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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題4-4 平行四邊形的判定定理
模塊1：學(xué)習(xí)目標(biāo)
1. 探索并證明平行四邊形的判定定理，并能運(yùn)用它們進(jìn)行證明和計算。
2. 通過平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理以及相關(guān)問題的證明和計算，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展 學(xué)生的演繹推理能力。
模塊2：知識梳理
平行四邊形的判定：主要根據(jù)平行四邊形的定義、性質(zhì)進(jìn)行，如下圖，有四邊形ABCD：
1）判定方法1（定義）：兩組對邊平行的四邊形，即AD∥BC，AB∥DC。
2）判定方法2（邊的性質(zhì)）：兩組對邊相等的四邊形，即AD=BC，AB=DC。
3）判定方法3（邊的性質(zhì)）：一組對邊相等且平行的四邊形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC。
4）判定方法4（角的性質(zhì)）：兩組對角相等的四邊形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC。
5）判定方法5（對角線的性質(zhì)）：兩組對角線相互平分的四邊形，即AO=CO且BO=DO。
注：①平行四邊形的判定，需要邊、角、對角線相關(guān)的2個條件（相等、平行）；②判定方法3中，必須要求是同一對邊平行且相等判定為平行四邊形。若四邊形中，一對邊平行，另一對邊相等，是無法判定為平行四邊形的。
模塊3：核心考點與典例
考點1、平行四邊形的判定
例1．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，點A是直線l外一點，在l上取兩點B、C，分別以A、C為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點D，分別連接，則四邊形是平行四邊形．其依據(jù)是（ ）
A．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
B．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
C．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
【答案】B
【分析】由作圖可得，，，進(jìn)而可得判定平行四邊形的依據(jù)．
【詳解】解：由作圖可得，，，∴四邊形是平行四邊形，
∴依據(jù)為兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故選：B．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定．解題的關(guān)鍵在于理解作圖過程．
變式1.（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）根據(jù)圖中所給的邊長及角度，下列四邊形中，一定可以判定為平行四邊形的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形判斷A；根據(jù)題意可知平行線間距離是5，可知兩組對邊平行，可判斷B；對于C，D可知一組對邊平行，不能判斷另一組對邊的關(guān)系，可得答案．
【詳解】由，可知一組對邊平行，另一組對邊相等，不一定是平行四邊形，所以A不符合題意；由，可知一組對邊平行，平行線間距離是5，可知另一組對邊平行，該四邊形是平行四邊形，所以B符合題意；由，可知一組對邊平行，另一組對邊無法確定，不一定是平行四邊形，所以C不符合題意；由，可知一組對邊平行，另一組對邊無法確定，不一定是平行四邊形，所以D不符合題意．故選：B．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，靈活選擇判定定理是解題的關(guān)鍵．
變式2.（2023春·北京海淀·八年級人大附中校考期中）如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合的部分構(gòu)成了一個四邊形．在轉(zhuǎn)動其中一張紙條的過程中，線段和的長度始終相等，這里蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是____________．
【答案】兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
【分析】根據(jù)題意可證明四邊形是平行四邊形，再由平行四邊形的性質(zhì)即可得到．
【詳解】解：蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，
∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴．
故答案為：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”．
變式3．（2024·四川巴中·八年級校考期末）下列說法，屬于平行四邊形判定方法的有（ ）．
①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②平行四邊形的對角線互相平分；
③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；④平行四邊形的每組對邊平行且相等；
⑤兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑥一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
A．6個 B．5個 C．4個 D．3個
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法分析即可；
【詳解】兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故①正確；
平行四邊形的對角線互相平分，是平行四邊形的性質(zhì)，故②錯誤；
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故③正確；
平行四邊形的每組對邊平行且相等，是平行四邊形的性質(zhì)，故④錯誤；
兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故⑤正確；
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故⑥正確；故正確的是①③⑤⑥；故答案選C．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．
考點2、添加條件判定平行四邊形
例1．（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級河南師大附中校考期中）如圖，點E、F是平行四邊形對角線上兩點，在條件：①；②；③；④中，添加一個條件，使四邊形是平行四邊形，可添加的條件是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】D
【分析】通過證明三角形全等，得出四邊形的一組對邊平行且相等，即可得出是平行四邊形．
【詳解】∵四邊形是平行四邊形，
∴，∴，
①時，不能證明，不能證明四邊形是平行四邊形；
②時，在和中，，∴，
∴，，∴∴，∴四邊形是平行四邊形；
③時，，在和中，，∴，
∴，，∴∴，∴四邊形是平行四邊形；
④當(dāng)時，則，在和中，，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；故選：D．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的判定；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
變式1.（2023春·浙江溫州·八年級瑞安市飛云中學(xué)校考期中）如圖，四邊形的兩條對角線相交于點，下列選項中的條件能判定四邊形是平行四邊形的是( )
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】利用平行四邊形的判定定理分別進(jìn)行分析即可．
【詳解】解：A. ，, 不能判定四邊形 是平行四邊形，不符合題意；
B. ，, 不能判定四邊形 是平行四邊形，不符合題意；
C. ，, 不能判定四邊形 是平行四邊形，不符合題意；
D. ，，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形是平行四邊形，符合題意，故選：D．
【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
變式2.（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）四邊形中，，添加一個條件_________，可得四邊形成為平行四邊形．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．
【詳解】添加條件為：，理由如下：
∵，，∴四邊形為平行四邊形，故答案為：（答案不唯一）．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟記平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
考點3、平行四邊形的個數(shù)判別
例1．（2023·浙江八年級期中）如圖，在平行四邊形中，，，與交于點O，則該圖中的平行四邊形的個數(shù)共有（ ）
A．7個 B．8個 C．9個 D．11個
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的定義即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，
∵，，∴，，
根據(jù)平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，
則圖中的四邊形、、、、、、、和都是平行四邊形，共9個．故選：C．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)．熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式1.（23-24九年級上·浙江·周測）平面上的一組3條平行線與另一組5條平行線相交，可構(gòu)成平行四邊形的個數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，進(jìn)一步分析即可得到結(jié)論．
【詳解】解：從一組中任選兩條直線與另一組中任選兩條直線，就可以構(gòu)成一個平行四邊形，從3條平行線中任選2條直線的方法有3種，從5條平行線中任選2條直線的方法有10種，故平行四邊形的個數(shù)為，故選：C
【點睛】此題考查了平行四邊形，熟練掌握平行四邊形的定義是解決問題的關(guān)鍵．
變式2.（22-23八年級下·湖南永州·期末）如圖，將向右平移個單位，得到，連接，，，則圖中有 個平行四邊形．

【答案】3
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，三角形的三條邊與平移后的三條邊分別相等，平行，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的判定定理即可求解．
【詳解】解：依題意，，則四邊形是平行四邊形，
，四邊形是平行四邊形，
，四邊形是平行四邊形，∴有個平行四邊形故答案為：．
【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
考點4、平行四邊形的坐標(biāo)問題
例1．（23-24八年級上·山東濰坊·期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點，，為四邊形的三個頂點構(gòu)造平行四邊形，則下列各點中可以作為第四個頂點的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】本題考查平行四邊形的判定，線段的平移．
作出圖形，結(jié)合圖形分析即可解答．
【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，將線段向上平移1個單位長度，向右平移2個單位長度，得到，此時，點C的坐標(biāo)為；

如圖，將線段向下平移2個單位長度，得到，此時，點D的坐標(biāo)為；
如圖，將線段向上平移2個單位長度，得到，此時，點E的坐標(biāo)為．
綜上所述，可以作為第四個頂點的是或，．故選：ABD．
變式1．（22-23八年級下·廣東湛江·期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，點A、B、C在網(wǎng)格中的位置如圖所示，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使點A、B、C的坐標(biāo)分別為、、，在平面直角坐標(biāo)系中找一點D，使以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，請寫出所有符合條件的點D的坐標(biāo)： ．
【答案】或或
【分析】此題主要考查平行四邊形的判定，分三種情形，可以以、或為一條對角線，畫出平行四邊形即可.
【詳解】解：根據(jù)題意得，建立如圖直角坐標(biāo)系．
當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；
當(dāng)，時，．故答案為：或或．
變式2．（22-23八年級下·遼寧大連·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，，，如果以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，且點在第三象限，那么點的坐標(biāo)是 ．

【答案】
【分析】先由，，證明軸，，再由以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，且點在第三象限，證明，軸，則，于是得到問題的答案．
【詳解】解：，，∴軸，，
以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，且點在第三象限，
，，∴軸，
，點的坐標(biāo)是，故答案為：．
【點睛】此題重點考查圖形與坐標(biāo)、平行四邊形的判定等知識，由，證明軸，是解題的關(guān)鍵．
考點5、平行四邊形的動態(tài)問題
例1.（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，點P在邊上以每秒的速度從點A向點D運(yùn)動．點Q在邊上以每秒的速度從點C出發(fā)，在之間往返運(yùn)動．兩個點同時出發(fā)，當(dāng)點P到達(dá)點D時停止（同時點Q也停止運(yùn)動），設(shè)運(yùn)動時間為t秒．當(dāng)時，運(yùn)動時間________時，以P、D、Q、B為頂點的四邊形是平行四邊形．
【答案】或8
【分析】由四邊形為平行四邊形可得出，結(jié)合平行四邊形的判定定理可得出當(dāng)時以P、D、Q、B四點組成的四邊形為平行四邊形，分兩種情況考慮，在每種情況中由即可列出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，
若要以P、D、Q、B四點組成的四邊形為平行四邊形，則，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，
當(dāng)時，，，，，∴，解得：；
當(dāng)時，，，，∴，解得：．
綜上所述：當(dāng)運(yùn)動時間為秒或8秒時，以P、D、Q、B四點組成的四邊形為平行四邊形．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及一元一次方程的應(yīng)用，分兩種情況列出關(guān)于t的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2023春·江西宜春·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在 中，，，點在邊上以每秒的速度從點向點運(yùn)動，點在邊上以每秒的速度從點出發(fā)，在間往返運(yùn)動．兩個點同時出發(fā)，當(dāng)點到達(dá)點時停止運(yùn)動（同時點也停止運(yùn)動）．在這段時間內(nèi)，當(dāng)運(yùn)動時間為______時，線段．
【答案】或或
【分析】由平行四邊形的判定和性質(zhì)可知當(dāng)時，．再求出點P運(yùn)動的時間為12秒，即可求出點Q可在間往返3次，即在這段時間內(nèi)與有3次平行．設(shè)運(yùn)動時間為t，分類討論4次平行，分別用含t的代數(shù)式表示出和，再列出方程，解出t的值即可．
【詳解】解：當(dāng)時，．
∵，∴四邊形為平行四邊形，∴．
∵點P運(yùn)動的時間秒，∴點Q運(yùn)動的路程，
∴點Q可在間往返3次，∴在這段時間內(nèi)與有3次平行．
設(shè)運(yùn)動時間為t，則，分類討論：①第一次平行：，，∴，解得：秒；
②第二次平行：，，∴，解得：秒；
③第三次平行：，，∴，解得：秒；故答案為：或或．
【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，一元一次方程的實際應(yīng)用．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．
變式2．（2023春·西藏·八年級校考期中）如圖，在四邊形中，，，點P從點A出發(fā)，以3個單位/秒的速度沿運(yùn)動，同時點Q從點B出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿運(yùn)動，當(dāng)四邊形為平行四邊形時，運(yùn)動的時間為______．
【答案】3秒
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，設(shè)運(yùn)動時間為x秒，用x表示出和的長，然后可得關(guān)于x的方程，求出x的值即可．
【詳解】解：如圖，
當(dāng)P在邊上，，四邊形為平行四邊形，
∵，∴，
設(shè)運(yùn)動時間為x秒，則，故，解得：，故答案為：3秒．
【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對邊互相平行且相等是解題的關(guān)鍵．
考點6、平行四邊形的判定（證明）
例1．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形的對角線相交于點，點在對角線上，且，連接，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若的面積等于2，求的面積．

【答案】(1)見解析(2)1
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可得，，結(jié)合可得，即可證明四邊形是平行四邊形；（2）根據(jù)等底等高的三角形面積相等可得，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，
，，，
又，四邊形是平行四邊形．
（2）解：，，，
四邊形是平行四邊形，．
【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對角線互相平分．
變式1.（2023·青海·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的一個外角，，.

(1)尺規(guī)作圖：作的平分線，交于點D（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)求證：四邊形是平行四邊形.
【答案】(1)見詳解(2)見詳解
【分析】（1）利用基本作圖作的平分線即可；（2）先利用得到，再根據(jù)角平分線的定義得到，則利用三角形外角性質(zhì)可判斷，所以，然后利用可判斷四邊形是平行四邊形．
【詳解】（1）解：如圖，為所作；

（2）證明：，，平分，，
，即，，，
，四邊形是平行四邊形．
【點睛】本題考查了作圖基本作圖、等腰三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定，熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．
變式2.（2023·湖南衡陽·校考模擬預(yù)測）如圖，點在同一直線上，．

(1)求證：；(2)連接，直接判斷四邊形的形狀．
【答案】(1)證明見解析(2)四邊形是平行四邊形，證明見解析．
【分析】（1）證，再由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）由（1）可知，，則，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵，∴，即，
在和中，，∴，∴；
（2）解：如圖，四邊形是平行四邊形，理由如下：
由（1）可知，，∴，
又∵，∴四邊形是平行四邊形．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和判定方法．
模塊4：同步培優(yōu)題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24八年級下·內(nèi)蒙古通遼·期中）由兩個全等三角形用各種不同的方法拼成四邊形，在這些拼成的四邊形中是平行四邊形的個數(shù)是（ ）．
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】把三角形相等的一邊重合，得到平行四邊形，有3種情況．
【詳解】如圖所示：
則有平行四邊形有四邊形ABCD、四邊形BDCF、四邊形BDEC共計3個．故選：B
【點睛】考查了平行四邊形的判定，全等三角形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，解題關(guān)鍵是能正確畫出圖形．
2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，由25個點構(gòu)成的5×5的正方形點陣中，橫、縱方向相鄰的兩點之間的距離都是1個單位．定義：由點陣中的四個點為頂點的平行四邊形叫做陣點平行四邊形．圖中以A，B為頂點，面積為4的陣點平行四邊形的個數(shù)為（ ）
A．6個 B．7個 C．9個 D．11個
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定，兩組對邊必須平行，可以得出上下各兩個平行四邊形符合要求，以及特殊四邊形矩形與正方形即可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得：一共11個面積為4的陣點平行四邊形．故選：．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，根據(jù)平行四邊形的判定得出結(jié)論是解題的關(guān)鍵．
3．（22-23八年級下·貴州黔東南·期中）以點O、A、B、C為頂點的平行四邊形放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中點O為坐標(biāo)原點．若點C的坐標(biāo)是，點A的坐標(biāo)是，則點B的坐標(biāo)是（ ）
A．或 B．或 C．或或 D．或或
【答案】D
【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，然后分為邊和對角線兩種情況，分別根據(jù)平行四邊形的判定和平移的性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：如圖：當(dāng)為對角線時，點的坐標(biāo)為，即；
當(dāng)為邊時，點的坐標(biāo)為，即；點的坐標(biāo)為，即．
故選D．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定、平移的性質(zhì)等知識點，掌握分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．
4．（22-23八年級下·浙江寧波·期中）用兩塊相同的三角板能拼出多少個形狀不同的平行四邊形（ ）
A．3個 B．4個 C．3或4個 D．2或3個
【答案】D
【分析】根據(jù)三角板不同形狀分類討論，分別以三組對應(yīng)邊為對角線拼成平行四邊形，判斷平行四邊形數(shù)量．
【詳解】解：三邊互不相等三角板，如圖，分別以三組對應(yīng)邊為對角線，可以拼成三個形狀不同的平行四邊形；

兩直角邊相等的三角板，如圖中，平行四邊形，形狀一樣，故分別以三組對應(yīng)邊為對角線，可以拼成兩個不同形狀的平行四邊形；故選：D．
【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，注意根據(jù)三角板的不同形狀分情況討論是解題的關(guān)鍵．
5.（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，已知，添加下列條件不能判定四邊形是平行四邊形的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可知A項不符合題意；根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可知B項不符合題意；根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可知D項不符合題意進(jìn)而即可判斷．
【詳解】解：∵，，∴由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，
∴項能判定四邊形是平行四邊形，故項不符合題意；
∵，，∴由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，
∴項能判定四邊形是平行四邊形，故項不符合題意；
∵，但和不一定平行，
∴項不能判定四邊形是平行四邊形，故符合題意；
∵，∴，
∵，，∴，∴，
∴項能判定四邊形是平行四邊形，故項不符合題意；故選：．
【點睛】本題考查平行四邊形判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·山東·八年級期末）下面關(guān)于平行四邊形的說法中，不正確的是（ ）
A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
B．有一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形
C．有一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形
D．有兩組對角相等的四邊形是平行四邊形
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定分別對各個選項進(jìn)行判斷即可．
【詳解】A、∵對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，∴選項A不符合題意；
B、∵有一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形，∴選項B不符合題意；
C、∵有一組對邊相等，一組對角相等的四邊形不一定是平行四邊形，∴選項C符合題意；
D、∵有兩組對角相等的四邊形是平行四邊形，∴選項D不符合題意；故選：C．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定；熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測）能判定四邊形為平行四邊形的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】直接利用平行四邊形的判定定理判定，即可求得答案．注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用．
【詳解】解：A、，，則四邊形不一定為平行四邊形，可能為等腰梯形，故本選項不符合題意；
B、，，則四邊形為平行四邊形；故本選項正確，符合題意；
C、，，則四邊形不一定為平行四邊形，可能為等腰梯形，故本選項不符合題意；
D、，，不能判定四邊形為平行四邊形；故本選項不符合題意．故選：B．
【點睛】此題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．
8．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）綜合實踐課上，嘉嘉畫出，利用尺規(guī)作圖找一點C，使得四邊形為平行四邊形．圖1~圖3是其作圖過程．
（1）作的垂直平分線交于點O； （2）連接，在的延長線上截取； （3）連接，，則四邊形即為所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（ ）
A．兩組對邊分別平行 B．兩組對邊分別相等 C．對角線互相平分 D．一組對邊平行且相等
【答案】C
【分析】根據(jù)作圖步驟可知，得出了對角線互相平分，從而可以判斷．
【詳解】解：根據(jù)圖1，得出的中點，圖2，得出，
可知使得對角線互相平分，從而得出四邊形為平行四邊形，
判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是：對角線互相平分，故選：C．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握基本的作圖方法及平行四邊形的判定定理．
9．（2023·河北石家莊市·八年級期末）小玲的爸爸在釘制平行四邊形框架時，采用了一種方法：如圖所示，將兩根木條、的中點重疊并用釘子固定，則四邊形就是平行四邊形，這種方法的依據(jù)是（ ）
A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
C．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 D．兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
【答案】A
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理解答即可.
【詳解】由已知可得AO=CO，BO=DO，∴四邊形是平行四邊形，
依據(jù)是：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故選：A.
【點睛】此題考查平行四邊形的判定定理，熟練掌握平行四邊形的五種判定定理并運(yùn)用解決問題是解題的關(guān)鍵.
10．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．點F是中點，連接，把線段沿射線方向平移到，點D在上．則線段在平移過程中掃過區(qū)域形成的四邊形的周長和面積分別是( )

A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16
【答案】C
【分析】先論證四邊形是平行四邊形，再分別求出、、，繼而用平行四邊形的周長公式和面積公式求解即可．
【詳解】由平移的性質(zhì)可知：，∴四邊形是平行四邊形，
在中，，，，∴
在中，，，點F是中點∴
∵，點F是中點∴，，
∴點D是的中點，∴
∵D是的中點，點F是中點，∴是的中位線，∴
∴四邊形的周長為：，
四邊形的面積為：．故選：C．
【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，平行線分線段成比例，三角形中位線定理等知識，推導(dǎo)四邊形是平行四邊形和是的中位線是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（22-23八年級下·河南南陽·期末）將兩個邊長分別為2、3、4的全等三角形拼成四邊形，可以拼得不同形狀的平行四邊形的個數(shù)是 個．
【答案】3
【分析】利用兩全等三角形拼接，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：如圖所示，將兩個邊長分別為2、3、4的全等三角形拼成四邊形，
可以拼得不同形狀的平行四邊形的有：，，，共3個．故答案為：3．

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟記平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
12．（22-23八年級下·湖北十堰·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點、、，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點D，使得以A，B，C，D四點組成的四邊形為平行四辺形，請寫出D點坐標(biāo) ．
【答案】，，
【分析】需要分類討論：以為邊的平行四邊形和以為對角線的平行四邊形．
【詳解】解：①當(dāng)為邊且為鄰邊時：如圖

因為點、，所以點先向右平移3個單位，再向上平移2個單位得點，
相應(yīng)的點先向右平移3個單位，再向上平移2個單位得點，，；
②當(dāng)為邊且為鄰邊時：如圖
因為點、，所以點先向左平移2個單位，再向上平移1個單位得點，
相應(yīng)的點先向左平移2個單位，再向上平移1個單位得點，，；
③當(dāng)為對角線時：如圖
因為點、，所以點先向右平移2個單位，再向下平移1個單位得點，
相應(yīng)的點先向右平移2個單位，再向下平移1個單位得點，
，；故答案為：，， ．
【點睛】本題考查平行四邊形的判定及點的平移問題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出對應(yīng)圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想解決．
13．（22-23八年級下·江蘇南通·階段練面直角坐標(biāo)系中，，，，為平面內(nèi)一點若、、、四點恰好構(gòu)成一個平行四邊形，則平面內(nèi)符合條件的點的坐標(biāo)為 ．
【答案】或或
【分析】分三種情形畫出圖形即可解決問題．
【詳解】解：如圖，當(dāng)，時，點的坐標(biāo)為；

當(dāng)，時，點的坐標(biāo)為；當(dāng)，時，點的坐標(biāo)為；
綜上所述，滿足條件的點的坐標(biāo)為或或，故答案為：或或．
【點睛】本題考查平行四邊形的判定、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．
14．（2024·廣東·八年級期中）如圖，已知四邊形ABCD和四邊形BCEF均為平行四邊形，∠D＝60°，連接AF，并延長交BE于點P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，則BE的長為 。
【答案】3
【分析】過點D作DH⊥BC，交BC的延長線于點H，連接BD，DE，先證∠DHC=90 ，再證四邊形ADEF是平行四邊形，最后利用勾股定理得出結(jié)果．
【詳解】過點D作DH⊥BC，交BC的延長線于點H，連接BD，DE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=3，∠ADC=60 ，∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60 ，
∵DH⊥BC， ∴∠DHC=90 ，∴∠ADC+∠CDH=90°，∴∠CDH=30°，
在Rt△DCH中，CH=CD=，DH=，∴，
∵四邊形BCEF是平行四邊形，∴AD=BC=EF，AD∥EF，
∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AF∥DE，AF=DE=1，
∵AF⊥BE，∴DE⊥BE，∴， ∴．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題．
15．（2023春·浙江·八年級階段練習(xí)）如圖，在中，M是的中點，且，則的面積為 。
【答案】40
【分析】過點D作交的延長線于點F，如圖，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明，進(jìn)而得出三角形是直角三角形，且，然后過點D作于點G，利用等積法求出，再根據(jù)的面積的面積求解即可.
【詳解】解：過點D作交的延長線于點F，如圖，則，
∵四邊形是平行四邊形，∴，，，，
∴，四邊形是平行四邊形，∴，∴，，
∵M(jìn)是的中點，，∴，∴，∴，
∵，∴，在三角形中，∵，
∴三角形是直角三角形，且， 過點D作于點G，
∵，∴，
∵，∴的面積的面積=；
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及四邊形的面積等知識，正確作出輔助線、熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
16．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖， 中，，為銳角．要在對角線上找點N，M，使四邊形為平行四邊形，在如圖所示的甲、乙、丙三種方案中，正確的方案有 個.
【答案】3
【分析】甲方案，連接交于點，證明，，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可得出甲方案正確；
乙方案，先證明，再證明得出，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得出乙方案正確；
丙方案，證明得出，，則，證出，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得出丙方案正確；
【詳解】甲方案中，連接交于點，如圖所示：
∵四邊形是平行四邊形，∴，
∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，故甲方案正確；
乙方案中，∵，∴，
∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，
在和中∵，∴，
∴，∴四邊形為平行四邊形，故乙方案正確；
丙方案中，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，
∵平分，平分，∴，
在和中∵，∴，∴，，
∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，故丙方案正確；故答案3個
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點在線段上（點C在點之間），分別以為邊向同側(cè)作等邊三角形與等邊三角形，邊長分別為．與交于點H，延長交于點G，長為c．

（1）若四邊形的周長與的周長相等，則之間的等量關(guān)系為 ．
（2）若四邊形的面積與的面積相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為 ．
【答案】
【分析】由題意可得：為等邊三角形，四邊形為平行四邊形，，（1）分別求得四邊形的周長與的周長，根據(jù)題意，求解即可；（2）分別求得四邊形的面積與的面積，根據(jù)題意，求解即可．
【詳解】解：等邊三角形與等邊三角形中，，
∴和為等邊三角形，，
∴，四邊形為平行四邊形，又∵等邊三角形與等邊三角形
∴，，，∴，
（1）平行四邊形的周長為：，
的周長為： 由題意可得： 即：；
（2）過點作，過點作，如下圖：

在中，，，，∴
則平行四邊形的面積為
在中，，，，∴
則的面積為：由題意可得：
化簡可得： 故答案為：；
【點睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活利用等邊三角形的性質(zhì)求得對應(yīng)線段的長度．
18．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于C，D兩點，分別以點C，D為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于內(nèi)一點P，連接，過點P作直線，交OB于點E，過點P作直線，交于點F．若，，則四邊形的面積是 。

【答案】
【分析】過P作于M，再判定四邊形為平行四邊形，再根據(jù)勾股定理求出邊和高，最后求出面積．
【詳解】解：過P作于M，由作圖得：平分，∴，

∴，∴，
∵，，∴四邊形為平行四邊形，，
∴，∴，設(shè)，
在中，，即：，解得：，
∴．故答案：．
【點睛】本題考查了基本作圖，掌握平行四邊形的判定定理，勾股定理及平行四邊形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·廣東河源·統(tǒng)考二模）如圖，在四邊形中，，E為的中點，連接并延長交的延長線于點F，連接并延長交的延長線于點G，連接．求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、平行四邊形的判定，利用證得，可證得，同理可得，利用進(jìn)而可求證結(jié)論，熟練掌握相關(guān)判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】證明：∵，E為的中點，，，，
在和中，，，
，同理：，∴四邊形是平行四邊形．
20.（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，B是AC的中點，點D，E在同側(cè)，，．(1)求證：≌．(2)連接，求證：四邊形是平行四邊形．
【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】（1）由B是的中點得，結(jié)合，，根據(jù)全等三角形的判定定理“”即可證明≌；（2）由（1）中≌得，進(jìn)一步得，再結(jié)合，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明．
【詳解】（1）解：∵B是的中點，∴．
在和中，∴≌（）．
（2）如圖所示，∵≌，∴，∴．
又∵，∴四邊形是平行四邊形．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（2023·浙江八年級專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊AD的中點，連接CE并延長交BA的延長線于點F，連接AC，DF．
（1）求證：AEF≌DEC；（2）求證：四邊形ACDF是平行四邊形．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB//CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得就愛∠FAE=∠CDE，利用ASA即可證明△AEF≌△DEC；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AF=DC，根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得結(jié)論．
【詳解】（1）∵在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，
∵點E是邊AD的中點，∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（ASA）．
（2）∵△AEF≌△DEC，∴AF＝DC，
∵AF∥DC，∴四邊形ACDF是平行四邊形．
【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的對邊互相平行；有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定定理是解題關(guān)鍵．
22．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在中，點D、E分別為的中點，點H在線段上，連接，點G、F分別為的中點．
(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)，求線段的長度．

【答案】(1)見解析；(2)
【分析】（1）由三角形中位線定理得到，，得到，即可證明四邊形為平行四邊形；（2）由四邊形為平行四邊形得到，由得到，由勾股定理即可得到線段的長度．
【詳解】（1）解：∵點D、E分別為的中點，∴，
∵點G、F分別為、的中點．∴，
∴，∴四邊形為平行四邊形；
（2）∵四邊形為平行四邊形，∴，∵∴，
∵，∴．
【點睛】此題考查了中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，證明四邊形為平行四邊形和利用勾股定理計算是解題的關(guān)鍵．
23．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四邊形中，，，，是邊的中點，連接并延長與的延長線相交于點．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若是等腰三角形，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析(2)或
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和中點的性質(zhì)證明三角形全等，然后根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形完成證明；（2）由等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況：①，②，③，分別求四邊形的面積．
【詳解】（1）證明：，，，
在與中，，，，
又是邊的中點，，四邊形是平行四邊形；
（2）①當(dāng)時，即時，由勾股定理得，，
∴，四邊形的面積；
②當(dāng)時，過點作于，則四邊形是矩形，
∴，∴，
由勾股定理得，，∴四邊形的面積；
③當(dāng)時，邊上的中垂線垂直平分了
設(shè)交于點，∴，而根據(jù)圖得，矛盾，此時不成立；
綜上所述，四邊形的面積是或．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，確定出全等三角形，分類討論是解題的關(guān)鍵．
24．（2024·浙江·八年級期中）如圖所示，在中，對角線，相交于點O，，E，F(xiàn)為直線上的兩個動點（點E，F(xiàn)始終在的外面），且，連結(jié)，，，．
（1）求證：四邊形為平行四邊形．
（2）若，上述結(jié)論還成立嗎？若呢？
（3）若平分，，求四邊形的周長．
【答案】（1）見解析；（2）結(jié)論成立，結(jié)論成立，見解析；（3）40cm
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可知、，結(jié)合、可得出，根據(jù)“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”即可證出四邊形為平行四邊形；
（2）由、可得出，根據(jù)“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”即可證出四邊形為平行四邊形，由此可得出原結(jié)論成立，再找出結(jié)論“若，，則四邊形為平行四邊形”即可；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合平分，即可得出，進(jìn)而可得出是的垂直平分線，再根據(jù)可得出是等邊三角形，根據(jù)的長度即可得出、的長度，套用平行四邊形周長公式即可求出四邊形的周長．
【詳解】解：（1）證明：四邊形是平行四邊形，，．
，，，，
四邊形為平行四邊形．
（2），，，，四邊形為平行四邊形．
上述結(jié)論成立，由此可得出結(jié)論：若，，則四邊形為平行四邊形．
（3）在中，，．
平分，，，．
，，是的垂直平分線，．
，是等邊三角形，，
．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”證出四邊形為平行四邊形；（2）根據(jù)“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”證出四邊形為平行四邊形；（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)找出是等邊三角形．
25．（2023·山東淄博市·八年級期末）如圖1，在中，點是邊的中點，點在內(nèi)，平分，，點在邊上，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）判斷線段、、的數(shù)量之間具有怎樣的關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論．（3）點是的邊上的一點，若的面積，請直接寫出的面積（不需要寫出解答過程）．
【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析；（3）=3．
【分析】（1）證明△AGE≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到GE＝EC，再利用三角形的中位線定理證明DE∥AB，再加上條件EF∥BC可證出結(jié)論；
（2）先證明BF＝DE＝BG，再證明AG＝AC，可得到BF＝（AB AG）＝（AB AC）；
(3) 根據(jù)△DCE中DC邊上的高與BDEF中BD邊上的高相等，得出BDEF的面積為6，設(shè)BDEF中BF邊上的高為h，由即可求解．
【詳解】（1）延長交于點，
，，又∵平分，∴∠GAE=∠CAE
在和中，，，，
∵點是邊的中點，∴為的中位線，，
，四邊形是平行四邊形．
（2）四邊形是平行四邊形，，
，分別是，的中點，，
，，．
（3）如圖：∵BD=DC，EF∥BC∴△DCE中DC邊上的高與BDEF中BD邊上的高相等，
∴ ∵BF∥DE設(shè)BDEF中BF邊上的高為h，
則 =（DE+BP）×h÷2-BP×h÷2=DE×h÷2=6÷2=3．
【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，以及等底同高的平行四邊形和三角形的面積之間的關(guān)系，證明GE＝EC，再利用三角形中位線定理證明DE∥AB是解決問題的關(guān)鍵．
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專題4-4 平行四邊形的判定定理
模塊1：學(xué)習(xí)目標(biāo)
1. 探索并證明平行四邊形的判定定理，并能運(yùn)用它們進(jìn)行證明和計算。
2. 通過平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理以及相關(guān)問題的證明和計算，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展 學(xué)生的演繹推理能力。
模塊2：知識梳理
平行四邊形的判定：主要根據(jù)平行四邊形的定義、性質(zhì)進(jìn)行，如下圖，有四邊形ABCD：
1）判定方法1（定義）：兩組對邊平行的四邊形，即AD∥BC，AB∥DC。
2）判定方法2（邊的性質(zhì)）：兩組對邊相等的四邊形，即AD=BC，AB=DC。
3）判定方法3（邊的性質(zhì)）：一組對邊相等且平行的四邊形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC。
4）判定方法4（角的性質(zhì)）：兩組對角相等的四邊形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC。
5）判定方法5（對角線的性質(zhì)）：兩組對角線相互平分的四邊形，即AO=CO且BO=DO。
注：①平行四邊形的判定，需要邊、角、對角線相關(guān)的2個條件（相等、平行）；②判定方法3中，必須要求是同一對邊平行且相等判定為平行四邊形。若四邊形中，一對邊平行，另一對邊相等，是無法判定為平行四邊形的。
模塊3：核心考點與典例
考點1、平行四邊形的判定
例1．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，點A是直線l外一點，在l上取兩點B、C，分別以A、C為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點D，分別連接，則四邊形是平行四邊形．其依據(jù)是（ ）
A．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
B．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
C．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
變式1.（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）根據(jù)圖中所給的邊長及角度，下列四邊形中，一定可以判定為平行四邊形的是（ ）．
A．B．C．D．
變式2.（2023春·北京海淀·八年級人大附中校考期中）如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合的部分構(gòu)成了一個四邊形．在轉(zhuǎn)動其中一張紙條的過程中，線段和的長度始終相等，這里蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是____________．
變式3．（2024·四川巴中·八年級校考期末）下列說法，屬于平行四邊形判定方法的有（ ）．
①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②平行四邊形的對角線互相平分；
③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；④平行四邊形的每組對邊平行且相等；
⑤兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑥一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
A．6個 B．5個 C．4個 D．3個
考點2、添加條件判定平行四邊形
例1．（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級河南師大附中校考期中）如圖，點E、F是平行四邊形對角線上兩點，在條件：①；②；③；④中，添加一個條件，使四邊形是平行四邊形，可添加的條件是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
變式1.（2023春·浙江溫州·八年級瑞安市飛云中學(xué)校考期中）如圖，四邊形的兩條對角線相交于點，下列選項中的條件能判定四邊形是平行四邊形的是( )
A．， B．， C．， D．，
變式2.（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）四邊形中，，添加一個條件_________，可得四邊形成為平行四邊形．
考點3、平行四邊形的個數(shù)判別
例1．（2023·浙江八年級期中）如圖，在平行四邊形中，，，與交于點O，則該圖中的平行四邊形的個數(shù)共有（ ）
A．7個 B．8個 C．9個 D．11個
變式1.（23-24九年級上·浙江·周測）平面上的一組3條平行線與另一組5條平行線相交，可構(gòu)成平行四邊形的個數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
變式2.（22-23八年級下·湖南永州·期末）如圖，將向右平移個單位，得到，連接，，，則圖中有 個平行四邊形．

考點4、平行四邊形的坐標(biāo)問題
例1．（23-24八年級上·山東濰坊·期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點，，為四邊形的三個頂點構(gòu)造平行四邊形，則下列各點中可以作為第四個頂點的是（ ）

A． B． C． D．
變式1．（22-23八年級下·廣東湛江·期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，點A、B、C在網(wǎng)格中的位置如圖所示，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使點A、B、C的坐標(biāo)分別為、、，在平面直角坐標(biāo)系中找一點D，使以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，請寫出所有符合條件的點D的坐標(biāo)： ．
變式2．（22-23八年級下·遼寧大連·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，，，如果以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，且點在第三象限，那么點的坐標(biāo)是 ．

考點5、平行四邊形的動態(tài)問題
例1.（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，點P在邊上以每秒的速度從點A向點D運(yùn)動．點Q在邊上以每秒的速度從點C出發(fā)，在之間往返運(yùn)動．兩個點同時出發(fā)，當(dāng)點P到達(dá)點D時停止（同時點Q也停止運(yùn)動），設(shè)運(yùn)動時間為t秒．當(dāng)時，運(yùn)動時間________時，以P、D、Q、B為頂點的四邊形是平行四邊形．
變式1．（2023春·江西宜春·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在 中，，，點在邊上以每秒的速度從點向點運(yùn)動，點在邊上以每秒的速度從點出發(fā)，在間往返運(yùn)動．兩個點同時出發(fā)，當(dāng)點到達(dá)點時停止運(yùn)動（同時點也停止運(yùn)動）．在這段時間內(nèi)，當(dāng)運(yùn)動時間為______時，線段．
變式2．（2023春·西藏·八年級校考期中）如圖，在四邊形中，，，點P從點A出發(fā)，以3個單位/秒的速度沿運(yùn)動，同時點Q從點B出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿運(yùn)動，當(dāng)四邊形為平行四邊形時，運(yùn)動的時間為______．
考點6、平行四邊形的判定（證明）
例1．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形的對角線相交于點，點在對角線上，且，連接，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若的面積等于2，求的面積．

變式1.（2023·青海·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的一個外角，，.

(1)尺規(guī)作圖：作的平分線，交于點D（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)求證：四邊形是平行四邊形.
變式2.（2023·湖南衡陽·校考模擬預(yù)測）如圖，點在同一直線上，．

(1)求證：；(2)連接，直接判斷四邊形的形狀．
模塊4：同步培優(yōu)題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24八年級下·內(nèi)蒙古通遼·期中）由兩個全等三角形用各種不同的方法拼成四邊形，在這些拼成的四邊形中是平行四邊形的個數(shù)是（ ）．
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，由25個點構(gòu)成的5×5的正方形點陣中，橫、縱方向相鄰的兩點之間的距離都是1個單位．定義：由點陣中的四個點為頂點的平行四邊形叫做陣點平行四邊形．圖中以A，B為頂點，面積為4的陣點平行四邊形的個數(shù)為（ ）
A．6個 B．7個 C．9個 D．11個
3．（22-23八年級下·貴州黔東南·期中）以點O、A、B、C為頂點的平行四邊形放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中點O為坐標(biāo)原點．若點C的坐標(biāo)是，點A的坐標(biāo)是，則點B的坐標(biāo)是（ ）
A．或 B．或 C．或或 D．或或
4．（22-23八年級下·浙江寧波·期中）用兩塊相同的三角板能拼出多少個形狀不同的平行四邊形（ ）
A．3個 B．4個 C．3或4個 D．2或3個
5.（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，已知，添加下列條件不能判定四邊形是平行四邊形的是（　　）

A． B． C． D．
6．（2023·山東·八年級期末）下面關(guān)于平行四邊形的說法中，不正確的是（ ）
A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
B．有一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形
C．有一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形
D．有兩組對角相等的四邊形是平行四邊形
7．（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測）能判定四邊形為平行四邊形的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）綜合實踐課上，嘉嘉畫出，利用尺規(guī)作圖找一點C，使得四邊形為平行四邊形．圖1~圖3是其作圖過程．
（1）作的垂直平分線交于點O； （2）連接，在的延長線上截取； （3）連接，，則四邊形即為所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（ ）
A．兩組對邊分別平行 B．兩組對邊分別相等 C．對角線互相平分 D．一組對邊平行且相等
9．（2023·河北石家莊市·八年級期末）小玲的爸爸在釘制平行四邊形框架時，采用了一種方法：如圖所示，將兩根木條、的中點重疊并用釘子固定，則四邊形就是平行四邊形，這種方法的依據(jù)是（ ）
A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
C．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 D．兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
10．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．點F是中點，連接，把線段沿射線方向平移到，點D在上．則線段在平移過程中掃過區(qū)域形成的四邊形的周長和面積分別是( )

A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（22-23八年級下·河南南陽·期末）將兩個邊長分別為2、3、4的全等三角形拼成四邊形，可以拼得不同形狀的平行四邊形的個數(shù)是 個．
12．（22-23八年級下·湖北十堰·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點、、，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點D，使得以A，B，C，D四點組成的四邊形為平行四辺形，請寫出D點坐標(biāo) ．
13．（22-23八年級下·江蘇南通·階段練面直角坐標(biāo)系中，，，，為平面內(nèi)一點若、、、四點恰好構(gòu)成一個平行四邊形，則平面內(nèi)符合條件的點的坐標(biāo)為 ．
14．（2024·廣東·八年級期中）如圖，已知四邊形ABCD和四邊形BCEF均為平行四邊形，∠D＝60°，連接AF，并延長交BE于點P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，則BE的長為 。
15．（2023春·浙江·八年級階段練習(xí)）如圖，在中，M是的中點，且，則的面積為 。
16．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖， 中，，為銳角．要在對角線上找點N，M，使四邊形為平行四邊形，在如圖所示的甲、乙、丙三種方案中，正確的方案有 個.
17．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點在線段上（點C在點之間），分別以為邊向同側(cè)作等邊三角形與等邊三角形，邊長分別為．與交于點H，延長交于點G，長為c．

（1）若四邊形的周長與的周長相等，則之間的等量關(guān)系為 ．
（2）若四邊形的面積與的面積相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為 ．
18．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于C，D兩點，分別以點C，D為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于內(nèi)一點P，連接，過點P作直線，交OB于點E，過點P作直線，交于點F．若，，則四邊形的面積是 。

三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023·廣東河源·統(tǒng)考二模）如圖，在四邊形中，，E為的中點，連接并延長交的延長線于點F，連接并延長交的延長線于點G，連接．求證：四邊形是平行四邊形．
20.（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，B是AC的中點，點D，E在同側(cè)，，．(1)求證：≌．(2)連接，求證：四邊形是平行四邊形．
21．（2023·浙江八年級專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是邊AD的中點，連接CE并延長交BA的延長線于點F，連接AC，DF．
（1）求證：AEF≌DEC；（2）求證：四邊形ACDF是平行四邊形．
22．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在中，點D、E分別為的中點，點H在線段上，連接，點G、F分別為的中點．
(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)，求線段的長度．

23．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四邊形中，，，，是邊的中點，連接并延長與的延長線相交于點．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若是等腰三角形，求四邊形的面積．
24．（2024·浙江·八年級期中）如圖所示，在中，對角線，相交于點O，，E，F(xiàn)為直線上的兩個動點（點E，F(xiàn)始終在的外面），且，連結(jié)，，，．（1）求證：四邊形為平行四邊形．
（2）若，上述結(jié)論還成立嗎？若呢？
（3）若平分，，求四邊形的周長．
25．（2023·山東淄博市·八年級期末）如圖1，在中，點是邊的中點，點在內(nèi)，平分，，點在邊上，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）判斷線段、、的數(shù)量之間具有怎樣的關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論．（3）點是的邊上的一點，若的面積，請直接寫出的面積（不需要寫出解答過程）．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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