資源簡介

1.1 數列
【學習目標】
1.了解數列的概念和數列的幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式),會根據數列的前幾項寫出數列的通項公式.(數學抽象、邏輯推理)
2.理解數列的通項公式,并能夠根據通項公式求數列中的某些項.(數學運算)
3.用函數思想理解數列,掌握數列的單調性,要求能夠對數列進行合理分類,以提高學生分析問題和解決問題的能力.(數學抽象、邏輯推理)
【自主預習】
1.數列的定義是什么
【答案】一般地,我們把按照一定次序排列的一列數稱為數列.
2.數列的項與項數有什么不同
【答案】　數列的項與項數是兩個不同的概念,數列的項是指這個數列中的某一個確定的數,它是一個函數值,即f(n);而項數是指這個數在數列中的位置序號,它是函數值f(n)對應的自變量的值,即n.
3.同一個數在數列中能重復出現嗎
【答案】　能,數列中的數可以重復出現.
4.數列1,2,3,4,5與{1,2,3,4,5}有什么區別
【答案】　一方面,形式上不一致;另一方面,集合中的元素具有無序性.
5.什么叫數列的通項公式
【答案】　如果數列{an}的第n項an與序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫作這個數列的通項公式.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)數列1,1,1,…是無窮數列. (　　)
(2)數列1,2,3,4和數列1,2,4,3是同一個數列. (　　)
(3)有些數列沒有通項公式. (　　)
(4)如果一個數列不是遞增數列,那么它一定是遞減數列. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.已知數列1,1,2,3,5,8,…,則144是該數列的第(　　)項.
A.10　　　　B.11　　　　 C.12　　　　D.13
【答案】　C
【解析】　由題意可得,數列從第3項起,每一項都等于前兩項的和,所以這個數列為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,所以144是該數列的第12項.
3.數列0,1,2,3,4,…的一個通項公式可以為(　　).
A.an=n-1 B.an=n
C.an=n+1 D.an=n2-1
【答案】　A
【解析】　結合選項可知,an=n-1,故選A.
4.下列說法正確的是　　　　(填序號).
①1,1,1,1是有窮數列;
②從小到大的自然數構成一個無窮遞增數列;
③數列1,2,3,4,…,2n是無窮數列.
【答案】　①②
【解析】　因為1,1,1,1只有4項,所以①正確;②正確;數列1,2,3,4,…,2n,共有2n項,是有窮數列,所以③錯誤.
【合作探究】
探究1 數列的概念
　　2022年在北京舉辦了冬奧會,第17屆冬季奧運會是在1994年舉辦的,每四年舉辦一屆.
問題1:北京冬奧會是第多少屆
答案　由題意可知舉辦冬奧會的年份分別是1994,1998,2002,2006,2010,2014,2018,2022,因為1994年是第17屆,所以2022年北京冬奧會是第24屆.
問題2:預計第27屆冬奧會是哪一年
【答案】　是2034年.
問題3:我們能否引入一個符號,體現第17屆冬奧會到第24屆冬奧會的屆別與舉辦年份數之間的關系
【答案】　記第i屆冬奧會為ai,那么a17=1994,a18=1998,a19=2002,a20=2006,a21=2010,a22=2014,a23=2018,a24=2022.
問題4:結合教材中的例子,這些數的共同特點是什么
【答案】　(1)都是一系列數;(2)這些數有一定的次序.
新知生成
1.數列的定義:按照一定次序排列的一列數稱為數列,數列中的每一個數叫作這個數列的項.數列中的每一項都和它的序號有關,排在第一位的數稱為這個數列的第1項(通常也叫作首項),排在第n位的數稱為這個數列的第n項.
2.數列中的數是按一定次序排列的,因此,如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同,那么它們就是不同的數列.
3.數列的定義中,并沒有規定數列中的數必須相同,因此,同一個數在數列中是允許重復出現的.
新知運用
例1　下列有關數列的說法,正確的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
①數列1,2,3可以表示成{1,2,3};②數列-1,0,1與數列1,0,-1是同一數列;③數列的第k-1項是;④數列中的每一項都與它的序號有關.
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【答案】　B
【解析】　①錯誤,數列和集合是不同的概念;②錯誤,數列-1,0,1與數列1,0,-1是不同的數列.故選B.
【方法總結】{an}與an是不同的概念,前者表示a1,a2,a3,…,an,…,后者僅表示數列的第n項,對于數列的概念問題,應緊緊抓住概念進行判別.
1.以下說法正確的是(　　).
A.同一數列的任意兩項均不可能相同
B.數列中的項與順序無關
C.數列0,2,4,6,…可記為{2n}
D.數列0,1,2,3,4,5,6,7,…的第8項為7
【答案】　D
【解析】　A錯誤,例如無窮個3構成的常數列3,3,…,3,…;B錯誤,數列中的項與順序有關;C錯誤,數列0,2,4,6,…的首項為0,數列{2n}的首項為2.故選D.
2.在數列0,,,,…,,…中,是它的第　　　　項.
【答案】　7
解析　令=,解得n=7,所以是它的第7項.
探究2 數列的通項
　　大衍數列,來源于我國的《乾坤譜》,是世界數學史上最古老的數列,主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理,其前11項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60.
問題1:依據大衍數列的前11項中的奇數項,寫出大衍數列奇數項的通項公式.
【答案】　大衍數列的奇數項0=,4=,12=,根據此規律可知,大衍數列奇數項的通項公式an=.
問題2:大衍數列的第41項是多少
【答案】　因為大衍數列奇數項的通項公式為an=,所以大衍數列的第41項是=840.
新知生成
　　數列的一般形式可以寫成a1,a2,a3,…,an,…,其中an是數列的第n項.常把一般形式的數列簡記作{an}.
通項公式:如果數列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫作這個數列的通項公式.
新知運用
例2　根據下面各數列的前幾項,寫出數列的一個通項公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
(2),,,,,…;
(3),2,,8,,…;
(4)5,55,555,5555,….
【解析】　(1)偶數項為正,奇數項為負,故通項公式的正負性可用(-1)n來調節,觀察各項的絕對值,后一項的絕對值總比它前一項的絕對值大6,故數列的一個通項公式為an=(-1)n·(6n-5).
(2)這是一個分數數列,其分子構成偶數數列,而分母可分解為1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一項都是兩個相鄰奇數的乘積.故數列的一個通項公式為an=.
(3)數列的各項,有的是分數,有的是整數,可將數列的各項都統一成分數再觀察,即,,,,,…,故數列的一個通項公式為an=.
(4)將原數列改寫為×9,×99,×999,…,易知數列9,99,999,…的通項為10n-1,故數列的一個通項公式為an=(10n-1).
【方法總結】(1)對于正負符號的變化,可用(-1)n或(-1)n+1來調整;
(2)先考慮分母的變化規律,再考慮分子與分母的關系和變化規律;
(3)對于各項中有分數又有整數的變化,應統一化為分數形式再觀察其規律;
(4)從考慮數列5,55,555,5555,…和數列9,99,999,9999,…的關系著手.
1.按數列的排列規律猜想數列中的項,已知數列2,3,5,8,13,x,34,55,…,則x的值是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.19 B.20 C.21 D.22
【答案】　C
【解析】　由數列2,3,5,8,13,x,34,55,…,可得規律是2+3=5,3+5=8,8+13=21=x,13+x=34,…,則x=21.
2.根據下列數列的前4項,寫出數列的一個通項公式:
(1),,,,…;
(2)-,,-,,…;
(3),1,,,…;
(4)0.8,0.88,0.888,….
【解析】　(1)所給數列的前4項中,每一項的分子比分母少1,且分母依次為21,22,23,24,所以原數列的一個通項公式為an=.
(2)所給數列可寫成(-1)1×,(-1)2×,(-1)3×,(-1)4×,…,
所以原數列的一個通項公式為an=(-1)n×=.
(3)所給數列可寫成,,,,…,數列3,5,7,9,…的一個通項公式為bn=2n+1,數列2,5,10,17,…的一個通項公式為cn=n2+1,所以原數列的一個通項公式為an=.
(4)所給數列可寫成×1-,×1-,×1-,…,
所以原數列的一個通項公式為an=1- .
探究3 數列與函數的關系
　　問題1:我們已經歸納出了數列的概念,從給出的具體例子中你能發現數列與函數的聯系嗎 如果數列是函數,那么它們的對應關系、定義域分別是什么
【答案】　數列是特殊的函數,它們的對應關系是an=f(n),定義域是N* .
問題2:1,3,5,7是一個數列,7,5,3,1也是一個數列,這兩個數列是不是同一個數列 是否具有單調性 你能寫出一個遞增的數列嗎
【答案】　不是;具有單調性,1,3,5,7是遞增數列,7,5,3,1是遞減數列;能,如2,4,6,8,10,….
新知生成
1.數列的分類
(1)數列按項數是有限還是無限來分,分為有窮數列、無窮數列.
(2)數列按項的增減規律分為遞增數列、遞減數列、擺動數列和常數列.遞增數列 an+1>an;遞減數列 an+12.數列與函數的關系
將數列與函數作比較,數列是特殊的函數,特殊在定義域是正整數集或它的有限子集{1,2,3,…,n},其圖象是無限個或有限個孤立的點,并且都是分布在y軸的右側.
新知運用
例3　(1)已知遞增數列{an}滿足an=則實數m 的取值范圍是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[12,+∞) B.(1,12)
C.(1,9) D.[9,+∞)
(2)已知數列{an}滿足an=n+,則數列{an}的最小值為　　　　.
【答案】　(1)B　(2)
【解析】　(1)∵{an}為遞增數列,∴即解得1即實數m 的取值范圍為(1,12).故選B.
(2)∵f(x)=x+ 在(0,4) 上單調遞減,在(4,+∞) 上單調遞增,且5<4<6,
∴當x=n(n∈N*)時,f(n)min=min{f(5),f(6)},
又f(5)=5+=,f(6)=6+=,>,
∴f(n)min=,
即數列{an}的最小值為.
【方法總結】數列的單調性與最值
(1)數列的單調性可以依據相應函數的單調性進行判斷,也可以根據an+1-an的符號進行判斷.
(2)求數列中最大(小)項的方法
①若an最大,則若an最小,則要注意等號是否成立,即兩項有無可能相等.
②考慮數列的單調性,注意自變量為正整數,如果取最值時的自變量不是正整數,那么需要與該數相鄰的正整數驗證比較.
1.已知數列{an}的通項公式為an=若{an}是遞增數列,則實數a 的取值范圍是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(3,6) B.(1,2)
C.(1,3) D.(2,3)
【答案】　D
【解析】　由題意可得解得22.已知數列{an}的通項公式為an=n2-11n+,a5 是數列{an}的最小項,則實數a 的取值范圍是　　　　.
【答案】　[-25,0]
【解析】　由題意可得n2-11n+≥25-55+,整理得(n-5)(n-6)≥,
當n≤4 時,不等式化簡為a≥5n(n-6)恒成立,所以a≥-25;
當n≥6 時,不等式化簡為a≤5n(n-6)恒成立,所以a≤0.
綜上,-25≤a≤0.
【隨堂檢測】
1.下列有關數列的說法正確的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.同一數列的任意兩項均不可能相同
B.數列-1,0,2與數列2,0,-1是同一個數列
C.數列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}
D.數列2,5,2,5,…,2,5,…是無窮數列
【答案】　D
【解析】　例如無窮個3構成的常數列3,3,3,…的各項都是3,故A錯誤;數列-1,0,2與數列2,0,-1中項的順序不同,即表示不同的數列,故B錯誤;{1,3,5,7}是一個集合,故C錯誤;根據數列的分類,數列2,5,2,5,…,2,5,…中的項有無窮多個,所以是無窮數列,故D正確.故選D.
2.數列0.9,0.99,0.999,…的一個通項公式是(　　).
A.1+n B.-1+n
C.1-n D.1-n+1
【答案】　C
【解析】　原數列前幾項可改寫為1-,1-,1-,…,故該數列的一個通項公式為an=1-n.故選C.
3.已知數列{an}的通項公式為an=n·n,則數列{an}中的最大項為(　　).
A. B.
C. D.
【答案】　A
【解析】　因為數列{an}的通項公式為an=n·n,顯然
an>0,令即得2≤n≤3,所以數列{an}中的最大項為a2=a3=2×2=.
4.若數列{an}滿足an=log2(n2+3)-2,則log23是這個數列的第　　　　項.
【答案】　3
【解析】　令an=log2(n2+3)-2=log23,解得n=3.
21.1 數列
【學習目標】
1.了解數列的概念和數列的幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式),會根據數列的前幾項寫出數列的通項公式.(數學抽象、邏輯推理)
2.理解數列的通項公式,并能夠根據通項公式求數列中的某些項.(數學運算)
3.用函數思想理解數列,掌握數列的單調性,要求能夠對數列進行合理分類,以提高學生分析問題和解決問題的能力.(數學抽象、邏輯推理)
【自主預習】
1.數列的定義是什么
2.數列的項與項數有什么不同
3.同一個數在數列中能重復出現嗎
4.數列1,2,3,4,5與{1,2,3,4,5}有什么區別
5.什么叫數列的通項公式
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)數列1,1,1,…是無窮數列. (　　)
(2)數列1,2,3,4和數列1,2,4,3是同一個數列. (　　)
(3)有些數列沒有通項公式. (　　)
(4)如果一個數列不是遞增數列,那么它一定是遞減數列. (　　)
2.已知數列1,1,2,3,5,8,…,則144是該數列的第(　　)項.
A.10　　　　B.11　　　　 C.12　　　　D.13
3.數列0,1,2,3,4,…的一個通項公式可以為(　　).
A.an=n-1 B.an=n
C.an=n+1 D.an=n2-1
4.下列說法正確的是　　　　(填序號).
①1,1,1,1是有窮數列;
②從小到大的自然數構成一個無窮遞增數列;
③數列1,2,3,4,…,2n是無窮數列.
【合作探究】
探究1 數列的概念
　　2022年在北京舉辦了冬奧會,第17屆冬季奧運會是在1994年舉辦的,每四年舉辦一屆.
問題1:北京冬奧會是第多少屆
問題2:預計第27屆冬奧會是哪一年
問題3:我們能否引入一個符號,體現第17屆冬奧會到第24屆冬奧會的屆別與舉辦年份數之間的關系
問題4:結合教材中的例子,這些數的共同特點是什么
新知生成
1.數列的定義:按照一定次序排列的一列數稱為數列,數列中的每一個數叫作這個數列的項.數列中的每一項都和它的序號有關,排在第一位的數稱為這個數列的第1項(通常也叫作首項),排在第n位的數稱為這個數列的第n項.
2.數列中的數是按一定次序排列的,因此,如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同,那么它們就是不同的數列.
3.數列的定義中,并沒有規定數列中的數必須相同,因此,同一個數在數列中是允許重復出現的.
新知運用
例1　下列有關數列的說法,正確的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
①數列1,2,3可以表示成{1,2,3};②數列-1,0,1與數列1,0,-1是同一數列;③數列的第k-1項是;④數列中的每一項都與它的序號有關.
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【方法總結】{an}與an是不同的概念,前者表示a1,a2,a3,…,an,…,后者僅表示數列的第n項,對于數列的概念問題,應緊緊抓住概念進行判別.
1.以下說法正確的是(　　).
A.同一數列的任意兩項均不可能相同
B.數列中的項與順序無關
C.數列0,2,4,6,…可記為{2n}
D.數列0,1,2,3,4,5,6,7,…的第8項為7
2.在數列0,,,,…,,…中,是它的第　　　　項.
探究2 數列的通項
　　大衍數列,來源于我國的《乾坤譜》,是世界數學史上最古老的數列,主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理,其前11項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60.
問題1:依據大衍數列的前11項中的奇數項,寫出大衍數列奇數項的通項公式.
問題2:大衍數列的第41項是多少
新知生成
　　數列的一般形式可以寫成a1,a2,a3,…,an,…,其中an是數列的第n項.常把一般形式的數列簡記作{an}.
通項公式:如果數列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫作這個數列的通項公式.
新知運用
例2　根據下面各數列的前幾項,寫出數列的一個通項公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
(2),,,,,…;
(3),2,,8,,…;
(4)5,55,555,5555,….
【方法總結】(1)對于正負符號的變化,可用(-1)n或(-1)n+1來調整;
(2)先考慮分母的變化規律,再考慮分子與分母的關系和變化規律;
(3)對于各項中有分數又有整數的變化,應統一化為分數形式再觀察其規律;
(4)從考慮數列5,55,555,5555,…和數列9,99,999,9999,…的關系著手.
1.按數列的排列規律猜想數列中的項,已知數列2,3,5,8,13,x,34,55,…,則x的值是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.19 B.20 C.21 D.22
2.根據下列數列的前4項,寫出數列的一個通項公式:
(1),,,,…;
(2)-,,-,,…;
(3),1,,,…;
(4)0.8,0.88,0.888,….
探究3 數列與函數的關系
　　問題1:我們已經歸納出了數列的概念,從給出的具體例子中你能發現數列與函數的聯系嗎 如果數列是函數,那么它們的對應關系、定義域分別是什么
問題2:1,3,5,7是一個數列,7,5,3,1也是一個數列,這兩個數列是不是同一個數列 是否具有單調性 你能寫出一個遞增的數列嗎
新知生成
1.數列的分類
(1)數列按項數是有限還是無限來分,分為有窮數列、無窮數列.
(2)數列按項的增減規律分為遞增數列、遞減數列、擺動數列和常數列.遞增數列 an+1>an;遞減數列 an+12.數列與函數的關系
將數列與函數作比較,數列是特殊的函數,特殊在定義域是正整數集或它的有限子集{1,2,3,…,n},其圖象是無限個或有限個孤立的點,并且都是分布在y軸的右側.
新知運用
例3　(1)已知遞增數列{an}滿足an=則實數m 的取值范圍是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.[12,+∞) B.(1,12)
C.(1,9) D.[9,+∞)
(2)已知數列{an}滿足an=n+,則數列{an}的最小值為　　　　.
【方法總結】數列的單調性與最值
(1)數列的單調性可以依據相應函數的單調性進行判斷,也可以根據an+1-an的符號進行判斷.
(2)求數列中最大(小)項的方法
①若an最大,則若an最小,則要注意等號是否成立,即兩項有無可能相等.
②考慮數列的單調性,注意自變量為正整數,如果取最值時的自變量不是正整數,那么需要與該數相鄰的正整數驗證比較.
1.已知數列{an}的通項公式為an=若{an}是遞增數列,則實數a 的取值范圍是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(3,6) B.(1,2)
C.(1,3) D.(2,3)
2.已知數列{an}的通項公式為an=n2-11n+,a5 是數列{an}的最小項,則實數a 的取值范圍是　　　　.
【隨堂檢測】
1.下列有關數列的說法正確的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.同一數列的任意兩項均不可能相同
B.數列-1,0,2與數列2,0,-1是同一個數列
C.數列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}
D.數列2,5,2,5,…,2,5,…是無窮數列
2.數列0.9,0.99,0.999,…的一個通項公式是(　　).
A.1+n B.-1+n
C.1-n D.1-n+1
3.已知數列{an}的通項公式為an=n·n,則數列{an}中的最大項為(　　).
A. B.
C. D.
4.若數列{an}滿足an=log2(n2+3)-2,則log23是這個數列的第　　　　項.
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