資源簡介

1.5 數(shù)學歸納法
【學習目標】
1.了解數(shù)學歸納法的原理.(數(shù)學抽象、邏輯推理)
2.掌握數(shù)學歸納法的步驟.(邏輯推理)
3.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.(邏輯推理)
【自主預習】
　　小明的媽媽有3個孩子,老大叫大毛,老二叫二毛.
1.老三一定叫三毛嗎
【答案】　不一定.
2.顯然,對于此類問題,我們不能采用不完全歸納法進行求解,倘若采用數(shù)學歸納法求解,你能敘述數(shù)學歸納法的解題步驟嗎
【答案】　能.一般地,證明一個與正整數(shù)n有關的命題,可按下列步驟進行:
(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立;
(2)(歸納遞推)假設n=k(k≥n0,k∈N*)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題的證明只能用數(shù)學歸納法. (　　)
(2)數(shù)學歸納法的第一步n0的初始值一定為1. (　　)
(3)數(shù)學歸納法的兩個步驟缺一不可. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
2.用數(shù)學歸納法證明:首項是a1,公差是d的等差數(shù)列的前n項和公式是Sn=na1+d,假設當n=k時,公式成立,則Sk=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a1+(k-1)d B.
C.ka1+d D.(k+1)a1+d
【答案】　C
【解析】　假設當n=k時,公式成立,只需把公式中的n換成k即可,即Sk=ka1+d.
3.用數(shù)學歸納法證明:++…+>-,假設當n=k時,不等式成立,則當n=k+1時,應推證的目標不等式是　　　　　　　　.
　　【答案】　++…++>-.
4.用數(shù)學歸納法證明等式“1+2+3+…+(n+3)=”,第一步驗證當n=1時,左邊應取的項是　　　　.
【答案】　1+2+3+4
【解析】　當n=1時,左邊=1+2+3+4.
【合作探究】
探究1 用數(shù)學歸納法證明等式
　　問題:你能用數(shù)學歸納法證明等式1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(n∈N*)嗎
【答案】　(1)當n=1時,左邊=1×4=4,右邊=1×22=4,左邊=右邊,等式成立.
(2)假設當n=k(k≥1,k∈N*)時等式成立,
即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2,
那么當n=k+1時,
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2,
即當n=k+1時,等式也成立.
根據(jù)(1)和(2)可知,等式對任何n∈N*都成立.
新知生成
　　用數(shù)學歸納法證明恒等式時,一是弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況;二是弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項,減少了哪些項;三是證明n=k+1時結論也成立,要設法將待證式與歸納假設建立聯(lián)系,并朝n=k+1證明目標的表達式變形.
新知運用
例1　用數(shù)學歸納法證明“1+2+3+…+n3=(n∈N*)”,則當n=k+1時,應當在n=k時對應的等式的左邊加上(　　).
A.(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3　　
B.k3+1
C.(k+1)3　　
D.
方法指導　先確定當n=k 時等式左端的代數(shù)式,再確定當n=k+1時等式左端的代數(shù)式,進而確定其應當在n=k時對應的等式的左邊加上的代數(shù)式.
【答案】　A
【解析】　當n=k 時,等式左端=1+2+…+k3 ,
當n=k+1 時,等式左端=1+2+…+k3+(k3+1)+(k3+2)+(k3+3)+…+(k+1)3.故選A.
證明:1-+-+…+-=++…+(n∈N*).
【解析】　①當n=1時,左邊=1-=,右邊=,等式成立.
②假設當n=k(k∈N*)時等式成立,
即1-+-+…+-=++…+,
那么,當n=k+1時,
1-+-+…+-+-
=++…++-
=++…+++.
根據(jù)①和②,可知等式對任何n∈N*都成立.
探究2　用數(shù)學歸納法證明不等式
　　問題:用數(shù)學歸納法證明不等式1+++…+1)時,第一步要證的不等式是什么
【答案】　當n=2時,左邊=1++=1++,右邊=2,故第一步要證的不等式是1++<2.
新知生成
　　用數(shù)學歸納法證明不等式的四個關鍵
(1)驗證第一個n的值時,要注意n0不一定為1,若n>k(k為正整數(shù)),則n0=k+1.
(2)證明不等式的第二步中,從n=k到n=k+1的推導過程中,一定要用到歸納假設,不運用歸納假設的證明不是數(shù)學歸納法,因為缺少歸納假設.
(3)用數(shù)學歸納法證明與n有關的不等式一般有兩種具體形式:一是直接給出不等式,按要求進行證明;二是給出兩個式子,按要求比較它們的大小.第二類形式往往要先對n取前幾個值的情況分別驗證比較,以免出現(xiàn)判斷失誤,最后猜出從某個n值開始都成立的結論,常用數(shù)學歸納法證明.
(4)用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵是由n=k時成立得出n=k+1時也成立,主要方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等.
新知運用
例2　已知正項數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=1+(n∈N*),用數(shù)學歸納法證明:an方法指導　直接利用數(shù)學歸納法的證明步驟,通過n=1驗證不等式成立,假設n=k時不等式成立,證明n=k+1時不等式也成立即可.
【解析】　①當n=1時,a2=1+=,a1所以當n=1時,不等式成立;
②假設n=k(k∈N*)時,akak+2-ak+1=1+-ak+1
=1+-1+
=>0,
所以當n=k+1時,不等式成立.
由①和②可知,不等式an　　用數(shù)學歸納法證明:
1+++…+<2-(n∈N*,n≥2).
【解析】　①當n=2時,1+=<2-=,不等式成立.
②假設當n=k(k≥2,且k∈N*)時,不等式成立,即1+++…+<2-.
當n=k+1時,1+++…++<2-+<2-+=2-+-=2-,不等式成立.
由①和②知,原不等式在n∈N*,n≥2時均成立.
探究3　“歸納—猜想—證明”問題
　　設a>0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*.
問題1:寫出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項公式.
【答案】　因為a1=1,
所以a2=f(a1)=f(1)=;
a3=f(a2)==;
a4=f(a3)==.
猜想:an=(n∈N*).
問題2:用數(shù)學歸納法證明你的結論.
【答案】　①易知,當n=1時,猜想正確.
②假設當n=k(k∈N*)時猜想正確,
即ak=,
則當n=k+1時,ak+1=f(ak)====,
所以當n=k+1時猜想正確.
由①②知,對于任何n∈N*,都有an=.
新知生成
　　“歸納—猜想—證明”的一般步驟
新知運用
例3　設數(shù)列{an}滿足an+1=-nan+1(n∈N*).
(1)當a1=2時,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一個通項公式.
(2)當a1≥3時,證明:對所有的n≥1,有an≥n+2.
方法指導　(1)先根據(jù)條件求a1,a2,a3,a4,再猜想數(shù)列的通項公式;(2)用數(shù)學歸納法證明.
【解析】　(1)由a1=2,得a2=-a1+1=3,
由a2=3,得a3=-2a2+1=4,
由a3=4,得a4=-3a3+1=5,
由此猜想an的一個通項公式為an=n+1(n∈N*).
(2)用數(shù)學歸納法證明:
①當n=1時,a1≥3=1+2,不等式成立.
②假設當n=k(k∈N*)時不等式成立,
即ak≥k+2,那么當n=k+1時,
ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3,
所以當n=k+1時,ak+1≥(k+1)+2.
根據(jù)①和②可知,對于所有的n≥1,有an≥n+2.
　　已知數(shù)列{an}滿足關系式a1=a(a>0),an=(n≥2,n∈N*).
(1)用a表示a2,a3,a4.
(2)猜想an的表達式(用a和n表示),并用數(shù)學歸納法證明.
【解析】　(1)a2=,a3===,a4===.
(2)因為a1=a=,a2=,…,猜想an=.
下面用數(shù)學歸納法證明:
①當n=1時,因為a1=a=,所以當n=1時猜想成立.
②假設當n=k(k≥1,k∈N*)時猜想成立,
即ak=,所以當n=k+1時,
ak+1==
=
==,
所以當n=k+1時猜想也成立.
根據(jù)①與②可知,猜想對一切n∈N*都成立.
【隨堂檢測】
1.在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為條時,第一步檢驗n等于(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.0
【答案】　C
【解析】　因為凸n邊形的邊數(shù)n≥3,所以第一步檢驗n=3.故選C.
2.用數(shù)學歸納法證明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,在驗證n=1時,左邊計算所得的式子為(　　).
A.1 B.1+2
C.1+2+22 D.1+2+22+23
【答案】　D
【解析】　當n=1時,左邊=1+2+22+23.
故選D.
3.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),用數(shù)學歸納法證明f(2n)>時,f(2k+1)-f(2k)=　　　　　　　　.
【答案】　++…+
【解析】　因為f(2k)=1+++…+,
f(2k+1)=1+++…+++…+,
所以f(2k+1)-f(2k)=++…+.
4.已知數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=(n∈N*).
(1)求a2,a3,a4;
(2)根據(jù)(1)猜想數(shù)列{an}的通項公式,并用數(shù)學歸納法證明你的結論.
【解析】　(1)因為a1=,an+1=(n∈N*),所以a2==,a3==,a4==.
(2)猜想:an=(n∈N*).用數(shù)學歸納法證明如下:
①當n=1時,a1==,猜想成立;②假設當n=k(k∈N*)時猜想成立,即ak=,那么當n=k+1時,ak+1====,故當n=k+1時,猜想也成立.
由①②知,an=對所有n∈N*成立.
5.求證:++…+>1.
【解析】　①當n=1時,左邊=++==>1,不等式成立.
②假設n=k時不等式成立,
即++…+>1,
則當n=k+1時,
++…++++
=++…++++-
>1++-
=1+-
=1+->1.
所以當n=k+1時,不等式成立.
由①②可知,原不等式成立.
21.5 數(shù)學歸納法
【學習目標】
1.了解數(shù)學歸納法的原理.(數(shù)學抽象、邏輯推理)
2.掌握數(shù)學歸納法的步驟.(邏輯推理)
3.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.(邏輯推理)
【自主預習】
　　小明的媽媽有3個孩子,老大叫大毛,老二叫二毛.
1.老三一定叫三毛嗎
2.顯然,對于此類問題,我們不能采用不完全歸納法進行求解,倘若采用數(shù)學歸納法求解,你能敘述數(shù)學歸納法的解題步驟嗎
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題的證明只能用數(shù)學歸納法. (　　)
(2)數(shù)學歸納法的第一步n0的初始值一定為1. (　　)
(3)數(shù)學歸納法的兩個步驟缺一不可. (　　)
2.用數(shù)學歸納法證明:首項是a1,公差是d的等差數(shù)列的前n項和公式是Sn=na1+d,假設當n=k時,公式成立,則Sk=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a1+(k-1)d B.
C.ka1+d D.(k+1)a1+d
3.用數(shù)學歸納法證明:++…+>-,假設當n=k時,不等式成立,則當n=k+1時,應推證的目標不等式是　　　　　　　　.
4.用數(shù)學歸納法證明等式“1+2+3+…+(n+3)=”,第一步驗證當n=1時,左邊應取的項是　　　　.
【合作探究】
探究1 用數(shù)學歸納法證明等式
　　問題:你能用數(shù)學歸納法證明等式1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(n∈N*)嗎
新知生成
　　用數(shù)學歸納法證明恒等式時,一是弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況;二是弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項,減少了哪些項;三是證明n=k+1時結論也成立,要設法將待證式與歸納假設建立聯(lián)系,并朝n=k+1證明目標的表達式變形.
新知運用
例1　用數(shù)學歸納法證明“1+2+3+…+n3=(n∈N*)”,則當n=k+1時,應當在n=k時對應的等式的左邊加上(　　).
A.(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3　　
B.k3+1
C.(k+1)3　　
D.
方法指導　先確定當n=k 時等式左端的代數(shù)式,再確定當n=k+1時等式左端的代數(shù)式,進而確定其應當在n=k時對應的等式的左邊加上的代數(shù)式.
證明:1-+-+…+-=++…+(n∈N*).
探究2　用數(shù)學歸納法證明不等式
　　問題:用數(shù)學歸納法證明不等式1+++…+1)時,第一步要證的不等式是什么
新知生成
　　用數(shù)學歸納法證明不等式的四個關鍵
(1)驗證第一個n的值時,要注意n0不一定為1,若n>k(k為正整數(shù)),則n0=k+1.
(2)證明不等式的第二步中,從n=k到n=k+1的推導過程中,一定要用到歸納假設,不運用歸納假設的證明不是數(shù)學歸納法,因為缺少歸納假設.
(3)用數(shù)學歸納法證明與n有關的不等式一般有兩種具體形式:一是直接給出不等式,按要求進行證明;二是給出兩個式子,按要求比較它們的大小.第二類形式往往要先對n取前幾個值的情況分別驗證比較,以免出現(xiàn)判斷失誤,最后猜出從某個n值開始都成立的結論,常用數(shù)學歸納法證明.
(4)用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵是由n=k時成立得出n=k+1時也成立,主要方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等.
新知運用
例2　已知正項數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=1+(n∈N*),用數(shù)學歸納法證明:an方法指導　直接利用數(shù)學歸納法的證明步驟,通過n=1驗證不等式成立,假設n=k時不等式成立,證明n=k+1時不等式也成立即可.
　　用數(shù)學歸納法證明:
1+++…+<2-(n∈N*,n≥2).
探究3　“歸納—猜想—證明”問題
　　設a>0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*.
問題1:寫出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項公式.
問題2:用數(shù)學歸納法證明你的結論.
新知生成
　　“歸納—猜想—證明”的一般步驟
新知運用
例3　設數(shù)列{an}滿足an+1=-nan+1(n∈N*).
(1)當a1=2時,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一個通項公式.
(2)當a1≥3時,證明:對所有的n≥1,有an≥n+2.
方法指導　(1)先根據(jù)條件求a1,a2,a3,a4,再猜想數(shù)列的通項公式;(2)用數(shù)學歸納法證明.
　　已知數(shù)列{an}滿足關系式a1=a(a>0),an=(n≥2,n∈N*).
(1)用a表示a2,a3,a4.
(2)猜想an的表達式(用a和n表示),并用數(shù)學歸納法證明.
【隨堂檢測】
1.在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為條時,第一步檢驗n等于(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.0
2.用數(shù)學歸納法證明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,在驗證n=1時,左邊計算所得的式子為(　　).
A.1 B.1+2
C.1+2+22 D.1+2+22+23
3.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),用數(shù)學歸納法證明f(2n)>時,f(2k+1)-f(2k)=　　　　　　　　.
4.已知數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=(n∈N*).
(1)求a2,a3,a4;
(2)根據(jù)(1)猜想數(shù)列{an}的通項公式,并用數(shù)學歸納法證明你的結論.
5.求證:++…+>1.
2

展開更多......

收起↑