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第二章章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
題型1 導數的運算問題
例1　求下列函數的導數.
(1)y=+;
(2)y=xsin2x+cos2x+;
(3)y=.
方法指導　利用導數公式、導數的四則運算以及復合函數的求導法則求解即可.
【解析】　(1)∵y=+=,∴y'==.
(2)∵y=xsin2x+cos2x+=xsin(4x+π)=-xsin 4x,
∴y'=-sin 4x-x·4cos 4x=-sin 4x-2xcos 4x.
(3)y'='=
==
=.
小結　函數求導時要注意:(1)求導之前,應先利用代數、三角恒等式等對函數進行化簡,然后求導,這樣可以減少運算量,提高運算速度;(2)復合函數的求導,要正確分析函數的復合層次,通過設中間變量,確定復合過程,然后求導.
題型2 導數與切線問題
例2　(1)(2021年全國甲卷)曲線y=在點(-1,-3)處的切線方程為　　　　.
(2)設曲線y=ex在點(0,1)處的切線與曲線y=(x>0)在點P處的切線垂直,則點P的坐標為　　　　.
【答案】　(1)5x-y+2=0　(2)(1,1)
【解析】　(1)當x=-1時,y=-3,故點(-1,-3)在曲線上.又y'==,所以當x=-1時,y'=5,故切線方程為5x-y+2=0.
(2)由y'=ex知,曲線y=ex在點(0,1)處的切線斜率k1=e0=1.
設P(m,n),又y=(x>0)的導數y'=-,
所以曲線y=(x>0)在點P處的切線斜率k2=-.
依題意知,k1k2=-1,解得m=1或m=-1(舍去),所以n=1.
則點P的坐標為(1,1).
小結　注意區別“在點P處”求切線和“過點P”求切線的不同,后者點P不一定是切點,要先設出切點再求解.
題型3 利用導數研究函數的單調性
例3　(2022年北京卷)已知函數f(x)=exln(1+x).
(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)設g(x)=f'(x),討論函數g(x)在[0,+∞)上的單調性.
【解析】　(1)∵函數f(x)=exln(1+x),∴f(0)=0,即切點坐標為(0,0),
又f'(x)=exln(1+x)+,∴切線的斜率k=f'(0)=1,
∴曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為y=x,即x-y=0.
(2)∵g(x)=f'(x)=exln(1+x)+,
∴g'(x)=exln(1+x)+-,
令h(x)=ln(1+x)+-,則h'(x)=-+=>0,
∴h(x)在[0,+∞)上單調遞增,∴h(x)≥h(0)=1>0,
∵g'(x)=ex·h(x),且y=ex在[0,+∞)上恒大于0,
∴g'(x)>0在[0,+∞)上恒成立,
∴函數g(x)在[0,+∞)上單調遞增.
小結　函數的單調性與導數的關注點:(1)關注函數的定義域,單調區間應為定義域的子區間;(2)求解已知函數在某個區間上的單調性時,轉化要等價;(3)分類討論求函數的單調區間的實質是討論不等式的解集;(4)求參數的取值范圍時常用到分離參數法.
題型4 利用導數求函數的極(最)值
例4　(1)(2022年全國甲卷)當x=1時,函數f(x)=aln x+取得最大值-2,則f'(2)=(　　).
A.-1　　　B.-　　　C.　　　D.1
(2)(2022年全國乙卷)已知x=x1和x=x2分別是函數f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點和極大值點.若x1【答案】　(1)B　(2),1
【解析】　(1)因為函數f(x)的定義域為(0,+∞),所以依題可知,f(1)=-2,f'(1)=0,而f'(x)=-,所以b=-2,a-b=0,即a=-2,b=-2,所以f'(x)=-+,因此函數f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,所以當x=1時,函數f(x)取得最大值,滿足題意,即f'(2)=-1+=-.故選B.
(2)(法一:轉化法)因為f'(x)=2ln a·ax-2ex,所以方程2ln a·ax-2ex=0的兩個根為x1,x2,
即方程ln a·ax=ex的兩個根為x1,x2,
即函數y=ln a·ax與函數y=ex的圖象有兩個不同的交點,
因為x1,x2分別是函數f(x)=2ax-ex2的極小值點和極大值點,
所以函數f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上單調遞減,在(x1,x2)上單調遞增,
所以當x∈(-∞,x1)和(x2,+∞)時,f'(x)<0,即y=ex的圖象在y=ln a·ax的圖象的上方,
當x∈(x1,x2)時,f'(x)>0,即y=ex的圖象在y=ln a·ax的圖象下方,易知a>0.
當a>1時,圖象顯然不符合題意,所以0令g(x)=ln a·ax,則g'(x)=(ln a)2·ax,0設過原點且與函數y=g(x)的圖象相切的直線的切點坐標為(x0,ln a·),
則切線的斜率為g'(x0)=(ln a)2·,故切線方程為y-ln a·=(ln a)2·(x-x0),
則-ln a·=-x0(ln a)2·,解得x0=,則切線的斜率為(ln a)2·=e(ln a)2,
如圖,因為函數y=ln a·ax與函數y=ex的圖象有兩個不同的交點,
所以e(ln a)2綜上所述,a的取值范圍為,1.
(法二:通性通法)因為f'(x)=2ln a·ax-2ex=0的兩個根為x1,x2,且x1,x2分別是函數f(x)=2ax-ex2的極小值點和極大值點,
所以函數f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上單調遞減,在(x1,x2)上單調遞增,
設函數g(x)=f'(x)=2(axln a-ex),則g'(x)=2ax·(ln a)2-2e,
若a>1,則g'(x)在R上單調遞增,此時若g'(x0)=0,則f'(x)在(-∞,x0)上單調遞減,在(x0,+∞)上單調遞增,若x=x1和x=x2分別是函數f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點和極大值點,則x1>x2,不符合題意;
若00且a≠1)的極小值點和極大值點,且x10,f'(x0)=2(ln a-ex0)=2-ex0>0,即x0<,x0ln a>1故ln =x0ln a=ln>1,所以a的取值范圍是,1.
小結　(1)求極值時一般需確定f'(x)=0的點和f(x)的單調性,對于常見的連續函數,先確定單調性即可得極值點,當連續函數的極值點只有一個時,對應的極值點必為函數的最值點.(2)求閉區間上可導函數的最值時,對函數極值是極大值還是極小值可不做判斷,只需要直接與端點的函數值比較即可.解題過程滲透了數學運算、邏輯推理的素養.
題型5 導數的綜合應用
例5　(2022年全國乙卷)已知函數f(x)=ax--(a+1)ln x.
(1)當a=0時,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)恰有一個零點,求a的取值范圍.
【解析】　(1)當a=0時,f(x)=--ln x,x>0,則f'(x)=-=,
當x∈(0,1)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增;
當x∈(1,+∞)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減.
所以f(x)max=f(1)=-1.
(2)f(x)=ax--(a+1)ln x,x>0,則f'(x)=a+-=,
當a≤0時,ax-1<0,所以當x∈(0,1)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,當x∈(1,+∞)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減.
所以f(x)max=f(1)=a-1<0,此時函數無零點,不合題意;
當01,在(0,1),,+∞上f'(x)>0,即f(x)單調遞增,在1,上f'(x)<0,即f(x)單調遞減.又f(1)=a-1<0,
由(1)得+ln x≥1,即ln≥1-x,所以ln x當x>1時,f(x)=ax--(a+1)ln x>ax--2(a+1)>ax-(2a+3),
則存在m=+22>,使得f(m)>0,
所以f(x)僅在,+∞上有唯一零點,符合題意;
當a=1時,f'(x)=≥0,所以f(x)單調遞增,又f(1)=a-1=0,
所以f(x)有唯一零點,符合題意;
當a>1時,<1,在0,,(1,+∞)上f'(x)>0,即f(x)單調遞增,在,1上f'(x)<0,即f(x)單調遞減.此時f(1)=a-1>0,
由(1)得,當01-,ln>1-,所以ln x>21-,
此時f(x)=ax--(a+1)ln x存在n=<,使得f(n)<0,
所以f(x)在0,上有一個零點,在,+∞上無零點,
所以f(x)有唯一零點,符合題意.
綜上,a的取值范圍為(0,+∞).
小結　討論方程根的個數、研究函數圖象與x軸或某條直線的交點個數、不等式恒成立問題的實質就是函數的單調性與函數極(最)值的應用.問題破解的方法是根據題目的要求,借助導數將函數的單調性與極(最)值求出,然后借助單調性和極(最)值情況,畫出函數圖象的草圖,數形結合求解.解題過程滲透直觀想象、邏輯推理和數學運算的核心素養.
題型6 利用導數證明不等式
例6　(2022年新高考全國Ⅱ卷)已知函數f(x)=xeax-ex.
(1)當a=1時,討論f(x)的單調性;
(2)當x>0時,f(x)<-1,求a的取值范圍;
(3)設n∈N*,證明:++…+>ln(n+1).
【解析】　(1)當a=1時,f(x)=(x-1)ex,則f'(x)=xex,
當x<0時,f'(x)<0,當x>0時,f'(x)>0,
故f(x)的單調遞減區間為(-∞,0),單調遞增區間為(0,+∞).
(2)設h(x)=xeax-ex+1,則h(0)=0,
又h'(x)=(1+ax)eax-ex,設g(x)=(1+ax)eax-ex,
則g'(x)=(2a+a2x)eax-ex,
若a>,則g'(0)=2a-1>0,
因為g'(x)為連續不間斷函數,
故存在x0∈(0,+∞),使得 x∈(0,x0),總有g'(x)>0,
故g(x)在(0,x0)為增函數,故g(x)>g(0)=0,
故h(x)在(0,x0)為增函數,故h(x)>h(0)=0,與題設矛盾.
若0下證:對任意x>0,總有ln(1+x)設S(x)=ln(1+x)-x,故S'(x)=-1=<0,
故S(x)在(0,+∞)上為減函數,故S(x)由上述不等式有eax+ln(1+ax)-ex故h'(x)≤0總成立,即h(x)在(0,+∞)上為減函數,所以h(x)當a≤0時,有h'(x)=eax-ex+axeax<1-1+0=0,　　
所以h(x)在(0,+∞)上為減函數,所以h(x)綜上,a≤.
(3)取a=,則 x>0,總有x-ex+1<0成立,
令t=,則t>1,t2=ex,x=2ln t,
故2tln t1恒成立.
所以對任意的n∈N*,有2ln<-,
整理得ln(n+1)-ln n<,
故++…+>ln 2-ln 1+ln 3-ln 2+…+ln(n+1)-ln n=ln(n+1),故不等式成立.
小結　利用導數證明不等式f(x)>g(x)的基本方法
(1)若f(x)與g(x)的最值易求出,可直接轉化為證明f(x)min>g(x)max.
(2)若f(x)與g(x)的最值不易求出,可構造函數h(x)=f(x)-g(x).若h'(x)>0,則h(x)在(a,b)上單調遞增.同時h(a)>0,即f(x)>g(x)或若h'(x)<0,則h(x)在(a,b)上單調遞減.同時h(b)>0,即f(x)>g(x).本題考查了邏輯推理和數學運算的素養.
題型7 利用導數解決恒成立問題
例7　(2023·河南六校聯盟聯考)已知函數f(x)=ax3-3x+1.
(1)當a=1時,判斷函數f(x)的零點個數;
(2)若f(x)≥0對任意的x∈[-1,1]恒成立,求實數a的值.
【解析】　(1)當a=1時,f(x)=x3-3x+1,則f'(x)=3x2-3.
令f'(x)=0,得x=-1或x=1.
當x∈R時,f'(x),f(x)的變化情況如表所示:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
由表可知,當x=-1時,函數取得極大值,極大值為f(-1)=3>0;
當x=1時,函數取得極小值,極小值為f(1)=-1<0.
又當x→-∞時,f(x)→-∞,且當x→+∞時,f(x)→+∞,
所以由函數的零點存在定理知,f(x)有3個不同的零點.
(2)當x=0時,a∈R;
當x>0時,f(x)≥0 ax3≥3x-1 a≥-3+32,0當x<0時,f(x)≥0 ax3≥3x-1 a≤-3+32,-1≤x<0.
記g(x)=-x3+3x2,下面只需求g(x)在[1,+∞)的最大值和(-∞,-1]的最小值,
則g'(x)=-3x2+6x=-3x(x-2),令g'(x)=0,得x=0或x=2.
當x∈R時,g'(x),g(x)的變化情況如表所示:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
g'(x) - 0 + 0 -
g(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘
所以當x≥1時,g(x)max =g(2)=4,
當x≤-1時,g(x)min =g(-1)=4.
所以a≥-3+32,0a≤-3+32,-1≤x<0,即a≤4.
綜上所述,a=4.
小結　解決恒成立問題的方法:(1)若關于x的不等式f(x)≤m在區間D上恒成立,則轉化為f(x)max≤m.(2)若關于x的不等式f(x)≥m在區間D上恒成立,則轉化為f(x)min≥m.(3)導數是解決函數f(x)的最大值或最小值問題的有力工具.本題滲透了邏輯推理、數學運算的素養.
【拓展延伸】
中世紀時期,歐洲科學發展停滯不前,人類對無窮、極限和積分等觀念的想法都沒有什么突破.中世紀以后,歐洲數學和科學急速發展,微積分的觀念此時趨于成熟.在積分方面,1615年,開普勒(Kepler)把酒桶看作一個由無數圓薄片積累而成的物件,從而求出其體積.而伽利略(Galileo)的學生卡瓦列里(Cavalieri)認為一條線由無窮多個點構成;一個面由無窮多條線構成;一個立體由無窮多個面構成.這些想法都是積分法的前驅.
在微分方面,十七世紀人類也有很大的突破.費馬(Fermat)在一封給羅貝瓦(Roberval)的信中,提及計算函數的極大值和極小值的步驟,而這實際上已相當于現代微分學中所用的,設函數導數為零,然后求出函數極點的方法.另外,巴羅(Barrow)也已經懂得通過“微分三角形”(相當于以dx,dy,ds為邊的三角形)求出切線的方程,這和現今微分學中用導數求切線的方法是一樣的.由此可見,人類在十七世紀已經掌握了微分的要領.
然而直至十七世紀中葉,人類仍然認為微分和積分是兩個獨立的觀念.就在這個時候,牛頓和萊布尼茨將微分及積分兩個貌似不相關的問題,通過“微積分基本定理”和“牛頓-萊布尼茨公式”聯系起來,說明求積分基本上是求微分之逆,求微分也是求積分之逆.這是微積分理論中的基石,是微積分發展的一個重要里程碑.
微積分誕生以后,逐漸發揮出它非凡的威力,過去很多初等數學束手無策的問題,至此往往迎刃而解.微積分的發展迅速,使人來不及檢查和鞏固微積分的理論基礎.十九世紀,許多迫切問題基本上已經解決,數學家于是轉向微積分理論的基礎重建,人類也終于首次給出極限、微分和積分等概念的嚴格定義.
1816年,波爾查諾(Bolzano)在人類歷史上首次給出連續函數的近代定義.繼而在1821年,柯西(Cauchy)在他的《教程》中提出e方法,后來在1823年的《概要》中他改寫為d方法,把整個極限過程用不等式來刻畫,使無窮的運算轉化為一系列不等式的推算,這就是所謂極限概念的“算術化”.后來外爾斯特拉斯(Weierstrass)將e和d聯系起來,完成了e-d方法,這就是現代極限的嚴格定義.
有了極限的嚴格定義,數學家便開始嘗試嚴格定義導數和積分.在柯西之前,數學家通常以微分為微積分的基本概念,并把導數視作微分的商.然而微分的概念模糊,因此把導數定義作微分的商并不嚴謹.于是柯西在《概要》中直接定義導數為差商的極限,這就是現代導數的嚴格定義,是為現代微分學的基礎.
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