資源簡介

2.5 簡單復合函數(shù)的求導法則
【學習目標】
1.了解復合函數(shù)的概念.(數(shù)學抽象)
2.理解復合函數(shù)的求導法則,并能求簡單的復合函數(shù)的導數(shù).(邏輯推理、數(shù)學運算)
3.能運用復合函數(shù)求導及導數(shù)運算法則解決綜合問題.(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)
【自主預習】
一個復雜事物的背后往往有一個簡單的本質(zhì),之所以復雜,是因為我們自己主觀地把簡單本質(zhì)包裹起來,使清晰而簡單的本質(zhì)變得復雜難解.就像法國著名哲學家、數(shù)學家、物理學家笛卡爾說的那樣:“我只會做兩件事,一件是簡單的事,一件是把復雜的事情變簡單.”
1.你能總結(jié)出復合函數(shù)的求導步驟嗎
2.函數(shù)y=ln(2x-1)可以用基本初等函數(shù)表示嗎 它的結(jié)構(gòu)特點是什么
3.函數(shù)y=ln(2x-1)的導數(shù)是什么
4.對于函數(shù)y=cos 2x,其導函數(shù)是y=-sin 2x嗎
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數(shù)y=sin(πx)是由函數(shù)y=sin u和u=πx復合而成的. (　　)
(2)若f(x)=ln(3x-1),則f'(x)=. (　　)
(3)若f(x)=x2cos 2x,則f'(x)=2xcos 2x+2x2sin 2x. (　　)
2.函數(shù)y=(2x-1)n的復合過程正確的是(　　).
A.y=un,u=2x-1 B.y=(u-1)n,u=2x
C.y=tn,t=(2x-1)n D.y=(t-1)n,t=2x-1
3.函數(shù)y=的導數(shù)是(　　).
A. B.
C. D.
4.下列對函數(shù)的求導正確的是(　　).
A.若y=(1-2x)3,則y'=3(1-2x)2
B.若y=log2(2x+1),則y'=
C.若y=cos ,則y'=sin
D.若y=22x-1,則y'=22xln 2
【合作探究】
探究1 簡單復合函數(shù)的求導
問題1:你知道函數(shù)f(x)=ln 2x的復合關(guān)系嗎 它的導數(shù)是什么
問題2:利用復合函數(shù)的求導法則求函數(shù)的導數(shù),需注意什么
新知生成
1.復合函數(shù)的概念
一般地,對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,給定x的一個值,就得到了u的值,進而確定了y的值,這樣y可以表示成　x的函數(shù)　,我們稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)的　復合函數(shù)　,記作　y=f(φ(x))　,其中u為中間變量.
2.復合函數(shù)的求導法則
復合函數(shù)y=f(φ(x))的導數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=φ(x)的導數(shù)間的關(guān)系為yx'=　yu'·ux'　,即y對x的導數(shù)是　y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積　.
新知運用
例1　求下列函數(shù)的導數(shù):
(1)y=;
(2)y=e-x+1.
方法指導　求復合函數(shù)的導數(shù)首先必須弄清函數(shù)是怎樣復合而成的,然后按復合函數(shù)的求導法則求導.
求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=e2x+1;
(2)y=;
(3)y=5log2(1-x).
探究2 復合函數(shù)求導的實際應(yīng)用
放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素,其含量不斷減少,這種現(xiàn)象稱為衰變.假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過程中,其含量M(單位:太貝克)與時間t(單位:年)滿足函數(shù)關(guān)系:M(t)=M0,其中M0為t=0時銫137的含量.已知t=30時,銫137含量的變化率是-10ln 2(太貝克/年).
問題:你能求出M(60)的值嗎
新知生成
復合函數(shù)求導的關(guān)鍵是選擇中間變量,必須正確分析復合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復合而成的,分清其間的復合關(guān)系,要善于把一部分量或式子暫時當作一個整體,這個暫時的整體就是中間變量,求導時需要記住中間變量,注意逐層求導,不要遺漏.此外,還應(yīng)特別注意求導后,要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù).
新知運用
例2　某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品,公司經(jīng)營該產(chǎn)品一年的利潤L(x)(萬元)與每件產(chǎn)品的售價x(元)的函數(shù)關(guān)系式為L(x)=500(x-30-a)e40-x,求L(x)的導數(shù).
方法指導　利用復合函數(shù)的求導法則進行求導.
某港口在一天24小時內(nèi)潮水的高度近似滿足關(guān)系式s(t)=3sint+(0≤t≤24,s的單位是m,t的單位是h),求函數(shù)在t=18時的導數(shù),并解釋它的實際意義.
探究3 復合函數(shù)求導的綜合應(yīng)用
例3　設(shè)f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b為常數(shù)),曲線y=f(x)與直線y=x在點(0,0)處相切.求a,b的值.
【方法總結(jié)】　　本題主要考查了復合函數(shù)求導與導數(shù)幾何意義綜合問題,能夠正確求出復合函數(shù)的導數(shù)是解決此類問題的前提,審題時注意所給點是否是切點,挖掘題目隱含條件,求出參數(shù),解決已知經(jīng)過一定點的切線問題,尋求切點是解決問題的關(guān)鍵.該類問題的求解能夠較好地考查學生的數(shù)學運算素養(yǎng).
曲線y=f(x)=ex+1在(-1,1)處的切線與直線l平行,且與l的距離為,求直線l的方程.
【隨堂檢測】
1.函數(shù)f(x)=(1-2x)10在點x=0處的導數(shù)是(　　).
A.0 B.1 C.20 D.-20
2.曲線y=e2x-4在橫坐標為2的點處的切線方程為(　　).
A.2x-y-3=0 B.2x+y-3=0
C.ex-y-2e+1=0 D.ex+y+2e-1=0
3.已知直線y=2x-1與曲線y=ln(x+a)相切,則a的值為　　　　　.
22.5 簡單復合函數(shù)的求導法則
【學習目標】
1.了解復合函數(shù)的概念.(數(shù)學抽象)
2.理解復合函數(shù)的求導法則,并能求簡單的復合函數(shù)的導數(shù).(邏輯推理、數(shù)學運算)
3.能運用復合函數(shù)求導及導數(shù)運算法則解決綜合問題.(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)
【自主預習】
一個復雜事物的背后往往有一個簡單的本質(zhì),之所以復雜,是因為我們自己主觀地把簡單本質(zhì)包裹起來,使清晰而簡單的本質(zhì)變得復雜難解.就像法國著名哲學家、數(shù)學家、物理學家笛卡爾說的那樣:“我只會做兩件事,一件是簡單的事,一件是把復雜的事情變簡單.”
1.你能總結(jié)出復合函數(shù)的求導步驟嗎
【答案】　
2.函數(shù)y=ln(2x-1)可以用基本初等函數(shù)表示嗎 它的結(jié)構(gòu)特點是什么
【答案】　可以,函數(shù)y=ln(2x-1)是由函數(shù)y=ln u和u=2x-1復合而成的復合函數(shù).
3.函數(shù)y=ln(2x-1)的導數(shù)是什么
【答案】　y'=·(2x-1)'=.
4.對于函數(shù)y=cos 2x,其導函數(shù)是y=-sin 2x嗎
【答案】　不是.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數(shù)y=sin(πx)是由函數(shù)y=sin u和u=πx復合而成的. (　　)
(2)若f(x)=ln(3x-1),則f'(x)=. (　　)
(3)若f(x)=x2cos 2x,則f'(x)=2xcos 2x+2x2sin 2x. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
2.函數(shù)y=(2x-1)n的復合過程正確的是(　　).
A.y=un,u=2x-1 B.y=(u-1)n,u=2x
C.y=tn,t=(2x-1)n D.y=(t-1)n,t=2x-1
【答案】　A
3.函數(shù)y=的導數(shù)是(　　).
A. B.
C. D.
【答案】　C
【解析】　∵y=,∴y'=-2×·(3x-1)'=.
4.下列對函數(shù)的求導正確的是(　　).
A.若y=(1-2x)3,則y'=3(1-2x)2
B.若y=log2(2x+1),則y'=
C.若y=cos ,則y'=sin
D.若y=22x-1,則y'=22xln 2
【答案】　D
【解析】　對于A,y'=-6(1-2x)2,故A錯誤;對于B,y'=,故B錯誤;對于C,y'=-·sin ,故C錯誤;對于D,y'=22x-1ln 2×(2x-1)'=22xln 2.故D正確.
【合作探究】
探究1 簡單復合函數(shù)的求導
問題1:你知道函數(shù)f(x)=ln 2x的復合關(guān)系嗎 它的導數(shù)是什么
【答案】　f(x)=ln 2x可看作函數(shù)u=2x和y=ln u的復合函數(shù),y'=(ln 2x)'=(2x)'=.
問題2:利用復合函數(shù)的求導法則求函數(shù)的導數(shù),需注意什么
【答案】　(1)分清復合函數(shù)的復合關(guān)系是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的,選定適當?shù)闹虚g變量.(2)分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導,其中要特別注意的是中間變量的系數(shù).如(sin 2x)'=2cos 2x,而不是錯誤地認為“(sin 2x)'=cos 2x”.(3)根據(jù)基本初等函數(shù)的求導公式及導數(shù)的運算法則,求出各函數(shù)的導數(shù),并把中間變量換成自變量的函數(shù).
新知生成
1.復合函數(shù)的概念
一般地,對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,給定x的一個值,就得到了u的值,進而確定了y的值,這樣y可以表示成　x的函數(shù)　,我們稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)的　復合函數(shù)　,記作　y=f(φ(x))　,其中u為中間變量.
2.復合函數(shù)的求導法則
復合函數(shù)y=f(φ(x))的導數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=φ(x)的導數(shù)間的關(guān)系為yx'=　yu'·ux'　,即y對x的導數(shù)是　y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積　.
新知運用
例1　求下列函數(shù)的導數(shù):
(1)y=;
(2)y=e-x+1.
方法指導　求復合函數(shù)的導數(shù)首先必須弄清函數(shù)是怎樣復合而成的,然后按復合函數(shù)的求導法則求導.
【解析】　(1)令y=u-4,u=1-3x,
則y'=y'u·u'x
=(u-4)'·(1-3x)'
=-4·u-5·(-3)
=12u-5=.
(2)令y=eu,u=-x+1,
則y'=y'u·u'x
=eu·(-1)
=-e-x+1.
求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=e2x+1;
(2)y=;
(3)y=5log2(1-x).
【解析】　(1)函數(shù)y=e2x+1可看作函數(shù)y=eu和u=2x+1的復合函數(shù),
∴y'x=y'u·ux'=(eu)'(2x+1)'=2eu=2e2x+1.
(2)函數(shù)y=可看作函數(shù)y=u-3和u=2x-1的復合函數(shù),
∴y'x=y'u·ux'=(u-3)'(2x-1)'=-6u-4=-6(2x-1)-4=-.
(3)函數(shù)y=5log2(1-x)可看作函數(shù)y=5log2u和u=1-x的復合函數(shù),
∴y'x=y'u·u'x=(5log2u)'·(1-x)'==.
探究2 復合函數(shù)求導的實際應(yīng)用
放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素,其含量不斷減少,這種現(xiàn)象稱為衰變.假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過程中,其含量M(單位:太貝克)與時間t(單位:年)滿足函數(shù)關(guān)系:M(t)=M0,其中M0為t=0時銫137的含量.已知t=30時,銫137含量的變化率是-10ln 2(太貝克/年).
問題:你能求出M(60)的值嗎
【答案】　M'(t)=-ln 2×M0,
由M'(30)=-ln 2×M0=-10ln 2,
解得M0=600,所以M(t)=600×,
所以t=60時,銫137的含量M(60)=600×=600×=150(太貝克).
新知生成
復合函數(shù)求導的關(guān)鍵是選擇中間變量,必須正確分析復合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復合而成的,分清其間的復合關(guān)系,要善于把一部分量或式子暫時當作一個整體,這個暫時的整體就是中間變量,求導時需要記住中間變量,注意逐層求導,不要遺漏.此外,還應(yīng)特別注意求導后,要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù).
新知運用
例2　某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品,公司經(jīng)營該產(chǎn)品一年的利潤L(x)(萬元)與每件產(chǎn)品的售價x(元)的函數(shù)關(guān)系式為L(x)=500(x-30-a)e40-x,求L(x)的導數(shù).
方法指導　利用復合函數(shù)的求導法則進行求導.
【解析】　L'(x)=500[e40-x-(x-30-a)e40-x]=500e40-x·(31+a-x).
某港口在一天24小時內(nèi)潮水的高度近似滿足關(guān)系式s(t)=3sint+(0≤t≤24,s的單位是m,t的單位是h),求函數(shù)在t=18時的導數(shù),并解釋它的實際意義.
【解析】　設(shè)f(x)=3sin x,x=φ(t)=t+,
所以s'(t)=f'(x)φ'(t)=3cos x·
=cost+,
將t=18代入s'(t),
得s'(18)=cos =(m/h).
s'(18)表示當t=18 h時,潮水的高度上升的速度為 m/h.
探究3 復合函數(shù)求導的綜合應(yīng)用
例3　設(shè)f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b為常數(shù)),曲線y=f(x)與直線y=x在點(0,0)處相切.求a,b的值.
【解析】　由曲線y=f(x)過點(0,0),可得ln 1+1+b=0,故b=-1.由f(x)=ln(x+1)++ax+b,得f'(x)=++a,則f'(0)=1++a=+a,即曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線的斜率.由題意得+a=,故a=0.
【方法總結(jié)】　　本題主要考查了復合函數(shù)求導與導數(shù)幾何意義綜合問題,能夠正確求出復合函數(shù)的導數(shù)是解決此類問題的前提,審題時注意所給點是否是切點,挖掘題目隱含條件,求出參數(shù),解決已知經(jīng)過一定點的切線問題,尋求切點是解決問題的關(guān)鍵.該類問題的求解能夠較好地考查學生的數(shù)學運算素養(yǎng).
曲線y=f(x)=ex+1在(-1,1)處的切線與直線l平行,且與l的距離為,求直線l的方程.
【解析】　設(shè)u=x+1,
則f'(x)=(ex+1 )'=(eu)'(x+1)'=ex+1 ,
所以f'(-1)=1.
則切線方程為y-1=x+1,即x-y+2=0.
因為直線l與切線平行,所以可設(shè)直線l的方程為x-y+c=0,
則兩平行線間的距離d==,解得c=4或c=0.
故直線l的方程為x-y+4=0或x-y=0.
【隨堂檢測】
1.函數(shù)f(x)=(1-2x)10在點x=0處的導數(shù)是(　　).
A.0 B.1 C.20 D.-20
【答案】　D
【解析】　∵f'(x)=10(1-2x)9(1-2x)'=-20(1-2x)9,
∴f'(0)=-20.
2.曲線y=e2x-4在橫坐標為2的點處的切線方程為(　　).
A.2x-y-3=0 B.2x+y-3=0
C.ex-y-2e+1=0 D.ex+y+2e-1=0
【答案】　A
【解析】　∵y'=(e2x-4)'=e2x-4(2x-4)'=2e2x-4,
∴該切線的斜率k=2e2×2-4=2.
把x=2代入y=e2x-4,得y=1,
∴切點為(2,1).
∴曲線y=e2x-4在橫坐標為2的點處的切線方程為y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.
3.已知直線y=2x-1與曲線y=ln(x+a)相切,則a的值為　　　　　.
【答案】　ln 2
【解析】　∵y=ln(x+a),∴y'=.設(shè)切點為(x0,y0),則y0=2x0-1,y0=ln(x0+a),且=2,解得a=ln2.
2

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