資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
一、選擇題（共10小題）
1．（2024春 興寧區月考）如圖，已知點是一次函數的圖象上一點，過點作軸的垂線，是上一點在上方），在的右側以為斜邊作等腰直角三角形，反比例函數的圖象過點，，若的面積為16，則的面積是
A．3 B．4 C．6 D．12
2．（2024 咸豐縣模擬）如圖，某電信公司提供了、兩種方案的移動通訊費用（元與通話時間（元之間的關系，若通話時間超過200分，則方案比方案便宜　　元．
A．10 B．11 C．12 D．13
3．（2023秋 廬陽區期末）甲、乙兩人在筆直的湖邊公路上同起點、同終點、同方向勻速步行2400米，先到終點的人原地休息．已知甲先出發4分鐘，在整個步行過程中，甲、乙兩人的距離（米與甲出發的時間（分之間的關系如圖所示，下列說法正確的是　　
A．乙用16分鐘追上甲
B．乙追上甲后，再走1500米才到達終點
C．甲乙兩人之間的最遠距離是300米
D．甲到終點時，乙已經在終點處休息了6分鐘
4．（2024 船營區一模）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形的邊在軸的正半軸上，，兩點的坐標分別為，，點在第一象限，將直線沿軸向右平移個單位．若平移后的直線與邊有交點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
5．（2024春 通榆縣月考）雙曲線和雙曲線如圖所示，設點在上，軸于點，交于點，軸于點，交于點，則的面積為　　
A． B． C．2 D．3
6．（2024 新榮區一模）函數，的圖象如圖所示，則下列結論：
①兩函數圖象的交點坐標為；
②當時，；
③直線分別與兩函數圖象交于點，，則線段的長為3；
④當逐漸增大時，的值隨的增大而增大，的值隨的增大而減小．
其中正確的是　　
A．①② B．①③ C．②④ D．①③④
7．（2024 常德模擬）如圖，是坐標原點，點位于第一象限，軸于點，，，為的中點，連接，過點作交軸于點．若反比例函數的圖象經過的中點，與線段交于點，則的長為　　
A．0.45 B． C．0.75 D．
8．（2023秋 霸州市期末）如圖，點，在反比例函數的圖象上，點在軸上，點在軸上，下列說法正確的是　　
A．圖1、圖2中陰影部分的面積分別為2，4
B．圖1、圖2中陰影部分的面積分別為1，2
C．圖1、圖2中陰影部分的面積之和為8
D．圖1、圖2中陰影部分的面積之和為3
9．（2024 洛陽模擬）已知二次函數的圖象如圖所示，則一次函數的圖象和反比例函數的圖象在同一坐標系中大致為　　
A． B．
C． D．
10．（2024 長安區一模）如圖，直線及反比例函數的圖象與兩坐標軸之間的陰影部分（不位括邊界）有5個整點（橫、縱坐標都為整數），則的取值可能是　　
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空題（共10小題）
11．（2023秋 樂亭縣期末）如圖，點在反比例函數的圖象上，軸于點，若的面積為7，則的值為 　　．
12．（2024春 中山市月考）如圖，直線分別與軸，軸交于，兩點，與雙曲線交于點．點，關于軸對稱，連接，將沿方向平移，使點移動到點，得到，則線段掃過的面積為 　　．
13．（2024 太白縣一模）如圖，在平面直角坐標系中，對角線的交點為坐標原點，點在第一象限，點、均在反比例函數的圖象上，則點的坐標為 　　．
14．（2024 修水縣一模）如圖，在平面直角坐標系中，點在第一象限，點在軸的正半軸，，將沿所在的直線翻折后，點落在點處，且軸，反比例函數的圖象經過點，則的值為 　　．
15．（2024 新北區一模）若一次函數的圖象向上平移2個單位長度后經過點，則　　．
16．（2024 歷城區模擬）如圖是某市出租車的所付車費與乘車里程之間的關系圖象，分別由線段，和射線組成．如果小明同學乘坐出租車付車費14元，那么張老師乘坐出租車里程是．他應該付的車費是 　　元．
17．（2024 西安一模）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，點在反比例函數的圖象上，連接并延長交該反比例函數圖象于另一點，點在軸正半軸上，連接、，，則的面積為 　　．
18．（2024春 鞍山月考）如圖，點為函數與函數圖象的交點，點的縱坐標為4，軸，垂足為點，點是函數圖象上一動點，過點作于點，若，則點的坐標為 　　．
19．（2024 亳州一模）如圖，一次函數的圖象與軸交于點，與反比例函數的圖象交于點．
（1）若點坐標為，則；
（2）若，則的面積為 ．
20．（2024 萊蕪區模擬）小澤和小帥兩同學分別從甲地出發，騎自行車沿同一條路到乙地參加社會實踐活動，如圖折線和線段分別表示小澤和小帥離甲地的距離（單位：千米）與時間（單位：小時）之間函數關系的圖象，則當小帥到達乙地時，小澤距甲地的距離為 　　千米．
三、解答題（共10小題）
21．（2024 咸豐縣模擬）如圖，反比例函數的圖象與一次函數的圖象相交于點，兩點．
（1）求反比例函數和一次函數的解析式；
（2）設直線交軸于點，點是軸正半軸上一點，過點作軸交反比例函數的圖象于點，連接，，若，求的值．
22．（2023秋 昌圖縣期末）如圖，已知，是一次函數的圖象和反比例函數的圖象的兩個交點，直線與軸交于點．
（1）求反比例函數和一次函數的關系式；
（2）連接，求的面積；
（3）不等式的解集是 　　．
23．（2024 谷城縣一模）如圖，在平面直角坐標系中，點在反比例函數第一象限的圖象上，將點先向左平移5個單位長度，再向下平移個單位長度后得到點，點恰好落在反比例函數第三象限的圖象上，經過，兩點的直線交反比例函數第一象限的圖象于點．
（1）求反比例函數和直線的表達式；
（2）連接，，求的面積．
24．（2024 濟寧一模）如圖1，直線經過點，交反比例函數的圖象于點，點為第二象限內反比例函數圖象上的一個動點．
（1）求反比例函數表達式；
（2）過點作軸交直線于點，連接，，若的面積是面積的2倍，請求出點坐標．
25．（2024 懷化一模）在平面直角坐標系中，點為坐標原點．如圖，一次函數為常數，與反比例函數為常數，的圖象相交于點和點．
（1）求反比例函數與一次函數的解析式；
（2）過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，相交于點；過點作軸的垂線，過點作軸的垂線，相交于點．求證：，，三點在同一條直線上．
26．（2024 杭州模擬）如圖，的頂點是雙曲線與直線在第二象限的交點，軸于點，．
（1）的值為 　　；點坐標為 　　．
（2）若點是圖象上的一點，當時，求的取值范圍．
（3）根據圖象直接寫出時的取值范圍．
27．（2024春 靖江市月考）如圖，已知直線與反比例函數的圖象分別交于點和點，與軸交于點，與軸交于點．
（1）如圖
①求直線的解析式和反比例函數關系式；
②求點的坐標；
（2）如圖2，將沿射線方向平移得到△，若點，的對應點，同時落在函數上，求的值；
28．（2024春 東臺市月考）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點和點，與軸交于點．直線經過點與軸交于點，連結．
（1）求直線的關系式；
（2）求的面積；
（3）連接、，判定四邊形形狀，并說明理由．
29．（2024 北京模擬）在平面直角坐標系中，已知正方形，其中，，，，，，，，、為正方形外兩點，．給出如下定義：如果線段平移個單位后，兩端點均落在正方形的邊上，則稱的最小值為線段到正方形的“平移距離”，記為．
（1）如圖1，平移線段，得到兩條端點在正方形邊上且長度為1的線段和，則這兩條線段的位置關系是 　　；在點，，，中，連接點與點 　　的線段的長度等于；
（2）若點，都在直線上，求的值；
（3）若點的坐標為，直接寫出的取值范圍．
30．（2024 南崗區校級開學）已知直線交軸于點，軸于點，點在軸正半軸上，．
（1）求直線解析式；
（2）如圖1，點是第一象限內直線上一動點，點的橫坐標為，連接，的面積為，求與的函數解析式；（不要求寫出自變量的取值范圍）
（3）如圖2，在（2）的條件下，延長交軸于點，點為線段上一個動點，連接，交于點，連接，并延長交軸于點，過點作于點，直線交直線于點，，當時，求的長．
一、選擇題（共10小題）
1．【答案】
【解答】解：如圖，過作軸于，交于．
軸，
，
是等腰直角三角形，
，
設，則，
設，則，，
，在反比例函數的圖象上，
，
解得，
，
，
，
，
．
故選：．
2．【答案】
【解答】解：當，方案的函數解析式為；
當，方案的函數解析式為，
當時，方案比方案便宜（元．
故選：．
3．【答案】
【解答】解：根據圖象，甲步行4分鐘走了240米，
甲步行的速度為（米分鐘），
由圖象可知，甲出發16分鐘后乙追上甲，則乙用了（分鐘）追上甲，故不符合題意；
乙的速度為（米分鐘），
則乙走完全程的時間為（分鐘），
乙追上甲剩下的路程為：（米，
乙追上甲后，再走1440米才到達終點，故不符合題意；
當乙到達終點時，甲步行了（米，
甲離終點還有（米，
故甲乙兩人之間的最遠距離是360米，故不符合題意．
乙休息的時間為（分鐘），
故甲到終點時，乙已經在終點處休息了6分鐘，故符合題意．
故選：．
4．【答案】
【解答】解：將直線沿軸向右平移個單位．
平移后的直線解析式為．
四邊形為平行四邊形，且點、、，
，
點．
平移后的直線與邊有交點，
當直線過，
，
解得：，
當直線過，
，
解得：，
．
故選：．
5．【答案】
【解答】解：設點，
軸于點，交于點，軸，
，，，，
，
故選：．
6．【答案】
【解答】解：①聯立方程組，解得，，①正確；
②當時，；②錯誤；
③直線分別與兩函數圖象交于點，，則，，，③正確；
④當逐漸增大時，的值隨的增大而增大，的值隨的增大而減小．④正確．
故選：．
7．【答案】
【解答】解：軸于點，，，為的中點，
，，，，
點，在反比例函數圖象上，
，
反比例函數解析式為，
，
為的中點，
，，
設直線的解析式為，
，解得，
直線解析式為，
聯立方程組，解得或，
，，
．
故選：．
8．【答案】
【解答】解：如圖1，連接，
反比例函數解析式為，且軸，
，
故圖1陰影部分的面積為：2；
圖2中，，
反比例函數圖象是關于原點成中心對稱，
，
，
故圖2陰影部分的面積為：4；
故選：．
9．【答案】
【解答】解：二次函數的圖象開口向下，
，
，
，
拋物線與軸相交于正半軸，
，
直線經過一、二、四象限，
由圖象可知，當時，，
，
反比例函數的圖象必在一、三象限，
故、、錯誤，正確；
故選：．
10．【答案】
【解答】解：如圖，直線一定過點，，
把代入得，，此時陰影部分（不位括邊界）有，，，，，5個整點
的取值可能是4，
故選：．
二、填空題（共10小題）
11．【答案】．
【解答】解：，
，即，則，
圖象經過第二象限，
，
．
故答案為：．
12．【答案】4
【解答】解：連接，，，如圖：
點在雙曲線上，
，
，
雙曲線，
點在直線上，
，
，
直線，
令，
，
，
，
點直線，
令，
，
點，
點，關于軸對稱，
，
又平移后，，，
點，
，
由平移知，掃過的部分是平行四邊形，
，，，
點，，在一條直線上，
同理，，也在同一條直線上，
由平移知，，則四邊形是菱形，
，
，
，
線段掃過的面積等于平行四邊形的面積．
13．【答案】．
【解答】解：點在反比例函數的圖象上，
，
解得：，，
點在第一象限，
，
故得，
點的坐標為，
四邊形為平行四邊形，對角線的交點為坐標原點，點在反比例函數的圖象上，
根據平行四邊形和反比例函數的對稱性得：點和點關于坐標原點對稱，
點的坐標為．
故答案為：．
14．【答案】．
【解答】解：延長交軸于點，如圖所示：
設，則，
軸，
，
，
，
由翻折的性質得：，，
在中，，，
由勾股定理得：，
點的坐標為，
點在反比例函數的圖象上，
，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
，
解得：，或（不合題意，舍去），
．
故答案為：．
15．【答案】3．
【解答】解：將一次函數的圖象向上平移2個單位長度后得，
將點代入，得，
故答案為：3．
16．【答案】27．
【解答】解：設段的函數解析式為，
把，代入得：，
解得，
段的函數解析式為，
當時，．
張老師應該付的車費是27元．
故答案為：27．
17．【答案】16．
【解答】解：作軸于，
由，
得，
設，
由點在反比例函數的圖象上，
得，
故的面積的面積．
故答案為：16．
18．【答案】．
【解答】解：點縱坐標為4，
，解得，
，
．
，
，
設，則，
當點在點右側，
點的坐標為，
，
解得：，（舍去），
當時，，
點的坐標為，
當點在點的左側，
點的坐標為，
，
解得：，，均舍去．
綜上，點的坐標為．
故答案為：．
19．【答案】（1）；（2）3．
【解答】解：（1）點在一次函數的圖象上，
，解得，
，，
，在反比例函數圖象上，
．
故答案為：；
（2）若，則反比例函數解析式為，聯立方程組，解得，或，
，
在一次函數中，令．則，
，
．
故答案為：3．
20．【答案】20．
【解答】解：由圖象可知，點和在直線上，
設直線的解析式為：，
，
解得：，
直線的解析式為：；
當時，，
，
點，點在直線上，
直線的解析式為：，
，
解得：，
直線的解析式為：；
當時，，
小澤距甲地的距離為20千米．
故答案為：20．
三、解答題（共10小題）
21．【答案】（1）反比例函數的解析式為；一次函數的解析式為；
（2）的值為．
【解答】解：（1）反比例函數圖象過點，
，
反比例函數的解析式為；
把點代入得，
，
把，代入得，
解得，
一次函數的解析式為；
（2）
點坐標為，
；
直線與軸交于點，
時，，
點坐標為，
，
，
解得，
的值為．
22．【答案】（1），；
（2）2；
（3）或．
【解答】解：（1）點在反比例函數的圖象上，
，
反比例函數解析式為，
點在反比例函數圖象上，
，即點坐標為，
又、兩點在一次函數圖象上，
代入一次函數解析式可得，
解得．
一次函數解析式為；
（2）在中，令可得，
點坐標為，
，
又為，
到的距離為2，
；
（3）由一次函數與反比例函數的圖象可知，當或時反比例函數的圖象在一次函數圖象的上方，
當或時，反比例函數的值大于一次函數的值，
即不等式的解集是或，
故答案為或．
23．【答案】（1）反比例函數為，直線的表達式為；（2）15．
【解答】解：（1）點在反比例函數第一象限的圖象上，
，
反比例函數為，
將點先向左平移5個單位長度，再向下平移個單位長度后得到點，
，
點恰好落在反比例函數第三象限的圖象上，
，
，
，
代入得，
，
直線的表達式為；
（2）作軸，交于點，則，
，
點、關于原點對稱，
，
．
24．【答案】（1）；（2）點坐標為，或，．
【解答】解：（1）過點，
，
，
，
點在上，
，
，
，
．
（2）①當點在下方時，
，
，
作軸，軸，
，
，
，
，
把代入中，
，；
②當點在上方時，
，
，
為的中點，
，，
，
把代入中，
，；
綜上所述：點坐標為，或，．
25．【答案】（1）反比例函數的解析式是，一次函數的解析式是；
（2）見解答．
【解答】（1）解：把點代入為常數，得：，
反比例函數的解析式是，
把代入得：，
即的坐標是，，
把、的坐標代入得：，
解得：，
即一次函數的解析式是；
（2）證明：由題意可知，，，
設直線為，
則，解得，
直線為，
直線過原點，
，，三點在同一條直線上．
26．【答案】（1）；；（2），（3）或．
【解答】解：（1），
丨丨，
反比例函數圖象在第二、四象限，
，．
故答案為：；；
（2）點是圖象上的一點，
，
時即，解得；
（3）由（1）可得直線解析式為：，
聯立方程組得，解得，或，
，．
根據函數圖象及交點坐標可知時的取值范圍為：或．
27．【答案】（1）①，，②；
（2）．
【解答】解：（1）①將點代入，得，
直線的解析式為，
將點代入，得，
反比例函數的解析式為；
②當時，得，，
交點的坐標為；
（2）令中得，令得，
，，
，
，
設點向右平移個單位，再向下平移個單位，
，
，
，
解得，
．
28．【答案】（1）；（2）3；（3）平行四邊形，見解析．
【解答】解：（1）設點，
將，代入，
得：，，
，，
將點和點，代入中得：，
．
（2）由題可得：，
，
．
（3）四邊形為平行四邊形．理由如下：
在函數中，
當時，，
，
，
，，
，
，
，
四邊形為平行四邊形．
29．【答案】（1）平行，；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）平移前后的對應線段平行，
，．
．
點的對應頂點分別是和，，
在點，，，中，連接點與點的線段的長度等于．
故答案為：平行，；
（2）設平移后交正方形于點、．作于點，交于點，延長交軸于點，則．
．
點，都在直線上，
，．
，．
．
由題意得：，
點在線段上．
，，，
，．
．
．
；
（3）①點平移到點處時，平移的距離最小．
點的坐標為，，．
；
②點平移到或者的中點時，平移的距離最大，以的中點為例．
點是的中點，坐標為，，
點的坐標為，．
．
．
30．【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）直線交軸于點，軸于點，
當時，，當時，，
，，
則，
．
，則，
，
設直線的解析式為，則，
解得：，
直線的解析式為；
（2）點是第一象限內直線上一動點，點的橫坐標為，
的縱坐標為，
如圖所示，過點作軸交于點，
則，
，
；
（3），
，
則，
，，，
，，，
，
，
設，則，，
，
又，
，
，
設直線的解析式為，
則，
解得：，
直線的解析式為，
當時，，
，
，
又，，，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
，
設，則，
解得：或（舍去），
，
過點作軸于點，如圖2，
，
，
，
又，
，則，
設直線的解析式為，
則，
解得：，
直線的解析式為，
聯立，
解得：，
，
設直線的解析式為，
，
解得：，
直線的解析式為，
聯立，
解得：，
，
．
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一次函數綜合 一次函數的圖象與性質，一次函數的解析式，一次函數圖象的平移，一次函數與方程（組）、一元一次不等式的關系 ★★★
一次函數的應用 費用、利潤最值問題，方案選取問題、行程問題等 ★★★★
反比例函數綜合 反比例函數的圖象與性質，反比例函數比例系數k的幾何意義，反比例函數的解析式 ★★★
反比例函數的應用 行程問題、幾何問題、工程類問題、壓強類問題、電學類問題等 ★★★★
一次函數與反比例函數綜合 反比例函數與一次函數交點問題、反比例函數與一次函數圖象面積問題 ★★★★★
1．一次函數 （1）一次函數的定義 一般地，形如y=kx+b（k，b是常數，k≠0）的函數，叫做一次函數． （2）一次函數的圖象和性質 對于y=kx+b（k≠0 ，b≠0）． 當k>0，b>0，y=kx+b的圖象在第一、二、三象限，y隨x的增大而增大； 當k>0，b<0，y=kx+b的圖象在第一、三、四象限，y隨x的增大而增大； 當k<0，b>0，y=kx+b的圖象在第一、二、四象限，y隨x的增大而減小； 當k<0，b<0，y=kx+b的圖象在第二、三、四象限，y隨x的增大而減小． 2．一次函數圖象的平移 （1）一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象是過點（0，b）且和直線y=kx重合或平行的一條直線． （2）直線y=kx+b可以看作由直線y=kx向上或向下平移|b|個單位長度得到． （3）一次函數圖象的平移遵照“左加右減，上加下減”的原則進行，要注意平移后k值不變，只有b發生變化． （4）由兩個函數解析式中的k的值相等，可判斷兩個函數的圖象平行，即其中一條直線是由另一條直線平移得到的． 3．待定系數法 求一次函數y=kx+b（k≠0）的解析式，關鍵是求出k，b的值，一般可根據條件列出關于k，b的二元一次方程組，求出k，b的值，從而求出函數的解析式．這種求函數解析式的方法叫做待定系數法． 4．一次函數與方程、不等式的關系 （1）一次函數與一元一次方程的關系：任何一元一次方程都可以轉化為ax+b=0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值．從圖象上看，相當于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標的值． （2）①任何一個以x為未知數的一元一次不等式都可以變形為ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相當于在某個一次函數y=ax+b的值大于0或小于0時，求自變量x的取值范圍． ②一次函數y=ax+b（a≠0）與一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的關系： ax+b>0的解集y=ax+b中，y>0時x的取值范圍，即直線y=ax+b在x軸上方部分圖象對應的x的取值范圍． ax+b<0的解集y=ax+b中，y<0時x的取值范圍，即直線y=ax+b在x軸下方部分圖象對應的x的取值范圍． （3）用圖象法求二元一次方程組的近似解的一般方法：①先把方程組中的兩個二元一次方程化成一次函數的形式：y=k1x+b1和y=k2x+b2；②建立平面直角坐標系，畫出這兩個一次函數的圖象；③寫出這兩條直線的交點的橫、縱坐標，這兩個數值就是二元一次方程組的解中的兩個數值，橫坐標為x，縱坐標為y．
【典例1】　（2024 長沙三模）如圖，直線和直線相交于，則關于的不等式的解集為 　　．
【答案】．
【分析】先將點的坐標代入直線中，求出的值；再將所求的點坐標代入直線中，求出的值，即可求出于的不等式的解．
【解答】解：把代入直線中，
則：；
再將點代入直線中，
則：，
解得．
不等式為，
解得，
故答案為：．
【典例2】　（2024 錫山區一模）把一次函數的圖象沿軸向下平移3個單位長度后，得到的新圖象對應的函數表達式是 　　．
【答案】．
【分析】根據函數圖象上下平移的規律可求得答案．
【解答】解：把一次函數的圖象沿軸向下平移3個單位長度后，得到的新圖象對應的函數表達式是，
故答案為：．
【典例3】　（2024 新樂市一模）如圖，在直角坐標系中，點在直線上，過點的直線交軸于點．
（1）求的值和直線的函數表達式．
（2）若點在線段上，點在直線上，求的最小值．
【答案】（1）直線的函數表達式為．；（2）的最小值為4．
【分析】（1）待定系數法求出直線解析式即可；
（2）將點坐標代入解析式得到，再根據一次函數性質解答即可．
【解答】解：（1）把點代入，得，
設直線的函數表達式為，把點，代入得：
，解得，
直線的函數表達式為．
（2）點在線段上，點 在直線 上，
，，
，
，
的值隨的增大而減小，
當 時，的最小值為4．
【典例4】　（2024 浙江模擬）如圖，在直角坐標系中，點在直線上，過點的直線交軸于點．
（1）求的值和直線的函數表達式．
（2）若點在線段上，點在直線上，判斷的值是否隨的變化而變化，若不變，求出這個值；若變化，求出它的取值范圍．
【答案】（1）的值為1，直線解析式為；
（2）的值不隨的變化而變化，的值為5．
【分析】（1）把代入得：，設直線解析式為，把，代入得，解出，的值可得直線解析式為；
（2）求出，，可得，故的值不隨的變化而變化，的值為5．
【解答】解：（1）把代入得：，
的值為1，，
設直線解析式為，把，代入得：
，
解得，
直線解析式為；
（2）的值不隨的變化而變化，理由如下：
點在線段上，點在直線上，
，，
，
的值不隨的變化而變化，的值為5．
【典例5】　（2024 南崗區校級一模）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，直線交軸于點，交軸于點，．
（1）求直線的解析式；
（2）為軸正半軸上一點，于，點的橫坐標為，線段的長為，求與的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，為軸負半軸上一點，，延長至點，，的延長線交軸于，為上一點，于，交于，若，，求的面積．
【答案】（1）直線的解析式為；
（2）與的函數關系式為；
（3）．
【分析】（1）由題意得，，，再運用勾股定理可得，即，即可求得答案；
（2）由題意得，，，，由，得；
（3）設交軸于點，，，在軸上取一點，使得，過點作軸交的延長線于點，過點作于點，可證得，運用勾股定理可求得，得出，，再證得是等腰直角三角形，四邊形是矩形，，，再證得，進而可得，設，則，，再證得，可得，，建立方程求解即可得出，求得，，，，運用待定系數法可求得直線、的解析式，聯立方程組求解即可．
【解答】解：（1）直線交軸于點，交軸于點，
，，，
，，
，，
，
解得：，
，
，
直線的解析式為；
（2）由題意得，
，，
，，，
，
，
，
，
與的函數關系式為；
（3）如圖，設交軸于點，，，在軸上取一點，使得，
過點作軸交的延長線于點，過點作于點，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在中，，
即，
整理得：，
，
（負值舍去），
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四邊形是矩形，，，
又，
，
，
，
，
又，，
，
，
又，
，
又，
，
設，則，，
在和中，
，
，
，
，
，
解得：，
，，，
，
，
，
設直線的解析式為，把，代入，
得：，
解得：，
直線的解析式為，
同理可得，直線的解析式為，
聯立方程組得：，
解得：，
，
．
運用一次函數解決實際問題的步驟是求出函數解析式（如果問題中沒有明確兩個變量的關系是一次函數關系，就要根據題意直接寫出其解析式；如果明確是一次函數關系，就可以用待定系數法求出其解析式)，然后利用其圖象和性質解決實際問題． 方案選取型問題一般是費用最少問題，解題時一般先根據題目滿足的關系列出不等式，若為兩種方案的選取，將兩種方案的函數關系式組成不等式，求解對應的自變量的取值范圍；若為三種方案的選取，可畫出函數圖象，求出交點坐標，利用函數圖象性質解答．
【典例1】　（2024 交城縣一模）某文化旅游公司推出“親近大自然野外宿營”活動，票價為360元人．周末期間有如下兩種優惠方案：
方案一：以團隊為單位辦理會員卡（會員卡花費270元），所有人都按半價優惠；
方案二：所有人都按六五折優惠．
設小明所在的團隊有人，在周末期間參加該活動，購票總花費為元．
（1）分別寫出這兩種方案中關于的函數關系式；
（2）這兩種方案中關于的函數圖象如圖所示，請求出點，的坐標，并說明點所表示的實際意義；
（3）當方案一比方案二更優惠時，請直接寫出的取值范圍．
【答案】（1）方案一：，方案二：；
（2），，點得實際意義為當小明的團隊有5人時，方案一和方案二一樣優惠，都需要花費1170元；
（3）．
【分析】（1）方案一：，方案二：；
（2）對于，令，求得的值，可得點坐標，方案一、二中關于的函數關系式聯立方程組，解得、，即點坐標，點得實際意義為當小明的團隊有人時，方案一和方案二一樣優惠，都需要花費元；
（3）觀察圖象得，方案一比方案二更優惠，即．
【解答】解：（1）方案一：，
方案二：；
（2）對于，令，則，
，
，
解得：，，
，
點得實際意義為當小明的團隊有5人時，方案一和方案二一樣優惠，都需要花費1170元；
（3）觀察圖象得，方案一比方案二更優惠，即．
【典例2】　（2024 碑林區校級三模）如圖，深的圓柱形容器，底部放入一個長方體的鐵塊，現在以一定的速度向容器內注水，3分鐘后水面上升的速度是之前速度的．如圖為容器頂部離水面的距離隨時間（分鐘）的變化圖象．
（1）3分鐘后水面上升的速度為 　　；
（2）求直線的解析式；
（3）求該容器注滿水所用的時間．
【答案】（1）；（2）直線的解析式為；（3）該容器注滿水所用的時間21分鐘．
【分析】（1）由圖象可知從3分鐘到9分鐘這段時間注入水，根據速度注水量時間可得；
（2）利用待定系數法即可求得；
（3）當時，即，求出的值即可得知．
【解答】解：（1）
，
故答案為：．
（2）設直線的解析式為，
將、代入，
，
解得：，
則直線的解析式為．
（3）當時，即，
解得：
答：該容器注滿水所用的時間21分鐘．
【典例3】　（2024 船營區一模）弟弟李明林騎自行車保持勻速從家到臨江游園觀看2024中國吉林市國際冬季龍舟邀請賽．在觀眾區觀看完“200米直道競速項目”后，以相同的速度按原路騎自行車返回家中．設李明林距離家的路程為，運動時間為，與之間的函數圖象如圖所示．
（1）　　．
（2）在弟弟李明林從臨江游園返回家的過程中，求與之間的函數關系式．
（3）已知哥哥李明吉已在臨江游園等待觀看賽龍舟．在弟弟從家出發的同時，哥哥接到媽媽電話，要求他馬上回家．故哥哥以的速度沿弟弟來時的路徑從臨江游園勻速步行回家．當兄弟二人之間的距離為時，直接寫出哥哥李明吉的運動時間．
【答案】（1）14；
（2）；
（3）或或．
【分析】（1）根據題意，以相同的速度按原路騎自行車返回家中，則所用時間也相等，進而根據圖象列式求解即可；
（2）設與之間的函數關系式為：，將圖象中的兩個點代入解析式求得、即可求解；
（3）本題需要進行分類討論，分別以當弟弟在前往臨江游園的途中，與哥哥相遇前，兩人相距，以當弟弟在前往臨江游園的途中，與哥哥相遇后，兩人相距，當弟弟在返回家中的途中，兩人相距為三種情況列式求解即可得解．
【解答】解：（1）根據題意，以相同的速度按原路騎自行車返回家中，則所用時間也相等，
，
，
故答案為：14；
（2）設與之間的函數關系式為：，
將與代入得，
解得，
與之間的函數關系式為：；
（3）根據題意，臨江游園到家的距離為，哥哥回家的速度為，
設弟弟去游園時的函數解析式為，
當時，，可得，
解得，
弟弟去游園時，對應的函數解析式為：，
設哥哥去回來時的函數解析式為，
當時，，當，時，
可得，解得，
對應的函數解析式為：，
①以當弟弟在前往臨江游園的途中，與哥哥相遇前，兩人相距，
，解得；
②以當弟弟在前往臨江游園的途中，與哥哥相遇后，兩人相距，
，
解得，
③當弟弟在返回家中的途中，
，解得，
綜上所述：哥哥李明吉的運動時間或或．
【典例4】　（2024 雁塔區校級四模）2023年5月30日，云南人桂海潮乘坐神舟16號飛船，成功遨游太空，圓了“飛天”夢想云官中學為了給學生們搭建一個航天夢，計劃購買火箭模型和空間站模型共80個（兩種模型均需購買），要求購買火箭模型的個數不多于空間站模型個數的3倍．通過市場調研，已知火箭模型每個45元，空間站模型每個60元．設購買火箭模型個，購買總費用為元．
（1）求與的函數關系式，并直接寫出自變量的取值范圍；
（2）請你用函數的相關知識說明如何采購能使總費用最低？并求出最低費用．
【答案】（1）且為整數）；
（2）購買火箭模型60個，空間站模型20個可以使總費用最低，最低費用為3900元．
【分析】（1）設購買火箭模型個，則購買空間站模型個，然后根據兩種模型的費用之和即為總費用列得關系式，再結合已知條件求得自變量的取值范圍即可；
（2）根據一次函數的增減性即可求得答案．
【解答】解：（1）設購買火箭模型個，則購買空間站模型個，
則，
，且為整數，
且為整數，
即且為整數）；
（2），
隨的增大而減小，
當時，有最小值，最小值為：，
此時，
即購買火箭模型60個，空間站模型20個可以使總費用最低，最低費用為3900元．
【典例5】　（2024 南樂縣一模）為了振興鄉村經濟，某市為廣大農戶免費提供一種優質草莓及栽培技術，鼓勵廣大農戶種植草莓．草莓成熟后鄉企業辦將這些草莓精加工成，兩種飲料裝箱銷售．已知種草莓飲料賣了20000元，種草莓飲料賣了36000元，賣出的種草莓飲料的箱數是種草莓飲料箱數的2倍，種草莓飲料每箱的售價比種草莓飲料每箱的售價便宜5元．
（1），兩種草莓飲料每箱的售價分別是多少元．
（2）某公司獻愛心，計劃用不超過4900元給市區的幾個敬老院捐贈100箱，兩種草莓飲料，其中種草莓飲料不少于40箱，該公司怎么購買所需的費用最少？最少的費用是多少元？
【答案】（1）種草莓飲料每箱的售價是50元，則種草莓飲料每箱的售價是45元；
（2）該公司購買種草莓飲料40箱，則購買種草莓飲料60箱所需的費用最少，最少的費用是4700元．
【分析】（1）設種草莓飲料每箱的售價是元，則種草莓飲料每箱的售價是元，根據賣出的種草莓飲料的箱數是種草莓飲料箱數的2倍，列方程求解即可．
（2）設購買種草莓飲料箱，則購買種草莓飲料箱，根據費用用不超過4900元，種草莓飲料不少于40箱，列不等式組，求出的取值范圍，再設該公司購買所需的費用共為元，列出列出關于的一次函數關系式，再根據一次函數性質求出再根據一次函數性質求出的最小值即可求解．
【解答】解：（1）設種草莓飲料每箱的售價是元，則種草莓飲料每箱的售價是元，根據題意，得：
，
解得：，
經檢驗，是方程的根，也符合題意，
種草莓飲料每箱的售價是50元，
種草莓飲料每箱的售價是（元，
答：種草莓飲料每箱的售價是50元，則種草莓飲料每箱的售價是45元．
（2）設購買種草莓飲料箱，則購買種草莓飲料箱，根據題意，得：
，
解得：，
設該公司購買所需的費用共為元，根據題意，得，
，
隨增大而增大，
，
當時，值最小，最小值為（元，
該公司購買種草莓飲料40箱，則購買種草莓飲料60箱所需的費用最少，最少的費用是4700元．
1．反比例函數（k≠0）系數k的幾何意義 從反比例函數（k≠0）圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|．常見模型如圖： 2．反比例函數圖象上點的橫坐標或縱坐標的大小比較： 先判斷這幾個點是否在同一象限內，若不在同一象限內，則通過判斷函數值的正負即可進行比較；若在同一象限內，則可以根據反比例函數的增減性來進行解答． 另外，也可以代值或取特殊值比較大小．
【典例1】　（2024 肥東縣校級模擬）如圖，已知，在中，，其底邊在軸的正半軸上，點在第一象限，將沿折疊，點落在點的位置，若反比例函數的圖象經過的中點，且點的坐標為，則的值為 　　．
【答案】．
【分析】過作于，易證得是等腰三角形，根據等腰三角形三線合一的性質得出，解直角三角形求得、，從而得到，進一步求得點的坐標，代入即可求得的值．
【解答】解：過作于，
在中，，
，
點的坐標為，，
，
，
，，
，
的中點，
，
，
，，
點在反比例函數的圖象上，
，
故答案為：．
【典例2】　（2024 坪山區校級一模）如圖，矩形的頂點坐標分別為，，，，動點在邊上（不與、重合），過點的反比例函數的圖象與邊交于點，直線分別與軸和軸相交于點和，若，則的值為 　　．
【答案】1．
【分析】設，則，，設直線的解析式為：，則有，解得，得到直線解析，令，，，由勾股定理可得和，代入可計算出值，繼而值可得．
【解答】解：設，則，，
設直線的解析式為：，則有：
，解得，
，
令，，
，
作軸，垂足為，則，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
．
故答案為：1．
【典例3】　（2024 鄞州區模擬）如圖，點，點分別在軸，軸上，，點為的中點，連接并延長交反比例函數的圖象于點，過點作軸于點，點關于直線的對稱點恰好在反比例函數圖象上，則　　．
【分析】由題意可得直線的解析式為，設，由點在反比例函數的圖象上，求得，求得的坐標，根據互相垂直的兩條直線斜率之積為，可設直線的解析式為，則，．由點和點關于直線對稱，得出，那么，再將點坐標代入，得到，解方程即可求得的坐標，然后通過三角形相似求得，根據即可求得結果．
【解答】解：點，點分別在軸，軸上，，點為的中點，
直線的解析式為，
設，
點在反比例函數的圖象上，
，
，
，
，
設直線的解析式為，則，．
點和點關于直線對稱，
，
，
在反比例函數的圖象上，
，
解得，（舍去），
，，
，
，
，
易證，
，即，
，
．
故答案為：．
【典例4】　（2024 紅花崗區一模）如圖，在平面直角坐標中，反比例函數與一次函數的圖象相交于點和點，一次函數圖象與軸相交于點，其中點的坐標是．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）若，求一次函數的解析式；
（3）在第（2）問的條件下，直接寫出的解集．
【答案】（1）反比例函數解析式為：；（2）一次函數解析式為：；（3）或．
【分析】（1）待定系數法求出反比例函數解析式即可；
（2）待定系數法求出一次函數解析式即可；
（3）根據圖像和函數的交點坐標，直接寫出不等式解集即可．
【解答】解：（1）在反比例函數圖象上，
，
反比例函數解析式為：；
（2），
，解得，
，
點，在一次函數的圖象上，
，解得，
一次函數解析式為：；
（3）聯立方程組得，解得或，
，，
根據兩個函數的圖象和交點坐標可知，不等式的解集為：或．
【典例5】　（2024 武威一模）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，反比例函數的圖象與直線交于點，點在函數的圖象上（點的橫坐標大于點的橫坐標），點的坐標，過點作軸于點，過點作軸于點，連接，．
（1）求的值；
（2）若為中點，求四邊形的面積；
（3）直接寫出不等式的解集．
【答案】（1）；（2）10；（3）或．
【分析】（1）將點坐標代入反比例函數解析式求出值即可；
（2）先求出反比例函數解析式，再得到點、、坐標根據計算即可；
（3）根據函數圖象寫出不等式解集即可．
【解答】解：（1）點的坐標且在反比例函數的圖象上，
．
（2）由（1）可知，反比例函數解析式為，
為中點，
，
，
；
（3）根據反比例函數的中心對稱性質可得，
根據題意和圖示，不等式的解集為：或．
1．反比例函數應用的解題方法 （1）分析實際問題中變量之間的關系； （2）建立反比例函數模型； （3）用反比例函數的有關知識解答，注意利用反比例函數兩變量之積是定值的性質，算出定值． 2．應用反比例函數解決實際問題的基本步驟 （1）審清題意，找出題目的常量、變量，并理清常量與變量之間的關系； （2）根據常量、變量之間的關系，設出函數關系式，待定系數用字母表示； （3）由題目中的已知條件，列出方程，求出待定系數； （4）寫出函數關系式，并注意關系式中變量的取值范圍； （5）用函數關系式解決實際問題． 3．跨學科問題中常見的反比例關系 （1）壓力一定時，壓強與受力面積成反比例． （2）當功率一定時，力與速度成反比例． （3）當電壓一定時，用電器的輸出功率與電阻成反比例． （4）當電壓一定時，電流強度與電阻成反比例．
【典例1】　（2024 襄城縣一模）閱讀與思考
下面是小宇同學的一篇數學日記，請仔細閱讀并完成相應的任務，今天是2023年6月8日（星期四），在下午數學活動課上，我們“騰飛”小組的同學參加了一次“探索電壓一定時，輸出功率與電阻函數關系的數學活動”．
第一步，我們設計了如圖1所示的電路，電壓為定值不變．
第二步，通過換用不同定值電阻，使電路中的總電阻成整數倍的變化．
第三步，我們根據物理知識，通過測量電路中的電流計算電功率．
第四步，計算收集數據如下：
2 4 6 8 10
18 9 6 4.5 3
第五步，數據分析，以的數值為橫坐標，的數值為縱坐標建立平面直角坐標系，在該坐標系中描出以表中數對為坐標的各點，并用光滑的曲線順次連接這些點．
數據分析中，我發現一組數據可能有明顯錯誤，重新實驗，證明了我的猜想正確，并對數據進行了修改，實驗結束后，大家有很多收獲，每人都撰寫了數學日記．
任務：
（1）上面日記中，數據分析過程，主要運用的數學思想是 　　；（單選）
．數形結合 ．類比思想 ．分類討論 ．方程思想
（2）你認為表中哪組數據是明顯錯誤的；并直接寫出關于的函數表達式；
（3）在如圖2平面直角坐標系中，畫出此函數的圖象；
（4）請直接寫出：若大于，的取值范圍為 　　．
【答案】（1）；（2）最后一組有問題，；（3）如圖示；（4）．
【分析】（1）通過類比思想發現各數據之間的對應關系；
（2）根據與的積是定值發現有問題的一組數據；
（3）將描出的點用光滑的曲線連接即可；
（4）根據計算出的取值范圍．
【解答】解：（1）通過類比思想發現數據之間的關系正確與否．故選：．
（2）通過前四組數據發現：與的積都是36定值，發現最后一組有問題；
與關系式是：，
（3）圖象如圖：
（4）當時，即，解得．
【典例2】　（2024 廣州一模）某藥品研究所開發一種抗菌新藥，經多年動物實驗，首次用于臨床人體實驗，測得成人服藥后血液中藥物濃度（微克毫升）與服藥時間之間的函數關系如圖所示（當時，與成反比例）．
（1）根據圖象求出血液中藥物濃度下降階段關于的函數表達式；
（2）問：血液中藥物濃度不低于5微克毫升的持續時間為多少小時？
【答案】（1）血液中藥物濃度上升階段的函數關系式為，下降階段的函數關系式為；
（2）血液中藥物濃度不低于2微克毫升的持續時間6小時．
【分析】（1）分別利用正比例函數以及反比例函數解析式求法得出即可；
（2）利用分別得出的值，進而得出答案．
【解答】解：（1）當時，設直線解析式為：，
將代入得：，
解得：，
故直線解析式為：，
當時，設反比例函數解析式為：，
將代入得：，
解得：，
故反比例函數解析式為：；
因此血液中藥物濃度上升階段的函數關系式為，
下降階段的函數關系式為．
（2）當，則，
解得：，
當，則，
解得：，
（小時），
血液中藥物濃度不低于2微克毫升的持續時間6小時．
【典例3】　（2024 中山市一模）在某一電路中，電源電壓保持不變，電流，電壓，與電阻之間滿足關系，電流（A）與電阻之間的函數關系如圖．
（1）寫出與的函數解析式：　　；
（2）結合圖象回答：當電路中的電流不超過時，電路中電阻的取值范圍是什么？
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根據圖象可知與之間的關系，然后列出函數關系式，保持不變，再把圖象所經過的點代入函數式，求出的值等于36；
（2）當時，，所以求出的取值范圍是大于且等于3．
【解答】解：（1）設，將，代入得，
與的函數關系式是．
故答案為：；
（2）電路中的電流不得超過，
，
，
電路中電阻的取值范圍是．
【典例4】　（2023 雁峰區校級模擬）為預防新冠病毒，某學校每周末用藥熏消毒法對教室進行消毒，已知藥物釋放過程中，教室內每立方米空氣中含藥量與時間成正比例；藥物釋放完畢后，與成反比例，如圖所示，根據圖象信息，解決以下問題：
（1）寫出從藥物釋放開始，與之間的兩個函數解析式；
（2）當空氣中每立方米含藥量不低于6毫克且持續時間不低于20分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌．你認為此次消毒是否有效？并說明理由．
【答案】（1）；
（2）此次消毒有效，理由見解析．
【分析】（1）待定系數法先求出反比例函數解析式，進而求出點的坐標，再利用待定系數法，求出正比例函數的解析式即可；
（2）求出時對應的兩個自變量的值，進而求出含藥量不低于6毫克的時間，進行判斷即可．
【解答】解：（1）設藥物釋放完畢后，與的解析式為：，
由圖可知：，解得：，
，
當時，，
，
設藥物釋放過程中，與的解析式為：，
則：，
解得：，
；
綜上：；
（2）有效，理由如下：
當時，，
解得：；
，
解得：，
空氣中每立方米含藥量不低于6毫克的時間為：；
，
此次消毒有效．
【典例5】　（2023 前郭縣二模）某種商品上市之初采用了大量的廣告宣傳，其日銷售量與上市的天數之間成正比例函數，當廣告停止后，日銷售量與上市的天數之間成反比例函數（如圖所示），現已知上市20天時，當日銷售量為100件．
（1）寫出該商品上市以后日銷售量件與上市的天數天之間的表達式；
（2）廣告合同約定，當日銷售量不低于80件，并且持續天數不少于10天時，廣告設計師就可以拿到“特殊貢獻獎”，那么本次廣告策劃，設計師能否拿到“特殊貢獻獎”，并說明理由？
【答案】（1）；
（2）設計師可以拿到“特殊貢獻獎”．
【分析】（1）將已知點的坐標分別代入到正比例函數和反比例函數中，利用待定系數法確定其解析式即可；
（2）分別求得銷量不低于80件的天數，相加后大于等于10天即可拿到特殊貢獻獎，否則不能．
【解答】解：（1）當時，設，把代入得，
；
當時，設，把代入得，
；
（2）當時，又得，，即，有5天；
當時，由，
解得：，即，有5天，
共有（天，
因此設計師可以拿到“特殊貢獻獎”．
1．反比例函數背景下的線段問題 函數背景下的線段問題歸根結底是點坐標之間的關系． 核心要點：與x軸平行的直線上的點的縱坐標相等；與y軸平行的直線上的點的縱坐標相等． 2．求三角形的面積： （1）當有一條邊在坐標軸上或平行于坐標軸時，通常將坐標軸上的邊或與坐標軸平行的邊作為底邊，再利用點的坐標求得底邊上的高，最后利用面積公式求解； （2）當三邊均不在坐標軸上且 不平行于坐標軸時，一般可采用割補法將其轉化為一邊在坐標軸上（或平行于坐標軸）的三角形面積的和或差來求解此外，求面積時要充分利用“數形結合”的思想，即用“坐標”求“線段長”，用“線段長”求“坐標”． 3．求四邊形的面積： 通過分割法或補形法將四邊形面積轉化為幾個三角形或三角形與特殊四邊形面積之間的和或差．
【典例1】　（2024 韶關模擬）如圖，在平面直角坐標系中，直線交雙曲線于點，，線段，都垂直于軸，．
（1）求直線和雙曲線的解析式；
（2）在第一象限內，根據圖象直接寫出當取何值時，；
（3）在直線上找一點，連接，，當時，求點的坐標．
【答案】（1）雙曲線的解析式為，直線的解析式為；
（2）；
（3）點的坐標是或．
【分析】（1）利用待定系數法求得反比例函數的解析式，進一步求得點的坐標，然后把、點的坐標代入即可求得直線的解析式；
（2）根據圖象求得即可；
（3）設，分兩種情況討論，根據題意列出關于的方程，解方程即可求得點的坐標．
【解答】解：（1）雙曲線過點，
，
雙曲線的解析式為，
點，線段，都垂直于軸，，
點的橫坐標為6，
把代入解得，
，
把、點的坐標代入得，
解得，
直線的解析式為；
（2）觀察圖象可知，在第一象限內當時，；
（3）設，
，，
，，，，
當點在的左側時，，，
，
，解得，
此時，
當點在的右側時，，，
，
，解得，
此時，
綜上，點的坐標是或．
【典例2】　（2024 南漳縣一模）如圖，一個正方形的中心與平面直角坐標系的原點重合，邊分別與坐標軸平行，反比例函數的圖象經過正方形的頂點．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）正方形的對角線所在直線的解析式為 　　；
（3）若直線為常數）與反比例函數的圖象有交點，則的取值范圍是 　　．
【答案】（1）反比例函數的解析式為；（2）；（3）或．
【分析】（1）采用待定系數法，將點代入反比例函數，即可求得答案；
（2）采用待定系數法，設正方形的對角線所在直線的解析式為，將點，點的坐標代入即可求得答案；
（3）根據題意可得，變形可得一元二次方程，根據根的情況即可求得答案．
【解答】解：（1）將點代入反比例函數，得，
解得，
所以反比例函數的解析式為．
（2）根據題意可知點的坐標為，點的坐標為，
設正方形的對角線所在直線的解析式為，
將點，點的坐標代入，得
，
解得：，
所以正方形的對角線所在直線的解析式為．
故答案為：．
（3）根據題意，得，
則，
根據題意可知△，
即或．
故答案為：或．
【典例3】　（2024 渠縣校級模擬）如圖，一次函數的圖象與軸交于點，與軸交于點，與反比例函數的圖象交于，兩點，且．
（1）求的值；
（2）請直接寫出不等式的解集；
（3）若是軸上一點，軸交一次函數的圖象于點，交反比例函數的圖象于點，當以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點的坐標．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）或或或．
【分析】（1）令，得到的橫坐標，令，得到的縱坐標，由可知點為的中點，設，得，，解得：，得的坐標為，代入中即可求得的值；
（2）聯立兩個函數解析式，整理得到一元二次方程，求解即可求出點的坐標，運用交點的橫坐標，根據圖像可得，時，的圖象在的上方，即可求解；
（3）設，則，點，根據題意，得，解絕對值方程即可．
【解答】解：（1）令，得到，
解得，
；
令，得，
；
，則點為的中點，設，
，，
解得：，
的坐標為，
點在上，
；
（2）由（1）知，，
則，整理，得，
解得，，
當時，，
；
根據圖像可得，時，的圖象在的上方，
的取值范圍是或；
（3）設，則，點，，
軸，
，
要使得，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，則，
，
當時，整理，得，
解得，
當時，整理，得，
解得，
點的坐標為或或或．
【典例4】　（2024 義烏市模擬）如圖，直線與雙曲線相交于、兩點，與軸相交于點．
（1）求直線的解析式；
（2）直接寫出不等式的解集；
（3）點在軸上，且，在軸上是否存在一點，使得的值最小？若存在，求點的坐標，若不存在請說明理由．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）存在，點，．
【分析】（1）由待定系數法即可求解；
（2）觀察函數圖象即可求解；
（3）作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，則此時的值最小，即可求解．
【解答】解：（1）將點的坐標代入反比例函數表達式得：，
則反比例函數的表達式為：，
將點的坐標代入上式得：，
即點的坐標為：，
由點、的坐標得，直線的表達式為：；
（2）觀察函數圖象知，不等式的解集為：或；
（3）存在，理由：
由直線的表達式知點，
，則，
則點，
作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，則此時的值最小，
理由：為最小，
由點、的坐標得，直線的表達式為：，
令，則，
即點，．
【典例5】　（2024 青島一模）如圖，已知，是一次函數的圖象與反比例函數的圖象的兩個交點．
（1）求反比例函數和一次函數的解析式；
（2）求的面積；
（3）在坐標軸上是否存在一點，使是直角三角形？直接寫出點的坐標．
【答案】（1），；
（2）；
（3）、、或．
【分析】（1）先把點的坐標代入反比例函數求得的值，再把點的坐標為代入反比例函數的解析式求得，最后把，兩點代入即可求解；
（2）利用一次函數的解析式求得點的坐標，利用即可求解；
（3）存在，在軸和軸上分兩種情況：①若時，如圖所示，利用兩點間的距離公式和勾股定理即可求解；②若時，如圖所示，過點作軸，垂足為點，即可求解．
【解答】解：（1）點的坐標為在反比例函數的圖象上，
，
反比例函數的解析式為，
又點的坐標為也在上，
，
的坐標為，的坐標為都在一次函數的圖象上，代入得：
，
解得，
一次函數的解析式為；
（2）直線與軸交于點，如圖1，
，
，
的坐標為，的坐標為，
；
（3）當點在軸上，
設點，則，
若時，如圖2所示，
的坐標為，
點的坐標為；
當時，如圖3，
，，
是直角三角形，
，即，
解得，
點的坐標為；
當點在軸上時，
設點，則，
若時，如圖4所示，
的坐標為，
點的坐標為；
當時，如圖5，
，，
是直角三角形，
，即，
解得，
點的坐標為；
綜上可得點的坐標為、、或．
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