資源簡(jiǎn)介

2.2 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,了解導(dǎo)數(shù)與割線(xiàn)斜率之間的關(guān)系,能利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能結(jié)合具體情境,感受導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.(數(shù)學(xué)抽象)
2.理解曲線(xiàn)的切線(xiàn)的概念,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義,會(huì)求曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
汽車(chē)爬坡在生活中是非常常見(jiàn)的,我們經(jīng)常會(huì)說(shuō)這個(gè)路面的坡度很陡,那么如何量化表達(dá)呢
如果我們將路面坡度近似地看成函數(shù)f(x),下面選取一段路面進(jìn)行研究,其中起點(diǎn)和終點(diǎn)分別記為A和B,如圖所示.
1.觀(guān)察圖象可知,從A點(diǎn)到B點(diǎn)的圖象“陡增”,那么如何量化陡峭程度呢
2.你知道函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率的幾何意義嗎
3.當(dāng)B點(diǎn)向A點(diǎn)無(wú)限逼近時(shí),割線(xiàn)AB與曲線(xiàn)的位置關(guān)系是什么
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在區(qū)間[x0,x0+Δx]上變化的快慢程度. (　　)
(2)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值與Δx的正、負(fù)無(wú)關(guān). (　　)
(3)設(shè)x=x0+Δx,則Δx=x-x0,則Δx趨近于0時(shí),x趨近于x0,因此,f'(x0)==. (　　)
2.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b為常數(shù)),則(　　).
A.f'(x)=a B.f'(x)=b
C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b
3.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則下列描述錯(cuò)誤的是(　　).
A.x=-5處比x=-2處變化快
B.x=-4處呈上升趨勢(shì)
C.x=1和x=2處增減趨勢(shì)相反
D.x=0處呈上升趨勢(shì)
4.設(shè)f(x)=2x+1,則f'(1)=　　　　.
.
【合作探究】
探究1 導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算
在實(shí)際生產(chǎn)生活中,我們需要研究一些物體的瞬時(shí)變化率,例如:
(1)摩托車(chē)的運(yùn)動(dòng)方程為s=8+3t2,其中s表示位移,t表示時(shí)間,知道它在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度就可以更好地指導(dǎo)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行比賽;
(2)冶煉鋼鐵時(shí)需要測(cè)定鐵水的瞬時(shí)溫度來(lái)確定其質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn);
(3)凈化飲用水時(shí)需要根據(jù)凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率來(lái)控制凈化成本.
問(wèn)題1:上述實(shí)例中都涉及了某個(gè)量的瞬時(shí)變化率,在數(shù)學(xué)意義上,這些實(shí)際上是某個(gè)量的函數(shù)的瞬時(shí)變化率,它在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為什么
問(wèn)題2:函數(shù)的平均變化率與瞬時(shí)變化率有什么區(qū)別和聯(lián)系
新知生成
1.導(dǎo)數(shù)的概念
一般地,函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是=.我們稱(chēng)它為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),記作f'(x0),即f'(x0)= =.
2.用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的步驟
(1)求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均變化率=;
(3)求極限.
3.對(duì)于導(dǎo)數(shù)的概念,注意以下幾點(diǎn):
(1)函數(shù)應(yīng)在點(diǎn)x0的附近有定義,否則導(dǎo)數(shù)不存在;
(2)導(dǎo)數(shù)是一個(gè)局部概念,它只與函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0及其附近的函數(shù)值有關(guān),與Δx無(wú)關(guān);
(3)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是一個(gè)極限值.
新知運(yùn)用
例1　已知函數(shù)f(x)=2x2+3x-1,試求f'(2).
方法指導(dǎo)　先求Δy,然后求,再求.
已知某物體的位移s與比賽時(shí)間t存在關(guān)系s(t)=10t+5t2(s的單位是m,t的單位是s).
(1)當(dāng)t=20,Δt=0.1時(shí),求Δs與的值;
(2)求當(dāng)t=20時(shí)的速度.
探究2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
設(shè)函數(shù)y=f(x),在y=f(x)上取兩點(diǎn)P(x0,y0),Pn(xn,yn)(x0≠xn).
問(wèn)題1:割線(xiàn)PPn的斜率kn是什么
問(wèn)題2:當(dāng)Pn無(wú)限趨近于點(diǎn)P時(shí),kn與切線(xiàn)PT的斜率k有什么關(guān)系
問(wèn)題3:如何求過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)PT的斜率
問(wèn)題4:曲線(xiàn)的切線(xiàn)是不是一定和曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)
問(wèn)題5:曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)過(guò)某點(diǎn)(x0,y0)的切線(xiàn)有何不同
新知生成
1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義
(1)切線(xiàn)的概念:如圖,對(duì)于割線(xiàn)PPn,當(dāng)點(diǎn)Pn趨近于點(diǎn)P時(shí),割線(xiàn)PPn趨近于確定的位置,這個(gè)確定位置的直線(xiàn)PT稱(chēng)為點(diǎn)P處的切線(xiàn).
(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線(xiàn)PT的斜率k,即k= =f'(x0).
2.曲線(xiàn)的切線(xiàn)并不一定與曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn),可以有多個(gè),甚至可以無(wú)窮多.與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)也不一定是曲線(xiàn)的切線(xiàn).
新知運(yùn)用
例2　求曲線(xiàn)f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線(xiàn)方程.
【方法總結(jié)】　　過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)求切線(xiàn)方程的三個(gè)步驟
求曲線(xiàn)f(x)=3x2在點(diǎn)(1,3)處的切線(xiàn)方程.
【隨堂檢測(cè)】
1.一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s=5-3t2,若該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段[1,1+Δt]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為-3Δt-6,則該質(zhì)點(diǎn)在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度是(　　).
A.-3　　　　B.3　 　　　C.6　 　　　D.-6
2.函數(shù)f(x)=在x=3處的導(dǎo)數(shù)是(　　).
A.- B.- C.- D.-
3.已知曲線(xiàn)f(x)=2x2+4x在點(diǎn)P處的切線(xiàn)斜率為16,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　.
4.已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則y=f(x)在A,B兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f'(a)與f'(b)的大小關(guān)系為f'(a)　　　　f'(b)(填“<”或“>”).
5.一條水管中流過(guò)的水量y(單位:m3)是關(guān)于時(shí)間t(單位:s)的函數(shù),且y=f(t)=3t.求函數(shù)y=f(t)在t=2處的導(dǎo)數(shù)f'(2),并解釋它的實(shí)際意義.
22.2 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,了解導(dǎo)數(shù)與割線(xiàn)斜率之間的關(guān)系,能利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能結(jié)合具體情境,感受導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.(數(shù)學(xué)抽象)
2.理解曲線(xiàn)的切線(xiàn)的概念,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義,會(huì)求曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
汽車(chē)爬坡在生活中是非常常見(jiàn)的,我們經(jīng)常會(huì)說(shuō)這個(gè)路面的坡度很陡,那么如何量化表達(dá)呢
如果我們將路面坡度近似地看成函數(shù)f(x),下面選取一段路面進(jìn)行研究,其中起點(diǎn)和終點(diǎn)分別記為A和B,如圖所示.
1.觀(guān)察圖象可知,從A點(diǎn)到B點(diǎn)的圖象“陡增”,那么如何量化陡峭程度呢
【答案】　直觀(guān)地看,從A點(diǎn)到B點(diǎn)的圖象非?！岸冈觥?陡峭程度需要利用平均變化率來(lái)近似地量化為=.
2.你知道函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率的幾何意義嗎
【答案】　在Rt△ABC中,Δy=f(x2)-f(x1)=|CB|,Δx=x2-x1=|AC|,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率===kAB,是曲線(xiàn)的割線(xiàn)AB的斜率.
3.當(dāng)B點(diǎn)向A點(diǎn)無(wú)限逼近時(shí),割線(xiàn)AB與曲線(xiàn)的位置關(guān)系是什么
【答案】　當(dāng)B點(diǎn)無(wú)限逼近A點(diǎn)時(shí),此時(shí)直線(xiàn)AT就是A點(diǎn)處的切線(xiàn).
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在區(qū)間[x0,x0+Δx]上變化的快慢程度. (　　)
(2)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值與Δx的正、負(fù)無(wú)關(guān). (　　)
(3)設(shè)x=x0+Δx,則Δx=x-x0,則Δx趨近于0時(shí),x趨近于x0,因此,f'(x0)==. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√
2.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b為常數(shù)),則(　　).
A.f'(x)=a B.f'(x)=b
C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b
【答案】　C
【解析】　因?yàn)閒'(x0)=
==(a+bΔx)=a,
所以選C.
3.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則下列描述錯(cuò)誤的是(　　).
A.x=-5處比x=-2處變化快
B.x=-4處呈上升趨勢(shì)
C.x=1和x=2處增減趨勢(shì)相反
D.x=0處呈上升趨勢(shì)
【答案】　D
【解析】　根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f'(-5)>0,f'(-4)>0,f'(-2)=0,f'(0)<0,f'(1)f'(2)<0,故D錯(cuò)誤,故選D.
4.設(shè)f(x)=2x+1,則f'(1)=　　　　.
【答案】　2
【解析】　f'(1)=
==2.
【合作探究】
探究1 導(dǎo)數(shù)的概念及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算
在實(shí)際生產(chǎn)生活中,我們需要研究一些物體的瞬時(shí)變化率,例如:
(1)摩托車(chē)的運(yùn)動(dòng)方程為s=8+3t2,其中s表示位移,t表示時(shí)間,知道它在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度就可以更好地指導(dǎo)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行比賽;
(2)冶煉鋼鐵時(shí)需要測(cè)定鐵水的瞬時(shí)溫度來(lái)確定其質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn);
(3)凈化飲用水時(shí)需要根據(jù)凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率來(lái)控制凈化成本.
問(wèn)題1:上述實(shí)例中都涉及了某個(gè)量的瞬時(shí)變化率,在數(shù)學(xué)意義上,這些實(shí)際上是某個(gè)量的函數(shù)的瞬時(shí)變化率,它在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為什么
【答案】　函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
問(wèn)題2:函數(shù)的平均變化率與瞬時(shí)變化率有什么區(qū)別和聯(lián)系
【答案】　(1)平均變化率與瞬時(shí)變化率的區(qū)別:平均變化率刻畫(huà)函數(shù)值在區(qū)間[x1,x2]上變化的快慢,瞬時(shí)變化率刻畫(huà)函數(shù)值在x=x0處變化的快慢.
(2)平均變化率與瞬時(shí)變化率的聯(lián)系:當(dāng)Δx趨于0時(shí),平均變化率趨于一個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)為函數(shù)在x=x0處的瞬時(shí)變化率,它是一個(gè)固定值.
新知生成
1.導(dǎo)數(shù)的概念
一般地,函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是=.我們稱(chēng)它為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),記作f'(x0),即f'(x0)= =.
2.用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的步驟
(1)求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均變化率=;
(3)求極限.
3.對(duì)于導(dǎo)數(shù)的概念,注意以下幾點(diǎn):
(1)函數(shù)應(yīng)在點(diǎn)x0的附近有定義,否則導(dǎo)數(shù)不存在;
(2)導(dǎo)數(shù)是一個(gè)局部概念,它只與函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0及其附近的函數(shù)值有關(guān),與Δx無(wú)關(guān);
(3)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是一個(gè)極限值.
新知運(yùn)用
例1　已知函數(shù)f(x)=2x2+3x-1,試求f'(2).
方法指導(dǎo)　先求Δy,然后求,再求.
【解析】　因?yàn)棣=f(2+Δx)-f(2)=2(2+Δx)2+3(2+Δx)-1-(2×22+3×2-1)=2(Δx)2+11Δx,
所以==2Δx+11,
所以f'(2)==(2Δx+11)=11.
已知某物體的位移s與比賽時(shí)間t存在關(guān)系s(t)=10t+5t2(s的單位是m,t的單位是s).
(1)當(dāng)t=20,Δt=0.1時(shí),求Δs與的值;
(2)求當(dāng)t=20時(shí)的速度.
【解析】　(1)當(dāng)t=20,Δt=0.1時(shí),
Δs=s(20+Δt)-s(20)
=10×(20+0.1)+5×(20+0.1)2-(10×20+5×202)
=1+20+5×0.01=21.05(m).
∴==210.5(m/s).
(2)由導(dǎo)數(shù)的定義知,t=20時(shí)的速度
v=
=
=
=(5Δt+10+10×20)
=210(m/s).
探究2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
設(shè)函數(shù)y=f(x),在y=f(x)上取兩點(diǎn)P(x0,y0),Pn(xn,yn)(x0≠xn).
問(wèn)題1:割線(xiàn)PPn的斜率kn是什么
【答案】　割線(xiàn)PPn的斜率kn==.
問(wèn)題2:當(dāng)Pn無(wú)限趨近于點(diǎn)P時(shí),kn與切線(xiàn)PT的斜率k有什么關(guān)系
【答案】　kn無(wú)限趨近于切線(xiàn)PT的斜率k.
問(wèn)題3:如何求過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)PT的斜率
【答案】　函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線(xiàn)PT的斜率k,即k==f'(x0).
問(wèn)題4:曲線(xiàn)的切線(xiàn)是不是一定和曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)
【答案】　不一定.曲線(xiàn)的切線(xiàn)和曲線(xiàn)不一定只有一個(gè)公共點(diǎn),和曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)和曲線(xiàn)也不一定相切.如圖,曲線(xiàn)的切線(xiàn)是通過(guò)逼近將割線(xiàn)趨于確定位置的直線(xiàn).
問(wèn)題5:曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)過(guò)某點(diǎn)(x0,y0)的切線(xiàn)有何不同
【答案】　曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線(xiàn),點(diǎn)(x0,y0)一定是切點(diǎn),只要求出k=f'(x0),利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程即可;而曲線(xiàn)y=f(x)過(guò)某點(diǎn)(x0,y0)的切線(xiàn),給出的點(diǎn)(x0,y0)不一定在曲線(xiàn)上,即使在曲線(xiàn)上也不一定是切點(diǎn).
新知生成
1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義
(1)切線(xiàn)的概念:如圖,對(duì)于割線(xiàn)PPn,當(dāng)點(diǎn)Pn趨近于點(diǎn)P時(shí),割線(xiàn)PPn趨近于確定的位置,這個(gè)確定位置的直線(xiàn)PT稱(chēng)為點(diǎn)P處的切線(xiàn).
(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線(xiàn)PT的斜率k,即k= =f'(x0).
2.曲線(xiàn)的切線(xiàn)并不一定與曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn),可以有多個(gè),甚至可以無(wú)窮多.與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)也不一定是曲線(xiàn)的切線(xiàn).
新知運(yùn)用
例2　求曲線(xiàn)f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線(xiàn)方程.
【解析】　因?yàn)閒'(1)=
= =2,
所以所求切線(xiàn)的斜率為2,
因此,所求的切線(xiàn)方程為y-2=2(x-1),即2x-y=0.
【方法總結(jié)】　　過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)求切線(xiàn)方程的三個(gè)步驟
求曲線(xiàn)f(x)=3x2在點(diǎn)(1,3)處的切線(xiàn)方程.
【解析】　因?yàn)?f'(1)== (6+3Δx)=6,
所以所求切線(xiàn)的斜率為6,
因此,所求的切線(xiàn)方程為y-3=6(x-1),即6x-y-3=0.
【隨堂檢測(cè)】
1.一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s=5-3t2,若該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段[1,1+Δt]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為-3Δt-6,則該質(zhì)點(diǎn)在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度是(　　).
A.-3　　　　B.3　 　　　C.6　 　　　D.-6
【答案】　D
【解析】　由平均速度和瞬時(shí)速度的關(guān)系可知,v=s'(1)=(-3Δt-6)=-6.
2.函數(shù)f(x)=在x=3處的導(dǎo)數(shù)是(　　).
A.- B.- C.- D.-
【答案】　C
【解析】　因?yàn)棣=f(3+Δx)-f(3)=-=,所以=,于是f(x)在x=3處的導(dǎo)數(shù)為f'(3)==-.
3.已知曲線(xiàn)f(x)=2x2+4x在點(diǎn)P處的切線(xiàn)斜率為16,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　.
【答案】　(3,30)
【解析】　設(shè)點(diǎn)P(x0,2+4x0),
則f'(x0)=
==4x0+4,
令4x0+4=16得x0=3,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,30).
4.已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則y=f(x)在A,B兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f'(a)與f'(b)的大小關(guān)系為f'(a)　　　　f'(b)(填“<”或“>”).
【答案】　>
【解析】　觀(guān)察圖象可知,該函數(shù)圖象在點(diǎn)A處的切線(xiàn)斜率的絕對(duì)值要小于在點(diǎn)B處的切線(xiàn)斜率的絕對(duì)值,且斜率均為負(fù)值,所以f'(a)>f'(b).
5.一條水管中流過(guò)的水量y(單位:m3)是關(guān)于時(shí)間t(單位:s)的函數(shù),且y=f(t)=3t.求函數(shù)y=f(t)在t=2處的導(dǎo)數(shù)f'(2),并解釋它的實(shí)際意義.
【解析】　根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,
得===3,
∴f'(2)==3.
f'(2)的意義是水流在2 s時(shí)的瞬時(shí)流量為3 m3/s,即此時(shí)刻,每經(jīng)過(guò)1 s,水管中流過(guò)的水量為3 m3.
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