資源簡介

2.3 導數的計算
【學習目標】
1.能根據定義求函數y=c(c為常數),y=x,y=x2,y=,y=的導數.(數學抽象、數學運算)
2.掌握基本初等函數的導數公式,并能進行簡單的應用.(數學抽象、數學運算)
【自主預習】
1.回顧之前所學的內容,你學過哪些基本初等函數
【答案】　冪函數,指數函數,對數函數,三角函數.
2.如何用定義求函數f(x)的導數f'(x)
【答案】　定義法求導數的步驟:(1)求出Δy,;(2)f'(x)=.
故f'(x)=y'=.
3.f'(x)與f'(x0)的區別是什么
【答案】　f'(x0)是一個確定的數,f'(x)是函數f(x)的導數.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數在一點處的導數f'(x0)是一個常數. (　　)
(2)若y=,則y'=×2=1. (　　)
(3)若f'(x)=sin x,則f(x)=cos x. (　　)
(4)若y=,則y'=. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.下列求導運算正確的是(　　).
A.(ln x)'=x B.sin'=cos
C.(cos x)'=sin x D.(ax)'=axln a(a>0,a≠1)
【答案】　D
【解析】　(ln x)'=,A錯誤;
因為sin是個常數,所以sin'=0,B錯誤;
(cos x)'=-sin x,C錯誤;
(ax)'=axln a(a>0,a≠1),D正確.
3.若函數f(x)=10x,則f'(1)等于(　　).
A. B.10
C.10ln 10 D.
【答案】　C
【解析】　∵f'(x)=10xln 10,∴f'(1)=10ln 10.
4.曲線y=ex在點(2,e2)處的切線方程為　　　　.
【答案】　y=e2(x-1)
【解析】　∵y'=ex,∴當x=2時,y'=e2,
∴在點(2,e2)處的切線方程為y-e2=e2(x-2),即y=e2(x-1).
【合作探究】
探究1 用定義計算函數在某點處的導數
問題:你能利用定義求出函數y=的導數嗎
【答案】　===,
∴y'==.
新知生成
1.導數的定義
如果一個函數y=f(x)在區間(a,b)內的每一點x處都有導數f'(x)=,那么f'(x)是關于x的函數,稱f'(x)為函數f(x)的導函數,簡稱導數.
2.幾個常用函數的導數
原函數 導數
f(x)=x f'(x)=　1　
f(x)=x2 f'(x)=　2x　
f(x)= f'(x)=-
f(x)= f'(x)=
新知運用
例1　已知f(x)=x2-3.
(1)求f(x)在x=2處的導數;
(2)求f(x)在x=a處的導數.
【解析】　(1)因為=
=
=4+Δx,
所以f'(2)==(4+Δx)=4.
(2)因為=
=
=2a+Δx,
所以f'(a)==(2a+Δx)=2a.
已知函數f(x)=x3-(a-1)x+1,且f'(x)≥0恒成立,求實數a的取值范圍.
【解析】　由導數定義得f'(x)==
=3x2-(a-1).由f'(x)≥0恒成立,得3x2-a+1≥0恒成立,從而a≤1.
探究2 利用導數公式計算導數
已知函數:①f(x)=c,②f(x)=x,③f(x)=x2,④f(x)=x3,⑤f(x)=,⑥f(x)=.
問題1:函數f(x)=c的導數是什么
【答案】　∵===0,
∴f'(x)==0.
問題2:函數②③④⑤⑥的導數分別是什么
【答案】　由導數的定義得(x)'=1,(x2)'=2x,(x3)'=3x2,'=-,()'=.
問題3:函數②③④⑥均可表示為y=xα(α∈Q且α≠0)的形式,其導數有何規律
【答案】　∵(x)'=1·x1-1,(x2)'=2·x2-1,(x3)'=3·x3-1,()'='==,∴(xα)'=αxα-1.
新知生成
1.基本初等函數的導數公式
原函數 導數
f(x)=c(c為常數) f'(x)=　0　
f(x)=xα(α為實數) f'(x)=　αxα-1　
f(x)=sin x f'(x)=　cos x　
(續表)
原函數 導數
f(x)=cos x f'(x)=　-sin x　
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=　axln a　
f(x)=ex f'(x)=　ex　
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
2.奇(偶)函數的導函數的性質
奇函數的導函數為偶函數,偶函數的導函數為奇函數.
3.在應用正、余弦函數及指數、對數函數的求導公式時應注意的問題
(1)對于公式(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x,一是注意函數的變化,二是注意符號的變化.
(2)對于公式(ln x)'=和(ex)'=ex很好記,但對于公式(logax)'=和(ax)'=axln a的記憶就較難,特別要注意ln a所在的位置.
新知運用
例2　求下列函數的導數.
(1)y=;(2)y=log3x;(3)y=;
(4)y=-2sin1-2cos2;(5)y=3ln x+ln.
【解析】　(1)y'='=(x-4)'=-4x-5=-.
(2)y'=(log3x)'=.
(3)y'=()'=()'=.
(4)因為y=-2sin1-2cos2
=2sin2cos2-1=2sin cos =sin x,
所以y'=(sin x)'=cos x.
(5)因為y=3ln x+ln =ln x3+ln =ln x,
所以y'=(ln x)'=.
【方法總結】　　利用導數公式,必要時進行合理變形、化簡,再求導.
求下列函數的導數.
(1)y=x14;(2)y=x;(3)y=x-2;
(4)y=cos +sin cos -sin ;(5)y=e0.
【解析】　(1)y'=(x14)'=14x13.
(2)y'=x'=xln=-xln 3.
(3)y'=(x-2)'=-2x-3=-.
(4)∵y=cos +sin cos -sin =cos x,
∴y'=-sin x.
(5)∵y=e0=1,∴y'=0.
探究3 利用導數公式解決曲線的切線問題
問題1:導數的幾何意義是什么
【答案】　函數f(x)在x=x0處的導數就是曲線在該點處的切線的斜率k,即k=f'(x0).
問題2:利用導數的幾何意義解決切線問題有哪兩種情況
【答案】　(1)若已知點是切點,則在該點處的切線的斜率就是該點處的導數;
(2)若已知點不是切點,則應先設出切點,再借助兩點連線的斜率公式進行求解.
新知生成
1.曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
2.求過點P與曲線相切的直線方程的三個步驟
新知運用
例3　(2023·廣西西部第二次聯考)已知函數f(x)=x2,l是曲線y=f(x)的切線,且l經過點(3,5).
(1)判斷(3,5)是否是曲線y=f(x)上的點;
(2)求l的方程.
【解析】　(1)因為f(x)=x2,所以f(3)=32=9≠5,所以(3,5)不是曲線y=f(x)上的點.
(2)由f(x)=x2,得f'(x)=2x,
設切點為(x0,),則f'(x0)=2x0,所以曲線y=f(x)在點(x0,)處的切線方程為y-=2x0(x-x0),因為切線l經過點(3,5),所以5-=2x0(3-x0),解得x0=1或x0=5,所以切線方程為y-1=2(x-1)或 y-25=10(x-5),
即l的方程為2x-y-1=0或 10x-y-25=0.
【方法總結】　　求過點P與曲線相切的切點坐標的步驟:(1)設切點坐標(x0,y0);(2)求導函數f'(x);(3)求切線的斜率f'(x0);(4)列出關于x0的方程,解方程求x0;(5)將x0代入f(x)求y0,得切點坐標.
求滿足下列條件的直線l的方程:
(1)過原點且與曲線y=ln x相切;
(2)斜率為e且與曲線y=ex相切.
【解析】　(1)y'=,(x>0),
設切點為(m,ln m),切線方程為y=kx,所以k=,y=x,
因為切點為(m,ln m),所以ln m=·m=1,所以m=e,
所以切線方程為y=x.
(2)y'=ex,因為切線斜率為e,所以y'=ex=e,所以x=1,
則切點為(1,e),所以切線方程為y-e=e(x-1),即y=ex.
【隨堂檢測】
1.已知f(x)=ln x,則f'的值為(　　).
A.1 B.-1 C.e D.
【答案】　C
【解析】　由f(x)=ln x,得f'(x)=.所以f'==e.故選C.
2.曲線y=在點,2處的切線的斜率為(　　).
A.2 B.-4 C.3 D.
【答案】　B
【解析】　因為y=,所以y'=-,所以k=-4,故選B.
3.若直線y=k(x-1)與曲線y=ex相切,則切點的坐標為　　　　.
【答案】　(2,e2)
【解析】　設切點為(x0,y0),∵y'=ex,∴k=,
又∵∴=(x0-1),解得x0=2,
∴切點坐標為(2,e2).
4.求下列函數的導數.
(1)y=x15;(2)y=x-3;(3)y=;(4)y=.
【解析】　(1)y'=15x14.
(2)y'=-3x-4.
(3)y'=.
(4)因為y==,所以y'=-=-.
5.求函數f(x)=的導數f'(x)及f'(1).
【解析】　因為f(x)=,所以f'(x)=,
所以f'(1)=.
22.3 導數的計算
【學習目標】
1.能根據定義求函數y=c(c為常數),y=x,y=x2,y=,y=的導數.(數學抽象、數學運算)
2.掌握基本初等函數的導數公式,并能進行簡單的應用.(數學抽象、數學運算)
【自主預習】
1.回顧之前所學的內容,你學過哪些基本初等函數
2.如何用定義求函數f(x)的導數f'(x)
3.f'(x)與f'(x0)的區別是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數在一點處的導數f'(x0)是一個常數. (　　)
(2)若y=,則y'=×2=1. (　　)
(3)若f'(x)=sin x,則f(x)=cos x. (　　)
(4)若y=,則y'=. (　　)
2.下列求導運算正確的是(　　).
A.(ln x)'=x B.sin'=cos
C.(cos x)'=sin x D.(ax)'=axln a(a>0,a≠1)
3.若函數f(x)=10x,則f'(1)等于(　　).
A. B.10
C.10ln 10 D.
4.曲線y=ex在點(2,e2)處的切線方程為　　　　.
【合作探究】
探究1 用定義計算函數在某點處的導數
問題:你能利用定義求出函數y=的導數嗎
新知生成
1.導數的定義
如果一個函數y=f(x)在區間(a,b)內的每一點x處都有導數f'(x)=,那么f'(x)是關于x的函數,稱f'(x)為函數f(x)的導函數,簡稱導數.
2.幾個常用函數的導數
原函數 導數
f(x)=x f'(x)=　1　
f(x)=x2 f'(x)=　2x　
f(x)= f'(x)=-
f(x)= f'(x)=
新知運用
例1　已知f(x)=x2-3.
(1)求f(x)在x=2處的導數;
(2)求f(x)在x=a處的導數.
已知函數f(x)=x3-(a-1)x+1,且f'(x)≥0恒成立,求實數a的取值范圍.
探究2 利用導數公式計算導數
已知函數:①f(x)=c,②f(x)=x,③f(x)=x2,④f(x)=x3,⑤f(x)=,⑥f(x)=.
問題1:函數f(x)=c的導數是什么
問題2:函數②③④⑤⑥的導數分別是什么
問題3:函數②③④⑥均可表示為y=xα(α∈Q且α≠0)的形式,其導數有何規律
新知生成
1.基本初等函數的導數公式
原函數 導數
f(x)=c(c為常數) f'(x)=　0　
f(x)=xα(α為實數) f'(x)=　αxα-1　
f(x)=sin x f'(x)=　cos x　
(續表)
原函數 導數
f(x)=cos x f'(x)=　-sin x　
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=　axln a　
f(x)=ex f'(x)=　ex　
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
2.奇(偶)函數的導函數的性質
奇函數的導函數為偶函數,偶函數的導函數為奇函數.
3.在應用正、余弦函數及指數、對數函數的求導公式時應注意的問題
(1)對于公式(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x,一是注意函數的變化,二是注意符號的變化.
(2)對于公式(ln x)'=和(ex)'=ex很好記,但對于公式(logax)'=和(ax)'=axln a的記憶就較難,特別要注意ln a所在的位置.
新知運用
例2　求下列函數的導數.
(1)y=;(2)y=log3x;(3)y=;
(4)y=-2sin1-2cos2;(5)y=3ln x+ln.
【方法總結】　　利用導數公式,必要時進行合理變形、化簡,再求導.
求下列函數的導數.
(1)y=x14;(2)y=x;(3)y=x-2;
(4)y=cos +sin cos -sin ;(5)y=e0.
探究3 利用導數公式解決曲線的切線問題
問題1:導數的幾何意義是什么
問題2:利用導數的幾何意義解決切線問題有哪兩種情況
(2)若已知點不是切點,則應先設出切點,再借助兩點連線的斜率公式進行求解.
新知生成
1.曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
2.求過點P與曲線相切的直線方程的三個步驟
新知運用
例3　(2023·廣西西部第二次聯考)已知函數f(x)=x2,l是曲線y=f(x)的切線,且l經過點(3,5).
(1)判斷(3,5)是否是曲線y=f(x)上的點;
(2)求l的方程.
【方法總結】　　求過點P與曲線相切的切點坐標的步驟:(1)設切點坐標(x0,y0);(2)求導函數f'(x);(3)求切線的斜率f'(x0);(4)列出關于x0的方程,解方程求x0;(5)將x0代入f(x)求y0,得切點坐標.
求滿足下列條件的直線l的方程:
(1)過原點且與曲線y=ln x相切;
(2)斜率為e且與曲線y=ex相切.
【隨堂檢測】
1.已知f(x)=ln x,則f'的值為(　　).
A.1 B.-1 C.e D.
2.曲線y=在點,2處的切線的斜率為(　　).
A.2 B.-4 C.3 D.
3.若直線y=k(x-1)與曲線y=ex相切,則切點的坐標為　　　　.
4.求下列函數的導數.
(1)y=x15;(2)y=x-3;(3)y=;(4)y=.
5.求函數f(x)=的導數f'(x)及f'(1).
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