資源簡介

2.4 導數(shù)的四則運算法則
【學習目標】
1.熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,理解導數(shù)的運算法則,通過理解導數(shù)的四則運算,探究公式的形成過程,提高學生研究問題、解決問題的能力.(數(shù)學抽象)
2.結(jié)合實際例子,掌握幾個常見函數(shù)的導數(shù),通過對導數(shù)公式的應用,提高學生處理問題的能力.(邏輯推理)
3.能利用所給基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,求簡單函數(shù)的導數(shù),通過對導數(shù)公式和其他知識的綜合運用,培養(yǎng)學生的邏輯推理、數(shù)學運算等素養(yǎng).(數(shù)學運算)
【自主預習】
運用定義法求解導數(shù)運算太復雜,有時甚至無法完成.是否有更簡單的求導方法呢
1.求y=(2x2+3)(3x-2)的導數(shù).
2.求y=的導數(shù).
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)f'(x0)與[f(x0)]'表示的意義相同. (　　)
(2)函數(shù)f(x)=xln x的導數(shù)是f'(x)=x. (　　)
2.函數(shù)f(x)=xex的導數(shù)f'(x)=(　　).
A.ex(x+1) B.1+ex
C.x(1+ex) D.ex(x-1)
3.若y=,則y'=　　　　.
4.若函數(shù)f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,則a=　　　　.
【合作探究】
探究1 函數(shù)和與差的求導法則
問題1:觀察f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x2+x;與導數(shù)f'(x)=2x,g'(x)=1,h'(x)=2x+1,你有什么發(fā)現(xiàn)和猜想
問題2:如何證明你的猜想
問題3:導數(shù)和(差)的運算法則可以推廣到有限個函數(shù)的和(差)的情形嗎 如果可以,寫出推廣形式.
新知生成
1.兩函數(shù)和與差的導數(shù)
一般地,對于兩個函數(shù)f(x)和g(x)的和(差)的導數(shù),有下列法則:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).
特別地,[f(x)±c]'=f'(x).
2.兩函數(shù)和與差的導數(shù)的拓展
[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±f'3(x)±…±f'n(x).
新知運用
例1　求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=x2+log3 x;(2)y=sin x-2x2.
【方法總結(jié)】　　根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式以及函數(shù)和與差的求導法則進行求解.
求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=5-4x3;(2)y=lg x-.
探究2 函數(shù)積與商的求導法則
假設f(x)=sin x,g(x)=ex.
問題1:你能求出[f(x)g(x)]'嗎
問題2:你能求出'嗎
新知生成
1.[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),特別地,當g(x)是常數(shù)函數(shù),即g(x)=c時,[cf(x)]'=cf'(x).
2.'=(g(x)≠0).
新知運用
例2　求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=cos x·ln x;
(2)y=x3·ex;
(3)y=.
【方法總結(jié)】　　根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和函數(shù)積與商的求導法則進行求解.
求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=;
(2)y=2xcos x-3xlog2020x;
(3)y=x·tan x.
探究3 導數(shù)的四則運算的應用
例3　已知函數(shù)f(x)=x3-2x2+ax(x∈R).
(1)若曲線y=f(x)在點P處的切線斜率為a,試求點P的橫坐標;
(2)在曲線y=f(x)的所有切線中,有且僅有一條切線l與直線y=x垂直,求a的值以及切線l的方程.
【方法總結(jié)】　　利用導數(shù)的四則運算法則求解問題,一定要熟悉運算法則,特別是對復雜結(jié)構(gòu)的函數(shù)求導.這一過程體現(xiàn)了數(shù)學運算素養(yǎng).
1.已知某運動物體的運動方程為s(t)=+2t2(位移單位:m,時間單位:s),求t=3 s時物體的瞬時速度.
2.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其導函數(shù)f'(x)=2x-8.
(1)求a,b的值;
(2)設函數(shù)g(x)=exsin x+f(x),求曲線g(x)在x=0處的切線方程.
【隨堂檢測】
1.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,則a的值是(　　).
A. B. C. D.
2.已知函數(shù)f(x)=,則該函數(shù)的導函數(shù)f'(x)=(　　).
A. B.
C. D.2x-cos x
3.在一次降雨過程中,某市的降雨量y(單位:mm)與時間t(單位:min)的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=,則在t=40 min時的降雨強度為　　　　mm/min.
4.已知函數(shù)f(x)=x2+xln x.
(1)求函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x);
(2)求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程.
22.4 導數(shù)的四則運算法則
【學習目標】
1.熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,理解導數(shù)的運算法則,通過理解導數(shù)的四則運算,探究公式的形成過程,提高學生研究問題、解決問題的能力.(數(shù)學抽象)
2.結(jié)合實際例子,掌握幾個常見函數(shù)的導數(shù),通過對導數(shù)公式的應用,提高學生處理問題的能力.(邏輯推理)
3.能利用所給基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,求簡單函數(shù)的導數(shù),通過對導數(shù)公式和其他知識的綜合運用,培養(yǎng)學生的邏輯推理、數(shù)學運算等素養(yǎng).(數(shù)學運算)
【自主預習】
運用定義法求解導數(shù)運算太復雜,有時甚至無法完成.是否有更簡單的求導方法呢
1.求y=(2x2+3)(3x-2)的導數(shù).
【答案】　y'=(2x2+3)'(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)'=4x(3x-2)+3(2x2+3)=12x2-8x+6x2+9=18x2-8x+9.
2.求y=的導數(shù).
【答案】　y'='==.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)f'(x0)與[f(x0)]'表示的意義相同. (　　)
(2)函數(shù)f(x)=xln x的導數(shù)是f'(x)=x. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×
2.函數(shù)f(x)=xex的導數(shù)f'(x)=(　　).
A.ex(x+1) B.1+ex
C.x(1+ex) D.ex(x-1)
【答案】　A
【解析】　f'(x)=x'ex+x(ex)'=ex+xex=ex(x+1),故選A.
3.若y=,則y'=　　　　.
【答案】　
【解析】　∵y=ln x,∴y'=·=.
4.若函數(shù)f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,則a=　　　　.
【答案】　1
【解析】　∵f(x)=ax2+c,∴f'(x)=2ax,故f'(1)=2a=2,∴a=1.
【合作探究】
探究1 函數(shù)和與差的求導法則
問題1:觀察f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x2+x;與導數(shù)f'(x)=2x,g'(x)=1,h'(x)=2x+1,你有什么發(fā)現(xiàn)和猜想
【答案】　h(x)=f(x)+g(x);h'(x)=f'(x)+g'(x);[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x).
問題2:如何證明你的猜想
【答案】　設h(x)=f(x)+g(x),
則=
=
=
=+,
所以=+=+,
即h'(x)=f'(x)+g'(x).
問題3:導數(shù)和(差)的運算法則可以推廣到有限個函數(shù)的和(差)的情形嗎 如果可以,寫出推廣形式.
【答案】　可以,若y=f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x),
則y'=f'1(x)±f'2(x)±f'3(x)±…±f'n(x).
新知生成
1.兩函數(shù)和與差的導數(shù)
一般地,對于兩個函數(shù)f(x)和g(x)的和(差)的導數(shù),有下列法則:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).
特別地,[f(x)±c]'=f'(x).
2.兩函數(shù)和與差的導數(shù)的拓展
[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±f'3(x)±…±f'n(x).
新知運用
例1　求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=x2+log3 x;(2)y=sin x-2x2.
【解析】　 (1)y'=(x2+log3x)'=(x2)'+(log3x)'=2x+.
(2)y'=(sin x-2x2)'=(sin x)'-(2x2)'=cos x-4x.
【方法總結(jié)】　　根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式以及函數(shù)和與差的求導法則進行求解.
求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=5-4x3;(2)y=lg x-.
【解析】　(1)y'=-12x2.
(2)y'=+.
探究2 函數(shù)積與商的求導法則
假設f(x)=sin x,g(x)=ex.
問題1:你能求出[f(x)g(x)]'嗎
【答案】　[f(x)g(x)]'=(sin x·ex)'=cos x·ex+sin x·ex=ex(cos x+sin x).
問題2:你能求出'嗎
【答案】　'='==.
新知生成
1.[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),特別地,當g(x)是常數(shù)函數(shù),即g(x)=c時,[cf(x)]'=cf'(x).
2.'=(g(x)≠0).
新知運用
例2　求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=cos x·ln x;
(2)y=x3·ex;
(3)y=.
【解析】　(1)y'=(cos x·ln x)'=(cos x)'·ln x+cos x·(ln x)'=-sin x·ln x+.
(2)y'=(x3·ex)'=(x3)'·ex+x3·(ex)'
=3x2·ex+x3·ex=ex(x3+3x2).
(3)y'='=
==-.
【方法總結(jié)】　　根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和函數(shù)積與商的求導法則進行求解.
求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=;
(2)y=2xcos x-3xlog2020x;
(3)y=x·tan x.
【解析】　(1)y'=
=
=-.
(2)y'=(2x)'cos x+(cos x)'2x-3[x'log2020x+(log2020x)'x]
=2xln 2·cos x-sin x·2x-3log2020x+log2020ex
=2xln 2·cos x-2xsin x-3log2020x-3log2020e.
(3)y'=(xtan x)'='
=
=
=
==.
探究3 導數(shù)的四則運算的應用
例3　已知函數(shù)f(x)=x3-2x2+ax(x∈R).
(1)若曲線y=f(x)在點P處的切線斜率為a,試求點P的橫坐標;
(2)在曲線y=f(x)的所有切線中,有且僅有一條切線l與直線y=x垂直,求a的值以及切線l的方程.
【解析】　(1)∵f(x)=x3-2x2+ax,∴f'(x)=x2-4x+a,設點P的橫坐標為x0,令-4x0+a=a,∴-4x0=0,∴x0=0或x0=4.
(2)由題意可知,方程f'(x)=x2-4x+a=-1有兩個相等的實根,∴Δ=16-4(a+1)=0,∴a=3,則f'(x)=x2-4x+3=-1,∴x2-4x+4=0,解得切點的橫坐標為x=2,
∴f(2)=×8-2×4+2×3=,∴切線l的方程為y-=(-1)(x-2),即3x+3y-8=0.
【方法總結(jié)】　　利用導數(shù)的四則運算法則求解問題,一定要熟悉運算法則,特別是對復雜結(jié)構(gòu)的函數(shù)求導.這一過程體現(xiàn)了數(shù)學運算素養(yǎng).
1.已知某運動物體的運動方程為s(t)=+2t2(位移單位:m,時間單位:s),求t=3 s時物體的瞬時速度.
【解析】　∵s(t)=+2t2=-+2t2=-+2t2,
∴s'(t)=-+2·+4t,
∴s'(3)=-++12=,
即物體在t=3 s時的瞬時速度為 m/s.
2.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其導函數(shù)f'(x)=2x-8.
(1)求a,b的值;
(2)設函數(shù)g(x)=exsin x+f(x),求曲線g(x)在x=0處的切線方程.
【解析】　(1)因為f(x)=ax2+bx+3(a≠0),
所以f'(x)=2ax+b.
又因為f'(x)=2x-8,所以a=1,b=-8.
(2)由(1)可知g(x)=exsin x+x2-8x+3,
所以g'(x)=exsin x+excos x+2x-8,
所以g'(0)=e0sin 0+e0cos 0+2×0-8=-7.
又因為g(0)=3,
所以g(x)在x=0處的切線方程為y-3=-7(x-0),即7x+y-3=0.
【隨堂檢測】
1.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,則a的值是(　　).
A. B. C. D.
【答案】　D
【解析】　∵f'(x)=3ax2+6x,
∴f'(-1)=3a-6=4,
∴a=.
2.已知函數(shù)f(x)=,則該函數(shù)的導函數(shù)f'(x)=(　　).
A. B.
C. D.2x-cos x
【答案】　B
【解析】　由題意可得f'(x)==.故選B.
3.在一次降雨過程中,某市的降雨量y(單位:mm)與時間t(單位:min)的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=,則在t=40 min時的降雨強度為　　　　mm/min.
【答案】　
【解析】　∵y=,∴y'=×,∴當t=40時,y'=×=.
4.已知函數(shù)f(x)=x2+xln x.
(1)求函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x);
(2)求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程.
【解析】　(1)因為f(x)=x2+xln x,所以f'(x)=2x+ln x+1.
(2)由題意可知,切點的橫坐標為1,所以切線的斜率k=f'(1)=2+1=3,
又因為f(1)=1,所以切線方程為y-1=3(x-1),整理得3x-y-2=0.
2

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