資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
8.2新定義問題與閱讀理解型問題（材料）
新定義與材料理解型問題是中考數學的熱點問題。新定義一般考查初中數學中沒有學過的一些新概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結合已有知識進行理解，而后根據新定義進行運算、推理、遷移的一種題型。一般有三種類型問題：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接＂新知識＂；（3）定義新概念。這類試題考查考生對＂新定義＂的理解和認識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將＂新定義＂的知識與已學知識聯系起來，利用已有的知識經驗來解決問題。
閱讀理解型問題主要以熟悉的生活環境，現實中的數量關系、情景對話幾何素材等為背景，從數學的角度，用數學的眼光將現實生活中的實際問題轉化為數學模型。讓學生在變化的情境中解題。在這一過程中感受數學在真實情境中的應用，彰顯數學的應用價值和育人價值。
1）讀懂題目，搜集信息，理解本質﹕
要想做好這類新定義型問題，關鍵在于讀懂題目中所給新定義的信息，真正理解新概念的本質。題目中可能會給出很多信息，有些是無關緊要的，有些是重要的，我們一定要抓住關鍵詞，關鍵信息，徹底弄懂其問題的本質，這是我們解決問題的關鍵所在。
2）新定義型問題一般與代數知識結合較多，多關注初中數學中以下幾個部分的代數知識﹕
（1）實數的運算→高中的虛數的運算、數列的求和、向量等知識。
（2）平面直角坐標系，反比例函數，一次函數，二次函數→冪函數或指數函數。
（3）一元一次方程、一元二次方程、分式方程→指數方程、三角方程等特殊方程。
（4）其他類型。
3）熟練掌握和運用數學的常用思想方法
我們在解決新定義型問題時，往往都是利用現有的知識結合一些重要的數學思想方法去解決新定義的問題，比如，我們用初中所學的實數的知識結合類比和轉化的數學思想方法來解決復數或者虛數的一些問題等等。所以一定要把未學的問題轉化成已學的數學問題，利用現有的知識和方法，結合轉化、類比等數學思想解決問題。
4）閱讀理解型問題解決這類問題的關鍵是要認真仔細地閱讀所給的材料，邊讀邊勾畫出重要的信息，弄清材料中隱含了什么新的數學知識、結論，或揭示了什么數學規律，或暗示了什么新的解題方法，然后展開聯想，將獲得的新信息、新知識、新方法進行遷移，建模應用，解決題目中提出的問題。所以這類題型并不是像其他題型一樣定點考察個別明確的知識點，而是通過材料的閱讀。分析匹配到相對應的基礎知識內容，結合題目當中所給的方法來進行解題。
5）解決閱讀理解型問題的基本思路是“閱讀一分析→理解→解決問題”，具體做法：
①認真閱讀材料，把握題意，注意一些數據、關鍵名詞；
②全面分析，理解材料所蘊含的基本概念、原理、思想和方法，提取有價值的數學信息；
③對有關信息進行歸納、整合，并且和方程、不等式、函數或幾何等數學模型結合來解答。
考向一　新定義-運算問題
例1．（2023年湖南婁底中考數學真題）從n個不同元素中取出個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號表示，（，n、m為正整數）；例如：，，則（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023年四川省廣安市中考數學真題）定義一種新運算：對于兩個非零實數，．若，則的值是 ．
例3．（2024·廣東中考模擬）定義一種新運算：，例如：，若，則（ ）
A．-2 B． C．2 D．
例4．（2021·湖南永州市·中考真題）定義：若，則，x稱為以10為底的N的對數，簡記為，其滿足運算法則：．例如：因為，所以，亦即；．根據上述定義和運算法則，計算的結果為（ ）
A．5 B．2 C．1 D．0
例5．（2023·湖南婁底·統考一模）規定：sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，sin(x+y)=sinx cosy+cosx siny．
據此判斷下列等式成立的是________寫出所有正確的序號
①；②sin；③sin2x=2sinx cosx；④sin(x-y)=sinx-siny．
考向二　新定義-概念（知識）問題
例1．（2021·貴州遵義·中考真題）數經歷了從自然數到有理數，到實數，再到復數的發展過程，數學中把形如a+bi（a，b為實數）的數叫做復數，用z＝a+bi表示，任何一個復數z＝a+bi在平面直角坐標系中都可以用有序數對Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示為Z（1，2），則z＝2﹣i可表示為（　　）
A．Z（2，0） B．Z（2，﹣1） C．Z（2，1） D．（﹣1，2）
例2．（2024·山西·模擬預測）在平面直角坐標系中，將橫縱坐標相等的點稱為“好點”，下列函數圖像中不存在“好點”的是（　　）
A． B． C． D．
例3．（2023·江蘇揚州·校聯考二模）定義：等腰三角形底邊與腰的比叫做頂角的正對（）．例如，在中，，頂角A的正對．當時，______．（結果保留根號）
例4．（2023·安徽合肥·統考二模）定義：對于一個函數，當自變量x取a時，函數y的值也等于a，則稱a是這個函數的不動值．已知二次函數．（1）若﹣2是此函數的不動值，則m的值為______；（2）若此函數有兩個不動值a、b，且，則m的取值范圍是______．
考向三　新定義-方法問題
例1．（2020·湖北隨州市·中考真題）將關于的一元二次方程變形為，就可以將表示為關于的一次多項式，從而達到“降次”的目的，又如…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數較高的代數式．根據“降次法”，已知：，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·江蘇常州·統考二模）在平面直角坐標系中，對任意兩點與的識別距離，給出如下定義：若，則點與的識別距離是；
若，則點與的識別距離是
(1)如圖1，已知點，點B是y軸上一個動點．①若點A與點B的識別距離為2，則點B的坐標是_____；②直接寫出點A與點B的識別距離的最小值是_____；
(2)如圖2，已知點，點D是一次函數圖象上一個動點．求點C與點D的識別距離的最小值及相應的點D的坐標；(3)如圖3，已知點，點T是一次函數圖象上的一個動點，以T為圓心，長為半徑作，設F是上任意一個動點，若點E與點F的“識別距離”L滿足，直接寫出點T的橫坐標的取值范圍．
例3．（2023·寧夏固原·統考一模）在平面直角坐標系中，點到直線的距離公式為：，例如，求點到直線的距離．解：由直線知：，，所以到直線的距離為：根據以上材料，解決下列問題：
(1)求點到直線的距離．(2)已知：是以點為圓心，1為半徑的圓，與直線相切，求實數的值；(3)如圖，設點為問題2中上的任意一點，點，為直線上的兩點，且，請求出面積的最大值和最小值．
例4．（2024·山東濟南·九年級統考期中）閱讀下面的材料：
如果函數y＝f（x）滿足：對于自變量x取值范圍內的任意x1，x2，
①若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），則稱f（x）是增函數；
②若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），則稱f（x）是減函數．
例題：證明函數f（x）＝x2（x＞0）是增函數．
證明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0．
則f（x1）﹣f（x2）＝x12﹣x22＝（x1+x2）（x1﹣x2）．
∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0．
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．
∴函數f（x）＝x2（x＞0）是增函數．
根據以上材料解答下列問題：
(1)函數f（x）（x＞0），f（1）1，f（2），f（3）＝　　，f（4）＝　　；
(2)猜想f（x）（x＞0）是 　　函數（填“增”或“減”），并證明你的猜想．
考向四　閱讀理解型問題
例1．（2023·重慶·校考模擬預測）閱讀材料：在處理分數和分式的問題時，有時由于分子大于分母，或分子的次數高于分母的次數，在實際運算時難度較大，這時，我們可將分數（分式）拆分成一個整數（整式）與一個真分數（真分式）的和（差）的形式，通過對它的簡單分析來解決問題，我們稱這種方法為分離常數法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效．將分式分離常數可類比假分數變形帶分數的方法進行．如：a﹣1，這樣，分式就拆分成一個分式與一個整式a﹣1的和的形式，下列說法正確的有（ ）個．
①若x為整數，為負整數，則x＝﹣3；②69；③若分式拆分成一個整式與一個真分式（分子為整數）的和（差）的形式為：5m﹣11（整式部分對應等于5m﹣11，真分式部分對應等于），則m2+n2+mn的最小值為27．
A．0 B．1 C．2 D．3
例2．（2023·湖北十堰·統考一模）閱讀理解：在正方形網格中，格線與格線的交點稱為“格點”，各頂點都在格點上的多邊形稱為“格點多邊形”．設小正方形的邊長均為1，則“格點多邊形”的面積可用公式計算，其中是多邊形內部的“格點”數，是多邊形邊界上的“格點”數，這個公式稱為“皮克定理”．如圖所示的的正方形網格，
，，圖中格點多邊形的面積是21．
問題解決：已知一個格點多邊形的面積為19，且邊界上的點數是內部點數的3倍，則______．
例3．（2023·江蘇·九年級專題練習）請閱讀下列材料，并完成相應的任務．
梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀時的希臘數學家兼天文學家，著有幾何學和三角學方面的許多書籍．梅涅勞斯發現，三角形各邊（或其延長線）被一條不過任何一個頂點也不與任何一條邊平行的直線所截，這條直線可能與三角形的兩條邊相交（一定還會與一條邊的延長線相交），也可能與三條邊都不相交（與三條邊的延長線都相交）．他進行了深入研究并證明了著名的梅涅勞斯定理（簡稱梅氏定理）：
設，，依次是的三邊，，或其延長線上的點，且這三點共線，則滿足．
這個定理的證明步驟如下：情況①：如圖1，直線交的邊于點，交邊于點，交邊的延長線與點．過點作交于點，則，（依據），
∴，∴，即．
情況②：如圖2，直線分別交的邊，，的延長線于點，，．…
(1)情況①中的依據指：　　；(2)請你根據情況①的證明思路完成情況②的證明；
(3)如圖3，，分別是的邊，上的點，且，連接并延長，交的延長線于點，那么　　
例4．（2023·湖北鄂州·統考三模）閱讀與應用：同學們，你們已經知道()2，即2b2所以2b2當且僅當時取等號．
閱讀：若、為實數，且，，，，當且僅當時取等號．
閱讀：若函數為常數由閱讀結論可知：，即當即，時，函數的最小值為．
閱讀理解上述內容，解答下列問題：
問題：已知一個矩形的面積為，其中一邊長為，則另一邊長為，周長為，當______時，矩形周長的最小值為______．
問題：若函數，則______時，函數的最小值為______．
問題3：建造一個容積為立方米，深米的長方體無蓋水池，池底和池壁的造價分別為每平方米元和元，設池長為米，水池總造價為元，求當為多少時，水池總造價最低？最低是多少？
例5．（2023·山東濟寧·統考一模）【閱讀材料】數列是一個古老的數學課題，我國對數列概念的認識很早，例如《易傳·系辭》：“河出圖，洛出書，圣人則之；兩儀生四象，四象生八卦”．這是世界數學史上有關等比數列的最早文字記載．
【等比數列】按照一定順序排列著的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．排在第一位的數稱為第一項，記為，排在第二位的數稱為第二項，記為，依此類推，排在第位的數稱為第項，記為．所以，數列的一般形式可以寫成：，，，…，，…．
一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的比值等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用表示．如：數列1，2，4，8，…為等比數列，其中，，公比為．
根據以上材料，解答下列問題：(1)等比數列3，9，27，…的公比為______，第5項是______．
【公式推導】如果一個數列，，，…，…，是等比數列，且公比為，那么根據定義可得到：，，，…，．
所以，
，
，
…
(2)由此，請你填空完成等比數列的通項公式：______．
【拓廣探究】等比數列求和公式并不復雜，但是其推導過程——錯位相減法，構思精巧、形式奇特．歐幾里得在《幾何原本》中就給出了等比數列前項和公式，而錯位相減法則直到1822年才由歐拉在《代數學基礎》中給出，時間相差兩千多年．下面是小明為了計算的值，采用的方法：
設①，
則②，
②-①得，
∴．
(3)請仿照小明的方法求的值．
一、選擇題
1．（2023·湖南永州·統考二模）定義運算：把縮寫為n！，n！叫做n的階乘，如3！，4！．請你化簡1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n，得（ ）
A．（n＋1）！－1 B．n！－1 C．（n＋1）！ D．（n＋1）！＋1
2．（2023年四川省內江市中考數學真題）對于正數x，規定，例如：，，，，計算：（　　）
A．199 B．200 C．201 D．202
3．（2023·湖北黃岡·校考模擬預測）規定[x]表示不超過x的最大整數，例如[3.6]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，則下列結論：①[﹣x]＝﹣[x]；②若[x]＝n，則x的取值范圍是n≤x＜n＋1；
③當﹣1＜x＜1時，[1＋x]＋[1﹣x]的值為1或2，其中正確的結論有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
4．（2023·山東濟南·統考二模）定義：平面直角坐標系中，點的橫坐標的絕對值表示為，縱坐標的絕對值表示為，我們把點的橫坐標與縱坐標的絕對值之和叫做點的折線距離，記為（其中的“＋”是四則運算中的加法），若拋物線與直線只有一個交點，已知點在第一象限，且，令，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·廣西賀州·統考一模）在數的學習過程中，我們總會對其中一些具有某種特性的數充滿好奇，如學習自然數時，我們發現一種特殊的自然數——“好數”．定義：對于三位自然數n，各位數字都不為0，且百位數字與十位數字之和恰好能被個位數字整除，則稱這個自然數n為“好數”．例如：426是“好數”，因為4，2，6都不為0，且，6能被6整除；643不是“好數”，因為，10不能被3整除．則百位數字比十位數字大5的所有“好數”的個數是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
6．（2023·江蘇蘇州·統考一模）閱讀材料：一般地，當為任意角時，與的值可以用下面的公式求得：：根據以上材料，解決下列問題：如圖，在中，AB是直徑，，點C、D在圓上，點C在半圓弧的中點處，AD是半圓弧的，則CD的長為（ ）
A． B． C． D．1
二、填空題
7．（2023年湖南省懷化市中考數學真題）定義新運算：，其中，，，為實數．例如：．如果，那么 ．
8．（2023·河北·二模）宋朝時，中國象棋就已經風靡于全國，中國象棋規定馬步為：“、”字，現定義：在棋盤上從點A到點B，馬走的最少步稱為A與B的“馬步距離”， 記作．在圖中畫出了中國象棋的一部分，上面標有A，B，C，D，E共5個點，則在，，，中最大值是_________，最小值是_____________．
9．（2023·山東臨沂·統考一模）我們規定：若，，則．例如，，則．已知，，且，則的最大值是______．
10．（2023年四川省成都市數學中考真題）定義：如果一個正整數能表示為兩個正整數，的平方差，且，則稱這個正整數為“智慧優數”．例如，，16就是一個智慧優數，可以利用進行研究．若將智慧優數從小到大排列，則第3個智慧優數是 ；第23個智慧優數是 ．
11．（2023年重慶市中考數學真題（B卷））對于一個四位自然數M，若它的千位數字比個位數字多6，百位數字比十位數字多2，則稱M為“天真數”．如：四位數7311，∵，，∴7311是“天真數”；四位數8421，∵，∴8421不是“天真數”，則最小的“天真數”為 ；一個“天真數”M的千位數字為a，百位數字為b，十位數字為c，個位數字為d，記，，若能被10整除，則滿足條件的M的最大值為 ．
12．（2023·四川成都·石室中學校考一模）我們不妨約定：在平面直角坐標系中，若某函數圖象上至少存在不同的兩點關于直線x＝n（n為常數）對稱，則把該函數稱之為“X（n）函數“．
（1）在下列關于x的函數中，是“X（n）函數”的是_____（填序號）；
①；②y＝|4x|；③y＝x2﹣2x﹣5．
（2）若關于x的函數y＝|x﹣h|（h為常數）是“X（3）函數”，與（m為常數，m＞0）相交于A(xA，yA)、B(xB，yB)兩點，A在B的左邊，xB﹣xA＝5，則m＝_____．
13．（2023·湖南婁底·統考一模）已知，（其中和都表示角度），比如求，可利用公式得，又如求，可利用公式得，請你結合材料，若（為銳角），則的度數是__________．
14．（2024·湖南中考模擬預測）閱讀理解：對于x3﹣（n2+1）x+n這類特殊的代數式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解運用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解決問題：求方程x3﹣5x+2＝0的解為_____．
15．（2024·四川巴中·中考模擬預測）y與x之間的函數關系可記為y＝f（x）．例如：函數y＝x2可記為f（x）＝x2．若對于自變量取值范圍內的任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），則f（x）是偶函數；若對于自變量取值范圍內的任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），則f（x）是奇函數．例如：f（x）＝x2是偶函數，f（x）是奇函數．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函數，則實數a＝__________．
三、解答題
16．（2023·內蒙古赤峰·中考模擬預測）閱讀下列材料
定義運算：，當時，；當時，．
例如：；．
完成下列任務 (1)① _________；②_________
(2)如圖，已知反比例函數和一次函數的圖像交于、兩點．
當時，．求這兩個函數的解析式．
17．（2023·湖南·中考模擬）閱讀下列材料：
在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．
證明：如圖1，過點作于點，則：在中， CD=asinB
在中，
根據上面的材料解決下列問題：
(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；
(2)為了辦好湖南省首屆旅游發展大會，張家界市積極優化旅游環境．如圖3，規劃中的一片三角形區域需美化，已知，，米，求這片區域的面積．（結果保留根號．參考數據：，
18．（2023·江蘇揚州·校考二模）對某一個函數給出如下定義：如果存在實數M，對于任意的函數值y，都滿足，那么稱這個函數是有上界函數．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數的上確界．例如，函數是有上界函數，其上確界是2．
(1)函數①和②（）中是有上界函數的為______（只填序號即可），其上確界為______；(2)若反比例函數（，）的上確界是，且該函數的最小值為2，求a、b的值；(3)如果函數是以6為上確界的有上界函數，求實數a的值．
19．（2024·江蘇·一模）閱讀材料并解答下列問題：如圖1，把平面內一條數軸繞原點逆時針旋轉得到另一條數軸軸和軸構成一個平面斜坐標系．規定：過點作軸的平行線，交軸于點，過點作軸的平行線，交軸于點，若點在軸對應的實數為，點在軸對應的實數為，則稱有序實數對為點在平面斜坐標系中的斜坐標．如圖2，在平面斜坐標系中，點的斜坐標是，點的斜坐標是，連接．
（1）線段的長=______；（2）在平面斜坐標系第一象限（類比于平面直角坐標系，正半軸與正半軸所夾區域）內，有一點，使為等腰直角三角形，求點的斜坐標．
20．（2023·江蘇連云港·校考三模）【閱讀理解】設點P在矩形ABCD內部，當點P到矩形的一條邊的兩個端點距離相等時，稱點P為該邊的“和諧點”．例如：如圖1，矩形ABCD中，若PA=PD，則稱P為邊AD的“和諧點”．
【解題運用】已知，點P在矩形ABCD內部，且AB=10，BC=8．
(1)設P是邊AD的“和諧點”，則P 邊BC的“和諧點”（填“是”或“不是”）；連接PC，S四邊APCB=4S△APD，求PA的值．(2)若P是邊BC的“和諧點”，連接PA，PB，當∠APB=90°時，求PA的值；(3)如圖2，若P是邊AD的“和諧點”，連接PA；PB，PD，求的最大值．
21．（2024·湖北中考模擬）若一個兩位數十位、個位上的數字分別為，我們可將這個兩位數記為，易知；同理，一個三位數、四位數等均可以用此記法，如．
（基礎訓練）（1）解方程填空：①若，則______；
②若，則______；③若，則______；
（能力提升）（2）交換任意一個兩位數的個位數字與十位數字，可得到一個新數，則一定能被______整除，一定能被______整除，+++6一定能被______整除；（請從大于5的整數中選擇合適的數填空）
（探索發現）（3）北京時間2019年4月10日21時，人類拍攝的首張黑洞照片問世，黑洞是一種引力極大的天體，連光都逃脫不了它的束縛．數學中也存在有趣的黑洞現象：任選一個三位數，要求個、十、百位的數字各不相同，把這個三位數的三個數字按大小重新排列，得出一個最大的數和一個最小的數，用得出的最大的數減去最小的數得到一個新數（例如若選的數為325，則用532-235=297），再將這個新數按上述方式重新排列，再相減，像這樣運算若干次后一定會得到同一個重復出現的數，這個數稱為“卡普雷卡爾黑洞數”．①該“卡普雷卡爾黑洞數”為______；
②設任選的三位數為（不妨設），試說明其均可產生該黑洞數．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
8.2新定義問題與閱讀理解型問題（材料）
新定義與材料理解型問題是中考數學的熱點問題。新定義一般考查初中數學中沒有學過的一些新概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結合已有知識進行理解，而后根據新定義進行運算、推理、遷移的一種題型。一般有三種類型問題：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接＂新知識＂；（3）定義新概念。這類試題考查考生對＂新定義＂的理解和認識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將＂新定義＂的知識與已學知識聯系起來，利用已有的知識經驗來解決問題。
閱讀理解型問題主要以熟悉的生活環境，現實中的數量關系、情景對話幾何素材等為背景，從數學的角度，用數學的眼光將現實生活中的實際問題轉化為數學模型。讓學生在變化的情境中解題。在這一過程中感受數學在真實情境中的應用，彰顯數學的應用價值和育人價值。
1）讀懂題目，搜集信息，理解本質﹕
要想做好這類新定義型問題，關鍵在于讀懂題目中所給新定義的信息，真正理解新概念的本質。題目中可能會給出很多信息，有些是無關緊要的，有些是重要的，我們一定要抓住關鍵詞，關鍵信息，徹底弄懂其問題的本質，這是我們解決問題的關鍵所在。
2）新定義型問題一般與代數知識結合較多，多關注初中數學中以下幾個部分的代數知識﹕
（1）實數的運算→高中的虛數的運算、數列的求和、向量等知識。
（2）平面直角坐標系，反比例函數，一次函數，二次函數→冪函數或指數函數。
（3）一元一次方程、一元二次方程、分式方程→指數方程、三角方程等特殊方程。
（4）其他類型。
3）熟練掌握和運用數學的常用思想方法
我們在解決新定義型問題時，往往都是利用現有的知識結合一些重要的數學思想方法去解決新定義的問題，比如，我們用初中所學的實數的知識結合類比和轉化的數學思想方法來解決復數或者虛數的一些問題等等。所以一定要把未學的問題轉化成已學的數學問題，利用現有的知識和方法，結合轉化、類比等數學思想解決問題。
4）閱讀理解型問題解決這類問題的關鍵是要認真仔細地閱讀所給的材料，邊讀邊勾畫出重要的信息，弄清材料中隱含了什么新的數學知識、結論，或揭示了什么數學規律，或暗示了什么新的解題方法，然后展開聯想，將獲得的新信息、新知識、新方法進行遷移，建模應用，解決題目中提出的問題。所以這類題型并不是像其他題型一樣定點考察個別明確的知識點，而是通過材料的閱讀。分析匹配到相對應的基礎知識內容，結合題目當中所給的方法來進行解題。
5）解決閱讀理解型問題的基本思路是“閱讀一分析→理解→解決問題”，具體做法：
①認真閱讀材料，把握題意，注意一些數據、關鍵名詞；
②全面分析，理解材料所蘊含的基本概念、原理、思想和方法，提取有價值的數學信息；
③對有關信息進行歸納、整合，并且和方程、不等式、函數或幾何等數學模型結合來解答。
考向一　新定義-運算問題
例1．（2023年湖南婁底中考數學真題）從n個不同元素中取出個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號表示，（，n、m為正整數）；例如：，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據新定義分別進行計算比較即可得解．
【詳解】解：∵，∴，
A選項，，B選項，，
C選項，，D選項，，故選C．
【點睛】本題考查了新定義運算以及求代數式的值．正確理解新定義是解題的關鍵．
例2．（2023年四川省廣安市中考數學真題）定義一種新運算：對于兩個非零實數，．若，則的值是 ．
【答案】
【分析】先根據可得一個關于的等式，再根據新運算的定義代入計算即可得．
【詳解】解：，
，即，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了新定義下的實數運算、代數式求值，理解新運算的定義是解題關鍵．
例3．（2024·廣東中考模擬）定義一種新運算：，例如：，若，則（ ）
A．-2 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根據新定義運算得到一個分式方程，求解即可.
【詳解】根據題意得，，則，
經檢驗，是方程的解，故選B.
【點睛】此題考查了解分式方程，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．
例4．（2021·湖南永州市·中考真題）定義：若，則，x稱為以10為底的N的對數，簡記為，其滿足運算法則：．例如：因為，所以，亦即；．根據上述定義和運算法則，計算的結果為（ ）
A．5 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】根據新運算的定義和法則進行計算即可得．
【詳解】解：原式，故選：C．
【點睛】本題考查了新定義下的實數運算，掌握理解新運算的定義和法則是解題關鍵．
例5．（2023·湖南婁底·統考一模）規定：sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，sin(x+y)=sinx cosy+cosx siny．
據此判斷下列等式成立的是________寫出所有正確的序號
①；②sin；③sin2x=2sinx cosx；④sin(x-y)=sinx-siny．
【答案】②③
【分析】利用題中的規定判斷即可．
【詳解】解：①cos（ 60°）＝cos60°＝，原等式不成立；
②sin75°＝sin（45°＋30°）＝sin45°·cos30°＋cos45°·sin30°＝ ，原等式成立；
③sin2x＝sin（x＋x）＝sinx·cosx＋cosx·sinx＝2sinx cosx，原等式成立；
④sin（x y）＝sin[x+（ y）]＝sinx cos( y) ＋cosx sin( y)＝sinx cosy cosx siny，原等式不成立．
故答案為：②③．
【點睛】此題考查了三角函數，弄清題中的規定是解本題的關鍵．
考向二　新定義-概念（知識）問題
例1．（2021·貴州遵義·中考真題）數經歷了從自然數到有理數，到實數，再到復數的發展過程，數學中把形如a+bi（a，b為實數）的數叫做復數，用z＝a+bi表示，任何一個復數z＝a+bi在平面直角坐標系中都可以用有序數對Z（a，b）表示，如：z＝1+2i表示為Z（1，2），則z＝2﹣i可表示為（　　）
A．Z（2，0） B．Z（2，﹣1） C．Z（2，1） D．（﹣1，2）
【答案】B
【分析】根據題中的新定義解答即可．
【詳解】解：由題意，得z＝2 i可表示為Z（2， 1）．故選：B．
【點睛】本題考查了點的坐標，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．
例2．（2024·山西·模擬預測）在平面直角坐標系中，將橫縱坐標相等的點稱為“好點”，下列函數圖像中不存在“好點”的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據“好點”的概念：當x=y時，對應的方程有解進行判斷即可．
【詳解】解：A、當x=y=0時，滿足y=2x，（0，0）為“好點”，該選項不符合題意；
B、不存在橫縱坐標相等的“好點”，該選項符合題意；
C、當x=y=1或x=y=﹣1時，滿足，（1，1）和（﹣1，﹣1）是“好點”，該選項不符合題意；
D、當x=y=0或x=y=2時，滿足，（0，0）和（2，2）為“好點”，不符合題意，故選：B．
【點睛】本題考查一次函數圖象上點的坐標特征、二次函數圖象上點的坐標特征、反比例函數圖象上點的坐標特征，解答的關鍵是熟悉每個函數的圖象與性質．
例3．（2023·江蘇揚州·校聯考二模）定義：等腰三角形底邊與腰的比叫做頂角的正對（）．例如，在中，，頂角A的正對．當時，______．（結果保留根號）
【答案】
【分析】過點B作BD平分∠ABC交AC于D，設BC=x，AB=y；由三角形內角和定理及等腰三角形的判定和性質求得DA=DB=BC=x，則CD= y-x；由△BCD∽△ACB求得；令t=，解關于t的方程即可解答；
【詳解】解：由題意作圖如下：過點B作BD平分∠ABC交AC于D，
設BC=x，AB=y，△ABC中：∠A=36°，AB=AC，則∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，
BD平分∠ABC，則∠CBD=∠DBA=∠ABC=36°，△BCD中：∠BDC=180°-∠CBD-∠DCB=72°=∠BCD，
∴BC=BD=x，∴△DAB中：∠DAB=∠DBA=36°，∴DA=DB=x，
∴CD=AC-AD=y-x，△BCD和△ACB中：∠CBD=∠CAB，∠BCD=∠ACB，
∴△BCD∽△ACB，∴，∴，令t=，則，解得：t=，
經檢驗t=符合題意；∴，故答案為：；
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解一元二次方程等知識；正確作出輔助線是解題關鍵．
例4．（2023·安徽合肥·統考二模）定義：對于一個函數，當自變量x取a時，函數y的值也等于a，則稱a是這個函數的不動值．已知二次函數．（1）若﹣2是此函數的不動值，則m的值為______；（2）若此函數有兩個不動值a、b，且，則m的取值范圍是______．
【答案】
【分析】（1）由函數的不動點概念得出，解得即可；（2）由函數的不動點概念得出a、b是方程的兩個實數根，由知Δ＞0，列出關于的不等式，解之可得．
【詳解】解：（1）由定義得，，故答案為：；
（2）∵函數有兩個不動值a、b，且，
∴a、b是方程的兩根，即是方程兩根，∴，，
由得，，整理得，，
即，所以．故答案為：．
【點睛】本題主要考查二次函數的新定義，解題的關鍵是理解并掌握不動點的概念，掌握二次函數與方程的關系，并據此得出關于m的不等式．
考向三　新定義-方法問題
例1．（2020·湖北隨州市·中考真題）將關于的一元二次方程變形為，就可以將表示為關于的一次多項式，從而達到“降次”的目的，又如…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數較高的代數式．根據“降次法”，已知：，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得，代入即可得出答案．
【詳解】∵，∴，，
∴=====，
∵，且，∴，∴原式=，故選：C．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解，解題的關鍵是會將四次先降為二次，再將二次降為一次．
例2．（2023·江蘇常州·統考二模）在平面直角坐標系中，對任意兩點與的識別距離，給出如下定義：若，則點與的識別距離是；
若，則點與的識別距離是
(1)如圖1，已知點，點B是y軸上一個動點．①若點A與點B的識別距離為2，則點B的坐標是_____；②直接寫出點A與點B的識別距離的最小值是_____；
(2)如圖2，已知點，點D是一次函數圖象上一個動點．求點C與點D的識別距離的最小值及相應的點D的坐標；(3)如圖3，已知點，點T是一次函數圖象上的一個動點，以T為圓心，長為半徑作，設F是上任意一個動點，若點E與點F的“識別距離”L滿足，直接寫出點T的橫坐標的取值范圍．
【答案】(1)①或；②1 (2)， (3)或
【分析】（1）根據識別距離的定義，直接求解即可；（2）過點C平行于x軸直線，與過點D平行于y軸的直線交于H， 根據定義可知，當取點C與點D的“識別距離”的最小值時，則=，即CH=DH，然后求解即可；（3）因為點E與點F的“識別距離”L滿足，滿足條件的F位于一、三象限．當F在第三象限時，⊙T位于直線x=-4和直線x=-8之間， L=，可求；當F在第一象限時，⊙T位于直線y=6和直線y=10之間，L=，，進而可求．
（1）解：設B的坐標為（0，y），根據識別距離的概念，可知，
∵ ，∴ ，解得y=2，或y=-2，
∴B的坐標為或，故答案為或；
②∵，∴A與B的最小識別距離為1，故答案為1．
（2）解：如圖，過點C平行于x軸直線，與過點D平行于y軸的直線交于H，
根據定義“若，則點與的識別距離是”， 當取點C與點D的“識別距離”的最小值時，則=，即CH=DH，
設D（x，），則-x=-1，解得，，∴．
∴此時點C與點D的“識別距離”的最小值是．
（3）解：∵點E與點F的“識別距離”L滿足，∴滿足條件的F位于一、三象限，
當F在第三象限時，⊙T位于直線x=-4和直線x=-8之間，如圖3（1），
此時，所以L=，∴，∴；
當F在第一象限時，⊙T位于切線直線y=6和直線y=10之間，如圖3（2），
此時，所以L=，∴，即
當L=4或L=8時，直線y=6和y=10均為切線，
∵直線PT為y=x+4，∴、均為等腰直角三角形，
∴ ∴；
綜上所述，T的橫坐標的取值范圍為：或．
【點睛】本題考查了自定義問題，涉及絕對值的意義，點的坐標特征，圓的切線的性質，解題的關鍵是準確理解題意，正確畫出圖形，分類討論．
例3．（2023·寧夏固原·統考一模）在平面直角坐標系中，點到直線的距離公式為：，例如，求點到直線的距離．解：由直線知：，，所以到直線的距離為：根據以上材料，解決下列問題：
(1)求點到直線的距離．(2)已知：是以點為圓心，1為半徑的圓，與直線相切，求實數的值；(3)如圖，設點為問題2中上的任意一點，點，為直線上的兩點，且，請求出面積的最大值和最小值．
【答案】(1)；(2)；(3)面積最大為4，最小為2
【分析】（1）直接利用距離公式代入計算即可得到答案；
（2）把直線整理，得，利用公式列方程求解即可；
（3）先求圓心到直線的距離，判斷出P到AB的最大距離與最短距離可得答案．
(1)解：3x-4y-5=0，其中A=3,B=-4，C=-5，
，，，∴距離為；
(2)直線整理，得，故，，．
∵與直線相切，∴點到直線的距離等于半徑，
即，整理得，解得或；
(3)如解圖，過點作于點．
∵在中，，，，
∴圓心到直線的距離，
∴上的點到直線的最大距離為，最小距離為，
∴的最大值為，最小值為．
【點睛】本題考查一次函數綜合題，點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是理解題意，學會把直線的解析式轉化為Ax+By+C=0的形式，學會構建方程解決問題，掌握圓上的點到直線的距離的最大值以及最小值．
例4．（2024·山東濟南·九年級統考期中）閱讀下面的材料：
如果函數y＝f（x）滿足：對于自變量x取值范圍內的任意x1，x2，
①若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），則稱f（x）是增函數；
②若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），則稱f（x）是減函數．
例題：證明函數f（x）＝x2（x＞0）是增函數．
證明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0．
則f（x1）﹣f（x2）＝x12﹣x22＝（x1+x2）（x1﹣x2）．
∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0．
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．
∴函數f（x）＝x2（x＞0）是增函數．
根據以上材料解答下列問題：
(1)函數f（x）（x＞0），f（1）1，f（2），f（3）＝　　，f（4）＝　　；
(2)猜想f（x）（x＞0）是 　　函數（填“增”或“減”），并證明你的猜想．
【答案】(1)，；(2)減，見解析
【分析】（1）根據題目中函數解析式可以解答本題；（2）根據題目中例子的證明方法可以證明猜想成立．
【詳解】（1）將x=3，x=4分別代入，得，，故答案為，；
（2）猜想：是減函數，
證明：任取x1＜x2，x1＞0，x2＞0，則，
∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，∴，即，
∴函數是減函數，故答案為：減．
【點睛】本題考查反比例函數圖象上的坐標特征、反比例函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用反比例函數的性質解答．
考向四　閱讀理解型問題
例1．（2023·重慶·校考模擬預測）閱讀材料：在處理分數和分式的問題時，有時由于分子大于分母，或分子的次數高于分母的次數，在實際運算時難度較大，這時，我們可將分數（分式）拆分成一個整數（整式）與一個真分數（真分式）的和（差）的形式，通過對它的簡單分析來解決問題，我們稱這種方法為分離常數法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效．將分式分離常數可類比假分數變形帶分數的方法進行．如：a﹣1，這樣，分式就拆分成一個分式與一個整式a﹣1的和的形式，下列說法正確的有（ ）個．
①若x為整數，為負整數，則x＝﹣3；②69；③若分式拆分成一個整式與一個真分式（分子為整數）的和（差）的形式為：5m﹣11（整式部分對應等于5m﹣11，真分式部分對應等于），則m2+n2+mn的最小值為27．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】利用題干中的方法將分式拆分成一個整式與一個真分式的和（差）的形式，利用整數或整式的性質對每個結論進行判斷即可．
【詳解】解：∵為負整數，為負整數， 故①的結論正確；
∵，又，∴，且有最小值2，
∴有最大值3，∴，∴②的結論正確；
∵，
∴m＝x＋2，n 6＝ （x＋2），∴m＝x＋2，n＝4 x．
∴m2＋n2＋mn＝(m＋n)2 mn＝36 （ x2＋2x＋8）＝x2 2x＋28＝(x 1)2＋27，
∵(x 1)2≥0，∴m2＋n2＋mn有最小值為27，∴③的結論正確，故選：D．
【點睛】本題主要考查了分式的加減法，整式的加減法，本題是閱讀型題目，理解并熟練應用題干中的方法是解題的關鍵．
例2．（2023·湖北十堰·統考一模）閱讀理解：在正方形網格中，格線與格線的交點稱為“格點”，各頂點都在格點上的多邊形稱為“格點多邊形”．設小正方形的邊長均為1，則“格點多邊形”的面積可用公式計算，其中是多邊形內部的“格點”數，是多邊形邊界上的“格點”數，這個公式稱為“皮克定理”．如圖所示的的正方形網格，
，，圖中格點多邊形的面積是21．
問題解決：已知一個格點多邊形的面積為19，且邊界上的點數是內部點數的3倍，則______．
【答案】32
【分析】根據題意建立二元一次方程組，解方程組即可求解．
【詳解】解：根據題意可得，解得，．故答案為：32．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，根據題意建立方程組是解題的關鍵．
例3．（2023·江蘇·九年級專題練習）請閱讀下列材料，并完成相應的任務．
梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀時的希臘數學家兼天文學家，著有幾何學和三角學方面的許多書籍．梅涅勞斯發現，三角形各邊（或其延長線）被一條不過任何一個頂點也不與任何一條邊平行的直線所截，這條直線可能與三角形的兩條邊相交（一定還會與一條邊的延長線相交），也可能與三條邊都不相交（與三條邊的延長線都相交）．他進行了深入研究并證明了著名的梅涅勞斯定理（簡稱梅氏定理）：
設，，依次是的三邊，，或其延長線上的點，且這三點共線，則滿足．
這個定理的證明步驟如下：情況①：如圖1，直線交的邊于點，交邊于點，交邊的延長線與點．過點作交于點，則，（依據），
∴，∴，即．
情況②：如圖2，直線分別交的邊，，的延長線于點，，．…
(1)情況①中的依據指：　　；(2)請你根據情況①的證明思路完成情況②的證明；
(3)如圖3，，分別是的邊，上的點，且，連接并延長，交的延長線于點，那么　　
【答案】(1)兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例 (2)證明過程見詳解 (3)
【分析】（1）根據平行線分線段成比例定理解決問題即可；
（2）如圖2中，作交于，模仿情況①的方法解決問題即可；
（3）利用梅氏定理即可解決問題．
【詳解】（1）解：情況①中的依據是：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．
故答案為：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．
（2）證明：如圖2中，作交于，
則有，∴，
∴，則，變形得，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．
（3）解：∵，，
∴，∴．故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
例4．（2023·湖北鄂州·統考三模）閱讀與應用：同學們，你們已經知道()2，即2b2所以2b2當且僅當時取等號．
閱讀：若、為實數，且，，，，當且僅當時取等號．
閱讀：若函數為常數由閱讀結論可知：，即當即，時，函數的最小值為．
閱讀理解上述內容，解答下列問題：
問題：已知一個矩形的面積為，其中一邊長為，則另一邊長為，周長為，當______時，矩形周長的最小值為______．
問題：若函數，則______時，函數的最小值為______．
問題3：建造一個容積為立方米，深米的長方體無蓋水池，池底和池壁的造價分別為每平方米元和元，設池長為米，水池總造價為元，求當為多少時，水池總造價最低？最低是多少？
【答案】問題1：2，8；問題2：4，7；問題3：當時，水池總造價最低，最低為元．
【分析】問題1：根據矩形的性質和閱讀材料內容進行計算即可求解；
問題2：先將代數式變形，再根據閱讀內容即可求解；
問題3：根據立方體的體積公式和已知條件表示出長方體的寬，運用閱讀內容即可求解．
【詳解】解：問題1：∵，∴，
∴當即（不合題意舍去），時，函數有最小值；
當2，矩形周長的最小值為8；故答案為：2，8；
問題：∵，∴，
∴由閱讀2結論可知，，即，
∴當即，∴，（不合題意舍去），
∴當時，函數的最小值為7；故答案為：4，7；
問題3：∵根據題意得長方體的寬為米，
∴，
∵，∴當，即（不合題意舍去），時，函數的最小值為，∴當時，水池總造價最低，最低為元．
答：當時，水池總造價最低，最低為元．
【點睛】此題主要考查反比例函數，函數最值的確定方法，涉及到的知識點有二次根式、矩形的周長、立方體的體積等，讀懂材料是解本題的關鍵，難點是理解和運用材料得到的結論解決問題．
例5．（2023·山東濟寧·統考一模）【閱讀材料】數列是一個古老的數學課題，我國對數列概念的認識很早，例如《易傳·系辭》：“河出圖，洛出書，圣人則之；兩儀生四象，四象生八卦”．這是世界數學史上有關等比數列的最早文字記載．
【等比數列】按照一定順序排列著的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．排在第一位的數稱為第一項，記為，排在第二位的數稱為第二項，記為，依此類推，排在第位的數稱為第項，記為．所以，數列的一般形式可以寫成：，，，…，，…．
一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的比值等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用表示．如：數列1，2，4，8，…為等比數列，其中，，公比為．
根據以上材料，解答下列問題：(1)等比數列3，9，27，…的公比為______，第5項是______．
【公式推導】如果一個數列，，，…，…，是等比數列，且公比為，那么根據定義可得到：，，，…，．
所以，
，
，
…
(2)由此，請你填空完成等比數列的通項公式：______．
【拓廣探究】等比數列求和公式并不復雜，但是其推導過程——錯位相減法，構思精巧、形式奇特．歐幾里得在《幾何原本》中就給出了等比數列前項和公式，而錯位相減法則直到1822年才由歐拉在《代數學基礎》中給出，時間相差兩千多年．下面是小明為了計算的值，采用的方法：
設①，
則②，
②-①得，
∴．
(3)請仿照小明的方法求的值．
【答案】(1)3，243；(2)qn-1；(3)
【分析】（1）根據等比數列的公比的定義求解即可；（2）探究規律利用規律解決問題；
（3）設S=25+252+253+…+25n，則25S=252+253+…+25n+1，兩式相減即可求得．
(1)等比數列3，9，27，…的公比q為3，
第四項為27×3=81，第五項為81×3=243，故答案為：3，243；
(2)如果一個數列a1，a2，a3，…，an…，是等比數列，且公比為q，那么根據定義可得到：=q，=q，=q，…，=q．所以a2=a1 q，
a3=a2 q=a1q q=a1 q2，a4=a3 q=a1 q2=a1 q3，…an=a1.qn-1．故答案為：qn-1；
(3)設S=25+252+253+…+25n，
∴25S=252+253+…+25n+1，
∴25S-S=25n+1-25，
∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了新定義及其運算，等比數列等知識，解題的關鍵是理解題意，利用類比思想解決問題．
一、選擇題
1．（2023·湖南永州·統考二模）定義運算：把縮寫為n！，n！叫做n的階乘，如3！，4！．請你化簡1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n，得（ ）
A．（n＋1）！－1 B．n！－1 C．（n＋1）！ D．（n＋1）！＋1
【答案】A
【分析】利用乘法分配律計算求值即可；
【詳解】解：1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n=1！×1＋2！×（3-1）＋3！×（4-1）＋…＋n！×（n+1-1）
=1！＋3！-2！＋4！-3！＋…＋（n+1）！-n！=1！ -2！＋（n+1）！=（n＋1）！－1故選： A．
【點睛】本題考查了數字規律的探索，利用乘法分配律變形求值是解題關鍵．
2．（2023年四川省內江市中考數學真題）對于正數x，規定，例如：，，，，計算：（　　）
A．199 B．200 C．201 D．202
【答案】C
【分析】通過計算，可以推出結果．
【詳解】解：
…
，，，
故選：C．
【點睛】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則，找到數字變化規律是解本題的關鍵．
3．（2023·湖北黃岡·校考模擬預測）規定[x]表示不超過x的最大整數，例如[3.6]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，則下列結論：①[﹣x]＝﹣[x]；②若[x]＝n，則x的取值范圍是n≤x＜n＋1；
③當﹣1＜x＜1時，[1＋x]＋[1﹣x]的值為1或2，其中正確的結論有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【分析】首先分析題意取x=0.5，再分別求出[﹣x]，﹣[x]得出答案判斷①；再根據題意，得[x]≤x＜[x]+1，再令[x]＝n可判斷②；先根據②判斷[1+x]+[1﹣x]≤2，再分﹣1＜x＜0， 0＜x＜1， x＝0，三種情況討論得出答案即可判斷③.
【詳解】解：取x＝0.5，則[﹣x]＝[﹣0.5]＝﹣1，﹣[x]＝﹣[0.5]＝0，∴[﹣x]≠﹣[x]，∴①錯誤；
由題意，得[x]≤x＜[x]+1，當[x]＝n時，有n≤x＜n+1，∴②正確；
由[x]≤x可得[1+x]+[1﹣x]≤1+x+1﹣x＝2，若﹣1＜x＜0，則[1+x]＝0，[1﹣x]＝1，有[1+x]+[1﹣x]＝1；
若0＜x＜1，則[1+x]＝1，[1﹣x]＝0，有[1+x]+[1﹣x]＝1；
若x＝0，則[1+x]＝[1﹣x]＝1，有[1+x]+[1﹣x]＝2.∴③正確，∴正確的有②③，故選：C．
【點睛】本題主要考查新定義的實數運算，關鍵是理解新定義的含義.注意：分情況討論．
4．（2023·山東濟南·統考二模）定義：平面直角坐標系中，點的橫坐標的絕對值表示為，縱坐標的絕對值表示為，我們把點的橫坐標與縱坐標的絕對值之和叫做點的折線距離，記為（其中的“＋”是四則運算中的加法），若拋物線與直線只有一個交點，已知點在第一象限，且，令，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】聯立方程組求得點坐標，并由只有一個交點條件求得、的關系式， 再由新定義和列出的不等式，，求得的取值范圍，由，得出關于的二次函數解析式，再根據函數的性質求得的取值范圍．
【詳解】解：∵拋物線與直線只有一個交點，
∴方程組只有一組實數解，
∴，∴，∴，即，
∴方程可以化為，
即，∴，∴∴，
∵點在第一象限，∴，∵，∴，
∴，解得：，
∵，∴，
∵，∴隨的增大而增大，∵時，，時，，
∴的取值范圍為．故選：C．
【點睛】本題考查二次函數的性質、二元二次方程組、一元二次方程及其判別式、一元一次不等式組等知識．把問題轉化為方程或方程組，構建二次函數并且利用二次函數的性質解決問題是解題的關鍵．
5．（2023·廣西賀州·統考一模）在數的學習過程中，我們總會對其中一些具有某種特性的數充滿好奇，如學習自然數時，我們發現一種特殊的自然數——“好數”．定義：對于三位自然數n，各位數字都不為0，且百位數字與十位數字之和恰好能被個位數字整除，則稱這個自然數n為“好數”．例如：426是“好數”，因為4，2，6都不為0，且，6能被6整除；643不是“好數”，因為，10不能被3整除．則百位數字比十位數字大5的所有“好數”的個數是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【分析】設這個數的十位數字是x，再表示出百位數字，進而得出百位數字和十位數字的和，然后討論x的取值得出答案即可．
【詳解】設十位數字是x，則百位數字是x+5（0＜x≤4），∴x+x+5=2x+5.
當x=1時，2x+5=7，∴7能被1，7整除，∴滿足條件的三位數有611，617；
當x=2時，2x+5=9，∴9能被1，3，9整除，∴滿足條件的三位數有721，723，729；
當x=3時，2x+5=11，∴11能被1整除，∴滿足條件的三位數有831；
當x=4時，2x+5=13，∴13能被1整除，∴滿足條件的三位數有941．
所以滿足條件的自然數有611，617，721，723，729，831，941，一共有7個．故選：B．
【點睛】本題主要考查了數字規律問題，理解并靈活運用新定義是解題的關鍵．
6．（2023·江蘇蘇州·統考一模）閱讀材料：一般地，當為任意角時，與的值可以用下面的公式求得：：根據以上材料，解決下列問題：如圖，在中，AB是直徑，，點C、D在圓上，點C在半圓弧的中點處，AD是半圓弧的，則CD的長為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】連結OD、過點D作DF⊥AC于F，根據是半圓弧的，求出∠AOD=60°，再求∠DOC=90°-∠AOD=30°，根據，求出OD=OC=OA=，利用三角函數ADsin∠DAF=CDsin30°求解即可．
【詳解】解：連結OD、OC，過點D作DF⊥AC于F，
∵是半圓弧的，∴∠AOD=60°，∴△AOD為等邊三角形，∴∠DAO=60°，AD=OA，
∵點C在半圓弧的中點處，∴=半圓弧的一半，∴∠CAO=45°，
∵，∴AD=OA=，
∵∠DAF=∠DAO-∠CAO=60°-45°=15°，∠DCA==30°，∴DF=ADsin∠DAF=CDsin30°，
∴CD=2ADsin15°=2（）（sin60°cos45°-cos60°sin45°）=2×=1．故選擇：D．
【點睛】本題考查弧與圓心角，圓周角的關系，等邊三角形判定與性質，銳角三角函數，掌握弧與圓心角，圓周角的關系，等邊三角形判定與性質，銳角三角函數是解題關鍵．
二、填空題
7．（2023年湖南省懷化市中考數學真題）定義新運算：，其中，，，為實數．例如：．如果，那么 ．
【答案】
【分析】根據新定義列出一元一次方程，解方程即可求解．
【詳解】解：∵
∴即解得：故答案為：．
【點睛】本題考查了新定義運算，解一元一次方程，根據題意列出方程解題的關鍵．
8．（2023·河北·二模）宋朝時，中國象棋就已經風靡于全國，中國象棋規定馬步為：“、”字，現定義：在棋盤上從點A到點B，馬走的最少步稱為A與B的“馬步距離”， 記作．在圖中畫出了中國象棋的一部分，上面標有A，B，C，D，E共5個點，則在，，，中最大值是_________，最小值是_____________．
【答案】 5 2
【分析】利用已知規則，結合題意利用圖形分別得出答案．
【詳解】解：如圖所示：由題意可得：=3，=5，=2，=3，
∴最大值是5，最小值是2，故答案為：5，2．
【點睛】此題主要考查了新定義以及實際問題應用，利用數形結合是解題關鍵．
9．（2023·山東臨沂·統考一模）我們規定：若，，則．例如，，則．已知，，且，則的最大值是______．
【答案】1
【分析】根據新定義運算法則，列出關于x的二次函數，根據二次函數最值的求法解答即可．
【詳解】解：根據題意知： （x+1）（x﹣3）+4（x﹣1）＝（x+1）2﹣8．
因為﹣3≤x≤2，拋物線開口向上，當x＝2時， （2+1）2﹣8＝1；
當x＝-3時， （-3+1）2﹣8＝-4； 所以 的最大值是1．故答案是：1．
【點睛】本題主要考查了新定義運算和二次函數性質，解題時，準確理解題意，列出二次函數解析式，利用了配方法求得二次函數的最值是解題關鍵．
10．（2023年四川省成都市數學中考真題）定義：如果一個正整數能表示為兩個正整數，的平方差，且，則稱這個正整數為“智慧優數”．例如，，16就是一個智慧優數，可以利用進行研究．若將智慧優數從小到大排列，則第3個智慧優數是 ；第23個智慧優數是 ．
【答案】
【分析】根據新定義，列舉出前幾個智慧優數，找到規律，進而即可求解．
【詳解】解：依題意， 當，，則第1個一個智慧優數為
當，，則第2個智慧優數為
當，，則第3個智慧優數為，
當，，則第4個智慧優數為，
當，，則第5個智慧優數為
當，，則第6個智慧優數為
當，，則第7個智慧優數為
……
時有4個智慧優數，同理時有個，時有6個，
列表如下，
觀察表格可知當時，時，智慧數為，
時，智慧數為，
，時，智慧數為，
，時，智慧數為，
第1至第10個智慧優數分別為：，，，，，，，，，，
第11至第20個智慧優數分別為：，，，，，，，，，，
第21個智慧優數，第22個智慧優數為，第23個智慧優數為
故答案為：，．
【點睛】本題考查了新定義，平方差公式的應用，找到規律是解題的關鍵．
11．（2023年重慶市中考數學真題（B卷））對于一個四位自然數M，若它的千位數字比個位數字多6，百位數字比十位數字多2，則稱M為“天真數”．如：四位數7311，∵，，∴7311是“天真數”；四位數8421，∵，∴8421不是“天真數”，則最小的“天真數”為 ；一個“天真數”M的千位數字為a，百位數字為b，十位數字為c，個位數字為d，記，，若能被10整除，則滿足條件的M的最大值為 ．
【答案】 6200 9313
【分析】根據題中“天真數”可求得最小的“天真數”；先根據題中新定義得到，進而，若M最大，只需千位數字a取最大，即，再根據能被10整除求得，進而可求解．
【詳解】解：根據題意，只需千位數字和百位數字盡可能的小，所以最小的“天真數”為6200；
根據題意，，，，，則，
∴，∴，
若M最大，只需千位數字a取最大，即，∴，
∵能被10整除，∴，∴滿足條件的M的最大值為9313，故答案為：6200，9313．
【點睛】本題是一道新定義題，涉及有理數的運算、整式的加減、數的整除等知識，理解新定義是解答的關鍵．
12．（2023·四川成都·石室中學校考一模）我們不妨約定：在平面直角坐標系中，若某函數圖象上至少存在不同的兩點關于直線x＝n（n為常數）對稱，則把該函數稱之為“X（n）函數“．
（1）在下列關于x的函數中，是“X（n）函數”的是_____（填序號）；
①；②y＝|4x|；③y＝x2﹣2x﹣5．
（2）若關于x的函數y＝|x﹣h|（h為常數）是“X（3）函數”，與（m為常數，m＞0）相交于A(xA，yA)、B(xB，yB)兩點，A在B的左邊，xB﹣xA＝5，則m＝_____．
【答案】 ②③ 4
【分析】（1）根據定義分析判斷即可；（2）作圖形y＝x﹣3與x軸交于點C，與y軸交于D點，作AM⊥x軸交于M點，BN⊥x軸交于N點，由xB﹣xA＝5，設CN＝x，則 MC＝5﹣x，則B（3+x，x）A（x﹣2，5﹣x），根據軸對稱的性質以及反比例函數的性質可得（3+x）x+（x﹣2）（5﹣x）＝0，繼而求得x的值，即可求得B的坐標．根據反比例函數的意義即可求得m的值．
【詳解】解；（1）解：根據定義，函數關于直線x＝n（n為常數）對稱，即該函數圖象是軸對稱圖形
①y＝的圖象是中心對稱圖象，不符合題意：
②y＝|4x|，③y＝x2﹣2x﹣5的圖象是軸對稱圖形，符合題意．故答案為：②③．
（2）∵y＝|x﹣h|是“X（3）”函數，∴h＝3，
如圖，y＝x﹣3與x軸交于C點，與y軸交于D點，作AM⊥x軸交于M點，BN⊥x軸交于N點，
∴C（3，0），D（0，﹣3），∴∠BCN＝∠OCD＝45°，
由對稱性可知，∠ACM＝∠OCD＝45°，∴AM＝CM，BN＝CN，
∵xB﹣xA＝5，∴MN＝5，設CN＝x，則MC＝5﹣x，
∴B（3+x，x），A（x﹣2，5﹣x），∴（3+x）x+（x﹣2）（5﹣x）＝0，
∴x＝1，∴B（4，1），∴m＝4．故答案為：4
【點睛】本題考查了新定義，一次函數的性質，反比例函數的性質，理解新定義，根據新定義以及軸對稱的性質求解是解題的關鍵．
13．（2023·湖南婁底·統考一模）已知，（其中和都表示角度），比如求，可利用公式得，又如求，可利用公式得，請你結合材料，若（為銳角），則的度數是__________．
【答案】
【分析】設，先根據公式可得到一個關于x的分式方程，解方程可求出x的值，再根據特殊角的正切函數值即可得出答案．
【詳解】設 由題意得：
解得
經檢驗，是分式方程的根即為銳角故答案為：．
【點睛】本題考查了分式方程的解法、特殊角的正切函數值，熟記特殊角的正切函數值是解題關鍵．
14．（2024·湖南中考模擬預測）閱讀理解：對于x3﹣（n2+1）x+n這類特殊的代數式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解運用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解決問題：求方程x3﹣5x+2＝0的解為_____．
【答案】x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
【分析】將原方程左邊變形為x3﹣4x﹣x+2＝0，再進一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，據此得到兩個關于x的方程求解可得．
【詳解】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，則（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，
故答案為：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
【點睛】此題主要考查一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據題意找到解方程的方法．
15．（2024·四川巴中·中考模擬預測）y與x之間的函數關系可記為y＝f（x）．例如：函數y＝x2可記為f（x）＝x2．若對于自變量取值范圍內的任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），則f（x）是偶函數；若對于自變量取值范圍內的任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），則f（x）是奇函數．例如：f（x）＝x2是偶函數，f（x）是奇函數．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函數，則實數a＝__________．
【答案】5
【分析】由f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函數，
得a（-x）2+（a-5） （-x）+1=ax2+（a-5）x+1，解得a=5．
【詳解】解：∵f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函數，
∴對于自變量取值范圍內的任意一個x，都有f（-x）=f（x），即a（-x）2+（a-5） （-x）+1=ax2+（a-5）x+1，∴（10-2a）x=0，可知10-2a=0，∴a=5，故答案為：5．
【點睛】本題考查新定義：偶函數與奇函數，解題的關鍵是理解偶函數定義，列出a（-x）2+（a-5） （-x）+1=ax2+（a-5）x+1．
三、解答題
16．（2023·內蒙古赤峰·中考模擬預測）閱讀下列材料
定義運算：，當時，；當時，．
例如：；．
完成下列任務 (1)① _________；②_________
(2)如圖，已知反比例函數和一次函數的圖像交于、兩點．
當時，．求這兩個函數的解析式．
【答案】(1)①1；② (2)，
【分析】（1）根據材料中的定義進行計算，即可求出答案；（2）由函數圖像可知當時，，則，結合已知可得，即可求出b，得到一次函數解析式，求出點A的坐標，再利用待定系數法求出反比例函數解析式．
(1)解：根據題意，∵，當時，；當時，，∴①；
∵，∴②；故答案為：①1；②；
(2)解：由函數圖像可知當時，，∴，
又∵，∴，∴，
∴一次函數，當x＝－2時，，∴A（－2，1），
將A（－2，1）代入得，∴反比例函數．
【點睛】本題考查了新定義的運算法則，零次冪，反比例函數與一次函數的綜合問題，解題的關鍵是掌握題意，正確的運用數形結合的思想求解．
17．（2023·湖南·中考模擬）閱讀下列材料：
在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．
證明：如圖1，過點作于點，則：在中， CD=asinB
在中，
根據上面的材料解決下列問題：
(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；
(2)為了辦好湖南省首屆旅游發展大會，張家界市積極優化旅游環境．如圖3，規劃中的一片三角形區域需美化，已知，，米，求這片區域的面積．（結果保留根號．參考數據：，
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）作BC邊上的高，利用三角函數表示AD后，即可建立關聯并求解；
（2）作BC邊上的高，利用三角函數分別求出AE和BC，即可求解．
(1)證明：如圖2，過點作于點，
在中，，在中，，，；
(2)解：如圖3，過點作于點，，，，
在中，
又，即，，．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系，即銳角三角函數的定義是解決問題的前提．
18．（2023·江蘇揚州·校考二模）對某一個函數給出如下定義：如果存在實數M，對于任意的函數值y，都滿足，那么稱這個函數是有上界函數．在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數的上確界．例如，函數是有上界函數，其上確界是2．
(1)函數①和②（）中是有上界函數的為______（只填序號即可），其上確界為______；(2)若反比例函數（，）的上確界是，且該函數的最小值為2，求a、b的值；(3)如果函數是以6為上確界的有上界函數，求實數a的值．
【答案】(1)②，7；(2)(3)a=2或a=-2．
【分析】（1）分別求出兩個函數的函數值范圍即可得解；
（2）先求出函數值的范圍，再由已知得到關于a，b的等式，即可得到解答；
（3）把原函數配方，再根據已知得到關于a的方程，即可得解．
【詳解】（1）解：∵，
∴有上界函數為②，其上確界為7，故答案為②，7；
（2）解：由已知可得，∴，∴∴
（3）解：∵，∴，∴a=2或a=-2．
【點睛】本題考查新定義下的函數探究，在理解所給定義的前提下綜合運用各類型函數的性質是解題關鍵．
19．（2024·江蘇·一模）閱讀材料并解答下列問題：如圖1，把平面內一條數軸繞原點逆時針旋轉得到另一條數軸軸和軸構成一個平面斜坐標系．規定：過點作軸的平行線，交軸于點，過點作軸的平行線，交軸于點，若點在軸對應的實數為，點在軸對應的實數為，則稱有序實數對為點在平面斜坐標系中的斜坐標．如圖2，在平面斜坐標系中，點的斜坐標是，點的斜坐標是，連接．
（1）線段的長=______；（2）在平面斜坐標系第一象限（類比于平面直角坐標系，正半軸與正半軸所夾區域）內，有一點，使為等腰直角三角形，求點的斜坐標．
【答案】（1）（2） (5-，2+)或(8-2，2+)．
【分析】（1）根據斜坐標的定義，直接求解即可；（2）分兩種情況：①當點Q為直角頂點時，則PQ=QM=6，∠PQM=90°，②當點M為直角頂點時，則MP=QM，∠PMQ=90°，分別作出圖形，即可求解．
【詳解】解：（1）由斜坐標的定義可知：=8-2=6，故答案是：6；
（2）①當點Q為直角頂點時，則PQ=QM=6，∠PQM=90°，
過點M作MN∥y軸，交PQ于點N，過點M作ME∥x軸，延長QP交y軸于點F，
則四邊形FNME是平行四邊形，
∴EF=MN，∵，PQ∥x軸，MN∥y軸，∴∠MNQ=，
∴MN=MQ÷sin60°=6÷=，NQ=6÷tan60°=6÷=2，∴PN=6-2，
∴FN=2+6-2=8-2，OE=OF+EF=OF+MN=2+，∴M(8-2，2+)；
②當點M為直角頂點時，則MP=QM，∠PMQ=90°，
過點M作MN∥y軸，交PQ于點N，過點M作ME∥x軸，延長QP交y軸于點F，
則四邊形FNME是平行四邊形，過點M作MG⊥PQ，則MG==3，
由①可知：∠MNQ=，∴MN=MG÷sin60°=3÷=，NG=3÷tan60°=3÷=，
∴PN=3-，∴FN=2+3-=5-，OE=OF+EF=OF+MN=2+，∴M(5-，2+)；
綜上所述：點M的坐標為(5-，2+)或(8-2，2+)．
【點睛】本題主要考查圖形與坐標，銳角三角函數，以及等腰直角三角形的性質，根據題意畫出圖形，理解斜坐標系的定義，是解題的關鍵．
20．（2023·江蘇連云港·東海實驗中學校考三模）【閱讀理解】設點P在矩形ABCD內部，當點P到矩形的一條邊的兩個端點距離相等時，稱點P為該邊的“和諧點”．例如：如圖1，矩形ABCD中，若PA=PD，則稱P為邊AD的“和諧點”．
【解題運用】已知，點P在矩形ABCD內部，且AB=10，BC=8．
(1)設P是邊AD的“和諧點”，則P 邊BC的“和諧點”（填“是”或“不是”）；連接PC，S四邊APCB=4S△APD，求PA的值．(2)若P是邊BC的“和諧點”，連接PA，PB，當∠APB=90°時，求PA的值；(3)如圖2，若P是邊AD的“和諧點”，連接PA；PB，PD，求的最大值．
【答案】(1)是，PA的值為；(2)PA的值為2或4；(3)
【分析】（1）連接PB、PC，證明△BAP≌△CDP（SAS），得PB=PC，即可得出結論；
（2）先由“和諧點”的定義得PB=PC，PA=PD，點P在AD和BC的垂直平分線上，過點P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，求出AE=PF=3，再證△APF∽△PBF，得PF2=AF BF，設AF=x，則BF=10-x，解得：x=2或x=8，再利用勾股定理，即可求解；
（3）過點P作PN⊥AB于N，再證明，設AN=x，則BN=10-x，得到AN BN關于x的二次函數，進而即可得出結論．
(1)解：P是邊BC的“和諧點”，理由如下：連接PB、PC，如圖1，
∵PA=PD，∴∠PDA=∠PAD，∴四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠CDA=∠BAD=90°，∴∠BAP=∠CDP，
在△BAP和△CDP中，，∴△BAP≌△CDP（SAS），
∴PB=PC，∴P是邊BC的“和諧點”，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，
∴BC=AD=8，過點P作MN⊥AD，則MN⊥BC，
∴四邊形ABNM是矩形，∴MN=AB=10，∴PM+PN=10，
∵PA=PD，∴AM=AD=4，∵S四邊APCB=4S△APD，
∴AB AM+BC PN=AD PM，∴10×4+8PN=8PM，
∴PM-PN=5，∴PM=，∴PA==，故答案為：是；
(2)解：∵P是邊BC的“和諧點”， 由（1）可知：P也是邊AD的“和諧點”，
∴PB=PC，PA=PD，∴點P在AD和BC的垂直平分線上，
過點P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，如圖2，則AE=AD，∠PEA=∠PFA=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，BC=AD=8，
∴四邊形AEPF是矩形，AE=4，∴AE=PF=4，
∵∠APB=90°，且P在矩形內部，∴∠APF+∠BPF=90°，
∵PF⊥AB，∴∠AFP=∠PFB=90°，∴∠APF+∠PAF=90°，
∴∠PAF=∠BPF，∴△APF∽△PBF，∴AF：PF=PF：BF，
∴PF2=AF BF，∴PF2=AF（AB-AF），設AF=x，則BF=10-x，
∴x（10-x）=42，解得：x=2或x=8，
當AF=2時，PA；
當AF=8時，PA；∴PA的值為2或4；
(3)解：過點P作PN⊥AB于N，如圖3，
由（2）知：點P在AD和BC的垂直平分線上，∴PN=BC=4，
∵tan∠PAB=，tan∠PBA=，
∴tan∠PAB tan∠PBA= =，
∴，設AN=x，則BN=10-x，
∴AN BN=x（10-x）=-x2+10x=-（x-5）2+25，當x=5時，AN BN有最大值25，
∴有最大值，∴當x=5時，的最大值是．
【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的判定和性質，新定義“和諧點”的判定和性質，全等三角形判定和性質，線段垂直平分線的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，銳角三角函數定義，二次函數的應用等知識；本題綜合性強，難度較大，熟練掌握新定義“和諧點”的判定和性質，證明三角形全等和三角形相似是解題關鍵．
21．（2024·湖北中考模擬）若一個兩位數十位、個位上的數字分別為，我們可將這個兩位數記為，易知；同理，一個三位數、四位數等均可以用此記法，如．
（基礎訓練）（1）解方程填空：①若，則______；
②若，則______；③若，則______；
（能力提升）（2）交換任意一個兩位數的個位數字與十位數字，可得到一個新數，則一定能被______整除，一定能被______整除，+++6一定能被______整除；（請從大于5的整數中選擇合適的數填空）
（探索發現）（3）北京時間2019年4月10日21時，人類拍攝的首張黑洞照片問世，黑洞是一種引力極大的天體，連光都逃脫不了它的束縛．數學中也存在有趣的黑洞現象：任選一個三位數，要求個、十、百位的數字各不相同，把這個三位數的三個數字按大小重新排列，得出一個最大的數和一個最小的數，用得出的最大的數減去最小的數得到一個新數（例如若選的數為325，則用532-235=297），再將這個新數按上述方式重新排列，再相減，像這樣運算若干次后一定會得到同一個重復出現的數，這個數稱為“卡普雷卡爾黑洞數”．①該“卡普雷卡爾黑洞數”為______；
②設任選的三位數為（不妨設），試說明其均可產生該黑洞數．
【答案】（1）①2．②4；③7；（2）11；9；10．；（3）①495；②495
【分析】(1)①根據，結合已知可得關于x的方程，解方程即可得；
②根據題意可得關于y的方程，解方程即可得；
③由及四位數的類似公式可得關于t的方程，解方程即可得；
(2)根據分別對、、按此表示方法進行整理即可求得答案；(3)①若選的數為325，則用532-235=297，然后根據題中所給的規則繼續計算即可求得答案；
②當任選的三位數為時，根據規則第一次運算后得，結果為99的倍數，由于，故，繼而確定出a-c=2，3，4，5，6，7，8，9，從而可得第一次運算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，對這些數字根據規則繼而進行運算即可求得答案.
【詳解】(1)①∵，∴若，則，∴，故答案為2；②若，則，解得，故答案為4；
③由及四位數的類似公式得：若，
則，
∴100t=700，∴，故答案為7；
(2)∵，∴則一定能被 11整除，
∵，∴一定能被9整除，
∵
，∴一定能被10整除，故答案為11；9；10；
(3)①若選的數為325，則用532-235=297，以下按照上述規則繼續計算，
，，，，故答案為495；
②當任選的三位數為時，第一次運算后得：，
結果為99的倍數，由于，故，
∴，又，∴，∴，3，4，5，6，7，8，9，
∴第一次運算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
再讓這些數字經過運算，分別可以得到：
，，，，…故都可以得到該黑洞數495．
【點睛】本題考查的是閱讀理解題，弄清題意，理解和掌握題中所給的運算法則或運算規則是解題的關鍵.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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