資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題4-5 中位線+專題4-6 反證法
模塊1：學習目標
1.了解反證法的基本步驟,會用反證法證明簡單的命題。
2.理解三角形中位線的定義。
3.掌握三角形中位線定理證明及其應用。
4.理解三角形中位線定理的本質與核心，培養學生的化歸思想。
模塊2：知識梳理
1.三角形的中位線定理：
1）三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段稱為中位線（三角形中有3條中位線）
2）三角形中位線定理：如下圖，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，即若點D、E分別為AB、AC的中點，則DE//BC且DE=BC。
2.反證法：在證明時，不是從已知條件出發直接證明命題成立，而是先提出與結論相反的假設，然后由假設出發推導出矛盾的結果，從而得到假設是錯誤的，可間接得到命題的結論是成立的，這種證明方法稱為反證法（假設法）。
3.反證法的步驟：（1）反設——假定原命題的結論不成立，即肯定原命題的反面；（2）歸繆——根據反設，進行嚴密的推理，直到得出矛盾，即或與已知條件相矛盾，或與已知的公理、定理、定義、性質、公式等相矛盾，或與反設相矛盾；或自相矛盾，或甚至可以與正常生活中的事實相矛盾，等等；（3）結論——肯定原命題正確。
模塊3：核心考點與典例
考點1、與三角形中位線有關的求解問題
例1．（2023·江蘇鹽城·統考中考真題）在中，，分別為邊，的中點，，則的長為 cm.
【答案】
【分析】由于、分別為、邊上的中點，那么是的中位線，根據三角形中位線定理可求．
【詳解】如圖所示，

、分別為、邊上的中點，是的中位線，；
又∵，∴；故答案為：．
【點睛】本題考查了三角形中位線定理．三角形的中位線等于第三邊的一半．
變式1. （2023·湖北荊門·統考中考真題）如圖，為斜邊上的中線，為的中點．若，，則 ．

【答案】3
【分析】首先根據直角三角形斜邊中線的性質得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位線定理即可求解．
【詳解】解：∵在中，為斜邊上的中線，，
∴，∴，
∵為的中點，∴故答案為：3．
【點睛】本題主要考查直角三角形的性質，三角形中位線定理，掌握直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．
變式2.（2023·河北·模擬預測）如圖，在矩形中，，分別是，上的點，，分別是，的中點，當點在上從點向點移動，而點保持不動時，下列結論成立的是( )

A．線段的長逐漸增大 B．線段的長逐漸減小
C．線段的長不變 D．線段的長先增大后減小
【答案】C
【分析】本題考查了三角形中位線定理、矩形的性質、勾股定理，連接，由三角形中位線定理可得，由矩形的性質結合勾股定理可得，由點保持不動可得長度不變，從而可得線段的長不變，熟練掌握三角形中位線定理是解此題的關鍵．
【詳解】解：如圖，連接，
，
，分別是，的中點，是的中位線，，
四邊形為矩形，，，
點保持不動，的長度始終不變，的長不變，故選：C．
變式3.（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，在中，平分，點E為的中點，連接，若，則的長為（　　）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】如圖所示，延長交于點F，證明，得到，進而求出，再證明DE為的中位線，即可得到．
【詳解】解：如圖所示，延長交于點F，
∵平分，∴，∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，
∵點E為的中點，∴DE為的中位線，∴，故選：A．
【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理，全等三角形的性質與判定，角平分線的定義等等，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
考點2、三角形中位線與三角形面積（周長）問題
例1．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，在中，D，E分別是，的中點，是邊上的一個動點，連接，，．若的面積為，則的面積是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】連接，根據三角形的面積公式求出的面積，根據三角形中位線定理得到，得到的面積=的面積，同底等高的三角形面積相等，即可得到答案．
【詳解】解：連接，
∵點E是的中點，的面積的為，∴的面積的面積，
∵點D是的中點，∴的面積的面積，
∵D，E分別是，的中點，∴，∴的面積的面積，故選：C．
【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、三角形的面積計算，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．
變式1.（2023春·浙江·八年級期中）如圖，D是內一點，，，，，E、F、G、H分別是、、、的中點，則四邊形的周長是（　　）
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】C
【詳解】利用勾股定理列式求出的長，再根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出，，然后代入數據進行計算即可得解．
【解答】解：，，，，
分別是的中點，，，
四邊形的周長，
，四邊形的周長．故選：C．
【點睛】本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理的應用，熟記三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．
變式2.（23-24八年級上·山東煙臺·期末）如圖，是的中位線，是的中點，的延長線交于點，若的面積為2，則的面積為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本題考查的是三角形中位線定理、三角形全等的判定、三角形的面積計算，正確作出輔助線、證明是解題的關鍵．過點作交于，證明，根據全等三角形的性質得到，計算即可．
【詳解】解：過點作交于，則，
在和中，，，，，
，是的中點，，，
的面積為2的面積為6，故選：．
考點3、三角形中位線的實際應用
例1．（2023·浙江金華·統考中考真題）如圖，把兩根鋼條的一個端點連在一起，點分別是的中點．若，則該工件內槽寬的長為 ．

【答案】8
【分析】利用三角形中位線定理即可求解．
【詳解】解：∵點分別是的中點，∴，∴，故答案為：8．
【點睛】本題考查了三角形中位線定理的應用，掌握“三角形的中位線是第三邊的一半”是解題的關鍵．
變式1. （2023·云南·統考中考真題）如圖，兩點被池塘隔開，三點不共線．設的中點分別為．若米，則（ ）

A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
【答案】B
【分析】根據三角形中位線定理計算即可．
【詳解】解∶∵的中點分別為，
∴是的中位線，∴米，故選∶B．
【點睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．
變式2. （2023春·福建廈門·八年級校考期中）如圖，，兩地被池塘隔開，小明在外選一點，連接，，分別取，的中點，，為了測量，兩地間的距離，則可以選擇測量以下線段中哪一條的長度（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據中位線定理可得：．
【詳解】解：是的中點，是的中點，
是的中位線，，，故選：C．
【點睛】本題考查了三角形的中位線定理，屬于基礎題，熟練掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．
考點4、三角形中位線有關的證明
例1．（2023·山東煙臺市·八年級期末）如圖，在中，是邊的中線，是的中點，連接并延長交于點．求證：．
【答案】見解析
【分析】取的中點，連接，則DM是△ABF的中位線，利用中位線定理結合全等三角形的判定即可證得．
【詳解】證明：取的中點，連接，
∵是邊的中線，∴是邊的中點，∴，．
∴，．
∵是的中點，∴，
在△MDE和△FCE中，∴．
∴，∴．
【點睛】此題考查的是三角形中位線的性質，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．
變式1.（2023春·江蘇·八年級校考周測）如圖，在中，平分，于點，點是的中點．(1)如圖1，的延長線與邊相交于點D，求證：；
(2)如圖2，請直接寫出線段、、的數量關系： ．
【答案】(1)見詳解(2)
【分析】（1）先證明，根據等腰三角形的三線合一，推出，根據三角形的中位線定理即可解決問題．（2）先證明，根據等腰三角形的三線合一，推出，根據三角形的中位線定理即可解決問題．
【詳解】（1）證明：如圖1中，
平分，于點，∴，
∵，∴，∴，即是等腰三角形，
∵，，，．
（2）解：結論：，理由：如圖2中，延長交的延長線于．
，，，，
，，，
，為的中點，，
點為的中點，，；故答案為．
【點睛】本題考查三角形的中位線定理、等腰三角形的三線合一的性質等知識，解題的關鍵是熟練應用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．
變式2.（2023春·北京西城·九年級校考階段練習）我們把連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．三角形的中位線有如下性質：三角形的中位線平行于三角形的第三邊并且等于第三邊的一半．下面請對這個性質進行證明．
(1)如圖1，點，分別是的邊，的中點，求證：，且；
(2)如圖2，點是邊的中點，點是邊的中點，若，，，直接寫出的長＝______．
【答案】(1)證明見解析(2)7
【分析】（1）如圖所示，延長到F，使得，證明，得到，則，再由點D是的中點，得到，即可證明四邊形是平行四邊形，則，再由，即可證明；
（2）如圖所示，連接并延長交延長線于E，證明，得到，，即點N是的中點，由（1）的結論可知，則．
【詳解】（1）證明：如圖所示，延長到F，使得，
∵點E是的中點，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，
∵點D是的中點，∴，
∴四邊形是平行四邊形，∴，
又∵，∴，∴，且；
（2）解：如圖所示，連接并延長交延長線于E，
∵，∴，
∵點N是的中點，∴，
在和中，，∴，
∴，，即點N是的中點，
又∵點M是的中點，∴由（1）的結論可知，
∴，故答案為：7．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，平行四邊形的性質與判定，三角形中位線定理，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
考點5、反證法證明中的假設
例1．（23-24八年級下·江蘇泰州·階段練習）我們可以用反證法來證明“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于”．下面寫出了證明該問題過程中的四個步驟：①這與“三角形的內角和等于”這個定理矛盾．②所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于．③假設三角形沒有一個內角小于或等于，即三個內角都大于．④則三角形的三個內角的和大于．這四個步驟正確的順序是 .
【答案】③④①②
【分析】此題考查了反證法的步驟，三角形的內角和定理．解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．
【詳解】解：求證：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于．
證明：假設三角形沒有一個內角小于或等于，即三個內角都大于，
則三角形的三個內角的和大于，這與“三角形的內角和等于”這個定理矛盾，
所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于．
則四個步驟正確的順序是③④①②，故答案為：③④①②．
變式1. （2024八年級下·浙江·專題練習）用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于”時，應假設直角三角形中（　　）
A．兩銳角都大于 B．有一個銳角小于 C．有一個銳角大于 D．兩銳角都小于
【答案】A
【分析】本題考查了反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．用反證法證明命題的真假，應先按符合題設的條件，假設題設成立，再判斷得出的結論是否成立即可．
【詳解】解：反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于”時，
應假設直角三角形中兩銳角都大于，故選：A．
變式2．（23-24八年級下·福建漳州·階段練習）用反證法證明命題“同旁內角互補，兩直線平行”時，第一步應假設（ ）
A．兩直線不平行 B．同旁內角不互補 C．同旁內角相等 D．同旁內角不相等
【答案】A
【分析】本題主要考查了反證法．根據命題“同旁內角互補，兩直線平行”得到應先假設結論不成立，本題得以解決．
【詳解】解：由題意可得，反證法證明命題“同旁內角互補，兩直線平行”時，應先假設兩條直線不平行，故選：A．
變式3．（23-24八年級下·江西九江·階段練習）用反證法證明“”時，首先應假設 ．
【答案】/
【分析】本題考查反證法，據反證法證明“”，則與相反的全部結果為，據此即可作答．
【詳解】解：∵與相反的全部結果就為∴用反證法證明“”時，首先應假設
故答案為：
考點6、用反證法證明命題
例1．（23-24八年級下·陜西榆林·階段練習）用反證法求證：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和將下面的過程補充完整．
已知：如圖，是的一個外角．
求證：
證明：假設___________．
在中，，
∴___________．
∵___________，
∴___________，
∴___________．
與假設相矛盾，
∴假設___________
∴原命題成立，即．
【答案】見解析
【分析】本題考查三角形的外角性質的證明，反證法等知識，根據三角形的內角和定理和鄰補角互補即可證明，掌握三角形的內角和與反證法的解題思路是解題的關鍵．
【詳解】證明：假設．
在中，，．
，，
，與假設相矛盾，
假設不成立，原命題成立，即．
故答案為：；；；；，不成立．
變式1.（23-24八年級下·浙江·課后作業）如圖，在中，，是的中線，于點E，用反證法證明：點D與點E不重合．
【答案】見解析
【分析】本題考查等腰三角形“三線合一”的性質．假設點D與點E重合．根據是的中線，，則，與相矛盾，即可得出結論．
【詳解】證明：假設點D與點E重合．
∵是的中線，，∴垂直平分，
∴，與相矛盾，∴點D與點E不重合．
變式2.（23-24八年級·陜西咸陽·階段練習）用反證法證明在中至多有兩個角大于．
【答案】證明見解析．
【分析】本題主要考查了反證法，三角形內角和定理，先假設中有三個內角大于，進而推出三個內角度數之和大于180度，這與三角形內角和定理矛盾，由此即可證明結論．
【詳解】證明：假設中有三個內角大于，
則大于，大于，大于，、、三個角之和大于，
這與三角形內角和等于相矛盾，故在中至多有兩個角大于．
變式3．（2023春·浙江·八年級專題練習）用反證法證明：兩直線平行，同旁內角互補（填空）．
已知：如圖，，，都被所截．
求證：．
證明：假設　　，
∵，
∴　　　，
∵，
∴　　，這與　　　矛盾，
∴假設　　不成立，即；
【答案】見解析
【分析】假設結論不成立，利用平行線性質推出矛盾即可得到答案；
【詳解】證明：假設，
∵，
∴，
∵，
∴，這與平角為矛盾，
∴假設不成立，即，
故答案為：；；；平角為；．
【點睛】本題考查反正法及平行線性質，解題的關鍵是掌握反正法：假設結論不成立，推出矛盾．
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24九年級上·浙江湖州·期末）要測量池塘兩岸的距離，小明想出一個方法：在池塘外取點，得到線段，并取的中點，連結，則他只需測量哪條線段的長度．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是三角形中位線定理，熟記三角形中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．根據三角形中位線定理解答即可．
【詳解】解：，分別為，的中點，是的中位線，
，要測量，兩地的距離，他只需測量長，故選：B．
2．（2023·浙江寧波·統考一模）如圖，在中，，分別為，的中點，點是線段上的點，且，若，，則（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】B
【分析】根據三角形中位線定理求出，根據直角三角形的性質求出，計算即可．
【詳解】解：∵D、E分別為，的中點，，∴，
∵，∵D為的中點，，∴，∴，故選：B．
【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質，解題的關鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．
3．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，已知是的一條高線，點是的中點，點是的中點，連接、、，如果，，的周長為，則的長為（ ）
A．9 B．8 C．7.5 D．7
【答案】D
【分析】根據題意，得出是的中位線，根據中位線的性質，得出，再根據題意，得出，再根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，得出，再根據三角形的周長，得出，再根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可得出答案．
【詳解】解：∵點是的中點，點是的中點，，
∴是的中位線，∴，
∵是的一條高線，∴，
∵點是的中點，，∴，
∵的周長為，∴，∴，
在中，，點是的中點，∴，故選：D．
【點睛】本題考查了三角形中位線的性質、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，解本題的關鍵在熟練掌握相關的性質．
4．（22-23八年級上·四川眉山·期末）用反證法證明命題“三角形中至少有一個內角小于或等于60°”時，首先應該假設這個三角形中（ ）
A．每一個內角都大于60° B．每一個內角都小于60°
C．有一個內角大于60° D．有一個內角小于60°
【答案】A
【分析】本題考查的是反證法的運用，反證法的一般步驟是：①假設命題的結論不成立；②從這個假設出發，經過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結論正確．
反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立，據此進行判定．
【詳解】解：反證法證明命題“三角形中至少有一個內角小于或等于60°”時，
首先應假設這個三角形中每一個內角都大于60°．故選：A．
5．（23-24八年級上·河北邯鄲·期末）我們可以用反證法來證明“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于”．下面寫出了證明該問題過程中的四個步驟：①這與“三角形的內角和等于”這個定理矛盾．②所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于．③假設三角形沒有一個內角小于或等于，即三個內角都大于．④則三角形的三個內角的和大于．這四個步驟正確的順序是（ ）
A．①②③④） B．③④②① C．③④①② D．④③②①
【答案】C
【分析】此題考查了反證法的步驟，三角形的內角和定理，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．
【詳解】解：求證：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于．
證明：假設三角形沒有一個內角小于或等于，即三個內角都大于，
則三角形的三個內角的和大于，這與“三角形的內角和等于”這個定理矛盾，
所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于．
則四個步驟正確的順序是③④①②，故選：C．
6．（23-24八年級上·吉林長春·期末）我們可以用以下推理來證明“當一個三角形的三邊長滿足時，這個三角形不是直角三角形”．假設這個三角形是直角三角形，根據勾股定理，這與已知條件矛盾，因此假設不成立，即這個三角形不是直角三角形．上述推理使用的證明方法是（　　）
A．比較法 B．反證法 C．綜合法 D．分析法
【答案】B
【分析】本題主要考查了反證法的應用，反證法的一般步驟“假設命題的結論不成立；從這個假設出發，經過推理論證，得出矛盾；由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結論正確”是解題的關鍵．
根據反證法的一般步驟判斷即可．
【詳解】解：推理使用的證明方法是：反證法．故選：B．
7．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯考期中）如圖，四邊形中，與不平行，M，N分別是的中點，，則的長可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】連接，取的中點為E，連接，，結合題中條件可得，，根據三角形三邊之間的關系，即可解答．
【詳解】解：如圖，連接，取的中點為E，連接，，
M，N分別是，的中點，，，，
在中，，∴即，
∴的長可能是4．故選：A．
【點睛】本題考查了三角形的中位線，三角形三邊之間的關系，作出正確的輔助線是解題的關鍵．
8．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，在中，，平分交于點D，點F在上，且，連接，E為的中點，連接，則的長為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根據等腰三角形的三線合一得到，根據三角形中位線定理計算得到答案．
【詳解】解：∵，，∴，
∵，平分，∴，
∵，∴是的中位線，∴．故選：B．
【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關鍵．
9．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，是的中線，E是的中點，F是延長線與的交點，若，則（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】的中點H，連接，根據三角形中位線定理得到，，證明，根據全等三角形的性質得到，計算即可．
【詳解】解：取的中點H，連接，
∵，∴，，∴，
在和中，，∴，∴，∴，
∵，∴，故選：B．
【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、三角形全等的判定和性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．
10．（23-24九年級上·浙江杭州·期末）如圖，在中，，現以A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點D，E．再分別以D，E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點F，射線交于點P，取的中點Q，連結．若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．7
【答案】A
【分析】本題考查作圖﹣基本作圖，角平分線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理等知識，求出的面積，再利用三角形中線的性質求解，解題的關鍵是掌握等腰三角形的性質．
【詳解】解：∵，平分，∴， ，
∴，∴，
∵，∴．故選：A．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（23-24九年級上·浙江·課時練習）求證：兩直線平行，內錯角相等．
如圖1，若，且，被所截，求證：．

以下是打亂的用反證法證明的過程：
①如圖2，過點作直線，使；
②依據“內錯角相等，兩直線平行”，可得；
③假設；④∴；
⑤與“過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾，假設不成立．
證明步驟的正確順序是 ．
【答案】③①②⑤④
【分析】反證法：先假設的結論的反面成立，再通過推論說明假設不成立，從而可得原來結論成立，根據反證法的步驟可得答案．
【詳解】證明：③假設；①如圖2，過點作直線，使；
②依據“內錯角相等，兩直線平行”，可得；
⑤與“過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾，假設不成立．
④∴；故答案為：③①②⑤④
【點睛】本題考查的是反證法的含義，掌握反證法的步驟是解本題的關鍵．
12．（23-24八年級上·黑龍江大慶·期末）如圖所示，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小聰想用繩子測量A，B間的距離，但繩子不夠長，一位同學幫他想了一個主意：先在地上取一個可以直接到達A，B的點C，找到，的中點D，E，并且測出的長為，則A，B間的距離為 ．
【答案】
【分析】本題考查的是三角形中位線定理的應用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．根據三角形中位線定理解答即可．
【詳解】解：∵點D，E是，的中點，，∴，故答案為：．
13．（2023春·廣東韶關·八年級統考期中）如圖，在中，已知，，平分交邊于點E，點、分別是、的中點，則等于 .
【答案】1cm
【分析】先根據平行四邊形的性質得到，再由平行線的性質和角平分線的定義證明，得到，則，再證明是的中位線，則．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，
∵平分，∴，∴，
∴，∴，
∵點F，點分別是、的中點，∴是的中位線，∴，故選A．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的性質與判定，角平分線的定義，三角形中位線定理，由角平分線和平行得出是等腰三角形再求出是解題的關鍵．
14．（2023春·湖北武漢·八年級武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）校考階段練習）已知中，D、E、F分別是邊的中點，若的周長為，則的周長為________．
【答案】
【分析】先根據題意畫出相應的圖形，再利用三角形中位線的性質進行推導即可得到答案．
【詳解】解：根據題意畫出圖形如下：
∵點、、分別是的中點∴、、是的三條中位線
∴、、，
∵的周長是∴
∴
∴的周長是．故答案為：
【點睛】本題考查了三角形中位線的定義和性質，熟練掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半是解決問題的關鍵。
15．（2023·江蘇鹽城·統考模擬預測）如圖，在平行四邊形中，點E在邊上，連接并延長至點F，使，連接并延長至點G，使，連接若，，則的度數為
【答案】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質；熟練掌握平行四邊形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．由平行四邊形的性質和平行線的判定和性質得出答案即可．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，
，，，
，，是是中位線，，
故答案為：
16．（2023·吉林·校考二模）如圖，在中，，、分別是、的中點．是上一點，連接、．若，，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質，根據直角三角形的性質求出，得到的長，根據三角形中位線定理解答，熟練掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．
【詳解】解：在中，點是的中點，∴，∵，∴，
∵、分別是、的中點，∴，故答案為：．
17．（2023·廣西·統考中考真題）如圖，在邊長為2的正方形中，E，F分別是上的動點，M，N分別是的中點，則的最大值為 ．

【答案】
【分析】首先證明出是的中位線，得到，然后由正方形的性質和勾股定理得到，證明出當最大時，最大，此時最大，進而得到當點E和點C重合時，最大，即的長度，最后代入求解即可．
【詳解】如圖所示，連接，

∵M，N分別是的中點，∴是的中位線，∴，
∵四邊形是正方形，∴，∴，
∴當最大時，最大，此時最大，
∵點E是上的動點，∴當點E和點C重合時，最大，即的長度，
∴此時，∴，∴的最大值為．故答案為：．
【點睛】此題考查了正方形的性質，三角形中位線的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．
18.（2023·江蘇·統考中考真題）如圖，在中，，D是AC延長線上的一點，．M是邊BC上的一點（點M與點B、C不重合），以CD、CM為鄰邊作．連接并取的中點P，連接，則的取值范圍是 ．

【答案】
【分析】過點B作交的延長線于點，連接，過點P作的平行線交于點，交于點，連接，過點作，分析可知為的最大值，為的最小值，據此即可求解．
【詳解】解：過點B作交的延長線于點，連接，過點P作的平行線交于點，交于點，連接，過點作，如圖所示：

由題意得：點在線段上運動（不與點重合），點在線段上運動（不與點重合），故：為的最大值，為的最小值
∵∴∵∴
∵且∴∵P為的中點∴
∵P為的中點∴為的中點∴
∵∴故
∵點M與點B、C不重合∴的取值范圍是故答案為：
【點睛】本題綜合考查了勾股定理、動點軌跡問題．根據題意確定動點軌跡是解題關鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023春·北京海淀·八年級北大附中校考期中）如圖，在中，，在邊上截取，連接，過點作于點．已知，，如果是邊的中點，連接，求的長．
【答案】2
【分析】先利用勾股定理可得，從而可得，再根據等腰三角形的三線合一可得點是的中點，然后根據三角形中位線定理即可得．
【詳解】解：在中，，，，，
，，
又，，點是的中點，
是邊的中點，．
【點睛】本題考查了勾股定理、等腰三角形的三線合一、三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題關鍵．
20．（2023·浙江湖州·統考中考真題）如圖，在中，，于點D，點E為AB的中點，連結DE．已知，，求BD，DE的長．
【答案】
【分析】先根據等腰三角形三線合一性質求出的長，再根據勾股定理求得的長，最后根據條件可知是的中位線，求得的長．
【詳解】解，∵，于點D，∴． ∵，∴．
∵于點D，∴，∴在中，．
∵，∴，
∵E為AB的中點，∴．
【點睛】此題考查了三角形中位線的判定與性質、等腰三角形的性質，熟記三角形中位線的判定與性質、等腰三角形的性質是解題的關鍵．
21．（23-24八年級上·山西臨汾·期末）反證法是數學證明的一種重要方法．請將下面運用反證法進行證明的過程補全．
已知：在中，．求證：．
證明：假設_____________________．
∵，
∴，
∴，
這與_______________________．
∴_______________________不成立．
∴
【答案】；三角形內角和定理或三角形的內角和等于相矛盾；此假設
【分析】根據反證法的證明步驟分析即可．
【詳解】解：證明：假設
∵，∴，∴，
這與三角形內角和定理或三角形的內角和等于相矛盾．
∴此假設不成立．∴，
故答案為：；三角形內角和定理或三角形的內角和等于相矛盾；此假設．
【點睛】本題考查的是三角形的內角和定理，等邊對等角及反證法，反證法的一般步驟是：①假設命題的結論不成立；②從這個假設出發，經過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結論正確．
22．（2023春·北京西城·八年級北師大實驗中學校考期中）我們把連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．三角形的中位線有如下性質：三角形的中位線平行于三角形的第三邊并且等于第三邊的一半．下面請對這個性質進行證明．
(1)如圖1，點D，E分別是的邊，的中點，求證：，且；
(2)如圖2，四邊形中，點M是邊的中點，點N是邊的中點，若，，，直接寫出的長．
【答案】(1)見解析(2)6
【分析】（1）如圖所示，延長到F，使得，證明，得到，則，再由點D是的中點，得到，即可證明四邊形是平行四邊形，則，，再由，即可證明；
（2）如圖所示，連接并延長交延長線于E，證明，得到，，即點N是的中點，由（1）的結論可知，則．
【詳解】（1）證明：如圖所示，延長到F，使得，
∵點E是的中點，∴，在和中，，∴，
∴，∴，
∵點D是的中點，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，
又，∴，∴，且；
（2）解：如圖所示，連接并延長交延長線于E，
∵，∴，
∵點N是的中點，∴，
在和中，，∴，
∴，，即點N是的中點，
又∵點M是的中點，∴由（1）的結論可知，∴．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，平行四邊形的性質與判定，三角形中位線定理，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
23．（2023·北京海淀·校考模擬預測）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．
已知：如圖，中，、分別是、的中點．求證：，且．
方法一證明：如圖，延長至點，使，連接． 方法二證明：如圖，過點作交于．
【答案】見解析
【分析】方法一：如圖，延長至點，使，連接．先證明，可得，，可證得四邊形為平行四邊形，即可求證；方法二：過點作交于．先證明，可得，，可證得四邊形為平行四邊形，即可求證．
【詳解】證明方法一：如圖，延長至點，使，連接．
點為的中點，，
，，，
，，，即，
點為的中點，，四邊形為平行四邊形，，，
，，且．
方法二：過點作交于．，，
點為的中點，，，，，
點為的中點，，
，四邊形為平行四邊形，，，
，，且．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，三角形中位線定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質是解題的關鍵．
24．（2023春·北京海淀·八年級校考期中）如圖所示，點為內一點，平分，且交于點，點為邊的中點，點在上，且．
(1)證明：四邊形是平行四邊形；(2)請直接寫出線段，，之間的數量關系：______．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）先證明，可得． 結合點為邊的中點，可得為的中位線， 則．再結合已知條件可得結論； （2） 由D、E分別是、的中點， 可得． 由， 可得， 結合，可得答案．
【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，理由如下：
∵， ∴，
∵ 平分，∴，∴． ∴．
∵點為邊的中點， ∴為的中位線， ∴．
∵， ∴四邊形是平行四邊形；
（2）如圖，由（1）得：． ∵D、E分別是、的中點， ∴．
∵， ∴， ∵，∴．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，三角形中位線定理，證明四邊形是平行四邊形是解題的關鍵．
25．（2023·陜西寶雞·校考一模）問題提出:
如圖，在中，．若，則的值為__________．
問題探究:如圖，在四邊形中，對角線、相交于點，、、、分別為、、、的中點，連接、、、．若，求四邊形的面積．
問題解決:如圖，某市有一塊五邊形空地，其中米，米，米，米，現計劃在五邊形空地內部修建一個四邊形花園，使點、、、分別在邊、、、上，要求請問，是否存在符合設計要求的面積最大的四邊形花園？若存在，求四邊形面積的最大值；若不存在，請說明理由．
【答案】問題提出：；問題探究：；問題解決：存在四邊形面積的最大值，四邊形的最大面積為平方米．
【分析】問題提出：由，得，得出，進一步得出結果；
問題探究：根據三角形中位線性質可得出，，，，從而得出四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，從而，進一步得出結果；問題解決：延長，，交于，可得出四邊形是矩形，設，，表示出和的面積，進而表示出四邊形的面積，配方后求出結果．
【詳解】解：問題提出∵，∴，∴，∴，故答案為：；
問題探究如圖，設，交于點，，交于點，作于，
∵、、、分別為、、、的中點，
∴，，，，
∴四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，
∴，∴，
∴；
問題解決：如下圖，延長，，交于，
∵∴四邊形是矩形，∴，，
∵，，∴，，
∵，∴可設，，
∴，∴，
∴
∴存在四邊形面積的最大值，當米時，四邊形的最大面積平方米．
【點睛】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質，解直角三角形，二次函數的應用，平行線分線段成比例定理等知識，解決問題的關鍵是設變量建立函數關系式．
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專題4-5 中位線+專題4-6 反證法
模塊1：學習目標
1.了解反證法的基本步驟,會用反證法證明簡單的命題。
2.理解三角形中位線的定義。
3.掌握三角形中位線定理證明及其應用。
4.理解三角形中位線定理的本質與核心，培養學生的化歸思想。
模塊2：知識梳理
1.三角形的中位線定理：
1）三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段稱為中位線（三角形中有3條中位線）
2）三角形中位線定理：如下圖，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，即若點D、E分別為AB、AC的中點，則DE//BC且DE=BC。
2.反證法：在證明時，不是從已知條件出發直接證明命題成立，而是先提出與結論相反的假設，然后由假設出發推導出矛盾的結果，從而得到假設是錯誤的，可間接得到命題的結論是成立的，這種證明方法稱為反證法（假設法）。
3.反證法的步驟：（1）反設——假定原命題的結論不成立，即肯定原命題的反面；（2）歸繆——根據反設，進行嚴密的推理，直到得出矛盾，即或與已知條件相矛盾，或與已知的公理、定理、定義、性質、公式等相矛盾，或與反設相矛盾；或自相矛盾，或甚至可以與正常生活中的事實相矛盾，等等；（3）結論——肯定原命題正確。
模塊3：核心考點與典例
考點1、與三角形中位線有關的求解問題
例1．（2023·江蘇鹽城·統考中考真題）在中，，分別為邊，的中點，，則的長為 cm.
變式1. （2023·湖北荊門·統考中考真題）如圖，為斜邊上的中線，為的中點．若，，則 ．

變式2.（2023·河北·模擬預測）如圖，在矩形中，，分別是，上的點，，分別是，的中點，當點在上從點向點移動，而點保持不動時，下列結論成立的是( )

A．線段的長逐漸增大 B．線段的長逐漸減小
C．線段的長不變 D．線段的長先增大后減小
變式3.（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，在中，平分，點E為的中點，連接，若，則的長為（　　）
A． B．2 C．3 D．
考點2、三角形中位線與三角形面積（周長）問題
例1．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，在中，D，E分別是，的中點，是邊上的一個動點，連接，，．若的面積為，則的面積是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
變式1.（2023春·浙江·八年級期中）如圖，D是內一點，，，，，E、F、G、H分別是、、、的中點，則四邊形的周長是（　　）
A．7 B．9 C．11 D．13
變式2.（23-24八年級上·山東煙臺·期末）如圖，是的中位線，是的中點，的延長線交于點，若的面積為2，則的面積為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
考點3、三角形中位線的實際應用
例1．（2023·浙江金華·統考中考真題）如圖，把兩根鋼條的一個端點連在一起，點分別是的中點．若，則該工件內槽寬的長為 ．

變式1. （2023·云南·統考中考真題）如圖，兩點被池塘隔開，三點不共線．設的中點分別為．若米，則（ ）

A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
變式2. （2023春·福建廈門·八年級校考期中）如圖，，兩地被池塘隔開，小明在外選一點，連接，，分別取，的中點，，為了測量，兩地間的距離，則可以選擇測量以下線段中哪一條的長度（ ）
A． B． C． D．
考點4、三角形中位線有關的證明
例1．（2023·山東煙臺市·八年級期末）如圖，在中，是邊的中線，是的中點，連接并延長交于點．求證：．
變式1.（2023春·江蘇·八年級校考周測）如圖，在中，平分，于點，點是的中點．(1)如圖1，的延長線與邊相交于點D，求證：；
(2)如圖2，請直接寫出線段、、的數量關系： ．
變式2.（2023春·北京西城·九年級校考階段練習）我們把連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．三角形的中位線有如下性質：三角形的中位線平行于三角形的第三邊并且等于第三邊的一半．下面請對這個性質進行證明．
(1)如圖1，點，分別是的邊，的中點，求證：，且；
(2)如圖2，點是邊的中點，點是邊的中點，若，，，直接寫出的長＝______．
考點5、反證法證明中的假設
例1．（23-24八年級下·江蘇泰州·階段練習）我們可以用反證法來證明“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于”．下面寫出了證明該問題過程中的四個步驟：①這與“三角形的內角和等于”這個定理矛盾．②所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于．③假設三角形沒有一個內角小于或等于，即三個內角都大于．④則三角形的三個內角的和大于．這四個步驟正確的順序是 .
變式1. （2024八年級下·浙江·專題練習）用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于”時，應假設直角三角形中（　　）
A．兩銳角都大于 B．有一個銳角小于 C．有一個銳角大于 D．兩銳角都小于
變式2．（23-24八年級下·福建漳州·階段練習）用反證法證明命題“同旁內角互補，兩直線平行”時，第一步應假設（ ）
A．兩直線不平行 B．同旁內角不互補 C．同旁內角相等 D．同旁內角不相等
變式3．（23-24八年級下·江西九江·階段練習）用反證法證明“”時，首先應假設 ．
考點6、用反證法證明命題
例1．（23-24八年級下·陜西榆林·階段練習）用反證法求證：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和將下面的過程補充完整．
已知：如圖，是的一個外角．
求證：
證明：假設___________．
在中，，
∴___________．
∵___________，
∴___________，
∴___________．
與假設相矛盾，
∴假設___________
∴原命題成立，即．
變式1.（23-24八年級下·浙江·課后作業）如圖，在中，，是的中線，于點E，用反證法證明：點D與點E不重合．
變式2.（23-24八年級·陜西咸陽·階段練習）用反證法證明在中至多有兩個角大于．
變式3．（2023春·浙江·八年級專題練習）用反證法證明：兩直線平行，同旁內角互補（填空）．
已知：如圖，，，都被所截．
求證：．
證明：假設　　，
∵，
∴　　　，
∵，
∴　　，這與　　　矛盾，
∴假設　　不成立，即；
模塊4：同步培優題庫
全卷共25題 測試時間：80分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24九年級上·浙江湖州·期末）要測量池塘兩岸的距離，小明想出一個方法：在池塘外取點，得到線段，并取的中點，連結，則他只需測量哪條線段的長度．（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江寧波·統考一模）如圖，在中，，分別為，的中點，點是線段上的點，且，若，，則（ ）
A．1 B． C． D．4
3．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，已知是的一條高線，點是的中點，點是的中點，連接、、，如果，，的周長為，則的長為（ ）
A．9 B．8 C．7.5 D．7
4．（22-23八年級上·四川眉山·期末）用反證法證明命題“三角形中至少有一個內角小于或等于60°”時，首先應該假設這個三角形中（ ）
A．每一個內角都大于60° B．每一個內角都小于60°
C．有一個內角大于60° D．有一個內角小于60°
5．（23-24八年級上·河北邯鄲·期末）我們可以用反證法來證明“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于”．下面寫出了證明該問題過程中的四個步驟：①這與“三角形的內角和等于”這個定理矛盾．②所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于．③假設三角形沒有一個內角小于或等于，即三個內角都大于．④則三角形的三個內角的和大于．這四個步驟正確的順序是（ ）
A．①②③④） B．③④②① C．③④①② D．④③②①
6．（23-24八年級上·吉林長春·期末）我們可以用以下推理來證明“當一個三角形的三邊長滿足時，這個三角形不是直角三角形”．假設這個三角形是直角三角形，根據勾股定理，這與已知條件矛盾，因此假設不成立，即這個三角形不是直角三角形．上述推理使用的證明方法是（　　）
A．比較法 B．反證法 C．綜合法 D．分析法
7．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯考期中）如圖，四邊形中，與不平行，M，N分別是的中點，，則的長可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，在中，，平分交于點D，點F在上，且，連接，E為的中點，連接，則的長為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，是的中線，E是的中點，F是延長線與的交點，若，則（ ）
A．3 B．2 C． D．
10．（23-24九年級上·浙江杭州·期末）如圖，在中，，現以A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點D，E．再分別以D，E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點F，射線交于點P，取的中點Q，連結．若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．7
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（23-24九年級上·浙江·課時練習）求證：兩直線平行，內錯角相等．
如圖1，若，且，被所截，求證：．

以下是打亂的用反證法證明的過程：
①如圖2，過點作直線，使；
②依據“內錯角相等，兩直線平行”，可得；
③假設；④∴；
⑤與“過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾，假設不成立．
證明步驟的正確順序是 ．
12．（23-24八年級上·黑龍江大慶·期末）如圖所示，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小聰想用繩子測量A，B間的距離，但繩子不夠長，一位同學幫他想了一個主意：先在地上取一個可以直接到達A，B的點C，找到，的中點D，E，并且測出的長為，則A，B間的距離為 ．
13．（2023春·廣東韶關·八年級統考期中）如圖，在中，已知，，平分交邊于點E，點、分別是、的中點，則等于 .
14．（2023春·湖北武漢·八年級武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）校考階段練習）已知中，D、E、F分別是邊的中點，若的周長為，則的周長為________．
15．（2023·江蘇鹽城·統考模擬預測）如圖，在平行四邊形中，點E在邊上，連接并延長至點F，使，連接并延長至點G，使，連接若，，則的度數為
16．（2023·吉林·校考二模）如圖，在中，，、分別是、的中點．是上一點，連接、．若，，則的長為 ．
17．（2023·廣西·統考中考真題）如圖，在邊長為2的正方形中，E，F分別是上的動點，M，N分別是的中點，則的最大值為 ．

18.（2023·江蘇·統考中考真題）如圖，在中，，D是AC延長線上的一點，．M是邊BC上的一點（點M與點B、C不重合），以CD、CM為鄰邊作．連接并取的中點P，連接，則的取值范圍是 ．

三、解答題（本大題共7小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2023春·北京海淀·八年級北大附中校考期中）如圖，在中，，在邊上截取，連接，過點作于點．已知，，如果是邊的中點，連接，求的長．
20．（2023·浙江湖州·統考中考真題）如圖，在中，，于點D，點E為AB的中點，連結DE．已知，，求BD，DE的長．
21．（23-24八年級上·山西臨汾·期末）反證法是數學證明的一種重要方法．請將下面運用反證法進行證明的過程補全．
已知：在中，．求證：．
證明：假設_____________________．
∵，
∴，
∴，
這與_______________________．
∴_______________________不成立．
∴
22．（2023春·北京西城·八年級北師大實驗中學校考期中）我們把連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．三角形的中位線有如下性質：三角形的中位線平行于三角形的第三邊并且等于第三邊的一半．下面請對這個性質進行證明．
(1)如圖1，點D，E分別是的邊，的中點，求證：，且；
(2)如圖2，四邊形中，點M是邊的中點，點N是邊的中點，若，，，直接寫出的長．
23．（2023·北京海淀·校考模擬預測）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．
已知：如圖，中，、分別是、的中點．求證：，且．
方法一證明：如圖，延長至點，使，連接． 方法二證明：如圖，過點作交于．
24．（2023春·北京海淀·八年級校考期中）如圖所示，點為內一點，平分，且交于點，點為邊的中點，點在上，且．
(1)證明：四邊形是平行四邊形；(2)請直接寫出線段，，之間的數量關系：______．
25．（2023·陜西寶雞·校考一模）問題提出:
如圖，在中，．若，則的值為__________．
問題探究:如圖，在四邊形中，對角線、相交于點，、、、分別為、、、的中點，連接、、、．若，求四邊形的面積．
問題解決:如圖，某市有一塊五邊形空地，其中米，米，米，米，現計劃在五邊形空地內部修建一個四邊形花園，使點、、、分別在邊、、、上，要求請問，是否存在符合設計要求的面積最大的四邊形花園？若存在，求四邊形面積的最大值；若不存在，請說明理由．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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