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導數計算專題練習
1．求下列函數的導數． 4．求下列函數的導數：
(1)y= x-2+ x2； (2)y= 3xex- 2x+ e； (1)y= 3x2+ cosx； (2)y= x+ 1 lnx；
(3)y= lnx2 ； (4)y= x
2- 4sin x2 cos
x
2． (3)y= x- sin
x
2 cos
x
2 ；x + 1
5．求下列函數的導數：
2．求下列函數的導數． (1)y= x- 1 x- 2 ； (2)y= 2x2 .
2 x + 1
(1)y= 15 ； (2)y=
x
；
x x
6．求下列函數的導數．
(3)y= lgx； (4)y= 5x； (1)y= lnx 2x2+ 3 3x- 2 ； (2)y= x ；
(5)y= cos π2 - x ． (3)y= x- sin x2 cos
x
2 ；
3．求下列各函數的導數.
(1)y= (2x2+ 3) (3x- 1)； 7．求下列函數的導數.
(1)y= sinx+ x； (2)y= lnx .
x2+ 1
(2)y= lnx+ 1x - x (3)y= xcos(2x)
8．求下列函數的導數
(1)y= sinx+ 3x2+ x；(2)y= x2(lnx+ sinx)；
·1·
(3) y= 2x2 ； (4)y=
1 . 10．求下列函數的導數．
x + 1 (1- 3x)4
(1)y= x2sinx； (2)y= lnx+ 1x；
9．求下列函數的導數
(1)y= x3+ 3x2- 5； (2)y= xsinx+ x
(3)y= cosxx ；e
(3)y= sinx
2
x ； (4)y=
1- x
sinx
·2·
參考答案
1．答案見解析. 1所以 y = 1- 2 cosx；
【詳解】
5 (1)y = 2x- 3 (2)y = 2- 2x
2
． ；
(1)y = 2x- 2x-3 (x2 2． + 1)
(2)y = (ln3+ 1) (3e)x- 2xln2． 【詳解】
( ) = x
2+ 1- 2x2lnx (1)y = (x- 1) (x- 2) + (x- 1) (x- 2) = x- 23 y ．
x x2+ 1 2 + x- 1= 2x- 3
(4) ∵ y= x2- 4sin x cos x = x2- 2sinx， 2(x22 2 ( ) = + 1) - 2x 2x 2- 2x
2
2 y =
∴ = - (x
2+ 1)2 (x2+ 1)2
y 2x 2cosx．
6 (1)y = 18x2- 8x+ 9 (2)y = 1- lnx3 1 ． ； 2 ；(3)y

2． (1)y =-5x-6；(2)y = x 22 ；(3)y
= 1 xxln10； 1
(4)y = 5xln5；(5)y = cosx. = 1- 2 cosx.
【詳解】 【詳解】
(1) ∵ y= 1 = x-5，∴ y =-5x-6； (1)y
= 2x2+ 3 3x- 2 + 2x2+ 3 3x- 2 =
x5
2 2 4x 3x- 23 1 + 3 2x
2+ 3
(2) ∵ y= x = x = x 2，∴ y 1 =
3 x 2； = 18x2x 2 - 8x+ 9；x 2
( ) ∵ = ∴ = 1 (2)y
lnx x- x lnx 1- lnx
3 y lgx， y ； = 2 = 2 ；xln10 x x
(4) ∵ y= 5x，∴ y = 5xln5； (3)y= x- sin x2 cos
x 1
2 = x- 2 sinx，
(5) ∵ y= cos π - x = sinx，∴ y 2 = cosx． y = 1- 12 cosx.
3． (1)y，= 18x2- 4x+ 9；(2)y = 1 - 1x 2 -
2 2
x 7． (1)cosx+ 1 (2) x + 1- 2x 1nx； .
1 x x
2+ 1 2
；(3)y = cos2x- 2xsin2x.
2 x 【詳解】
【詳解】 (1)函數的導數：y = (sinx) + x = cosx+ 1；
(1)y = 4x(3x- 1) + (2x2+ 3) × 3= 18x2- 4x+ 1 x2+ 1 - 1nx 2x
9； (2)函數的導數：y =
x
x2+ 1 2
=

(2)y = 1 - 1 - 12 ； x
2+ 1- 2x21nx
x x 2 x .x x2+ 1 2
(3)y = cos(2x) - xsin(2x) × 2= cos2x-
8． (1)y = cosx+ 6x+ 1；(2)y = 2xlnx+
2xsin2x．
2xsinx+ x+ x2cosx；
4． (1)y = 6x- sinx；(2)y = lnx+ x+ 1x ；(3) 2 1- x
2
( ) = 3 y 2 2 ；(4)y = 12 1- 3x
- 5.
y = 1- 12 cosx.
x + 1
【詳解】
【詳解】
(1)因為 y= sinx+ 3x2+ x，所以 y = cosx+ 3×
(1)因為 y= 3x2+ cosx，
2x+ 1= cosx+ 6x+ 1；
所以 y = 6x- sinx；
(2)因為 y= x2(lnx+ sinx)，所以 y =
(2)因為 y= x+ 1 lnx，
x+ 1 x
2 lnx+ sinx + x2 lnx+ sinx ，
所以 y = lnx+ x ； 1化簡可得，y = 2x lnx+ sinx + x2
x x 1 x + cosx (3)因為 y= x- sin 2 cos 2 = x- 2 sinx， = 2xlnx+ 2xsinx+ x+ x2cosx；
·3·
(3) 2x因為 y= 2 ，由基本初等函數的導數公式 【詳解】x + 1
(1)y = 3x2+ 6x；
和運算法則可得，
2x
1
x
2+ 1 - 2x x2+ 1 (2)y = sinx+ xcosx+ ；
y = 2 = 2 x x + 1 2 (3)y = xcosx- sinx；
2 x2+ 1 - 2x 2x 2 1- x2 x2
2 2 =

；
x + 1 x2+ 1 2 -2x sinx- 1- x
2 cosx(4)y = .
( sin
2x
4) y= 1因為 ，所以 y =
(1- 3x)4 10． (1)y = 2xsinx+ x2cosx；(2)y = 1 - 1x 2 ；
1- 3x - 4 1- 3x =-4 1- 3x - 5× -3 x
sinx+ cosx
化簡可得，y = 12 1- 3x -5. (3)y =- x . e
9． (1)y = 3x2+ 6x；(2)y = sinx+ xcosx+ 【詳解】
1 2 2
；(3)y = xcosx- sinx；(4)y = 解：(1)y′ = (x )′sin x+ x (sin x)′ = 2xsin x+
2 x x2 2
- x cos x. 2x sinx- 1- x2 cosx
2 . 1 1 1 1sin x (2)y = lnx+ x = (lnx) + x = x - x2
【分析】
( ) = cosx = (cosx)
ex- cosx(ex)
3 y =
根據初等函數的導數公式及導數運算法則逐個 ex (ex)2
求導. - sinx+ cosx
ex
·4·利用導數研究函數的性質
利用導函數研究：原函數 y= 1 33 x -
1
2 x
2- 2x+ 1
導函數 y = x2- x- 2
y
y = x2- x- 2 y
4 3 y= 1 x3- 13 2 x
2- 2x+ 1
3 2
2 1
1
4 3 2 1O 1 2 3 4 x
2 1O 1 2 x
1
1 2
2 3
1、函數 f(x)在 x= x0處的導數 f ′ (x0)的幾何意義是在曲線 y= f(x)上點P(x0，f(x0))處
的切線的斜率即
f′ (x0) = k= tanα．
相應地，切線方程由直線的點斜式方程表示為
y- f x0 = f′ x0 ·(x- x0)．
x
例1. e曲線 f(x) = x- 1 在 x= 0處的切線方程為 ．
【解析】根據題意可知切點坐標為 (0，-1)，
x
′ ( ) = (x- 1) (e )′ -e
x(x- 1)′ = (x- 2)e
x
f x ，
(x- 1)2 (x- 1)2
0
故切線的斜率 k= f′ ( ) = (0- 2)e0 =-2，
(0- 1)2
則直線的方程為 y- (-1) =-2(x- 0)，即 2x+ y+ 1= 0.
【答案】2x+ y+ 1= 0
已知切點求切線方程．解決此類問題的步驟為：
①求出函數 y= f(x)在點 x= x0處的導數，即曲線 y= f(x)在點P(x0，f(x0))處切線的
斜率；
②由點斜式求得切線方程為 y- y0= f ′ (x0)·(x- x0)．
例2.過點P 4, 74 作曲線 y=
1 x24 的切線方程為 ．
【答案】2x- 4y- 1= 0或 14x- 4y- 49= 0
1
【解析】y = 2 x，
∵點P 4, 74
1
不在曲線 y= x24 上，
∴點P不是切點．設切點為 x0,y0 ，則 y0= 14 x
2
0.
∴ 1切線的斜率為 k= 2 x0.
又∵切線過P 4, 74 和 x0,y0 兩點，
·1·
y - 7 1 2 71 0
所以 x = 4 4
x0- 4
2 0 x0- 4
= x0- 4
.
解得 x0= 1或 x0= 7.
∴ P 4, 7過 4
1 7
的切線的斜率為 2 或 2 ，
y- 7切線方程為 4 =
1
2 x- 4 y-
7 = 7 或 4 2 x- 4 ，
即 2x- 4y- 1= 0或 14x- 4y- 49= 0.
故答案為：2x- 4y- 1= 0或 14x- 4y- 49= 0.
曲線 y= f(x)過點 (x0，y0) (點不在曲線 y= f(x)上)的切線方程的求解步驟：
(1)設出切點坐標P′ (x1，f(x1))；
(2)寫出過P′ (x1，f(x1))的切線方程為 y- f(x1) = f ′ (x1)·(x- x1)；
(3)將點P的坐標 (x0，y0)代入切線方程，求出 x1；
(4)將 x1的值代入方程 y- f(x1) = f ′ (x1) (x- x1)可得過點P(x0，y0)的切線方程．
“過某點”與“在某點”的區別：曲線 y= f(x)“在點P(x0，y0)處的切線”與“過點P(x0，
y0)的切線”的區別：前者P(x0，y0)為切點，而后者P(x0，y0)不一定為切點．
2.導函數與函數的單調性之間的關系
一般地，設函數 y= f(x)，在區間 (a，b)上，
(1)如果 f′ (x)> 0，則 f(x)在該區間上單調遞增；
(2)如果 f′ (x)< 0，則 f(x)在該區間上單調遞減．
例3.求 f(x) = 3x2- 2lnx的單調區間．
解：f(x) = 3x2- 2lnx的定義域為 (0，+∞)．
2
′ ( ) = - 2 = 2(3x - 1) = 2( 3x- 1) ( 3x+ 1)f x 6x x x x ，
由 x> 0，解 f′ (x)> 0，得 x> 33 .
由 x> 0，解 f′ (x)< 0，得 0< x< 33 .
∴函數 f(x) = 3x2- 2lnx 3 3的單調遞增區間為 3 ，+∞ ，單調遞減區間為 0， 3 ．
3、導函數與函數的極值的關系
(1)極小值點與極小值
若函數 y= f(x)在點 x= a的函數值 f(a)比它在點 x= a附近其他點的函數值都小，f ′
(a) = 0，而且在點 x= a附近的左側 f ′ (x)< 0，右側 f ′ (x)> 0，就把點 a叫做函數 y= f(x)的
極小值點，f(a)叫做函數 y= f(x)的極小值．
(2)極大值點與極大值
若函數 y= f(x)在點 x= b的函數值 f(b)比它在點 x= b附近其他點的函數值都大，f ′
(b) = 0，而且在點 x= b附近的左側 f ′ (x) > 0，右側 f ′ (x) < 0，就把點 b叫做函數 y= f(x)的
極大值點，f(b)叫做函數 y= f(x)的極大值．
(3)極大值點、極小值點統稱為極值點；極大值、極小值統稱為極值．
·2·
極大值點為 e，g，i，極大值為 f(e)，f(g)，f(i)；極小值點為 d，f，h，極小值為 f(d)，f( f)，
f(h)．
例4.求 f(x) = lnxx 的極值，并畫出函數的草圖
f(x) = lnx解：函數 x 的定義域為 (0，+∞)，且 f′ (x) =
1- lnx
x2
.
令 f′ (x) = 0，解得 x= e.
當 x變化時，f′ (x)與 f(x)的變化情況如下表：
x (0，e) e (e，+∞)
f′ (x) + 0 -
f(x) 1單調遞增 e 單調遞減
因此，x= e 1是函數的極大值點，極大值為 f(e) = e ，沒有極小值．
函數的草圖如圖所示．
4、導函數與函數的最值的關系
(1)一般地，如果在區間 [a, b]上函數 y= f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必
有最大值和最小值．
(2)一般地，求函數 y= f(x)在 [a, b]上的最大值與最小值的步驟如下：
①求函數 y= f(x)在 (a, b)內的極值；
②將函數 y= f(x)的各極值與端點處的函數值 f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大
值，最小的一個是最小值．
如圖為 y= f(x)，x∈ [a，b]的圖象．
觀察 [a, b]上函數 y= f(x)的圖象，試找出它的最大值、最小值．
答案　最小值為 f(a)，最大值為 f(x3)．
例5.已知函數 f(x) = x3- 3x，x∈R.當 x∈ [- 3 ,3]時，求 f(x)的最大值與最小值．
解　 (1)f′ (x) = 3x2- 3= 3(x+ 1) (x- 1)，
當 x<-1或 x> 1時，f′ (x)> 0；
當-1< x< 1時，f′ (x)< 0，
·3·
所以 f(x)的單調遞增區間為 (-∞，-1)和 (1，+∞)，
單調遞減區間為 (-1,1)．
由上可知，x∈ [- 3，3]時，f(x)的極大值為 f(-1) = 2，f(x)的極小值為 f(1) =-2，
又 f(- 3 ) = 0，f(3) = 18，
所以當 x∈ [- 3，3]時，f(x)的最大值為 18，f(x)的最小值為-2.
例6.設函數 f(x) = exsinx.
(1)求函數 f(x)的單調遞增區間；
(2)當 x∈ [0,π]時，求函數 f(x)的最大值和最小值．
(3)畫出 x∈ [-π,π]的函數圖像
解:(1)f′ (x) = ex(sinx+ cosx) = 2exsin x+ π4 ．
由 f′ (x)≥ 0，得 sin x+ π4 ≥ 0，
所以 2kπ≤ x+ π4 ≤ 2kπ+ π，k∈ Z，即 2kπ-
π
4 ≤ x≤ 2kπ+
3π
4 ，k∈ Z.
所以 f(x)的單調增區間為 2kπ-
π
4 ，2kπ+
3π
4 ，k∈ Z.
(2)由 (1)知，當 x∈ [0，π] 3π 3π時， 0， 4 是單調增區間， ，π 4 是單調減區間．
f(0) = 0 f(π) = 0 f 3π
3π
且 ， ， 4 =
2
2 e
4 ，
3π
所以 f(x) = f 3π 2 4max 4 = 2 e ，f(x)min= f(0) = f(π) = 0.
f(x) = exsinx的圖像
y
6
5
4
3
2
1
5 4 3 2 1O 1 2 3 4 5 6 x
1
2
3
·4·

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