資源簡介

2.1 平均變化率與瞬時變化率
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.結(jié)合具體的實(shí)例理解函數(shù)的平均變化率的概念,會根據(jù)具體函數(shù)求出函數(shù)的平均變化率,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).(數(shù)學(xué)建模)
2.結(jié)合具體情境,掌握以直代曲的數(shù)學(xué)思想,提高分析問題、解決問題的能力.(邏輯推理)
3.通過具體的實(shí)例理解平均速度的概念,能夠明確平均速度和平均變化率之間的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)
4.知道函數(shù)的瞬時變化率的概念,能夠結(jié)合具體實(shí)例,理解瞬時變化率的幾何意義,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和邏輯推理等素養(yǎng).(邏輯推理)
【自主預(yù)習(xí)】
很多人都吹過氣球,回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加得越來越慢.
1.近似地將氣球看成一個球體,氣球的半徑r(單位:dm)與體積V(單位:L)之間的函數(shù)關(guān)系是什么
【答案】　r(V)=.
2.氣球中空氣容量V從0增加到1 L時,氣球的平均膨脹率是多少
【答案】　當(dāng)V從0增加到1 L時,氣球半徑增加了r(1)-r(0)≈0.62(dm),
氣球的平均膨脹率為≈0.62(dm/L).
3.氣球中空氣容量V從1 L增加到2 L時,氣球的平均膨脹率是多少
【答案】　當(dāng)V從1 L增加到2 L時,氣球半徑增加了r(2)-r(1)≈0.16 (dm),
氣球的平均膨脹率為≈0.16(dm/L).
4.氣球中空氣容量的變化情況與它的平均膨脹率有什么關(guān)系
【答案】　可以看出,隨著氣球中空氣容量逐漸變大,它的平均膨脹率逐漸變小了.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率為0. (　　)
(2)瞬時變化率刻畫某函數(shù)在某點(diǎn)處變化快慢的情況. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√
2.若一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s=8+t2運(yùn)動,則它在一小段時間[2,2.1]內(nèi)的平均速度是(　　).
A.4 B.4.1 C.0.41 D.-1.1
【答案】　B
【解析】　====4.1,故選B.
3.函數(shù)f(x)=x2-2在x=3處的瞬時變化率為　　　　.
【答案】　6
【解析】　===6+Δx,當(dāng)Δx→0時,→6,即函數(shù)f(x)=x2-2在x=3處的瞬時變化率為6.
【合作探究】
探究1 平均速度
小蒙騎自行車由靜止沿直線運(yùn)動,他在第1 s內(nèi)、第2 s內(nèi)、第3 s內(nèi)、第4 s內(nèi)通過的位移分別為1 m、2 m、3 m、4 m.
問題:你能求出小蒙騎自行車在這4 s內(nèi)的平均速度嗎
【答案】　小蒙騎自行車在這4 s內(nèi)的平均速度==2.5(m/s).
新知生成
1.設(shè)物體運(yùn)動路程與時間的關(guān)系是s=f(t),在t0到t0+Δt這段時間內(nèi),物體運(yùn)動的平均速度==.
2.在勻速直線運(yùn)動中,比值是恒定的.在非勻速直線運(yùn)動中,比值不是恒定的.要精確地描述非勻速直線運(yùn)動,就要知道物體在每一時刻運(yùn)動的快慢程度.注意結(jié)合物理學(xué)中的.
新知運(yùn)用
例1　 已知某物體的運(yùn)動方程為s=t2+2t(s的單位:m,t的單位:s).求:
(1)該物體在0≤t≤3這段時間里的平均速度;
(2)該物體在2≤t≤3這段時間里的平均速度;
(3)該物體在t0≤t≤t0+Δt這段時間里的平均速度.
【解析】　(1)∵Δt=3,Δs=s(3)-s(0)=15,
∴該物體在0≤t≤3這段時間里的平均速度==5(m/s).
(2)∵Δt=3-2=1,Δs=s(3)-s(2)=7,
∴該物體在2≤t≤3這段時間里的平均速度==7(m/s).
(3)∵Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=(2t0+2)·Δt+(Δt)2,
∴該物體在t0≤t≤t0+Δt這段時間里的平均速度==2t0+2+Δt.
以v0(v0>0)為初速度做豎直上拋運(yùn)動的物體,t時刻的高度為s(t)=v0t-gt2(g為常數(shù)),求該物體從t0到t0+Δt的平均速度.
【解析】　∵Δs=v0(t0+Δt)-g(t0+Δt)2-v0t0-g=(v0-gt0)Δt-g(Δt)2,
∴=v0-gt0-gΔt,
即該物體從t0到t0+Δt的平均速度為v0-gt0-gΔt.
探究2 平均變化率
現(xiàn)有某市2023年3月和4月某天日最高氣溫記錄如下表.
時間t/d 3月18日 4月18日 4月20日
日最高氣溫T/℃ 3.5 ℃ 18.6 ℃ 33.4 ℃
4月20日那天人們會驚呼“天氣熱得太快”.
問題:如何從數(shù)學(xué)的角度刻畫氣溫“陡升”
【答案】　3月18日至4月18日平均變化率是≈0.5(℃);4月18日至20日平均變化率是=7.4(℃),顯然4月18日至20日氣溫“陡升”.
新知生成
1.已知函數(shù)y=f(x),我們把式子稱為函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率.習(xí)慣上用Δx表示x2-x1,即Δx=x2-x1,可把Δx看作是相對于x1的一個“增量”,可用x1+Δx代替x2;類似地,Δy=f(x2)-f(x1).于是,平均變化率可以表示為.
2.求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步法”:一是作差,二是作商.即先求出Δy=f(x2)-f(x1)和Δx=x2-x1,再對所求得的差作商,即得=.
新知運(yùn)用
例2　已知函數(shù)f(x)=x2+x,分別計(jì)算f(x)在自變量x從1變到3和從1變到2時的平均變化率.
【解析】　自變量x從1變到3時,函數(shù)f(x)的平均變化率為==5;自變量x從1變到2時,函數(shù)f(x)的平均變化率為==4.
【方法總結(jié)】　　解決函數(shù)平均變化率的計(jì)算問題,要緊扣定義:函數(shù)f(x)在自變量x從x1變到x2時,函數(shù)值的平均變化率為.此外,要保證計(jì)算過程的準(zhǔn)確性.
求函數(shù)y=x2在x=1,x=2,x=3附近的平均變化率,并判斷哪一點(diǎn)附近的平均變化率最大.
【解析】　函數(shù)y=x2在x=1附近的平均變化率為k1===2+Δx;
在x=2附近的平均變化率為k2===4+Δx;
在x=3附近的平均變化率為k3===6+Δx.
因?yàn)閷θ我獾摩,有k1所以在x=3附近的平均變化率最大.
探究3 瞬時變化率
我們經(jīng)常看到在道路旁立著許多交通標(biāo)志,如圖所示的限速標(biāo)志表示允許行駛的最大速度是80 km/h.
問題:你知道這個數(shù)據(jù)表達(dá)的物理意義嗎
【答案】　不超過80 km/h,即汽車的速度每時每刻都不超過這個數(shù)據(jù),而不是一段時間內(nèi)的平均速度,所以物理意義是瞬時速度.
新知生成
1.瞬時變化率
設(shè)函數(shù)y=f(x),當(dāng)自變量x從x0到x1時,函數(shù)值從f(x0)到f(x1),函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率為==,當(dāng)x1趨于x0,即Δx趨于0時,如果平均變化率趨于一個穩(wěn)定值,那么這個值就是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的瞬時變化率.
2.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率的實(shí)質(zhì)與作用
(1)實(shí)質(zhì):瞬時變化率是當(dāng)自變量的改變量趨近于0時,平均變化率趨近的值.
(2)作用:刻畫函數(shù)在某一點(diǎn)處變化的快慢.
3.“Δx無限趨近于0”的含義
Δx趨于0的距離要多近有多近,即|Δx-0|可以小于給定的任意小的正數(shù),且始終Δx≠0.
新知運(yùn)用
例3　已知函數(shù)f(x)=3x2+2x.分別求自變量x從1變到1.1,從1變到1.01,從1變到1.001的平均變化率,并估計(jì)當(dāng)x=1時,f(x)的瞬時變化率.
【解析】　當(dāng)自變量x從1變到1.1時,平均變化率為
=8.3;
當(dāng)自變量x從1變到1.01時,平均變化率為
=8.03;
當(dāng)自變量x從1變到1.001時,平均變化率為
=8.003.
綜上,可以估計(jì)當(dāng)x=1時,f(x)的瞬時變化率為8.
【方法總結(jié)】　　平均速度即Δt時間內(nèi)物體位移與時間的比值,當(dāng)Δt無限趨近于0時,平均速度趨近于瞬時速度.
質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s(t)=t2+3(位移單位:m,時間單位:s)做直線運(yùn)動,通過平均速度估計(jì)質(zhì)點(diǎn)M在t=2 s時的瞬時速度.
【解析】　質(zhì)點(diǎn)M在t=2 s到t=2.1 s時的平均速度為
=4.1(m/s);
質(zhì)點(diǎn)M在t=2 s到t=2.01 s時的平均速度為
=4.01(m/s);
質(zhì)點(diǎn)M在t=2 s到t=2.001 s時的平均速度為
=4.001(m/s).
綜上,可以估計(jì)質(zhì)點(diǎn)M在t=2 s時的瞬時速度為4 m/s.
【隨堂檢測】
1.已知函數(shù)f(x)=2x2-4的圖象上一點(diǎn)(1,-2)及其附近一點(diǎn)(1+Δx,-2+Δy),則=(　　).
A.4 B.4x
C.4+2Δx D.4+2(Δx)2
【答案】　C
【解析】　∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-4-(2×12-4)=4Δx+2(Δx)2,
∴==4+2Δx.
2.已知函數(shù)f(x)=x2-1的圖象上一點(diǎn)P(2,3)及其鄰近一點(diǎn)Q(2+Δx,3+Δy),則=(　　).
A.4 B.4Δx C.4+Δx D.Δx
【答案】　C
【解析】　∵Δy=f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)2-1-(22-1)=4Δx+(Δx)2,
∴==4+Δx.
3.物體甲、乙在時間0到t1范圍內(nèi)路程的變化情況如圖所示,則下列說法中正確的是(　　).
A.在0到t0范圍內(nèi)甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范圍內(nèi)甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范圍內(nèi)甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范圍內(nèi)甲的平均速度小于乙的平均速度
【答案】　C
【解析】　在0到t0范圍內(nèi),甲、乙所走的路程相同,時間一樣,所以平均速度相同;在t0到t1范圍內(nèi),甲、乙所用的時間相同,而甲走的路程較多,所以甲的平均速度較大.
4.一輛汽車在起步的前10 s內(nèi),按s=3t2+1(t的單位是s,s的單位是m)的規(guī)律做直線運(yùn)動,則在2≤t≤3這段時間里的平均速度是　　　　.
【答案】　15 m/s
【解析】　===15(m/s).
5.已知函數(shù)f(x)=x+,分別計(jì)算f(x)在自變量x從1變到2和從3變到5時的平均變化率,并判斷在哪個區(qū)間上函數(shù)值變化得較快.
【解析】　自變量x從1變到2時,函數(shù)f(x)的平均變化率為==;
自變量x從3變到5時,函數(shù)f(x)的平均變化率為==.
因?yàn)?,
所以函數(shù)f(x)=x+在自變量x從3變到5時的函數(shù)值變化得較快.
22.1 平均變化率與瞬時變化率
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.結(jié)合具體的實(shí)例理解函數(shù)的平均變化率的概念,會根據(jù)具體函數(shù)求出函數(shù)的平均變化率,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).(數(shù)學(xué)建模)
2.結(jié)合具體情境,掌握以直代曲的數(shù)學(xué)思想,提高分析問題、解決問題的能力.(邏輯推理)
3.通過具體的實(shí)例理解平均速度的概念,能夠明確平均速度和平均變化率之間的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)
4.知道函數(shù)的瞬時變化率的概念,能夠結(jié)合具體實(shí)例,理解瞬時變化率的幾何意義,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和邏輯推理等素養(yǎng).(邏輯推理)
【自主預(yù)習(xí)】
很多人都吹過氣球,回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加得越來越慢.
1.近似地將氣球看成一個球體,氣球的半徑r(單位:dm)與體積V(單位:L)之間的函數(shù)關(guān)系是什么
2.氣球中空氣容量V從0增加到1 L時,氣球的平均膨脹率是多少
3.氣球中空氣容量V從1 L增加到2 L時,氣球的平均膨脹率是多少
4.氣球中空氣容量的變化情況與它的平均膨脹率有什么關(guān)系
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率為0. (　　)
(2)瞬時變化率刻畫某函數(shù)在某點(diǎn)處變化快慢的情況. (　　)
2.若一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s=8+t2運(yùn)動,則它在一小段時間[2,2.1]內(nèi)的平均速度是(　　).
A.4 B.4.1 C.0.41 D.-1.1
3.函數(shù)f(x)=x2-2在x=3處的瞬時變化率為　　　　.
【合作探究】
探究1 平均速度
小蒙騎自行車由靜止沿直線運(yùn)動,他在第1 s內(nèi)、第2 s內(nèi)、第3 s內(nèi)、第4 s內(nèi)通過的位移分別為1 m、2 m、3 m、4 m.
問題:你能求出小蒙騎自行車在這4 s內(nèi)的平均速度嗎
新知生成
1.設(shè)物體運(yùn)動路程與時間的關(guān)系是s=f(t),在t0到t0+Δt這段時間內(nèi),物體運(yùn)動的平均速度==.
2.在勻速直線運(yùn)動中,比值是恒定的.在非勻速直線運(yùn)動中,比值不是恒定的.要精確地描述非勻速直線運(yùn)動,就要知道物體在每一時刻運(yùn)動的快慢程度.注意結(jié)合物理學(xué)中的.
新知運(yùn)用
例1　 已知某物體的運(yùn)動方程為s=t2+2t(s的單位:m,t的單位:s).求:
(1)該物體在0≤t≤3這段時間里的平均速度;
(2)該物體在2≤t≤3這段時間里的平均速度;
(3)該物體在t0≤t≤t0+Δt這段時間里的平均速度.
以v0(v0>0)為初速度做豎直上拋運(yùn)動的物體,t時刻的高度為s(t)=v0t-gt2(g為常數(shù)),求該物體從t0到t0+Δt的平均速度.
探究2 平均變化率
現(xiàn)有某市2023年3月和4月某天日最高氣溫記錄如下表.
時間t/d 3月18日 4月18日 4月20日
日最高氣溫T/℃ 3.5 ℃ 18.6 ℃ 33.4 ℃
4月20日那天人們會驚呼“天氣熱得太快”.
問題:如何從數(shù)學(xué)的角度刻畫氣溫“陡升”
新知生成
1.已知函數(shù)y=f(x),我們把式子稱為函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率.習(xí)慣上用Δx表示x2-x1,即Δx=x2-x1,可把Δx看作是相對于x1的一個“增量”,可用x1+Δx代替x2;類似地,Δy=f(x2)-f(x1).于是,平均變化率可以表示為.
2.求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步法”:一是作差,二是作商.即先求出Δy=f(x2)-f(x1)和Δx=x2-x1,再對所求得的差作商,即得=.
新知運(yùn)用
例2　已知函數(shù)f(x)=x2+x,分別計(jì)算f(x)在自變量x從1變到3和從1變到2時的平均變化率.
【方法總結(jié)】　　解決函數(shù)平均變化率的計(jì)算問題,要緊扣定義:函數(shù)f(x)在自變量x從x1變到x2時,函數(shù)值的平均變化率為.此外,要保證計(jì)算過程的準(zhǔn)確性.
求函數(shù)y=x2在x=1,x=2,x=3附近的平均變化率,并判斷哪一點(diǎn)附近的平均變化率最大.
探究3 瞬時變化率
我們經(jīng)常看到在道路旁立著許多交通標(biāo)志,如圖所示的限速標(biāo)志表示允許行駛的最大速度是80 km/h.
問題:你知道這個數(shù)據(jù)表達(dá)的物理意義嗎
新知生成
1.瞬時變化率
設(shè)函數(shù)y=f(x),當(dāng)自變量x從x0到x1時,函數(shù)值從f(x0)到f(x1),函數(shù)值y關(guān)于x的平均變化率為==,當(dāng)x1趨于x0,即Δx趨于0時,如果平均變化率趨于一個穩(wěn)定值,那么這個值就是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的瞬時變化率.
2.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率的實(shí)質(zhì)與作用
(1)實(shí)質(zhì):瞬時變化率是當(dāng)自變量的改變量趨近于0時,平均變化率趨近的值.
(2)作用:刻畫函數(shù)在某一點(diǎn)處變化的快慢.
3.“Δx無限趨近于0”的含義
Δx趨于0的距離要多近有多近,即|Δx-0|可以小于給定的任意小的正數(shù),且始終Δx≠0.
新知運(yùn)用
例3　已知函數(shù)f(x)=3x2+2x.分別求自變量x從1變到1.1,從1變到1.01,從1變到1.001的平均變化率,并估計(jì)當(dāng)x=1時,f(x)的瞬時變化率.
【方法總結(jié)】　　平均速度即Δt時間內(nèi)物體位移與時間的比值,當(dāng)Δt無限趨近于0時,平均速度趨近于瞬時速度.
質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s(t)=t2+3(位移單位:m,時間單位:s)做直線運(yùn)動,通過平均速度估計(jì)質(zhì)點(diǎn)M在t=2 s時的瞬時速度.
【隨堂檢測】
1.已知函數(shù)f(x)=2x2-4的圖象上一點(diǎn)(1,-2)及其附近一點(diǎn)(1+Δx,-2+Δy),則=(　　).
A.4 B.4x
C.4+2Δx D.4+2(Δx)2
2.已知函數(shù)f(x)=x2-1的圖象上一點(diǎn)P(2,3)及其鄰近一點(diǎn)Q(2+Δx,3+Δy),則=(　　).
A.4 B.4Δx C.4+Δx D.Δx
3.物體甲、乙在時間0到t1范圍內(nèi)路程的變化情況如圖所示,則下列說法中正確的是(　　).
A.在0到t0范圍內(nèi)甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范圍內(nèi)甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范圍內(nèi)甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范圍內(nèi)甲的平均速度小于乙的平均速度
4.一輛汽車在起步的前10 s內(nèi),按s=3t2+1(t的單位是s,s的單位是m)的規(guī)律做直線運(yùn)動,則在2≤t≤3這段時間里的平均速度是　　　　.
5.已知函數(shù)f(x)=x+,分別計(jì)算f(x)在自變量x從1變到2和從3變到5時的平均變化率,并判斷在哪個區(qū)間上函數(shù)值變化得較快.
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