資源簡介

2.7 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.通過實際例子,體會導(dǎo)數(shù)在解決最優(yōu)問題中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力.(數(shù)學(xué)抽象)
2.通過分析實際問題,體會導(dǎo)數(shù)在研究實際問題中的作用,提升學(xué)生解決實際問題的能力.(邏輯推理)
3.將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,能建立函數(shù)模型,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).(數(shù)學(xué)建模)
【自主預(yù)習(xí)】
統(tǒng)計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(單位:升)關(guān)于行駛速度x(單位:千米/小時)的函數(shù)【解析】式可以表示為y=x3-x+8(01.當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升
2.當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少 最少為多少升
1.某科研小組研究發(fā)現(xiàn),一棵水果樹的產(chǎn)量ω(單位:百千克)與肥料費用x(單位:百元)滿足如下關(guān)系:ω(x)=此外,還需要投入其他成本(如施肥的人工費等)2x百元.已知這種水果的市場售價為16元/千克(即16百元/百千克),且市場需求始終供不應(yīng)求.記該棵水果樹獲得的利潤為L(x)(單位:百元).
(1)求L(x)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)投入的肥料費用為多少時,種植該棵水果樹獲得的利潤最大 最大利潤是多少
2.在互聯(lián)網(wǎng)時代,網(wǎng)校培訓(xùn)已經(jīng)成為青年學(xué)習(xí)的一種趨勢.假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量h(x)(單位:千套)與銷售價格x(單位:元/套)滿足的關(guān)系式為h(x)=f(x)+g(x)(3(1)求h(x)的表達(dá)式;
(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題3元(只考慮銷售出的套數(shù)),試確定銷售價格x的值,使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大(保留一位小數(shù)).
【合作探究】
探究1 利潤最大化問題
某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)=+10(x-6)2,其中3問題1:求a的值.
問題2:若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價格x的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.
新知生成
1.經(jīng)濟生活中優(yōu)化問題的解法
經(jīng)濟生活中要分析生產(chǎn)的成本與利潤及利潤增減的快慢,以產(chǎn)量或單價為自變量很容易建立函數(shù)關(guān)系,從而可以利用導(dǎo)數(shù)來分析、研究、指導(dǎo)生產(chǎn)活動.
2.關(guān)于利潤問題常用的兩個等量關(guān)系
(1)利潤=收入-成本.
(2)利潤=每件產(chǎn)品的利潤×銷售件數(shù).
新知運用
例1　(2023·寧夏青銅峽開學(xué)考試)方同學(xué)積極響應(yīng)國家“全面實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略”的號召,大學(xué)畢業(yè)后回到家鄉(xiāng),利用所學(xué)專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè),自主研發(fā)生產(chǎn)A產(chǎn)品.經(jīng)過市場調(diào)研,生產(chǎn)A產(chǎn)品需投入固定成本1萬元,每生產(chǎn)x(單位:萬件),需再投入流動成本C(x)(單位:萬元).當(dāng)年產(chǎn)量小于9萬件時,C(x)=+6x-8;當(dāng)年產(chǎn)量不小于9萬件時,C(x)=5x+ln x+-12.已知每件A產(chǎn)品的售價為5元,若方同學(xué)生產(chǎn)的A產(chǎn)品當(dāng)年全部售完.
(1)寫出年利潤P(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)【解析】式.(注:年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本)
(2)當(dāng)年產(chǎn)量約為多少萬件時,方同學(xué)的A產(chǎn)品所獲年利潤最大 最大年利潤是多少 (注:取e3≈20)
【方法總結(jié)】 　　利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的一般步驟:(1)抽象出實際問題的數(shù)學(xué)模型,列出函數(shù)【解析】式y(tǒng)=f(x).(2)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x),并解方程f'(x)=0,即求函數(shù)可能的極值點.(3)比較函數(shù)f(x)在區(qū)間端點的函數(shù)值和極值點的函數(shù)值的大小,得出函數(shù)f(x)的最大值或最小值.(4)根據(jù)實際問題的意義給出【答案】.
某市舉辦“廣電狂歡購物節(jié)”促銷活動,某廠商擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費,對所售產(chǎn)品進行促銷,經(jīng)調(diào)查測算,該促銷產(chǎn)品在狂歡購物節(jié)的銷售量p萬件與廣告費用 x萬元滿足p=3-(其中 0≤x≤a,a為正常數(shù)).已知生產(chǎn)該批產(chǎn)品 p萬件還需投入成本(10+2p)萬元(不含廣告費用),產(chǎn)品的銷售價格定為4+元/件,假定廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品恰好能夠售完.
(1)將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為廣告費用x萬元的函數(shù);
(2)問廣告費投入多少萬元時,廠商的利潤最大
探究2 幾何中的最值問題
將一段長為100 cm的鐵絲截成兩段,一段彎成正方形,一段彎成圓.
問題:如何截可使正方形與圓的面積之和最小
新知生成
利用導(dǎo)數(shù)解決幾何問題,往往是求體積、面積的最值,首先看清題意,分析幾何圖形的特征,設(shè)出變量,列出目標(biāo)函數(shù)式,注明定義域,再轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)求最值.若在定義域內(nèi)只有一個極值,則這個極值便為最值.
新知運用
例2　請你設(shè)計一個包裝盒,如圖所示,ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得ABCD四個點重合于圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點,設(shè)AE=FB=x cm.
(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(單位:cm2)最大,試問x應(yīng)取何值
(2)若廣告商要求包裝盒容積V(單位:cm3)最大,試問x應(yīng)取何值 并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.
【方法總結(jié)】　　幾何中最值問題的求解思路:
面積、體積(容積)最大,周長最短,距離最小等實際幾何問題,求解時先設(shè)出恰當(dāng)?shù)淖兞?將待求解最值的問題表示為變量的函數(shù),再按函數(shù)求最值的方法求解,最后檢驗.
如果圓柱軸截面的周長l為定值,那么體積的最大值為(　　).
A.3π　　B.3π　　C.3π　　D. 3π
探究3 用料、費用最省問題
一艘輪船在航行時的燃料費和它的速度的立方成正比,已知速度為每小時10千米時的燃料費是每小時6元,而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元.
問題:此輪船以何種速度航行時,能使行駛每千米的費用總和最小
新知生成
費用、用料最省問題是日常生活中常見的問題之一,解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象.正確書寫函數(shù)表達(dá)式,準(zhǔn)確求導(dǎo),結(jié)合實際作答.
新知運用
例3　某網(wǎng)球中心欲建連成片的網(wǎng)球場數(shù)塊,用128萬元購買土地10000平方米,該中心每塊球場的建設(shè)面積為1000平方米,球場每平方米建筑的平均建設(shè)費用(單位:元)與球場數(shù)有關(guān),當(dāng)該中心建球場x塊時,每平方米的平均建設(shè)費用可近似地用f(x)=8001+ln x來表示.為了使該球場每平方米的綜合費用最省(綜合費用是建設(shè)費用與購地費用之和),該網(wǎng)球中心應(yīng)建幾個球場
某地需修建一條通過120公里寬沙漠地帶的大型輸油管道,該段輸油管道兩端的輸油站已建好,余下工程只需在該段兩輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站.經(jīng)預(yù)算,修建一個增壓站的工程費用為432萬元,鋪設(shè)距離為x公里的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費用為(x3+x)萬元.設(shè)余下工程的總費用為y萬元.
(1)試將y表示成關(guān)于x的函數(shù);
(2)需要修建多少個增壓站才能使y最小
【隨堂檢測】
1.有長和寬分別為8和5的長方形,在各角剪去相同的小正方形,把四邊折起做成一個無蓋小盒,要使紙盒的容積最大,則剪去的小正方形的邊長應(yīng)為(　　).
A.18　　 　　B.10　　 　　C.8　　 　　D.1
2.某銀行準(zhǔn)備設(shè)一種新的定期存款業(yè)務(wù),經(jīng)預(yù)測,存款量與存款利率的平方成正比,比例系數(shù)為k(k>0),貸款的利率為4.8%,假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去.若存款利率為x(x∈(0,0.048)),則銀行獲得最大收益的存款利率為(　　).
A.3.2% B.2.4% C.4% D.3.6%
3.某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進一批商品.若該商品的零售價定為P元,銷量為Q,銷量Q(單位:件)與零售價P(單位:元)有如下關(guān)系Q=8300-170P-P2,則最大毛利潤為(　　).(毛利潤=銷售收入-進貨支出)
A.30元 B.60元 C.28000元 D.23000元
4.(2023·甘肅武威第一次月考)如圖,一塊邊長為2 dm的正三角形鐵片上有三塊陰影部分,將這些陰影部分裁下來,然后用剩余的三個全等的等腰三角形加工成一個正三棱錐容器,求容器的容積最大值.
22.7 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.通過實際例子,體會導(dǎo)數(shù)在解決最優(yōu)問題中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力.(數(shù)學(xué)抽象)
2.通過分析實際問題,體會導(dǎo)數(shù)在研究實際問題中的作用,提升學(xué)生解決實際問題的能力.(邏輯推理)
3.將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,能建立函數(shù)模型,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).(數(shù)學(xué)建模)
【自主預(yù)習(xí)】
統(tǒng)計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(單位:升)關(guān)于行駛速度x(單位:千米/小時)的函數(shù)【解析】式可以表示為y=x3-x+8(01.當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升
【答案】　當(dāng)x=40時,汽車從甲地到乙地行駛了小時,共耗油××403-×40+8=17.5(升).
因此,當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油17.5升.
2.當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少 最少為多少升
【答案】　當(dāng)速度為x千米/小時時,汽車從甲地到乙地行駛了小時,設(shè)耗油量為h(x)升,
依題意得h(x)=x3-x+8·=x2+-(0當(dāng)x∈(0,80)時,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(80,120]時,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x=80時,h(x)取得極小值h(80)=11.25.
易知h(80)是h(x)在(0,120]上的最小值.
故當(dāng)汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少,最少為11.25升.
1.某科研小組研究發(fā)現(xiàn),一棵水果樹的產(chǎn)量ω(單位:百千克)與肥料費用x(單位:百元)滿足如下關(guān)系:ω(x)=此外,還需要投入其他成本(如施肥的人工費等)2x百元.已知這種水果的市場售價為16元/千克(即16百元/百千克),且市場需求始終供不應(yīng)求.記該棵水果樹獲得的利潤為L(x)(單位:百元).
(1)求L(x)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)投入的肥料費用為多少時,種植該棵水果樹獲得的利潤最大 最大利潤是多少
【解析】　(1)L(x)=16ω(x)-2x-x
=
(2)當(dāng)0≤x≤2時,L'(x)=16x-3,令L'(x)=0,得x=,當(dāng)0≤x<時,L'(x)<0,則L(x)單調(diào)遞減,當(dāng)0,則L(x)單調(diào)遞增.而L(0)=16,L(2)=42,所以L(x)max=42.
當(dāng)20,則L(x)單調(diào)遞增;當(dāng)3故當(dāng)投入的肥料費用為300元時,種植該棵水果樹獲得的利潤最大,最大利潤是4300元.
2.在互聯(lián)網(wǎng)時代,網(wǎng)校培訓(xùn)已經(jīng)成為青年學(xué)習(xí)的一種趨勢.假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量h(x)(單位:千套)與銷售價格x(單位:元/套)滿足的關(guān)系式為h(x)=f(x)+g(x)(3(1)求h(x)的表達(dá)式;
(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題3元(只考慮銷售出的套數(shù)),試確定銷售價格x的值,使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大(保留一位小數(shù)).
【解析】　(1)因為f(x)與(x-3)成反比,g(x)與(x-7)的平方成正比,
所以可設(shè)f(x)=,g(x)=k2(x-7)2,其中k1≠0,k2≠0,所以h(x)=f(x)+g(x)=+k2(x-7)2,3因為銷售價格為5元/套時,每日可售出套題21千套,銷售價格為3.5元/套時,每日可售出套題69千套,
所以h(5)=21,h(3.5)=69,即解得
所以h(x)=+4(x-7)2,3(2)由(1)可知套題每日的銷售量h(x)=+4(x-7)2,3設(shè)每日銷售套題所獲得的利潤為F(x),
則F(x)=(x-3)+4(x-7)2=10+4(x-7)2(x-3)=4x3-68x2+364x-578,3所以F'(x)=12x2-136x+364=4(3x-13)(x-7),3所以當(dāng)x∈3,時,F'(x)>0,所以函數(shù)F(x)在3,上單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈,7時,F'(x)<0,所以函數(shù)F(x)在,7上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x=≈4.3時,函數(shù)F(x)取得最大值.
故當(dāng)銷售價格為4.3元/套時,網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.
【合作探究】
探究1 利潤最大化問題
某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)=+10(x-6)2,其中3問題1:求a的值.
【答案】　因為當(dāng)x=5時,y=11,
所以+10=11,解得a=2.
問題2:若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價格x的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.
【答案】　由問題1可知,該商品每日的銷售量y=+10(x-6)2.
所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤
f(x)=(x-3)+10(x-6)2
=2+10(x-3)(x-6)2(3從而,f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]
=30(x-4)(x-6).
于是,當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:
x (3,4) 4 (4,6)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 極大值 ↘
由上表可得,x=4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點,也是最大值點.
所以,當(dāng)x=4時,函數(shù)f(x)取得最大值,且最大值為42.
故當(dāng)銷售價格為4元/千克時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.
新知生成
1.經(jīng)濟生活中優(yōu)化問題的解法
經(jīng)濟生活中要分析生產(chǎn)的成本與利潤及利潤增減的快慢,以產(chǎn)量或單價為自變量很容易建立函數(shù)關(guān)系,從而可以利用導(dǎo)數(shù)來分析、研究、指導(dǎo)生產(chǎn)活動.
2.關(guān)于利潤問題常用的兩個等量關(guān)系
(1)利潤=收入-成本.
(2)利潤=每件產(chǎn)品的利潤×銷售件數(shù).
新知運用
例1　(2023·寧夏青銅峽開學(xué)考試)方同學(xué)積極響應(yīng)國家“全面實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略”的號召,大學(xué)畢業(yè)后回到家鄉(xiāng),利用所學(xué)專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè),自主研發(fā)生產(chǎn)A產(chǎn)品.經(jīng)過市場調(diào)研,生產(chǎn)A產(chǎn)品需投入固定成本1萬元,每生產(chǎn)x(單位:萬件),需再投入流動成本C(x)(單位:萬元).當(dāng)年產(chǎn)量小于9萬件時,C(x)=+6x-8;當(dāng)年產(chǎn)量不小于9萬件時,C(x)=5x+ln x+-12.已知每件A產(chǎn)品的售價為5元,若方同學(xué)生產(chǎn)的A產(chǎn)品當(dāng)年全部售完.
(1)寫出年利潤P(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)【解析】式.(注:年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本)
(2)當(dāng)年產(chǎn)量約為多少萬件時,方同學(xué)的A產(chǎn)品所獲年利潤最大 最大年利潤是多少 (注:取e3≈20)
【解析】　(1)因為產(chǎn)品售價為5元,則x萬件產(chǎn)品銷售收入為5x萬元.
依據(jù)題意得,當(dāng)0當(dāng)x≥9時,P(x)=5x-5x+ln x+-12-1=11-ln x-,
所以P(x)=
(2)當(dāng)0即當(dāng)x=2時,P(x)取得最大值,最大值為P(2)=3(萬元).
當(dāng)x≥9時,P(x)=11-ln x-,所以P'(x)=,
所以當(dāng)9≤x0,P(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x>e3時,P'(x)<0,P(x)單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x=e3時,P(x)取得最大值,最大值為P(e3)=11-ln e3-1=7(萬元).
因為7>3,所以當(dāng)x=e3≈20時,P(x)的最大值為7萬元.
所以當(dāng)年產(chǎn)量約為20萬件時,方同學(xué)的A產(chǎn)品所獲得的年利潤最大,最大年利潤為7萬元.
【方法總結(jié)】 　　利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的一般步驟:(1)抽象出實際問題的數(shù)學(xué)模型,列出函數(shù)【解析】式y(tǒng)=f(x).(2)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x),并解方程f'(x)=0,即求函數(shù)可能的極值點.(3)比較函數(shù)f(x)在區(qū)間端點的函數(shù)值和極值點的函數(shù)值的大小,得出函數(shù)f(x)的最大值或最小值.(4)根據(jù)實際問題的意義給出【答案】.
某市舉辦“廣電狂歡購物節(jié)”促銷活動,某廠商擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費,對所售產(chǎn)品進行促銷,經(jīng)調(diào)查測算,該促銷產(chǎn)品在狂歡購物節(jié)的銷售量p萬件與廣告費用 x萬元滿足p=3-(其中 0≤x≤a,a為正常數(shù)).已知生產(chǎn)該批產(chǎn)品 p萬件還需投入成本(10+2p)萬元(不含廣告費用),產(chǎn)品的銷售價格定為4+元/件,假定廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品恰好能夠售完.
(1)將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為廣告費用x萬元的函數(shù);
(2)問廣告費投入多少萬元時,廠商的利潤最大
【解析】　(1)由題意知,y=4+p-x-(10+2p),將p=3-代入化簡得y=16--x(0≤x≤a).
(2)y'=-1-==-=-.
若a≥1,當(dāng)x∈(0,1)時,y'>0,所以函數(shù)y=16-x-在(0,1)上單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(1,a)時,y'<0,所以函數(shù)y=16-x-在(1,a)上單調(diào)遞減.
所以廣告費投入 1萬元時,廠家的利潤最大.
若0所以當(dāng)x=a時,函數(shù)有最大值,即廣告費投入a萬元時,廠家的利潤最大.
綜上所述,當(dāng) a≥1時,廣告費投入 1萬元,廠家的利潤最大;當(dāng)0探究2 幾何中的最值問題
將一段長為100 cm的鐵絲截成兩段,一段彎成正方形,一段彎成圓.
問題:如何截可使正方形與圓的面積之和最小
【答案】　設(shè)彎成圓的一段長為x(0令S'=0,則x=.
由于在(0,100)內(nèi)函數(shù)只有一個導(dǎo)數(shù)為零的點,問題中面積之和最小值顯然存在,故當(dāng)x= cm時,面積之和最小.
故當(dāng)截得彎成圓的一段長為 cm時,兩種圖形的面積之和最小.
新知生成
利用導(dǎo)數(shù)解決幾何問題,往往是求體積、面積的最值,首先看清題意,分析幾何圖形的特征,設(shè)出變量,列出目標(biāo)函數(shù)式,注明定義域,再轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)求最值.若在定義域內(nèi)只有一個極值,則這個極值便為最值.
新知運用
例2　請你設(shè)計一個包裝盒,如圖所示,ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得ABCD四個點重合于圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點,設(shè)AE=FB=x cm.
(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(單位:cm2)最大,試問x應(yīng)取何值
(2)若廣告商要求包裝盒容積V(單位:cm3)最大,試問x應(yīng)取何值 并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.
【解析】　(1)設(shè)包裝盒的高為h cm,底面邊長為a cm,則a=x,h=(30-x),0根據(jù)題意有S=4×x×(30-x)=240x-8x2=-8(x-15)2+1800(0所以當(dāng)x=15 cm時,包裝盒側(cè)面積S最大.
(2)根據(jù)題意有V=(x)2×(30-x)=2x2(30-x)(0所以V'=6x(20-x).
當(dāng)00,V單調(diào)遞增;當(dāng)20所以當(dāng)x=20 cm時,V取得極大值,也是最大值.
此時,包裝盒的高與底面邊長的比值為=.
即當(dāng)x=20 cm時包裝盒容積V(cm3)最大, 此時包裝盒的高與底面邊長的比值為.
【方法總結(jié)】　　幾何中最值問題的求解思路:
面積、體積(容積)最大,周長最短,距離最小等實際幾何問題,求解時先設(shè)出恰當(dāng)?shù)淖兞?將待求解最值的問題表示為變量的函數(shù),再按函數(shù)求最值的方法求解,最后檢驗.
如果圓柱軸截面的周長l為定值,那么體積的最大值為(　　).
A.3π　　B.3π　　C.3π　　D. 3π
【答案】　A
【解析】　設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,體積為V,則4r+2h=l,
∴h=,V=πr2h=πr2-2πr30令V'=0,得r=0或r=,而r>0,∴r=是其唯一的極值點.
故當(dāng)r=時,V取得最大值,最大值為3π.
探究3 用料、費用最省問題
一艘輪船在航行時的燃料費和它的速度的立方成正比,已知速度為每小時10千米時的燃料費是每小時6元,而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元.
問題:此輪船以何種速度航行時,能使行駛每千米的費用總和最小
【答案】　設(shè)輪船速度為x(x>0)千米/小時時的燃料費用為Q元,則Q=kx3.由6=k×103,可得k=.∴Q=x3.
∴總費用y=x3+96·=x2+.
∴y'=-,令y'=0,得x=20.
∴當(dāng)x∈(0,20)時,y'<0,此時函數(shù)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(20,+∞)時,y'>0,此時函數(shù)單調(diào)遞增.
∴當(dāng)x=20時,y取得最小值,
∴此輪船以20千米/小時的速度行駛時,每千米的費用總和最小.
新知生成
費用、用料最省問題是日常生活中常見的問題之一,解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象.正確書寫函數(shù)表達(dá)式,準(zhǔn)確求導(dǎo),結(jié)合實際作答.
新知運用
例3　某網(wǎng)球中心欲建連成片的網(wǎng)球場數(shù)塊,用128萬元購買土地10000平方米,該中心每塊球場的建設(shè)面積為1000平方米,球場每平方米建筑的平均建設(shè)費用(單位:元)與球場數(shù)有關(guān),當(dāng)該中心建球場x塊時,每平方米的平均建設(shè)費用可近似地用f(x)=8001+ln x來表示.為了使該球場每平方米的綜合費用最省(綜合費用是建設(shè)費用與購地費用之和),該網(wǎng)球中心應(yīng)建幾個球場
【解析】　設(shè)應(yīng)建x個球場,則1≤x≤10,x∈N*,球場每平方米的購地費用為=元.因為球場每平方米的平均建設(shè)費用可近似地用f(x)=8001+ln x來表示,所以球場每平方米的綜合費用為g(x)=f(x)+=800+160ln x+,所以g'(x)=.
令g'(x)=0,則x=8,
當(dāng)08時,g'(x)>0.
所以x=8時,函數(shù)取得極小值,且為最小值.
故應(yīng)建8個球場,此時每平方米的綜合費用最省.
某地需修建一條通過120公里寬沙漠地帶的大型輸油管道,該段輸油管道兩端的輸油站已建好,余下工程只需在該段兩輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站.經(jīng)預(yù)算,修建一個增壓站的工程費用為432萬元,鋪設(shè)距離為x公里的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費用為(x3+x)萬元.設(shè)余下工程的總費用為y萬元.
(1)試將y表示成關(guān)于x的函數(shù);
(2)需要修建多少個增壓站才能使y最小
【解析】　(1)設(shè)需要修建k個增壓站,則(k+1)x=120,即k=-1.
∴y=432k+(k+1)(x3+x)=432×-1+(x3+x)=+120x2-312.
∵x表示相鄰兩增壓站之間的距離,則0(2)設(shè)f(x)=+120x2-312(0則f'(x)=-+240x=(x3-216).
由f'(x)>0,得x3>216.又0∴f(x)在區(qū)間(6,120]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[0,6)上單調(diào)遞減.
∴當(dāng)x=6時,f(x)取得最小值,
此時k=-1=-1=19.
故需要修建19個增壓站才能使y最小.
【隨堂檢測】
1.有長和寬分別為8和5的長方形,在各角剪去相同的小正方形,把四邊折起做成一個無蓋小盒,要使紙盒的容積最大,則剪去的小正方形的邊長應(yīng)為(　　).
A.18　　 　　B.10　　 　　C.8　　 　　D.1
【答案】　D
【解析】　設(shè)剪去的小正方形的邊長為x,
則V=(8-2x)(5-2x)x=2(2x3-13x2+20x)0所以V'=4(3x2-13x+10)0令V'=0,得x=1,
所以當(dāng)x=1時,容積V取得最大值,最大值為18.
2.某銀行準(zhǔn)備設(shè)一種新的定期存款業(yè)務(wù),經(jīng)預(yù)測,存款量與存款利率的平方成正比,比例系數(shù)為k(k>0),貸款的利率為4.8%,假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去.若存款利率為x(x∈(0,0.048)),則銀行獲得最大收益的存款利率為(　　).
A.3.2% B.2.4% C.4% D.3.6%
【答案】　A
【解析】　依題意知,存款量是kx2,銀行應(yīng)支付的利息是kx3,銀行應(yīng)獲得的利息是0.048kx2,所以銀行的收益是y=0.048kx2-kx3,故y'=0.096kx-3kx2,令y'=0,得x=0.032或x=0(舍去).因為k>0,所以當(dāng)00;當(dāng)0.0323.某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進一批商品.若該商品的零售價定為P元,銷量為Q,銷量Q(單位:件)與零售價P(單位:元)有如下關(guān)系Q=8300-170P-P2,則最大毛利潤為(　　).(毛利潤=銷售收入-進貨支出)
A.30元 B.60元 C.28000元 D.23000元
【答案】　D
【解析】　設(shè)毛利潤為L(P)元,由題意知,
L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)
=(8300-170P-P2)(P-20)
=-P3-150P2+11700P-166000,
所以L'(P)=-3P2-300P+11700.
令L'(P)=0,解得P=30或P=-130(舍去).
此時,L(30)=23000.
根據(jù)實際問題的意義知,L(30)是最大值,即零售價定為每件30元時,最大毛利潤為23000元.
4.(2023·甘肅武威第一次月考)如圖,一塊邊長為2 dm的正三角形鐵片上有三塊陰影部分,將這些陰影部分裁下來,然后用剩余的三個全等的等腰三角形加工成一個正三棱錐容器,求容器的容積最大值.
【解析】　由題意可知,正三棱錐的底面邊長為x,斜高為1,側(cè)棱長為=(0邊長為x的等邊三角形,一邊上的高為x,其外接圓半徑為x×=x,
則正三棱錐的高為=,
所以容器的容積V=·x2=.
V=,令y=-+x4,則y'=-+4x3=-(x2-8),令y'=0,則x2-8=0,解得x=2或x=-2(舍去).
當(dāng)00;當(dāng)2所以函數(shù)y=-+x4在(0,2)上單調(diào)遞增;在(2,2)上單調(diào)遞減.
ymax=-+(2)4=,
所以Vmax=×=,
故容器容積的最大值為 dm3.
2

展開更多......

收起↑