈活運用軸對稱、平移和旋轉的組合進行圖案設計。
模塊2：知識梳理
1.中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。
2.中心對稱與中心對稱圖形的區別與聯系：
中心對稱 中心對稱圖形
區別 針對兩個圖形 針對一個圖形
兩個圖形位置上的關系 具有某種性質的一個圖形
對稱點在兩個圖形上 對稱點在一個圖形上
對稱中心在兩個圖形之間 對稱中心在圖形上或圖形內部
聯系 如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這個圖形就是中心對稱圖形；如果把中心對稱圖形對稱的部分看成是兩個圖形，那么它們又關于中心對稱．
3.中心對稱的性質
（1）關于中心對稱的兩個圖形是全等形。
（2）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。
（3）關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等。
4.作圖步驟：（1）連接原圖形上所有的特殊點和對稱中心；（2）將以上所連線段延長找對稱點，使得特殊點與對稱中心的距離和對稱點與對稱中心的距離相等；（3）將對稱點按原圖形的形狀順次連接起來，即可得出關于中心對稱的圖形。
模塊3：核心考點與典例
考點1、中心對稱圖形的辨別
例1.（2023·浙江臺州·九年級統考期末）志愿服務，傳遞愛心，傳遞文明，下列志愿服務標志為中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
變式1. （2023·遼寧鞍山·統考一模）下面圖標中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
變式2. （2023·廣東佛山·八年級校考階段練習）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。?br/>A． B． C． D．
考點2、中心對稱及性質
例1．（23-24九年級上·北京朝陽·期中）下列各圖中，四邊形是正方形，其中陰影部分兩個三角形成中心對稱的是（ ）
A． B．C． D．
變式1．（2024八年級下·浙江·專題練習）如圖，與關于點成中心對稱，則下列結論不成立的是（　　）
A．點A與點是對稱點 B． C． D．
變式2. （23-24九年級上·河南周口·階段練習）下列圖形中，左邊的圖形與右邊的圖形可看成中心對稱的有 ．
考點3、根據中心對稱的性質求面積、長度、角度
例1．（23-24七年級下·浙江·課后作業）如圖，已知陰影部分圖形關于點O成中心對稱，且，的高，則的面積為（　　）．
A．2 B．3 C．4 D．6
變式1．（23-24九年級上·廣東汕頭·期末）如圖，與關于點C成中心對稱，則的長是 。
變式2．（23-24九年級上·山東青島·期末）如圖， 在平面直角坐標系中， 若與關于E點成中心對稱， 則對稱中心E點的坐標是（ ）

A． B． C． D．
考點4、畫兩個圖形的對稱中心
例1．（23-24九年級上·遼寧大連·期末）如圖，在平面直角坐標系中（坐標系中每個小正方形單位長度為1），畫關于點成中心對稱的圖形時，小明由于緊張對稱中心選錯，畫出的圖形是，請你找出此時的對稱中心的坐標是 ．
變式1. （23-24九年級下·河北邢臺·階段練習）如圖，與成中心對稱則對稱中心是（　?。?br/>A．點 B．點 C．點 D．點
變式2.（23-24八年級上·河北石家莊·期末）如圖，若線段與線段關于某個點對稱，則這個點是（ ）．

A．點G B．點H C．點I D．點J
考點5、畫已知圖形關于某點對稱的圖形
例1．（2024·安徽合肥·一模）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A、B、C的坐標分別是．(1)畫出關于y軸對稱的圖形．(2)以點O為對稱中心，畫出的中心對稱圖形．
變式1.（23-24七年級上·上海黃浦·階段練習）在圖中網格上按要求畫出圖形，并回答問題：
(1)如果將三角形平移，使得點A平移到圖中點D位置，點B、點C的對應點分別為點E、點F，請畫出三角形；(2)畫出三角形關于點D成中心對稱的三角形；(3)三角形與三角形_____（填“是”或“否”）關于某個點成中心對稱？如果是，請在圖中畫出這個對稱中心，并記作點O．
變式2.（23-24九年級上·山東臨沂·期中）如圖，在平面直角坐標系中，的位置如圖所示（每個小方格都是邊長為個單位長度的正方形），和關于點成中心對稱．

(1)畫出對稱中心，并寫出點的坐標；(2)畫出繞點逆時針旋轉后的并標明對應字母；(3)畫出與關于點成中心對稱的并標明對應字母．
考點6、中心對稱圖形規律問題
例1．（23-24八年級下·江蘇宿遷·階段練習）如圖，平面直角坐標系中，是邊長為2的等邊三角形，作與關于點成中心對稱，再作與關于點成中心對稱，如此作下去，則（n是正整數）的頂點的坐標是（ ， ）
變式1.（23-24九年級上·四川廣元·期末）在如圖所示的平面直角坐標系中，是邊長為2的等邊三角形，作與關于點成中心對稱，再作與關于點成中心對稱，…，如此作下去，則的頂點的坐標是 ．
變式2. （22-23八年級上·河北保定·期末）已知點，點，點是線段的中點，則，．在平面直角坐標系中有三個點，，，點關于點的對稱點（即，，三點共線，且），關于點的對稱點，關于點的對稱點，…按此規律繼續以，，三點為對稱點重復前面的操作．依次得到點，，…，則點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023·河北廊坊·九年級統考期末）如圖，該圖形在繞點按下列角度旋轉后，不能與其自身重合的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·安徽蚌埠·九年級?？计谀┘艏埶囆g是最古老的中國民間藝術之一，先后入選國家級非物質文化遺產名錄和人類非物質文化遺產代表作名錄．魚與“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪紙藝術中很受喜愛的主題．以下關于魚的剪紙中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
3. （23-24九年級上·云南曲靖·階段練習）下列各組圖形中，不成中心對稱的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山東青島·三模）兩個完全相同的三角形紙片，在平面直角坐標系中的擺放位置如圖所示，點P與點是一對對應點，若點P的坐標為，則點的坐標為(　　)
A． B． C． D．
5．（23-24九年級·海南省直轄縣級單位·期末）下列描述中心對稱的特征的語句中，其中正確的是（ ）
A．成中心對稱的兩個圖形中，連接對稱點的線段不一定經過對稱中心
B．成中心對稱的兩個圖形中，對稱中心不一定平分連接對稱點的線段
C．成中心對稱的兩個圖形中，對稱點的連線一定經過對稱中心，但不一定被對稱中心平分
D．成中心對稱的兩個圖形中，對稱點的連線一定經過對稱中心，且被對稱中心平分
6．（23-24八年級上·廣東深圳·期末）八年級某數學興趣小組在一次綜合實踐活動中，為研究中心對稱圖形的性質，對于已知以及外的一點，分別作，，關于的對稱點，，，得到．如圖，則下列結論不成立的是（ ）

A．點與點是對稱點 B． C． D．
7．（23-24九年級上·廣東汕頭·期中）如圖，與關于點O成中心對稱，則下列結論不成立的是（　?。?br/>A． B． C． D．點B與點E是對應點
8．（23-24九年級上·河北邯鄲·期末）如圖，在正方形網格中，，，，，，，，，，是網格線交點，若與中心對稱，則其對稱中心是（ ）
A．點 B．點 C．點 D．點
9.（23-24八年級上·河北石家莊·期末）如圖是一個中心對稱圖形，A為對稱中心，若，則的長為（　?。?br/>A．2 B．4 C． D．
10．（23-24九年級下·江西贛州·階段練習）如圖，在的方格中，有3個被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中選擇1個涂黑，使涂黑的小正方形組成的新圖形是中心對稱圖形，則可選擇的小正方形有（ ）
　
A．1個 B．2個 C．3個 D．5個
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2024·河南安陽·模擬預測）在平面直角坐標系中，若點與點于原點對稱，則 ．
12．（2023春·江蘇·八年級?？贾軠y）在線段、平行四邊形、長方形、圓、等邊三角形這五個圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是______．
13．（2023·河南商丘·九年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，經過中心對稱變換得到，那么對稱中心的坐標為_________．
14．（23-24九年級上·重慶巴南·階段練習）若點與點關于原點成中心對稱，則 ．
15．（23-24九年級上·河南商丘·期中）如圖，△ABC和△DEC關于點C成中心對稱，若，，，則的長是 ．
16．（23-24八年級下·江蘇宿遷·階段練習）在如圖所示的正方形方格中，選取一個白色的小正方形涂灰，使圖中陰影部分成為一個中心對稱圖形，這樣的涂法有 種．
17．（22-23九年級上·河北邯鄲·期中）在如圖所示的平面直角坐標系中，是邊長為2的等邊三角形，作與關于點成中心對稱，再作與關于點成中心對稱，點在第 個三角形上，（n是正整數）的頂點的坐標是 ．
18．（2023·山東煙臺·八年級統考期末）用四塊大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖所示的實線圖案，每塊大正方形地磚面積為9，小正方形地磚面積為2，依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形ABCD．則正方形ABCD的面積為_____________．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·吉林·模擬預測）圖①、圖②均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點∶的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖．
(1)在圖①中畫使與關于某條直線對稱；
(2)在圖②中畫，使與關于某點成中心對稱．
20．（23-24八年級下·陜西西安·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知三個頂點的坐標分別為、、．
(1)畫出關于原點成中心對稱的圖形，點A，B，C的對應點分別為點，，；
(2)在（1）的條件下，畫出把，向上平移4個單位長度后得到的圖形，點，，的對應點分別為點，，．
21．（23-24八年級上·山東東營·階段練習）如圖，三個頂點的坐標分別為，，.
(1)請畫出將向左平移4個單位長度后得到的圖形；
(2)請畫出關于原點O成中心對稱的圖形；
(3)在x軸上找一點P，使的值最小，請直接寫出點P的坐標．
22．（23-24八年級下·江蘇徐州·階段練習）利用圖中的網格線（最小的正方形的邊長為1）畫圖；
(1)作出關于軸對稱的；(2)作出關于原點對稱的中心對稱圖形．
23．（23-24九年級上·河南南陽·期末）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，（每個方格的邊長均為1個單位長度）

(1)將平移，使點A移動到點，請畫出；
(2)作出關于O點成中心對稱的，并直接寫出，，的坐標；
(3)與是否成中心對稱？若是，請寫出對稱中心的坐標；若不是，請說明理由．
24．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，是3個相同大小的6×6的方格，圖1中放置一副七巧板組成的正方形圖案，其頂點均在格點上，稱之為格點圖形．利用七巧板中的3種圖形，按下列要求作出符合條件的格點圖形．(1)在圖2中，拼成一個軸對稱但不是中心對稱的圖形．(2)在圖3中，拼成一個中心對稱但不是軸對稱的圖形．
25．（2022九年級上·浙江·專題練習）閱讀理解：我們知道，任意兩點關于它們所連線段的中點成中心對稱，在平面直角坐標系中，任意兩點，、，的對稱中心的坐標為，．
觀察應用：
(1)如圖，在平面直角坐標系中，若點、的對稱中心是點，則點的坐標為　?。?br/>(2)另取兩點、．有一電子青蛙從點處開始依次關于點、、作循環對稱跳動，即第一次跳到點關于點的對稱點處，接著跳到點關于點的對稱點處，第三次再跳到點關于點的對稱點處，第四次再跳到點關于點的對稱點處，則點、的坐標分別為　　、　　．
拓展延伸：(3)求出點的坐標，并直接寫出在軸上與點，點構成等腰三角形的點的坐標．
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