資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
8.4方案設計型與實驗探究型
方案設計型問題是中考數學創新性問題的一種典型問題，該問題通常設置一個實際問題的情境，并給出一些信息及提出解決問題的具體要求，以探求最為恰當的解決方案。有時問題中還給出多種不同的解決方案，要求考生思考孰優孰劣。這類問題主要考查考生的動手操作能力和實踐能力，具有一定的難度。實驗操作探究型問題經過實驗探索，解決具有特殊性、結論易證的第一個問題，然后進行拓展應用，即解決后面改變圖形背景后的問題，這需要合理的推理、猜想，運用類比、歸納、分類討論等數學思想全面考慮問題，從復雜圖形中識別出前面的圖形及其關系，直接應用前面的結論即可解決問題。
方案設計型問題是設置一個實際問題的情景，給出若干信息，提出解決問題的要求，尋求恰當的解決方案，有時還給出幾個不同的解決方案，要求判斷其中哪個方案最優。方案設計型問題主要考查學生的動手操作能力和實踐能力，主要有以下幾種類型：
1）方程、不等式綜合型方案設計：根據題意，列出方程及不等式（組），通過解方程、不等式，求出其整數解，確定設計方案。
2）函數型方案設計
（1）根據一次函數性質確定最優方案：首先根據題意，列出兩個變量的一次函數解析式；再根據題意，列出不等式組，利用一次函數的增減性確定有最大值（或最小值）的方案。
（2）列出兩個函數解析式，確定最優方案：根據題意（或函數圖象），列出兩個一次函數解析式，通過比較函數值的大小確定最優方案。
3）幾何圖形型方案設計
（1）幾何圖形分割與拼接方案設計：把一個幾何圖形按某種要求分成幾個圖形，這是圖形的分割。反過來，按一定的要求也可以把幾個圖形拼成一個完美的圖形，這是圖形的拼接。在圖形的分割、拼接過程中，都要結合所提供的圖形特點來思考。
（2）圖案設計方案：以某一個圖案為基礎，利用中心對稱、軸對稱的性質設計優美圖案。由于思考的角度不同，審美觀各異，設計出的圖案是不唯一的。
4）測量方案型設計問題
（1）測量物體高度方案設計：理解俯角、仰角的定義，分析圖形：根據題意構造直角三角形。并結合圖形利用三角函數，應用解直角三角形的關系解決問題。
（2）測量物體寬度方案設計：理解方向角或方位角，由題意構建直角三角形，運用三角函數解直角三角形。
（3）測量物體深度方案設計：根據題意作出輔助線，構造出相似三角形（或直角三角形），運用相似三角形性質（或三角函數）解答實際問題。
操作探究型問題是通過動手測量、作圖(象)、取值、計算等試驗，猜想獲得數學結論的研究性活動，這類活動完全模擬以動手為基礎的手腦結合的科學研究形式，需要動手操作、合理猜想和驗證。常見類型：（1）操作設計問題；（2）圖形剪拼；（3）操作探究；（4）數學建模。
解題策略：運用觀察、操作、聯想、推理、概括等多種方法。
考向一　方程、不等式型方案設計
例1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）某賓館有單人間，雙人間，三人間三種客房供游客選擇居住，現某旅游團有18名游客同時安排居住在該賓館，若每個房間都住滿，共租了8間客房，則居住方案有（　　）
A．2種 B．3種 C．4種 D．5種
【答案】C
【分析】此題考查了三元一次不定方程組的應用，找出關鍵描述語為：某旅行團18人準備同時選擇這三種客房共8間，每個房間都住滿，可先列出關系式，再根據已知條件確定所求未知量的范圍，從而確定居住方案．
【詳解】解：設租一人間x間，租二人間y間，則三人間客房z間．
依題意得：，解得：，∴，
∵x，y，z是正整數，當時，，（不符合題意，舍去）；
當時，，當時，，；
當時，，；當時，，；∴居住方案有4種．故選：C．
例2．（2023·廣東·中考模擬預測）某中學為落實《教育部辦公廳關于進一步加強中小學生體質管理的通知》文件要求，決定增設籃球、足球兩門選修課程，需要購進一批籃球和足球．已知購買2個籃球和3個足球共需費用510元；購買3個籃球和5個足球共需費用810元．
(1)求籃球和足球的單價分別是多少元；(2)學校計劃采購籃球、足球共50個，并要求籃球不少于30個，且總費用不超過5500元．那么有哪幾種購買方案？
【答案】(1)籃球的單價為120元，足球的單價為90元
(2)學校一共有四種購買方案：方案一：籃球30個，足球20個；方案二：籃球31個，足球19個；方案三：籃球32個，足球18個；方案四：籃球33個，足球17個
【分析】（1）根據購買2個籃球和3個足球共需費用510元；購買3個籃球和5個足球共需費用810元，可以列出相應的二元一次方程組，然后求解即可；
（2）根據要求籃球不少于30個，且總費用不超過5500元，可以列出相應的不等式組，從而可以求得籃球數量的取值范圍，然后即可寫出相應的購買方案．
【解析】 (1)解：設籃球的單價為x元，足球的單價為y元，
由題意可得：，解得，
答：籃球的單價為120元，足球的單價為90元；
(2)解：設采購籃球m個，則采購足球為（50-m）個，
∵要求籃球不少于30個，且總費用不超過5500元，
∴，解得30≤x≤33，
∵x為整數，∴x的值可為30，31，32，33，∴共有四種購買方案，
方案一：采購籃球30個，采購足球20個；方案二：采購籃球31個，采購足球19個；
方案三：采購籃球32個，采購足球18個；方案四：采購籃球33個，采購足球17個．
【點睛】本題考查二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組和不等式組．
例3．（2023年河南省中考數學真題）某健身器材專賣店推出兩種優惠活動，并規定購物時只能選擇其中一種．
活動一：所購商品按原價打八折；
活動二：所購商品按原價每滿300元減80元．（如：所購商品原價為300元，可減80元，需付款220元；所購商品原價為770元，可減160元，需付款610元）
(1)購買一件原價為450元的健身器材時，選擇哪種活動更合算？請說明理由．
(2)購買一件原價在500元以下的健身器材時，若選擇活動一和選擇活動二的付款金額相等，求一件這種健身器材的原價．
(3)購買一件原價在900元以下的健身器材時，原價在什么范圍內，選擇活動二比選擇活動一更合算？設一件這種健身器材的原價為a元，請直接寫出a的取值范圍．
【答案】(1)活動一更合算(2)400元(3)當或時，活動二更合算
【分析】（1）分別計算出兩個活動需要付款價格，進行比較即可；（2）設這種健身器材的原價是元，根據“選擇活動一和選擇活動二的付款金額相等”列方程求解即可；（3）由題意得活動一所需付款為元，活動二當時，所需付款為元，當時，所需付款為元，當時，所需付款為元，然后根據題意列出不等式即可求解．
【詳解】（1）解：購買一件原價為450元的健身器材時，
活動一需付款：元，活動二需付款：元，∴活動一更合算；
（2）設這種健身器材的原價是元，則，解得，
答：這種健身器材的原價是400元，
（3）這種健身器材的原價為a元，則活動一所需付款為：元，
活動二當時，所需付款為：元，
當時，所需付款為：元，
當時，所需付款為：元，
①當時，，此時無論為何值，都是活動一更合算，不符合題意，
②當時，，解得，
即：當時，活動二更合算，
③當時，，解得，
即：當時，活動二更合算，
綜上：當或時，活動二更合算．
【點睛】此題考查了一元一次方程及一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是仔細審題，注意分類討論的應用．
例4．（2023年四川省德陽市中考數學真題）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新時代”為主題的世界清潔能源裝備大會在德陽舉行．大會聚焦清潔能源裝備產業發展熱點和前瞻性問題，著力實現會展聚集帶動產業聚集．其中德陽清潔能源裝備特色小鎮位于德陽經濟技術開發區，規劃面積平方公里，計劃2025年基本建成．若甲、乙兩個工程隊計劃參與修建“特色小鎮”中的某項工程，已知由甲單獨施工需要18個月完成任務，若由乙先單獨施工2個月，再由甲、乙合作施工10個月恰好完成任務．承建公司每個月需要向甲工程隊支付施工費用8萬元，向乙工程隊支付施工費用5萬元．(1)乙隊單獨完工需要幾個月才能完成任務？(2)為保證該工程在兩年內完工，且盡可能的減少成本，承建公司決定讓甲、乙兩個工程隊同時施工，并將該工程分成兩部分，甲隊完成其中一部分工程用了a個月，乙隊完成另一部分工程用了b個月，已知甲隊施工時間不超過6個月，乙隊施工時間不超過24個月，且a，b為正整數，則甲乙兩隊實際施工的時間安排有幾種方式？哪種安排方式所支付費用最低？
【答案】(1)乙隊單獨完工需要27個月才能完成任務．(2)甲乙兩隊實際施工的時間安排有3種方式，安排甲工作2個月，乙工作24個月，費用最低為萬元．
【分析】（1）設乙單獨完成需要個月，由“乙先單獨施工2個月，再由甲、乙合作施工10個月恰好完成任務．”建立分式方程求解即可；
（2）由題意可得：，可得，結合，，可得，結合都為正整數，可得為3的倍數，可得甲乙兩隊實際施工的時間安排有3種方式，從而可得答案．
【詳解】（1）解：設乙單獨完成需要個月，則
，解得：，經檢驗是原方程的解且符合題意；
答：乙隊單獨完工需要27個月才能完成任務．
（2）由題意可得：，∴，∴，
∵，，∴，解得：，∵都為正整數，∴為3的倍數，
∴或或，∴甲乙兩隊實際施工的時間安排有3種方式，
方案①：安排甲工作6個月，乙工作18個月，費用為：（萬元），
方案②：安排甲工作4個月，乙工作21個月，費用為：（萬元），
方案③：安排甲工作2個月，乙工作24個月，費用為：（萬元），
∴安排甲工作2個月，乙工作24個月，費用最低為萬元．
【點睛】本題考查的是分式方程的應用，二元一次方程的應用，一元一次不等式組的應用，確定相等關系與不等關系是解本題的關鍵．
例5：（2023·四川達州·統考中考真題）某縣著名傳統土特產品“豆筍”、“豆干”以“濃郁豆香，綠色健康”享譽全國，深受廣大消費者喜愛．已知2件豆筍和3件豆干進貨價為240元，3件豆筍和4件豆干進貨價為340元．(1)分別求出每件豆筍、豆干的進價；(2)某特產店計劃用不超過元購進豆筍、豆干共件，且豆筍的數量不低于豆干數量的，該特產店有哪幾種進貨方案？
(3)若該特產店每件豆筍售價為80元，每件豆干售價為55元，在（2）的條件下，怎樣進貨可使該特產店獲得利潤最大，最大利潤為多少元？
【答案】(1)豆筍、豆干的進價分別是60元/件，40元/件(2)有3種進貨方案：豆干購進件，則豆筍購進件；豆干購進件，則豆筍購進件；豆干購進件，則豆筍購進件
【分析】（1）設豆筍、豆干的進價分別是a元/件、b元/件，根據等量關系列出方程組，解方程組即可；（2）設豆干購進n件，則豆筍購進件，根據不等關系列出不等式組，解不等式組，再根據n取整數，即可求得進貨方案；
【詳解】（1）解：設豆筍、豆干的進價分別是a元/件、b元/件，
則，解得，故豆筍、豆干的進價分別是60元/件，40元/件．
（2）設豆干購進n件，則豆筍購進件，
，解得，
∴時，，即豆干購進件，則豆筍購進件，
時，，即豆干購進件，則豆筍購進件，
時，，即豆干購進件，則豆筍購進件．
【點睛】本題是方程、不等式的綜合題，考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組等知識，涉及分類討論思想，屬于常考題型．
考向二　函數型方案設計問題
例1．（2023年江蘇省揚州市中考數學真題）近年來，市民交通安全意識逐步增強，頭盔需求量增大．某商店購進甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費2920元，甲種頭盔的單價比乙種頭盔的單價高11元．(1)甲、乙兩種頭盔的單價各是多少元？(2)商店決定再次購進甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進行促銷活動，促銷方式如下：甲種頭盔按單價的八折出售，乙種頭盔每只降價6元出售．如果此次購買甲種頭盔的數量不低于乙種頭盔數量的一半，那么應購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費用最小？最小費用是多少元？
【答案】(1)甲、乙兩種頭盔的單價各是65元， 54元．
(2)購14只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,最小費用為1976元．
【分析】（1）設購買乙種頭盔的單價為x元，則甲種頭盔的單價為元，根據題意，得，求解；（2）設購m只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,設總費用為w,則，解得，故最小整數解為，，根據一次函數增減性，求得最小值=．
【詳解】（1）解:設購買乙種頭盔的單價為x元，則甲種頭盔的單價為元，根據題意，得解得，，，
答：甲、乙兩種頭盔的單價各是65元， 54元．
（2）解：設購m只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,設總費用為w,
則，解得，故最小整數解為，
，
∵，則w隨m的增大而增大，∴時，w取最小值，最小值．
答：購14只甲種頭盔，此次購買頭盔的總費用最小,最小費用為1976元．
【點睛】本題考查一元一次方程的應用，一次函數的性質，一次函數的應用、一元一次不等式的應用；根據題意列出函數解析式，確定自變量取值范圍是解題的關鍵．
例2．（2023年湖北省恩施州中考數學真題）為積極響應州政府“悅享成長·書香恩施”的號召，學校組織150名學生參加朗誦比賽，因活動需要，計劃給每個學生購買一套服裝．經市場調查得知，購買1套男裝和1套女裝共需220元；購買6套男裝與購買5套女裝的費用相同．(1)男裝、女裝的單價各是多少？(2)如果參加活動的男生人數不超過女生人數的，購買服裝的總費用不超過17000元，那么學校有幾種購買方案？怎樣購買才能使費用最低，最低費用是多少？
【答案】(1)男裝單價為100元，女裝單價為120元．(2)學校有11種購買方案，當女裝購買90套，男裝購買60套時，所需費用最少，最少費用為16800元
【分析】（1）設男裝單價為x元，女裝單價為y元，根據題意列方程組求解即可；
（2）設參加活動的女生有a人，則男生有人，列不等式組找到a的取值范圍，再設總費用為w元，得到w與a的關系，根據一次函數的性質可得當a取最小值時w有最小值，據此求解即可．
【詳解】（1）解：設男裝單價為x元，女裝單價為y元，
根據題意得：，解得：．答：男裝單價為100元，女裝單價為120元．
（2）解：設參加活動的女生有a人，則男生有人，
根據題意可得，解得：，
∵a為整數，∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11個數，
故一共有11種方案，設總費用為w元，則，
∵，∴當時，w有最小值，最小值為（元）．
此時，（套）．
答：當女裝購買90套，男裝購買60套時，所需費用最少，最少費用為16800元．
【點睛】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的應用，找到題中的等量關系或不等關系是解題的關鍵．
例3．（2023年黑龍江龍東地區中考數學真題）2023年5月30日上午9點31分，神舟十六號載人飛船在酒泉發射中心發射升空，某中學組織畢業班的同學到當地電視臺演播大廳觀看現場直播，學校準備為同學們購進A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購進A款和用400元購進B款的文化衫的數量相同．(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？(2)已知畢業班的同學一共有300人，學校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫，求有幾種購買方案？(3)在實際購買時，由于數量較多，商家讓利銷售，A款七折優惠，B款每件讓利m元，采購人員發現（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，試求m值．
【答案】(1)A款文化衫每件50元，則B款文化衫每件40元，(2)一共有六種購買方案(3)
【分析】（1）設A款文化衫每件x元，則B款文化衫每件元，然后根據用500元購進A款和用400元購進B款的文化衫的數量相同列出方程求解即可；（2）設購買A款文化衫a件，則購買B款文化衫件，然后根據，學校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫列出不等式組求解即可；（3）設購買資金為W元，購買A款文化衫a件，則購買B款文化衫件，求出，根據（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，可得W的取值與a的值無關，由此即可求出．
【詳解】（1）解：設A款文化衫每件x元，則B款文化衫每件元，
由題意得，，解得，檢驗，當時，，
∴是原方程的解，∴，
∴A款文化衫每件50元，則B款文化衫每件40元，
答：A款文化衫每件50元，則B款文化衫每件40元；
（2）解：設購買A款文化衫a件，則購買B款文化衫件，
由題意得，，解得，
∵a是正整數，∴a的取值可以為275，276，277，278，279，280，∴一共有六種購買方案；
（3）解：設購買資金為W元，購買A款文化衫a件，則購買B款文化衫件，
由題意得， ，
∵（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，∴W的取值與a的值無關，∴，∴．
【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的實際應用，分式方程的實際應用，整式的加減的實際應用，正確理解題意列出方程和不等式組是解題的關鍵．
例4．（2023年新疆維吾爾自治區中考數學真題）隨著端午節的臨近，，兩家超市開展促銷活動，各自推出不同的購物優惠方案，如下表：
超市 超市
優惠方案 所有商品按八折出售 購物金額每滿元返元
(1)當購物金額為元時，選擇超市______（填“”或“”）更省錢；
當購物金額為元時，選擇超市______（填“”或“”）更省錢；
(2)若購物金額為（）元時，請分別寫出它們的實付金額（元）與購物金額（元）之間的函數解析式，并說明促銷期間如何選擇這兩家超市去購物更省錢？
(3)對于超市的優惠方案，隨著購物金額的增大，顧客享受的優惠率不變，均為%（注：）．若在超市購物，購物金額越大，享受的優惠率一定越大嗎？請舉例說明．
【答案】(1),(2)，，當或時選擇超市更省錢，當時，選擇超市更省錢(3)不一定，理由見解析
【分析】（1）根據題意，分別計算購物金額為和元時，兩家超市的費用，比較即可求解；
（2）根據題意列出函數關系，根據當時，，得出時選擇超市更省錢，結合題意，即可求解；（3）根據題意以及（2）的結論，舉出反例即可求解．
【詳解】（1）解：購物金額為元時，超市費用為（元）
超市費用為80元，∵，∴當購物金額為80元時，選擇超市更省錢；
購物金額為元時，超市費用為（元）超市費用為元
∵，∴當購物金額為130元時，選擇超市更省錢；故答案為：,．
（2）解：依題意，，
當時，超市沒有優惠，故選擇超市更省錢，
當時，解得：
∴當時，選擇超市更省錢，
綜上所述，或時選擇超市更省錢，
當時，選擇超市更省錢，當時，兩家一樣，
綜上所述，當或時選擇超市更省錢，當時，選擇超市更省錢；
（3）在超市購物，購物金額越大，享受的優惠率不一定越大，
例如：當超市購物元，返元，相當于打折，即優惠率為，
當超市購物元，返元，則優惠率為，
∴在超市購物，購物金額越大，享受的優惠率不一定越大，
【點睛】本題考查了一次函數的應用，根據題意列出函數關系式是解題的關鍵．
考向三　幾何型方案設計問題
例1．（2023·山東棗莊·統考中考真題）（1）觀察分析：在一次數學綜合實踐活動中，老師向同學們展示了圖①，圖②，圖③三幅圖形，請你結合自己所學的知識，觀察圖中陰影部分構成的圖案，寫出三個圖案都具有的兩個共同特征：___________，___________．

（2）動手操作：請在圖④中設計一個新的圖案，使其滿足你在（1）中發現的共同特征．

【答案】（1）觀察發現四個圖形都是軸對稱圖形，且面積相等；（2）見解析
【分析】（1）應從對稱方面，陰影部分的面積等方面入手思考；
（2）應畫出既是軸對稱圖形，且面積為4的圖形．
【詳解】解：（1）觀察發現四個圖形都是軸對稱圖形，且面積相等；
故答案為：觀察發現四個圖形都是軸對稱圖形，且面積相等；
（2）如圖：

【點睛】此題主要考查了利用軸對稱圖形設計圖案，關鍵是掌握利用軸對稱的作圖方法來作圖，通過變換對稱軸來得到不同的圖案．
例2．（2024·吉林·模擬預測）閱讀理解，并解答問題：
如圖所示的8×8網格都是由邊長為1的小正方形組成，圖①中的圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．趙爽通過對這種圖形切割、拼接，巧妙地利用面積關系證明了著名的勾股定理，它表現了我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智，是我國數學史上的驕傲．

問題：
請用“趙爽弦圖”中的四個直角三角形通過你所學過的圖形變化，在圖②，圖③的方格紙中設計另外兩個不同的圖案，每個直角三角形的頂點均在方格紙的格點上，且四個三角形互不重疊．畫圖要求：
（1）圖②中所設計的圖案（不含方格紙）必須是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形；
（2）圖③中所設計的圖案（不含方格紙）必須既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【分析】（1）每個直角三角形的頂點均在方格紙的格點上，且四個三角形不重疊，是軸對稱圖形；
（2）所設計的圖案（不含方格紙）必須是中心對稱圖形或軸對稱圖形畫出圖．
【詳解】解：（1）圖②是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形；
（2）如圖③既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；

【點睛】本題考查利用旋轉或者軸對稱設計方案，關鍵是理解旋轉和軸對稱的概念，按照要求作出圖形即可
例3．（23-24九年級·浙江·期末）如圖1、圖2為一張紙片的兩種剪拼方案（沿虛線剪開），記圖1為方案甲，圖2為方案乙，其中，，.對于方案甲，滿足，；對于方案乙，滿足，．若要拼一個與原紙片面積相等的正方形（紙片沒有空隙也不重疊），則（ ）
A．甲可以、乙不可以 B．甲不可以、乙可以 C．甲、乙都不可以 D．甲、乙都可以
【答案】D
【分析】本題主要考查圖形的平移，通過計算可得所給紙片的面積為5，圖1中以為邊構造正方形，圖2中以為邊構造正方形，通過平移即可判斷求解．
【詳解】解：方案甲，如下圖所示，將四邊形移至處，將四邊形移至處，將移至處，即可得到一個與原紙片面積相等的正方形；
方案乙，如下圖所示，將移至處，將移至處，即可得到一個與原紙片面積相等的正方形．因此甲、乙都可以，故選D．
例4．（2023·湖北十堰·統考中考真題）在某次數學探究活動中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形硬紙片剪切成如圖所示的四塊（其中D，E，F分別為，，的中點，G，H分別為，的中點），小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長的最小值為 ，最大值為 ．

【答案】 8
【分析】根據題意，可固定四邊形，平移或旋轉其它圖形，組合成四邊形，求出周長，判斷最小值，最大值．
【詳解】 如圖1，，，
∴四邊形周長=；

如圖2，∴四邊形周長為；
故答案為：最小值為8，最大值.
【點睛】本題考查圖形變換及勾股定理，通過平移、旋轉組成滿足要求的四邊形是解題的關鍵．
考向四　測量型方案設計問題
例1．（2023年四川省自貢市中考數學真題）為測量學校后山高度，數學興趣小組活動過程如下：

(1)測量坡角：如圖1，后山一側有三段相對平直的山坡，山的高度即為三段坡面的鉛直高度之和，坡面的長度可以直接測量得到，要求山坡高度還需要知道坡角大小．
如圖2，同學們將兩根直桿的一端放在坡面起始端A處，直桿沿坡面方向放置，在直桿另一端N用細線系小重物G，當直桿與鉛垂線重合時，測得兩桿夾角的度數，由此可得山坡AB坡角的度數．請直接寫出之間的數量關系．
(2)測量山高：同學們測得山坡的坡長依次為40米，50米，40米，坡角依次為；為求，小熠同學在作業本上畫了一個含角的（如圖3），量得．求山高．（，結果精確到1米）
(3)測量改進：由于測量工作量較大，同學們圍繞如何優化測量進行了深入探究，有了以下新的測量方法．

如圖4，5，在學校操場上，將直桿NP置于的頂端，當與鉛垂線重合時，轉動直桿，使點N，P，D共線，測得的度數，從而得到山頂仰角，向后山方向前進40米，采用相同方式，測得山頂仰角；畫一個含的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為厘米，厘米，再畫一個含的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為厘米，厘米．已知桿高MN為米，求山高．（結果用不含的字母表示）
【答案】(1)；(2)山高為69米；(3)山高的高為米．．
【分析】（1）利用互余的性質即可求解；（2）先求得，再分別在、、中，解直角三角形即可求解；（3）先求得，，在和中，分別求得和的長，得到方程，據此即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得，∴；

（2）解：在中，．∴，
在中，，米，∴(米)，
在中，，米， ∴(米)，
在中，，米，∴(米)，
∴山高(米)， 答：山高為69米；
（3）解：如圖，由題意得，，
設山高，則，

在中，，，∴，∴，
在中，，，∴，∴，
∵，∴，即，
解得，山高 答：山高的高為米．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，能夠正確地構建出直角三角形，將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關鍵．
例2．（2023年浙江省溫州市中考數學真題）根據背景素材，探索解決問題．
測算發射塔的高度
背景素材 某興趣小組在一幢樓房窗口測算遠處小山坡上發射塔的高度（如圖1）．他們通過自制的測傾儀（如圖2）在，，三個位置觀測，測傾儀上的示數如圖3所示．

經討論，只需選擇其中兩個合適的位置，通過測量、換算就能計算發射塔的高度．
問題解決
任務1 分析規劃 選擇兩個觀測位置：點_________和點_________
獲取數據 寫出所選位置觀測角的正切值，并量出觀測點之間的圖上距離．
任務2 推理計算 計算發射塔的圖上高度．
任務3 換算高度 樓房實際寬度為米，請通過測量換算發射塔的實際高度．
注：測量時，以答題紙上的圖上距離為準，并精確到1．
【答案】規劃一：[任務 1]選擇點和點；，，，測得圖上；[任務 2]；[任務 3]發射塔的實際高度為米；規劃二：[任務 1]選擇點和點．[任務 2]；[任務 3]發射塔的實際高度為米；
【分析】規劃一：[任務 1]選擇點和點,根據正切的定義求得三個角的正切值，測得圖上
[任務 2]如圖1，過點作于點，過點作于點，設．根據，，得出，．由，解得，根據，得出，即可求解；
[任務3 ]測得圖上，設發射塔的實際高度為米．由題意，得，解得，
規劃二：[任務 1]選擇點和點．根據正切的定義求得三個角的正切值，測得圖上；
[任務 2]如圖2，過點作于點，過點作，交的延長線于點，則，設．根據，，得出，．根據，得出，然后根據，得出，進而即可求解．
[任務 3]測得圖上，設發射塔的實際高度為米．由題意，得，解得，即可求解．
【詳解】解：有以下兩種規劃，任選一種作答即可．
規劃一：[任務 1]選擇點和點．
，，，測得圖上．
[任務 2]如圖1，過點作于點，過點作于點，

則，設．
∵，，∴，．
∵，∴解得，∴．
∵，∴，∴．
[任務3 ]測得圖上，設發射塔的實際高度為米．
由題意，得，解得，∴發射塔的實際高度為米．
規劃二：[任務 1]選擇點和點．，，，測得圖上．
[任務 2]如圖2，過點作于點，過點作，交的延長線于點，則，設．
∵，，∴，．
∵，∴，解得，∴．
∵，∴，∴．
[任務 3]測得圖上，設發射塔的實際高度為米．
由題意，得，解得．∴發射塔的實際高度為米．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握三角函數關系是解題的關鍵．
例3．（2023年甘肅省武威市中考數學真題）如圖1，某人的一器官后面處長了一個新生物，現需檢測到皮膚的距離（圖1）．為避免傷害器官，可利用一種新型檢測技術，檢測射線可避開器官從側面測量．某醫療小組制定方案，通過醫療儀器的測量獲得相關數據，并利用數據計算出新生物到皮膚的距離．方案如下：
課題 檢測新生物到皮膚的距離
工具 醫療儀器等
示意圖
說明 如圖2，新生物在處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的處照射新生物，檢測射線與皮膚的夾角為；再在皮膚上選擇距離處的處照射新生物，檢測射線與皮膚的夾角為．
測量數據 ，，
請你根據上表中的測量數據，計算新生物處到皮膚的距離．（結果精確到）（參考數據：，，，，，）
【答案】新生物處到皮膚的距離約為
【分析】過點作，垂足為，在，用 與的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，聯立求解即可．
【詳解】解：過點作，垂足為．
由題意得，，，
在中，．
在中，．

∵，∴，∴．
答：新生物處到皮膚的距離約為．
【點睛】本題考查解直角三角形的應用，構造直角三角形，通過三角函數求解線段是求解本題的關鍵．
考向五　操作探究型問題
例1．（2023年浙江省臺州市中考數學真題）【問題背景】
“刻漏”是我國古代的一種利用水流計時的工具．綜合實踐小組準備用甲、乙兩個透明的豎直放置的容器和一根帶節流閥（控制水的流速大小）的軟管制作簡易計時裝置．
【實驗操作】
綜合實踐小組設計了如下的實驗：先在甲容器里加滿水，此時水面高度為30cm，開始放水后每隔10min觀察一次甲容器中的水面高度，獲得的數據如下表：
流水時間t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（觀察值） 30 29 28.1 27 25.8
任務1 分別計算表中每隔10min水面高度觀察值的變化量．
【建立模型】小組討論發現：“，”是初始狀態下的準確數據，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數近似地刻畫水面高度h與流水時間t的關系．

任務2 利用時，；時，這兩組數據求水面高度h與流水時間t的函數解析式．
【反思優化】經檢驗，發現有兩組表中觀察值不滿足任務2中求出的函數解析式，存在偏差．小組決定優化函數解析式，減少偏差．通過查閱資料后知道：t為表中數據時，根據解析式求出所對應的函數值，計算這些函數值與對應h的觀察值之差的平方和，記為w；w越小，偏差越小．
任務3 （1）計算任務2得到的函數解析式的w值．（2）請確定經過的一次函數解析式，使得w的值最小．
【設計刻度】得到優化的函數解析式后，綜合實踐小組決定在甲容器外壁設計刻度，通過刻度直接讀取時間．任務4 請你簡要寫出時間刻度的設計方案．
【答案】任務1：見解析；任務2：；任務3：（1），（2）；任務4：見解析
【分析】任務1：根據表格每隔10min水面高度數據計算即可；
任務2：根據每隔10min水面高度觀察值的變化量大約相等，得出水面高度h與流水時間t的是一次函數關系，由待定系數法求解；任務3：（1）先求出對應時間的水面高度，再按要求求w值；
（2）設，然后根據表格中數據求出此時w的值是關于k的二次函數解析式；由此求出w的值最小時k值即可；任務4：根據高度隨時間變化規律，以相同時間刻畫不同高度即可，類似如數軸三要素，有原點、正方向與單位長度．最大量程約為294min可以代替單位長度要素．
【詳解】解：任務1：變化量分別為，；；
；；
任務2：設，∵時，，時，；
∴∴水面高度h與流水時間t的函數解析式為．
任務3：（1）當時，，當時，，
當時，，當時，，當時，，
∴．
（2）設，則
．
當時，w最小．∴優化后的函數解析式為．
任務4：時間刻度方案要點：①時間刻度的0刻度在水位最高處；
②刻度從上向下均勻變大；③每0.102cm表示1min（1cm表示時間約為9.8min）．
【點睛】本題主要考查一次函數和二次函數的應用、方差的計算，熟練掌握待定系數法求解析式及一次函數的函數值、二次函數的最值是解題的關鍵．
例2．（2024·河南·二模）如圖，點是以為直徑的半圓上一點，連接，點是上一個動點，連接，作交于點，交半圓于點．已知：，設的長度為，的長度為，的長度為（當點與點重合時，，，當點與點重合時，，）．
小銳同學根據學習函數的經驗，分別對函數，隨自變量變化而變化的規律進行了探究．
下面是小銳同學的探究過程，請補充完整：
（1）按照下表中自變量的值進行取點、畫圖、測量，分別得到了，與的幾組對應值，請補全表格：
cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8
cm 8.00 5.81 4.38 3.35 2.55 1.85 1.21 0.60 0.00
cm 0.00 0.90 2.24 2.67 2.89 2.83 2.34 0.00
上表中______．（精確到0.1）
（2）在同一平面直角坐標系中，描出補全后的表中各組數值所對應的點，，并畫出函數，的圖象（已經畫出）；
（3）結合函數圖象解決問題：
①當，的長都大于時，長度的取值范圍約是______；（精確到0.1）；②繼續在同一坐標系中畫出所需的函數圖象，判斷點，，能否在以為圓心的同一個圓上？（填“能”或“否”）
【答案】（1）1.6；（2）見解析；（3）①；②見解析，否
【分析】（1）利用測量法可以解決問題；（2）利用描點法畫出函數圖象即可．
（3）①利用圖象法即可解決問題．②利用圖象法解決問題．
【詳解】解：（1）根據測量可知：，故答案是：1.6；（2）的圖象如下圖所示．
（3）①根據函數圖像可知：當，的長都大于時，即且 時，，
故答案是：；
②畫函數的圖象，如上圖，∵函數，以及直線，不可能交于一點，
∴不存在滿足的點，故點，，不可能在以為圓心的同一個圓上．
故答案是：否．
【點睛】本題考查圓綜合題，函數圖象問題，解題的關鍵是理解題意，學會利用測量法解決問題，學會利用函數圖象解決問題，屬于中考壓軸題．
例3．（2023·黑龍江·一模）綜合與實踐
動手操作：利用正方形紙片的折疊開展數學活動．探究體會在正方形折疊過程中，圖形與線段的變化及其蘊含的數學思想方法．如圖1，點為正方形的邊上的一個動點，，將正方形對折，使點與點重合，點與點重合，折痕為．
思考探索：（1）將正方形展平后沿過點的直線折疊，使點的對應點落在上，折痕為，連接，如圖2．①點在以點為圓心，_________的長為半徑的圓上；
②_________；③為_______三角形，請證明你的結論．
拓展延伸：（2）當時，正方形沿過點的直線（不過點）折疊后，點的對應點落在正方形內部或邊上．①面積的最大值為____________；②連接，點為的中點，點在上，連接，則的最小值為____________．
【答案】（1）①；②；③等邊，證明見解析；（2）①3；②．
【分析】（1）①利用圓的基本性質，即可求解；②根據折疊的性質，利用勾股定理，即可求解；
③利用勾股定理，求得B′D=，即可求解；（2）①由題意知點B'在以點E為圓心，半徑長為2的圓上，△ABB'的面積要最大，只要以AB為底的高最長即可，此時當B'E⊥AB時，△ABB'的面積最大；②當E、B′、C三點共線時，B'C+ EB'取得最小值，即B'C+2PQ取得最小值，且最小值為EC的長，利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：（1）根據折疊的性質知：BE=B′E，BC=B′C=3，MA=MB=NC=ND=，
∠B=∠EB′C=90，①點B′在以點E為圓心，BE的長為半徑的圓上；
②B′M=MN- B′N===；
③B′D=，∴△DB'C為等邊三角形；
故答案為：①BE，②，③等邊；
（2）①∵AB=3=3AE，∴AE=1，BE=2，故點B'在以點E為圓心，半徑長為2的圓上，
∴△ABB'的面積要最大，只要以AB為底的高最長即可，
∴當B'E⊥AB時，△ABB'的面積最大，如圖：
△ABB'的面積最大值；
②∵∠AQP=∠AB'E，∴PQ∥B'E，∵P為AE的中點，∴Q為AB'的中點，∴PQ為△AEB'的中位線，
∴PQ=EB'，即EB'=2PQ，∴B'C+2PQ= B'C+ EB'，
當E、B′、C三點共線時，B'C+ EB'取得最小值，即B'C+2PQ取得最小值，且最小值為EC的長，
∴EC=，∴B'C+2PQ的最小值為．
故答案為：①；②．
【點睛】本題考查了圓的性質，矩形的性質、圖形的折疊、等腰三角形的性質等，有一定的綜合性，難度適中，其中（2）①當B'E⊥AB時，△ABB'的面積最大；②當E、B′、C三點共線時，B'C+2PQ取得最小值，是解本題的關鍵．
例4．（2024·浙江寧波·模擬預測）綜合與實踐．
【問題發現】（1）如圖1，在正方形中，為對角線上的動點，過點作的垂線，過點作的垂線，兩條垂線交于點，連接，求證：．
【類比探究】（2）如圖2，在矩形中，為對角線上的動點，過點作的垂線，過點作的垂線，兩條垂線交于點，且，連接，求的值．
【拓展延伸】（3）如圖3，在（2）的條件下，將改為直線上的動點，其余條件不變，取線段的中點，連接，．若，則當是直角三角形時，請求出的長．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）的長為或
【分析】（1）證明，可得；
（2）通過證明，可得；
（3）求出，設，則，分兩種情況解答，由勾股定理可求出答案．
【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，，
，，，
，，，；
（2）解：，，，
點，點，點，點四點共圓，，
，，，
，，，；
（3）解：由（2）知：，，，
，，，
為的中點，，由（2）知，，，
又是直角三角形，，，
設，則，，，，，
，，，或（不合題意，舍去），
當或時，點不存在，當在延長線上時，設，則，
，，，，
，，，
（不合題意，舍去）或，綜上所述，的長為或．
【點睛】本題是相似形綜合題，考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，直角三角形的性質等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．
一、選擇題
1．（2024九年級·山東·培優）為了保護環境，某企業決定購買10臺污水處理設備，現有兩種型號的設備，其中每臺的價格、月處理污水量及年消耗費如表：
型 型
價格（萬元/臺） 12 10
處理污水量（噸/月） 240 200
年消耗費（萬元/臺） 1 1
經計算，該企業購買設備的資金不高于105萬元，則可供該企業選擇的購買方案有（ ）種．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本題主要考查了一元一次不等式的應用．設購買型設備臺，（其中為自然數）則型設備為臺，根據題意，列出不等式，即可求解．
【詳解】解：設購買型設備臺，（其中為自然數）則型設備為臺，依題意得：，解得：，∵為自然數，∴x取0，1，2，∴有三種方案．故選：C
2．（23-24九年級·遼寧阜新·期末）一賓館有一人間、兩人間、三人間三種客房供游客租住，某旅行團共15人準備租用客房共7間，如果每個房間都住滿，租房方案有（ ）
A．1種 B．2種 C．3種 D．4種
【答案】D
【分析】此題考查了三元一次不定方程組的應用．首先設賓館有客房：一人間間、二人間間、三人間間，根據題意可得方程組：，解此方程組可得，又由，，是整數，即可求得答案．
【詳解】解：設賓館有客房：一人間間、二人間間、三人間間，
根據題意得：，解得：，
，，是整數，可選：0，2，4，6共4種情況．故選：D．
3．（22-23九年級下·浙江·期末）甲乙兩家超市用同樣的價格出售同樣的商品．端午節期間，這兩家超市各自推出不同的促銷方案：甲超市的優惠方案：累計購物不超過50元時無優惠，累計購物超過50元后，超出50元的部分按收費；乙超市的優惠方案：累計購物不超過100元時無優惠，累計購物超過100元后，超出100元的部分按收費．小王要在這兩家超市中選擇一家購物，他選擇的下列方案中，合理的是（ ）．
A．到乙超市累計購買80元的商品 B．到乙超市累計購買110元的商品
C．到甲超市累計購買210元的商品 D．到甲超市累計購買160元的商品
【答案】D
【分析】設累計購物x元，分、和三種情況分別求解可得．
【詳解】解：設累計購物x元，
（1）當時，在甲、乙兩個超市購物都不享受優惠，因此到兩個商場購物花費一樣；
（2）當時，在乙超市購物不享受優惠，在甲超市購物享受優惠，因此在甲超市購物花費少；（3）當累計購物超過100元時，即元，
甲超市消費為：元，在乙超市消費為：元．
當，解得：，
當，解得：，
當，解得：．
綜上所述，當累計消費大于50元少于200元時，在甲超市花費少；
當累計消費大于200元時，在乙超市花費少；
當累計消費等于200元或不超過50元時，在甲乙超市花費一樣．故選：D．
【點睛】此題考查了一元一次不等式的應用，關鍵是讀懂題意，列出不等式，再根據實際情況分段進行討論．
4.（2022·黑龍江·中考真題）國家“雙減”政策實施后，某校開展了豐富多彩的社團活動．某班同學報名參加書法和圍棋兩個社團，班長為參加社團的同學去商場購買毛筆和圍棋（兩種都購買）共花費360元．其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購買方案？（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】設設購買毛筆x支，圍棋y副，根據總價=單價×數量，即可得出關于x，y的二元一次方程，結合x，y均為正整數即可得出購買方案的數量．
【詳解】解：設購買毛筆x支，圍棋y副，根據題意得，
15x+20y=360，即3x+4y=72，∴y=18-x．又∵x，y均為正整數，
∴或或或或，∴班長有5種購買方案．故選：A．
【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系“共花費360元”，列出二元一次方程是解題的關鍵．
5．（22-23九年級下·廣西南寧·階段練習）某學校計劃租用甲、乙兩種客車送240名師生（其中學生233名、教師7名）集體外出活動，要求每輛客車上至少要有1名教師．甲、乙兩種客車的載客量和租金如下表：
甲種客車 乙種客車
載客量（單位：人/輛） 45 30
租金（單位：元/輛） 400 280
則最節省費用的租車方案是（ ）
A．租甲種車4輛，租乙種車2輛 B．租甲種車5輛，租乙種車1輛
C．租甲種車2輛，租乙種車5輛 D．租甲種車3輛，租乙種車4輛
【答案】A
【分析】設租用甲客車x輛，租車總費用y元，由每輛客車上至少要有1名教師可知客車總數不能大于7輛，要保證240名師生有車坐，客車總數不能小于，客車總數不能小于6，可得客車總數為6，，根據題意列出一次函數和一元一次不等式，找到x的取值范圍，再結合一次函數的增減性即可求解．
【詳解】解：設租用甲客車x輛，租車總費用y元，由每輛客車上至少要有1名教師可知客車總數不能大于7輛，要保證240名師生有車坐，客車總數不能小于，客車總數不能小于6，
∴客車總數為6，，由題意可得，，
整理可得，由題意，，解得，
∵，∴，∵中，，y隨x的增大而增大，
∴x取最小值時，即，y有最小值，
即當租甲種車4輛，租乙種車2輛，費用最少，故選：A．
【點睛】本題考查一次函數和一元一次不等式的實際應用，利用題中的不等關系找到x的取值范圍是解題的關鍵．
6．（23-24八年級下·遼寧沈陽·階段練習）已知三個城鎮中心恰好位于等邊三角形的三個頂點，在之間鋪設光纜連接，實線為所鋪的路線．
方案．
方案．
方案．（為的中點）
方案．（為三邊的垂直平分線的交點），
四種方案中光纜鋪設路線最短的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了等邊三角形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，垂線段最短，線段垂直平分線的性質，設等邊三角形的邊長為，分別求出每一種方案需要的光纜，進行比較即可判斷求解，掌握等邊三角形和線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：設等邊三角形的邊長為，方案：，
方案：∵為等邊三角形，為的中點，
∴，，∴，
∴，∴；
方案：根據垂線段最短，方案比方案需要的光纜長；
方案：∵為三邊的垂直平分線的交點，
∴，，，，設則，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴方案需要的光纜最短，故選：．
7．（2024·河北邯鄲·模擬預測）一張直徑為的半圓形卡紙，過直徑的兩端點剪掉一個等腰三角形，在右面兩種裁剪方案（如圖1和圖2，單位：）中，說法正確的是（ ）
A．只有方案Ⅰ的數據合理 B．只有方案Ⅱ的數據合理
C．方案Ⅰ、Ⅱ的數據都合理 D．方案Ⅰ、Ⅱ的數據都不合理
【答案】A
【分析】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，根據直徑所對的圓周角是直角，再利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：∵半圓的直徑為，若直徑所對的角的頂點在圓周上，則符合勾股定理，
四個選項中的直徑所對的角的頂點在圓的內部，∴圖中數據的平方和小于，
，，，∴只有方案Ⅰ的數據合理故選：A．
8．（2024·湖北武漢·一模）木匠師傅用長，寬的矩形木板做一個盡可能大的圓形桌面，有如下兩種方案：
方案一：直接鋸一個半徑最大的圓；
方案二：沿對角線將矩形鋸成兩個三角形，適當平移三角形并鋸一個最大的圓．則方案二比方案一的半徑大（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法，證明．
方案一：觀察圖易知，截圓的直徑需不超過長方形長、寬中最短的邊，由已知長寬分別為3，2，那么直接取圓直徑最大為2，則半徑最大為1，方案二：作于，于，設半徑為，利用相似三角形的性質即可求出圓的半徑，然后求出兩個圓的半徑之差即可．
【詳解】解：方案一：因為長方形的長寬分別為3、2，那么直接取圓直徑最大為2，則半徑最大為1；
方案二：作于，于，如圖所示：
則，∵，∴,
∴，∴，∴，
設半徑為， ∴，解得：，∴．故選：D．
9．（2024·浙江紹興·模擬預測）操作：小明準備制作棱長為1cm的正方體紙盒，現選用一些廢棄的紙片進行如下設計：
方案一：圖形中的圓過點A、B、C；
方案二：直角三角形的兩直角邊與展開圖左下角的正方形邊重合，斜邊經過兩個正方形的頂點紙片利用率100%．以上方案一、二的利用率分別為a、b，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查圓周角定理，勾股定理，相似三角形判定及性質．根據題意將方案一中，連接，，，利用勾股定理逆定理得出，繼而得到為該圓的直徑，即可求出，后方案二中證明，利用性質求出，即可得到答案．
【詳解】解：方案一中，連接，，，
，
∵棱長為1cm的正方體紙盒，∴，，
∴，即，∴為該圓的直徑，
∴該圓的半徑為：，∴，
方案二中先將圖進行命名：
，
∵，，∴，
∴，即，∴，即，
∵，∴，
∴，即，∴，∴，
∵，∴，故選：D．
10．（21-22九年級上·河北廊坊·期中）已知：如圖所示，要在一塊長32米，寬20米的矩形場地上修兩條小路，使其余的空白部分的面積為540平方米．嘉琪同學設計了如下三種方案．
方案①兩條小路都是矩形．且寬都是2米；
方案②橫向小路為矩形且寬為2米，縱向小路為平行四邊形（非矩形）且短邊為2米；
方案③橫向、縱向小路都是平行四邊形（非矩形），短邊都是2米．
則可行的方案是（ ）

A．①② B．①②③ C．②③ D．③
【答案】B
【分析】通過平移可得：三種方案空白部分的面積均等同于長米，寬米的矩形的面積，求出空白部分的面積，即可得出結論．
【詳解】解：方案①其余的空白部分的面積等同于長米，寬米的矩形的面積，
空白部分的面積為（平方米）；
方案②其余的空白部分的面積等同于長米，寬米的矩形的面積，
空白部分的面積為（平方米）；
方案③其余的空白部分的面積等同于長米，寬米的矩形的面積，
空白部分的面積為（平方米）．可行的方案是①②③．故選B．
【點睛】本題考查平移的性質、平行四邊形的性質，解題的關鍵是通過平移將空白部分拼成一個矩形．
二、填空題
11．（2023·北京順義·一模）某京郊民宿有二人間、三人間、四人間三種客房供游客住宿，某旅游團有25位女士游客準備同時住這三種客房共8間，如果每間客房都要住滿，請寫出一種住宿方案 ；如果二人間、三人間、四人間三種客房的收費標準分別為300元/間、360元/間、400元/間，則最優惠的住宿方案是 ．
【答案】 二人間2間，三人間3間，四人間3間（答案不唯一）； 二人間3間，三人間1間，四人間4間．
【分析】設二人間、三人間分別需間，間，則四人間需要間，則，整理得：，再利用方程的非負整數解可得答案；設住宿總費用為：元，而，則，再利用一次函數的性質解答即可．
【詳解】解：設二人間、三人間分別需要間，間，則四人間需要間，則
，整理得：，
∵，，都為非負整數，∴當時，，，
∴可行的住宿方案為：二人間2間，三人間3間，四人間3間；
設住宿總費用為：元，而，則
，
∵，∴當最大，有最小值，
∵，，，都為非負整數，∴時最大，此時，；
∴最佳住宿方案為：二人間3間，三人間1間，四人間4間．故答案為：二人間2間，三人間3間，四人間3間（答案不唯一）；二人間3間，三人間1間，四人間4間．
【點睛】本題考查的是二元一次方程的整數解的應用，一次函數的應用，理解題意，構建方程與一次函數是解本題的關鍵．
12．（22-23九年級上·北京海淀·階段練習）某校舉辦校慶晚會，其主舞臺為一圓形舞臺，圓心為O．A，B是舞臺邊緣上兩個固定位置，由線段AB及優弧AB圍成的區域是表演區．若在A處安裝一臺某種型號的燈光裝置，其照亮區域如圖1中陰影所示．此時若在B處安裝一臺同種型號的燈光裝置，恰好可以照亮整個表演區，如圖2中陰影所示．
若將燈光裝置改放在如圖3所示的點M，N或P處，能使表演區完全照亮的方案可能是 ．（填寫方案序號即可）
①在M處放置2臺該型號燈光裝置 ②在P處放置2臺該型號燈光裝置
③在M，N處各放置1臺該型號燈光裝置
【答案】①③/③①
【分析】根據圓周角和三角形內角和的性質，對各個選項逐個分析，即可得到答案．
【詳解】在M處放置2臺該型號的燈光裝置，如下圖
∵在A、B兩處安裝各一臺某種型號的燈光裝置，恰好可以照亮整個表演區，
∴優弧所對圓周角，
如要照亮整個表演區，則兩臺燈光照亮角度為，且
∴為優弧所對圓周角∴，即①方案成立；
在P處放置2臺該型號的燈光裝置，如下圖，MN和相切于點P
如要照亮整個表演區，則兩臺燈光照亮角度為總
根據題意， ，即兩臺燈光照亮角度總和 ∴②方案不成立；
在M，N處各放置1臺該型號的燈光裝置，分別連接、、、、、，如下圖，
∵， ∴③方案成立；故答案為：①③．
【點睛】本題考查了圓、三角形內角和的知識；解題的關鍵是熟練掌握圓周角的性質，從而完成求解．
13．（23-24八年級上·河北滄州·階段練習）在一次數學活動中，為了測量一堵墻上點A的高度，嘉淇設計了如下方案：
第一步：找一根長度大于的直桿，使直桿靠在墻上，且頂端與點A重合，測量出直桿與地面的夾角；
第二步：使直桿頂端沿墻面豎直緩慢下滑，使得 ，標記此時直桿的底端點D；
第三步：測量地面上線段 的長度，即為點A的高度．
若測得，，則直桿下滑的高度AC為 m．

【答案】 2
【分析】測一堵墻上點的高度，可構造，則，即的長度就是點的高度，由此即可求解．
【詳解】解：根據題意得，，，通過構造直角三角形與直角三角形全等，，利用“角角邊”構造，，
測量的長即為墻上點的高度，
，，，，
．故答案為：，，2．
【點睛】本題主要考查全等三角形性質的應用，構造三角形全等是解題的關鍵．
14．（2022·北京·中考真題）甲工廠將生產的I號、II號兩種產品共打包成5個不同的包裹，編號分別為A，B，C，D，E，每個包裹的重量及包裹中I號、II號產品的重量如下：
包裹編號 I號產品重量/噸 II號產品重量/噸 包裹的重量/噸
A 5 1 6
B 3 2 5
C 2 3 5
D 4 3 7
E 3 5 8
甲工廠準備用一輛載重不超過19.5噸的貨車將部分包裹一次運送到乙工廠．
（1）如果裝運的I號產品不少于9噸，且不多于11噸，寫出一種滿足條件的裝運方案________（寫出要裝運包裹的編號）；（2）如果裝運的I號產品不少于9噸，且不多于11噸，同時裝運的II號產品最多，寫出滿足條件的裝運方案________（寫出要裝運包裹的編號）．
【答案】 ABC（或ABE或AD或ACD或BCD） ABE或BCD
【分析】（1）從A，B，C，D，E中選出2個或3個，同時滿足I號產品不少于9噸，且不多于11噸，總重不超過19.5噸即可；
（2）從（1）中符合條件的方案中選出裝運II號產品最多的方案即可．
【詳解】解：（1）根據題意，
選擇ABC時，裝運的I號產品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；
選擇ABE時，裝運的I號產品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；
選擇AD時，裝運的I號產品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；
選擇ACD時，裝運的I號產品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；
選擇BCD時，裝運的I號產品重量為：（噸），總重（噸），符合要求；
選擇DCE時，裝運的I號產品重量為：（噸），總重（噸），不符合要求；
選擇BDE時，裝運的I號產品重量為：（噸），總重（噸），不符合要求；綜上，滿足條件的裝運方案有ABC或ABE或AD或ACD或BCD．
故答案為：ABC（或ABE或AD或ACD或BCD）．
（2）選擇ABC時，裝運的II號產品重量為：（噸）；
選擇ABE時，裝運的II號產品重量為：（噸）；
選擇AD時，裝運的II號產品重量為：（噸）；
選擇ACD時，裝運的II號產品重量為：（噸）；
選擇BCD時，裝運的II號產品重量為：（噸）；故答案為：ABE或BCD．
【點睛】本題考查方案的選擇，讀懂題意，嘗試不同組合時能否同時滿足題目要求的條件是解題關鍵．
三、解答題
15．（2023年吉林省中考數學真題）某校數學活動小組要測量校園內一棵古樹的高度，王朵同學帶領小組成員進行此項實踐活動，記錄如下：
填寫人：王朵 綜合實踐活動報告 時間：2023年4月20日
活動任務：測量古樹高度
活動過程
【步驟一】設計測量方案小組成員討論后，畫出如圖①的測量草圖，確定需測的幾何量．
【步驟二】準備測量工具自制測角儀，把一根細線固定在半圓形量角器的圓心處，細線的另一端系一個小重物，制成一個簡單的測角儀，利用它可以測量仰角或俯角，如圖②所示準備皮尺．
【步驟三】實地測量并記錄數據如圖③，王朵同學站在離古樹一定距離的地方，將這個儀器用手托起，拿到眼前，使視線沿著儀器的直徑剛好到達古樹的最高點．如圖④，利用測角儀，測量后計算得出仰角．測出眼睛到地面的距離．測出所站地方到古樹底部的距離． ________．．．
【步驟四】計算古樹高度．（結果精確到）（參考數據：）
請結合圖①、圖④和相關數據寫出的度數并完成【步驟四】．
【答案】，
【分析】根據測角儀顯示的度數和直角三角形兩銳角互余即可求得的度數，證明四邊形是矩形得到，再解直角三角形求得的度數，即可求解．
【詳解】解：測角儀顯示的度數為，∴，
∵，，，∴，
∴四邊形是矩形，，

在中，，∴．
【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用和矩形的判定與性質，熟練掌握解直角三角形的運算是解題的關鍵．
16．（2022·四川成都·中考真題）隨著“公園城市”建設的不斷推進，成都繞城綠道化身成為這座城市的一個超大型“體育場”，綠道騎行成為市民的一種低碳生活新風尚．甲、乙兩人相約同時從綠道某地出發同向騎行，甲騎行的速度是，乙騎行的路程與騎行的時間之間的關系如圖所示．
(1)直接寫出當和時，與之間的函數表達式；(2)何時乙騎行在甲的前面？
【答案】(1)當時，；當時，(2)0.5小時后
【分析】（1）根據函數圖象，待定系數法求解析式即可求解；
（2）根據乙的路程大于甲的路程即可求解．
【解析】 (1)由函數圖像可知，設時，，將代入，得，則，
當時，設，將，代入得
解得
(2)由（1）可知時，乙騎行的速度為，而甲的速度為，則甲在乙前面，
當時，乙騎行的速度為，甲的速度為，
設小時后，乙騎行在甲的前面則解得
答：0.5小時后乙騎行在甲的前面
【點睛】本題考查了一次函數的應用，一元一次不等式的應用，立即題意是解題的關鍵．
17．（2023年湖南省湘西初中學業水平數學試題）2023年“地攤經濟”成為社會關注的熱門話題，“地攤經濟”有著啟動資金少、管理成本低等優點，特別是在受到疫情沖擊后的經濟恢復期，“地攤經濟”更是成為許多創業者的首選，甲經營了某種品牌小電器生意，采購2臺A種品牌小電器和3臺B種品牌小電器，共需要90元；采購3臺A種品牌小電器和1臺B種品牌小電器，共需要65元銷售一臺A種品牌小電器獲利3元，銷售一臺B種品牌小電器獲利4元．
(1)求購買1臺A種品牌小電器和1臺B種品牌小電器各需要多少元？
(2)甲用不小于2750元，但不超過2850元的資金一次性購進A、B兩種品牌小電器共150臺，求購進A種品牌小電器數量的取值范圍．
(3)在（2）的條件下，所購進的A、B兩種品牌小電器全部銷售完后獲得的總利潤不少于565元，請說明甲合理的采購方案有哪些？并計算哪種采購方案獲得的利潤最大，最大利潤是多少？
【答案】(1)、型品牌小電器每臺進價分別為15元、20元
(2)(3)型30臺，型120臺，最大利潤是570元．
【分析】（1）列方程組即可求出兩種風扇的進價，（2）列一元一次不等式組求出取值范圍即可，
（3）再求出利潤和自變量之間的函數關系式，根據函數的增減性確定當自變量為何值時，利潤最大，由關系式求出最大利潤．
【詳解】（1）設、型品牌小電器每臺的進價分別為元、元，根據題意得：
，解得：，
答：、型品牌小電器每臺進價分別為15元、20元．
（2）設購進型品牌小電器臺
由題意得：，解得，
答：購進A種品牌小電器數量的取值范圍．
（3）設獲利為元，由題意得：，
∵所購進的A、B兩種品牌小電器全部銷售完后獲得的總利潤不少于565元
∴解得：∴
隨的增大而減小，當臺時獲利最大，最大元，
答：型30臺，型120臺，最大利潤是570元．
【點睛】考查二元一次方程組的應用、一元一次不等式組解法和應用以及一次函數的圖象和性質等知識，搞清這些知識之間的相互聯系是解決問題的前提和必要條件．
18．（2024·遼寧鞍山·三模）【發現問題】
蜂巢的結構非常精美，每個巢室都是由多個正六邊形組成（如圖1），某數學興趣小組的同學用若干個形狀，大小均相同的正六邊形模具，模仿蜂巢結構拼成如圖2所示的若干個圖案，同學們發現：在每個拼接成的圖案中，所需正六邊形模具的總個數隨著第一層（最下面一層）正六邊形模具個數的變化而變化．

【提出問題】在拼接成的圖案中，所需正六邊形模具的總個數y與第一層正六邊形模具的個數x之間有怎樣的函數關系
【分析問題】同學們結合實際操作和計算得到如下表所示的數據
第一層正六邊形模具的個數x 1 2 3 4 …
拼接圖案中所需正六邊形模具的總個數y 1 7 19 37 …
然后在平面直角坐標系中描出上面表格中各對數值所對應的點得到圖3，同學們根據圖3中點的分布情況，猜想其圖象是二次函數圖象的一部分．

為了驗證猜想，同學們從“形”的角度出發，借助“割補”的方法，把某一拼接圖案中上半部分的正六邊形模具（虛線部分）移到下面（如圖4），并把第一層缺少的正六邊形模具（陰影部分）補全，再拼接到一起（如圖5），使每一層正六邊形模具的數量相同，借此圖求出正六邊形模具的總個數，再減去用于補全圖形的正六邊形模具的個數，即可求出y與x之間的關系式．
【解決問題】(1)直接寫出y與x的關系式；(2)若同學按圖2的方式拼接圖案，共用了169個正六邊形模具，求拼接成的圖案中第一層正六邊形模具的個數；
(3)如圖6，作正六邊形模具的外接圓，圓心為O，A，B為正六邊形模具相鄰的兩個頂點，的長為，現有一張長100cm，寬80cm的長方形桌子，若按圖2的拼接方式拼接圖案（模具間的接縫忽略不計），最多可以放下多少個正六邊形模具 （）
【答案】(1)(2)8個(3)469個
【分析】本題主要考查求二次函數式，二次函數的應用以及正多邊形和圓：
（1）運用待定系數法求解即可；（2）將代入求解即可；
（3）設正六邊形其它頂點分別為，連接，，求出，，設第一層有x個正六邊形模具，求出拼接圖案的最大寬度為，最大高度為，分拼接圖案的高與長方形桌子的長平行和拼接圖案的高與長方形桌子的寬平行兩種情況求出x的值，代入函數關系式求出y的值即可求解
【詳解】（1）解：設y與x之間的函數關系式為，
將點代入關系式，得：
解得，∴y與x之間的函數關系式為；
（2）解：由（2）知，，將代入，得，
解得，，（不合題意，舍去）
所以，他拼接成的圖案中第一層有8個六邊形模具；
（3）解：如圖，設正六邊形其它頂點分別為，連接，，

由正六邊形及其外接圓的性質得，為的直徑，，線段的長即為邊，間的距離，∴，∴∵的長為，
∵的周長為，∴的直徑，即，
∴， 設第一層有x個正六邊形模具，
∴第x層的正六邊形模具個數最多，有個，拼接成的圖案共有層，其中有x層的高度按的直徑計算，層的高度按正六邊形的邊長計算，
所以，拼接圖案的最大寬度為，最大高度為，
①當拼接圖案的高與長方形桌子的長平行時，有，
解得，，∵x為整數，∴x最大取12；
②當拼接圖案的高與長方形桌子的寬平行時，有，解得，，
∵x為整數，∴x最大取13；
將代入，得，；
將代入得，，∵，
∴最多可以放下469個正六邊形模具
19．（2023·江蘇·二模）綜合與實踐
動手實踐：一次數學興趣活動，張老師將等腰的直角頂點與正方形的頂點重合（），按如圖（1）所示重疊在一起，使點在邊上，連接．
則可證：______，______三點共線；
發現問題：（1）如圖（2），已知正方形，為邊上一動點，，交的延長線于，連結交于點．
若，則______，______；
嘗試探究：（2）如圖（3），在（1）的條件下若，求證：；
拓展延伸：（3）如圖（4），在（1）的條件下，當______時，為的6倍（直接寫結果，不要求證明）．
【答案】動手實踐：，、、；（1）5，10；（2）見解析；（3）
【分析】動手實踐：由等腰Rt△AEF與正方形ABCD可得AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，可得出∠BAF=∠DAE，即可得△ADE≌△ABF，根據全等三角形的性質可得∠ABF=∠D=90°，則∠ABF+∠ABC=180°，即F、B、C三點共線；
（1）若n=2，則DC=2DE，即點E是CD的中點，可證出△ADE≌△ABF，根據全等三角形的性質可得FB=DE=CD=AB，再證出△FBG∽△FCE，可得，可得BG=CE=AB，即可得出，根據三角形的面積公式分別表示S△AGE和S△BGF，即可得出S△AGE和S△BGF的比值；
（2）若n=3，則DC=3DE，由（1）得△ADE≌△ABF，根據全等三角形的性質可得FB=DE=CD=AB，再證出△FBG∽△FCE，可得，可得4BG=CE=AB，可得出BG==AB，即可得出結論；
（3）根據AG為GB的6倍得AG=6GB，則AG=AB=CD，BG=CD，由（1）得△FBG∽△FCE，則，可得出BG FC=EC FB，即CD（BF+BC）=（DC-DE）BF，設CD=x，DE=a，由DE=BF，BC=CD可得x2-6ax+7a2=0，解得：x=（3+）a，或x=（3-）a，即CD=（3+）DE，或CD=（3-）DE，n=3+或3-．
【詳解】解：動手實踐：∵等腰Rt△AEF與正方形ABCD，
∴AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，∴∠BAF=∠DAE，∴△ADE≌△ABF，∴∠ABF=∠D=90°，
∴∠ABF+∠ABC=180°，即F、B、C三點共線，故答案為：ABF，F、B、C；
（1）若n=2，則DC=2DE，即點E是CD的中點，
∵等腰Rt△AEF與正方形ABCD，∴AF=AE，AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠DAE，∴△ADE≌△ABF，∴FB=DE=CD=AB，
∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴△FBG∽△FCE，
∴，∴BG=CE=AB，∴AG=AB-BG=AB，∴，
∵S△AGE=AG BC=×AB×AB=AB2，S△BGF=BG BF=×AB×AB=AB2，
∴，故答案為：5，10；
（2）證明：若n=3，則DC=3DE，由（1）得△ADE≌△ABF，∴FB=DE=CD=AB，
由（1）得△FBG∽△FCE，∴，∴4BG=CE=AB，
∴BG=AB，∴AG=AB-BG=AB，∴AG=5GB；
（3）∵AG為GB的6倍，∴AG=6GB，∴AG=AB=CD，BG=CD，
由（1）得△FBG∽△FCE，∴，
∴BG FC=EC FB，即CD（BF+BC）=（DC-DE）BF，設CD=x，DE=a，
∵DE=BF，BC=CD，∴x（a+x）=（x-a）a，整理得：x2-6ax+7a2=0，
解得：x=（3+）a，或x=（3-）a，即CD=（3+）DE，或CD=（3-）DE，
∴n=3+或3-．故答案為：3+或3-．
【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題．
20．（2023·江蘇連云港·統考中考真題）【問題情境 建構函數】
（1）如圖1，在矩形中，是的中點，，垂足為．設，試用含的代數式表示．
【由數想形 新知初探】（2）在上述表達式中，與成函數關系，其圖像如圖2所示．若取任意實數，此時的函數圖像是否具有對稱性？若有，請說明理由，并在圖2上補全函數圖像．
【數形結合 深度探究】（3）在“取任意實數”的條件下，對上述函數繼續探究，得出以下結論：①函數值隨的增大而增大；②函數值的取值范圍是；③存在一條直線與該函數圖像有四個交點；④在圖像上存在四點，使得四邊形是平行四邊形．其中正確的是__________．（寫出所有正確結論的序號）
【抽象回歸 拓展總結】（4）若將（1）中的“”改成“”，此時關于的函數表達式是__________；一般地，當取任意實數時，類比一次函數、反比例函數、二次函數的研究過程，探究此類函數的相關性質（直接寫出3條即可）．

【答案】（1）；（2）取任意實數時，對應的函數圖像關于原點成中心對稱，見解析；（3）①④；（4），見解析
【分析】（1）證明，得出，進而勾股定理求得，即，整理后即可得出函數關系式；（2）若為圖像上任意一點，則．設關于原點的對稱點為，則．當時，可求得．則也在的圖像上，即可得證，根據中心對稱的性質補全函數圖象即可求解；（3）根據函數圖象，以及中心對稱的性質，逐項分析判斷即可求解；（4）將（1）中的4換成，即可求解；根據（2）的圖象探究此類函數的相關性質，即可求解．
【詳解】（1）在矩形中，，∴．
∵，∴，∴．
∴．∴，∴．
∵，點是的中點，∴．
在中，，
∴．∴．∴關于的表達式為：．
（2）取任意實數時，對應的函數圖像關于原點成中心對稱．
理由如下：若為圖像上任意一點，則．
設關于原點的對稱點為，則．
當時，．
∴也在的圖像上．
∴當取任意實數時，的圖像關于原點對稱．函數圖像如圖所示．

（3）根據函數圖象可得①函數值隨的增大而增大，故①正確，
②由(1)可得函數值，故函數值的范圍為，故②錯誤；
③根據中心對稱的性質，不存在一條直線與該函數圖像有四個交點，故③錯誤；
④因為平行四邊形是中心對稱圖形，則在圖像上存在四點，使得四邊形是平行四邊形，故④正確；故答案為：①④．
（4）關于的函數表達式為；
當取任意實數時，有如下相關性質：
當時，圖像經過第一、三象限，函數值隨的增大而增大，的取值范圍為；
當時，圖像經過第二、四象限，函數值隨的增大而減小，的取值范圍為；函數圖像經過原點；函數圖像關于原點對稱；
【點睛】本題考查了相似三角形的性質，中心對稱的性質，根據函數圖象獲取信息，根據題意求得解析式是解題的關鍵．
21．（2024·廣東深圳·一模）在一節數學探究課中，同學們遇到這樣的幾何問題：如圖1，等腰直角三角形和共頂點A，且三點共線，，連接，點G為的中點，連接和，請思考與具有怎樣的數量和位置關系？
【模型構建】小穎提出且并給出了自己思考，以G是中點入手，如圖2，通過延長與相交于點F，證明，得到，隨后通過得即，又,所以且．
（1）請結合小穎的證明思路利用結論填空：當時，_____；______．
【類比探究】（2）如圖3，若將繞點A逆時針旋轉α度（），請分析此時上述結論是否成立？如果成立，如果不成立，請說明理由．
【拓展延伸】（3）若將E繞點A逆時針旋轉β度（），當時，請直接寫出旋轉角β的度數為_______．
【答案】（1）， （2）見解析 （3）45°或225°
【分析】（1）根據前面的結論，得到且，，得到，，計算即可．
（2）延長到點F,使，連接，證明，過點B作，交于點M，N,再證明 ．
（3）當共線時，根據(2)得到四邊形是平行四邊形，根據，，得到,得四邊形是矩形，繼而得到，此時旋轉角等于的度數即；當共線時，且共線在的延長線上時，根據(2)得到四邊形是平行四邊形，根據，，得到,得四邊形是矩形，繼而得到，此時旋轉角等于的度數即；計算即可．本題考查了等腰直角三角形的性質，矩形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，旋轉的性質，熟練掌握矩形的性質，旋轉的性質，三角形全等的判定和性質是解題的關鍵．
【詳解】（1）根據前面的結論，得到且，，得到，
∵，∴∴，
∵，，∴，，
∴，故答案：，．
（2）延長到點F，使，連接，∵，
∵∴，∴，，
過點B作，交于點M，N,
∴，，∴，
設的交點為Q，則，∴，
∴，∴，
∵∴，∴，，
∵,，∴,∴,
∴且．故結論仍然成立．
（3）如圖，當共線時，
∵，，，∴四邊形是矩形，
∴，此時旋轉角等于的度數即；
當共線時，且共線在的延長線上時，根據(2)得到四邊形是平行四邊形，
∵，，，∴四邊形是矩形，
∴，此時旋轉角等于的度數即；
故答案為：或．
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【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
8.4方案設計型與實驗探究型
方案設計型問題是中考數學創新性問題的一種典型問題，該問題通常設置一個實際問題的情境，并給出一些信息及提出解決問題的具體要求，以探求最為恰當的解決方案。有時問題中還給出多種不同的解決方案，要求考生思考孰優孰劣。這類問題主要考查考生的動手操作能力和實踐能力，具有一定的難度。實驗操作探究型問題經過實驗探索，解決具有特殊性、結論易證的第一個問題，然后進行拓展應用，即解決后面改變圖形背景后的問題，這需要合理的推理、猜想，運用類比、歸納、分類討論等數學思想全面考慮問題，從復雜圖形中識別出前面的圖形及其關系，直接應用前面的結論即可解決問題。
方案設計型問題是設置一個實際問題的情景，給出若干信息，提出解決問題的要求，尋求恰當的解決方案，有時還給出幾個不同的解決方案，要求判斷其中哪個方案最優。方案設計型問題主要考查學生的動手操作能力和實踐能力，主要有以下幾種類型：
1）方程、不等式綜合型方案設計：根據題意，列出方程及不等式（組），通過解方程、不等式，求出其整數解，確定設計方案。
2）函數型方案設計
（1）根據一次函數性質確定最優方案：首先根據題意，列出兩個變量的一次函數解析式；再根據題意，列出不等式組，利用一次函數的增減性確定有最大值（或最小值）的方案。
（2）列出兩個函數解析式，確定最優方案：根據題意（或函數圖象），列出兩個一次函數解析式，通過比較函數值的大小確定最優方案。
3）幾何圖形型方案設計
（1）幾何圖形分割與拼接方案設計：把一個幾何圖形按某種要求分成幾個圖形，這是圖形的分割。反過來，按一定的要求也可以把幾個圖形拼成一個完美的圖形，這是圖形的拼接。在圖形的分割、拼接過程中，都要結合所提供的圖形特點來思考。
（2）圖案設計方案：以某一個圖案為基礎，利用中心對稱、軸對稱的性質設計優美圖案。由于思考的角度不同，審美觀各異，設計出的圖案是不唯一的。
4）測量方案型設計問題
（1）測量物體高度方案設計：理解俯角、仰角的定義，分析圖形：根據題意構造直角三角形。并結合圖形利用三角函數，應用解直角三角形的關系解決問題。
（2）測量物體寬度方案設計：理解方向角或方位角，由題意構建直角三角形，運用三角函數解直角三角形。
（3）測量物體深度方案設計：根據題意作出輔助線，構造出相似三角形（或直角三角形），運用相似三角形性質（或三角函數）解答實際問題。
操作探究型問題是通過動手測量、作圖(象)、取值、計算等試驗，猜想獲得數學結論的研究性活動，這類活動完全模擬以動手為基礎的手腦結合的科學研究形式，需要動手操作、合理猜想和驗證。常見類型：（1）操作設計問題；（2）圖形剪拼；（3）操作探究；（4）數學建模。
解題策略：運用觀察、操作、聯想、推理、概括等多種方法。
考向一　方程、不等式型方案設計
例1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）某賓館有單人間，雙人間，三人間三種客房供游客選擇居住，現某旅游團有18名游客同時安排居住在該賓館，若每個房間都住滿，共租了8間客房，則居住方案有（　　）
A．2種 B．3種 C．4種 D．5種
例2．（2023·廣東·中考模擬預測）某中學為落實《教育部辦公廳關于進一步加強中小學生體質管理的通知》文件要求，決定增設籃球、足球兩門選修課程，需要購進一批籃球和足球．已知購買2個籃球和3個足球共需費用510元；購買3個籃球和5個足球共需費用810元．
(1)求籃球和足球的單價分別是多少元；(2)學校計劃采購籃球、足球共50個，并要求籃球不少于30個，且總費用不超過5500元．那么有哪幾種購買方案？
例3．（2023年河南省中考數學真題）某健身器材專賣店推出兩種優惠活動，并規定購物時只能選擇其中一種．
活動一：所購商品按原價打八折；
活動二：所購商品按原價每滿300元減80元．（如：所購商品原價為300元，可減80元，需付款220元；所購商品原價為770元，可減160元，需付款610元）
(1)購買一件原價為450元的健身器材時，選擇哪種活動更合算？請說明理由．
(2)購買一件原價在500元以下的健身器材時，若選擇活動一和選擇活動二的付款金額相等，求一件這種健身器材的原價．
(3)購買一件原價在900元以下的健身器材時，原價在什么范圍內，選擇活動二比選擇活動一更合算？設一件這種健身器材的原價為a元，請直接寫出a的取值范圍．
例4．（2023年四川省德陽市中考數學真題）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新時代”為主題的世界清潔能源裝備大會在德陽舉行．大會聚焦清潔能源裝備產業發展熱點和前瞻性問題，著力實現會展聚集帶動產業聚集．其中德陽清潔能源裝備特色小鎮位于德陽經濟技術開發區，規劃面積平方公里，計劃2025年基本建成．若甲、乙兩個工程隊計劃參與修建“特色小鎮”中的某項工程，已知由甲單獨施工需要18個月完成任務，若由乙先單獨施工2個月，再由甲、乙合作施工10個月恰好完成任務．承建公司每個月需要向甲工程隊支付施工費用8萬元，向乙工程隊支付施工費用5萬元．(1)乙隊單獨完工需要幾個月才能完成任務？(2)為保證該工程在兩年內完工，且盡可能的減少成本，承建公司決定讓甲、乙兩個工程隊同時施工，并將該工程分成兩部分，甲隊完成其中一部分工程用了a個月，乙隊完成另一部分工程用了b個月，已知甲隊施工時間不超過6個月，乙隊施工時間不超過24個月，且a，b為正整數，則甲乙兩隊實際施工的時間安排有幾種方式？哪種安排方式所支付費用最低？
例5.（2023·四川達州·統考中考真題）某縣著名傳統土特產品“豆筍”、“豆干”以“濃郁豆香，綠色健康”享譽全國，深受廣大消費者喜愛．已知2件豆筍和3件豆干進貨價為240元，3件豆筍和4件豆干進貨價為340元．(1)分別求出每件豆筍、豆干的進價；(2)某特產店計劃用不超過元購進豆筍、豆干共件，且豆筍的數量不低于豆干數量的，該特產店有哪幾種進貨方案？
(3)若該特產店每件豆筍售價為80元，每件豆干售價為55元，在（2）的條件下，怎樣進貨可使該特產店獲得利潤最大，最大利潤為多少元？
考向二　函數型方案設計問題
例1．（2023年江蘇省揚州市中考數學真題）近年來，市民交通安全意識逐步增強，頭盔需求量增大．某商店購進甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費2920元，甲種頭盔的單價比乙種頭盔的單價高11元．(1)甲、乙兩種頭盔的單價各是多少元？(2)商店決定再次購進甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進行促銷活動，促銷方式如下：甲種頭盔按單價的八折出售，乙種頭盔每只降價6元出售．如果此次購買甲種頭盔的數量不低于乙種頭盔數量的一半，那么應購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費用最小？最小費用是多少元？
例2．（2023年湖北省恩施州中考數學真題）為積極響應州政府“悅享成長·書香恩施”的號召，學校組織150名學生參加朗誦比賽，因活動需要，計劃給每個學生購買一套服裝．經市場調查得知，購買1套男裝和1套女裝共需220元；購買6套男裝與購買5套女裝的費用相同．(1)男裝、女裝的單價各是多少？(2)如果參加活動的男生人數不超過女生人數的，購買服裝的總費用不超過17000元，那么學校有幾種購買方案？怎樣購買才能使費用最低，最低費用是多少？
例3．（2023年黑龍江龍東地區中考數學真題）2023年5月30日上午9點31分，神舟十六號載人飛船在酒泉發射中心發射升空，某中學組織畢業班的同學到當地電視臺演播大廳觀看現場直播，學校準備為同學們購進A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購進A款和用400元購進B款的文化衫的數量相同．(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？(2)已知畢業班的同學一共有300人，學校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫，求有幾種購買方案？(3)在實際購買時，由于數量較多，商家讓利銷售，A款七折優惠，B款每件讓利m元，采購人員發現（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，試求m值．
例4．（2023年新疆維吾爾自治區中考數學真題）隨著端午節的臨近，，兩家超市開展促銷活動，各自推出不同的購物優惠方案，如下表：
超市 超市
優惠方案 所有商品按八折出售 購物金額每滿元返元
(1)當購物金額為元時，選擇超市______（填“”或“”）更省錢；
當購物金額為元時，選擇超市______（填“”或“”）更省錢；
(2)若購物金額為（）元時，請分別寫出它們的實付金額（元）與購物金額（元）之間的函數解析式，并說明促銷期間如何選擇這兩家超市去購物更省錢？
(3)對于超市的優惠方案，隨著購物金額的增大，顧客享受的優惠率不變，均為%（注：）．若在超市購物，購物金額越大，享受的優惠率一定越大嗎？請舉例說明．
考向三　幾何型方案設計問題
例1．（2023·山東棗莊·統考中考真題）（1）觀察分析：在一次數學綜合實踐活動中，老師向同學們展示了圖①，圖②，圖③三幅圖形，請你結合自己所學的知識，觀察圖中陰影部分構成的圖案，寫出三個圖案都具有的兩個共同特征：___________，___________．

（2）動手操作：請在圖④中設計一個新的圖案，使其滿足你在（1）中發現的共同特征．
例2．（2024·吉林·模擬預測）閱讀理解，并解答問題：如圖所示的8×8網格都是由邊長為1的小正方形組成，圖①中的圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．趙爽通過對這種圖形切割、拼接，巧妙地利用面積關系證明了著名的勾股定理，它表現了我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智，是我國數學史上的驕傲．

問題：請用“趙爽弦圖”中的四個直角三角形通過你所學過的圖形變化，在圖②，圖③的方格紙中設計另外兩個不同的圖案，每個直角三角形的頂點均在方格紙的格點上，且四個三角形互不重疊．畫圖要求：（1）圖②中所設計的圖案（不含方格紙）必須是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形；
（2）圖③中所設計的圖案（不含方格紙）必須既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．
例3．（23-24九年級·浙江·期末）如圖1、圖2為一張紙片的兩種剪拼方案（沿虛線剪開），記圖1為方案甲，圖2為方案乙，其中，，.對于方案甲，滿足，；對于方案乙，滿足，．若要拼一個與原紙片面積相等的正方形（紙片沒有空隙也不重疊），則（ ）
A．甲可以、乙不可以 B．甲不可以、乙可以 C．甲、乙都不可以 D．甲、乙都可以
例4．（2023·湖北十堰·統考中考真題）在某次數學探究活動中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形硬紙片剪切成如圖所示的四塊（其中D，E，F分別為，，的中點，G，H分別為，的中點），小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長的最小值為 ，最大值為 ．

考向四　測量型方案設計問題
例1．（2023年四川省自貢市中考數學真題）為測量學校后山高度，數學興趣小組活動過程如下：

(1)測量坡角：如圖1，后山一側有三段相對平直的山坡，山的高度即為三段坡面的鉛直高度之和，坡面的長度可以直接測量得到，要求山坡高度還需要知道坡角大小．
如圖2，同學們將兩根直桿的一端放在坡面起始端A處，直桿沿坡面方向放置，在直桿另一端N用細線系小重物G，當直桿與鉛垂線重合時，測得兩桿夾角的度數，由此可得山坡AB坡角的度數．請直接寫出之間的數量關系．
(2)測量山高：同學們測得山坡的坡長依次為40米，50米，40米，坡角依次為；為求，小熠同學在作業本上畫了一個含角的（如圖3），量得．求山高．（，結果精確到1米）
(3)測量改進：由于測量工作量較大，同學們圍繞如何優化測量進行了深入探究，有了以下新的測量方法．

如圖4，5，在學校操場上，將直桿NP置于的頂端，當與鉛垂線重合時，轉動直桿，使點N，P，D共線，測得的度數，從而得到山頂仰角，向后山方向前進40米，采用相同方式，測得山頂仰角；畫一個含的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為厘米，厘米，再畫一個含的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為厘米，厘米．已知桿高MN為米，求山高．（結果用不含的字母表示）
例2．（2023年浙江省溫州市中考數學真題）根據背景素材，探索解決問題．
測算發射塔的高度
背景素材 某興趣小組在一幢樓房窗口測算遠處小山坡上發射塔的高度（如圖1）．他們通過自制的測傾儀（如圖2）在，，三個位置觀測，測傾儀上的示數如圖3所示．

經討論，只需選擇其中兩個合適的位置，通過測量、換算就能計算發射塔的高度．
問題解決
任務1 分析規劃 選擇兩個觀測位置：點_______和點_________
獲取數據 寫出所選位置觀測角的正切值，并量出觀測點之間的圖上距離．
任務2 推理計算 計算發射塔的圖上高度．
任務3 換算高度 樓房實際寬度為米，請通過測量換算發射塔的實際高度．
注：測量時，以答題紙上的圖上距離為準，并精確到1．
例3．（2023年甘肅省武威市中考數學真題）如圖1，某人的一器官后面處長了一個新生物，現需檢測到皮膚的距離（圖1）．為避免傷害器官，可利用一種新型檢測技術，檢測射線可避開器官從側面測量．某醫療小組制定方案，通過醫療儀器的測量獲得相關數據，并利用數據計算出新生物到皮膚的距離．方案如下：
課題 檢測新生物到皮膚的距離
工具 醫療儀器等
示意圖
說明 如圖2，新生物在處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的處照射新生物，檢測射線與皮膚的夾角為；再在皮膚上選擇距離處的處照射新生物，檢測射線與皮膚的夾角為．
測量數據 ，，
請你根據上表中的測量數據，計算新生物處到皮膚的距離．（結果精確到）（參考數據：，，，，，）
考向五　操作探究型問題
例1．（2023年浙江省臺州市中考數學真題）【問題背景】
“刻漏”是我國古代的一種利用水流計時的工具．綜合實踐小組準備用甲、乙兩個透明的豎直放置的容器和一根帶節流閥（控制水的流速大小）的軟管制作簡易計時裝置．
【實驗操作】
綜合實踐小組設計了如下的實驗：先在甲容器里加滿水，此時水面高度為30cm，開始放水后每隔10min觀察一次甲容器中的水面高度，獲得的數據如下表：
流水時間t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（觀察值） 30 29 28.1 27 25.8
任務1 分別計算表中每隔10min水面高度觀察值的變化量．
【建立模型】小組討論發現：“，”是初始狀態下的準確數據，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數近似地刻畫水面高度h與流水時間t的關系．

任務2 利用時，；時，這兩組數據求水面高度h與流水時間t的函數解析式．
【反思優化】經檢驗，發現有兩組表中觀察值不滿足任務2中求出的函數解析式，存在偏差．小組決定優化函數解析式，減少偏差．通過查閱資料后知道：t為表中數據時，根據解析式求出所對應的函數值，計算這些函數值與對應h的觀察值之差的平方和，記為w；w越小，偏差越小．
任務3 （1）計算任務2得到的函數解析式的w值．（2）請確定經過的一次函數解析式，使得w的值最小．
【設計刻度】得到優化的函數解析式后，綜合實踐小組決定在甲容器外壁設計刻度，通過刻度直接讀取時間．任務4 請你簡要寫出時間刻度的設計方案．
例2．（2024·河南·二模）如圖，點是以為直徑的半圓上一點，連接，點是上一個動點，連接，作交于點，交半圓于點．已知：，設的長度為，的長度為，的長度為（當點與點重合時，，，當點與點重合時，，）．
小銳同學根據學習函數的經驗，分別對函數，隨自變量變化而變化的規律進行了探究．
下面是小銳同學的探究過程，請補充完整：
（1）按照下表中自變量的值進行取點、畫圖、測量，分別得到了，與的幾組對應值，請補全表格：
cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8
cm 8.00 5.81 4.38 3.35 2.55 1.85 1.21 0.60 0.00
cm 0.00 0.90 2.24 2.67 2.89 2.83 2.34 0.00
上表中______．（精確到0.1）
（2）在同一平面直角坐標系中，描出補全后的表中各組數值所對應的點，，并畫出函數，的圖象（已經畫出）；（3）結合函數圖象解決問題：①當，的長都大于時，長度的取值范圍約是______；（精確到0.1）；②繼續在同一坐標系中畫出所需的函數圖象，判斷點，，能否在以為圓心的同一個圓上？（填“能”或“否”）
例3．（2023·黑龍江·一模）綜合與實踐
動手操作：利用正方形紙片的折疊開展數學活動．探究體會在正方形折疊過程中，圖形與線段的變化及其蘊含的數學思想方法．如圖1，點為正方形的邊上的一個動點，，將正方形對折，使點與點重合，點與點重合，折痕為．
思考探索：（1）將正方形展平后沿過點的直線折疊，使點的對應點落在上，折痕為，連接，如圖2．①點在以點為圓心，_________的長為半徑的圓上；
②_________；③為_______三角形，請證明你的結論．
拓展延伸：（2）當時，正方形沿過點的直線（不過點）折疊后，點的對應點落在正方形內部或邊上．①面積的最大值為____________；②連接，點為的中點，點在上，連接，則的最小值為____________．
例4．（2024·浙江寧波·模擬預測）綜合與實踐．
【問題發現】（1）如圖1，在正方形中，為對角線上的動點，過點作的垂線，過點作的垂線，兩條垂線交于點，連接，求證：．
【類比探究】（2）如圖2，在矩形中，為對角線上的動點，過點作的垂線，過點作的垂線，兩條垂線交于點，且，連接，求的值．
【拓展延伸】（3）如圖3，在（2）的條件下，將改為直線上的動點，其余條件不變，取線段的中點，連接，．若，則當是直角三角形時，請求出的長．
一、選擇題
1．（2024九年級·山東·培優）為了保護環境，某企業決定購買10臺污水處理設備，現有兩種型號的設備，其中每臺的價格、月處理污水量及年消耗費如表：
型 型
價格（萬元/臺） 12 10
處理污水量（噸/月） 240 200
年消耗費（萬元/臺） 1 1
經計算，該企業購買設備的資金不高于105萬元，則可供該企業選擇的購買方案有（ ）種．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24九年級·遼寧阜新·期末）一賓館有一人間、兩人間、三人間三種客房供游客租住，某旅行團共15人準備租用客房共7間，如果每個房間都住滿，租房方案有（ ）
A．1種 B．2種 C．3種 D．4種
3．（22-23九年級下·浙江·期末）甲乙兩家超市用同樣的價格出售同樣的商品．端午節期間，這兩家超市各自推出不同的促銷方案：甲超市的優惠方案：累計購物不超過50元時無優惠，累計購物超過50元后，超出50元的部分按收費；乙超市的優惠方案：累計購物不超過100元時無優惠，累計購物超過100元后，超出100元的部分按收費．小王要在這兩家超市中選擇一家購物，他選擇的下列方案中，合理的是（ ）．
A．到乙超市累計購買80元的商品 B．到乙超市累計購買110元的商品
C．到甲超市累計購買210元的商品 D．到甲超市累計購買160元的商品
4.（2022·黑龍江·中考真題）國家“雙減”政策實施后，某校開展了豐富多彩的社團活動．某班同學報名參加書法和圍棋兩個社團，班長為參加社團的同學去商場購買毛筆和圍棋（兩種都購買）共花費360元．其中毛筆每支15元，圍棋每副20元，共有多少種購買方案？（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（22-23九年級下·廣西南寧·階段練習）某學校計劃租用甲、乙兩種客車送240名師生（其中學生233名、教師7名）集體外出活動，要求每輛客車上至少要有1名教師．甲、乙兩種客車的載客量和租金如下表：
甲種客車 乙種客車
載客量（單位：人/輛） 45 30
租金（單位：元/輛） 400 280
則最節省費用的租車方案是（ ）
A．租甲種車4輛，租乙種車2輛 B．租甲種車5輛，租乙種車1輛
C．租甲種車2輛，租乙種車5輛 D．租甲種車3輛，租乙種車4輛
6．（23-24八年級下·遼寧沈陽·階段練習）已知三個城鎮中心恰好位于等邊三角形的三個頂點，在之間鋪設光纜連接，實線為所鋪的路線．
方案．; 方案．; 方案．（為的中點）
方案．（為三邊的垂直平分線的交點），
四種方案中光纜鋪設路線最短的是（ ）
A．B． C． D．
7．（2024·河北邯鄲·模擬預測）一張直徑為的半圓形卡紙，過直徑的兩端點剪掉一個等腰三角形，在右面兩種裁剪方案（如圖1和圖2，單位：）中，說法正確的是（ ）
A．只有方案Ⅰ的數據合理 B．只有方案Ⅱ的數據合理
C．方案Ⅰ、Ⅱ的數據都合理 D．方案Ⅰ、Ⅱ的數據都不合理
8．（2024·湖北武漢·一模）木匠師傅用長，寬的矩形木板做一個盡可能大的圓形桌面，有如下兩種方案：方案一：直接鋸一個半徑最大的圓；
方案二：沿對角線將矩形鋸成兩個三角形，適當平移三角形并鋸一個最大的圓．則方案二比方案一的半徑大（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·浙江紹興·模擬預測）操作：小明準備制作棱長為1cm的正方體紙盒，現選用一些廢棄的紙片進行如下設計：
方案一：圖形中的圓過點A、B、C；
方案二：直角三角形的兩直角邊與展開圖左下角的正方形邊重合，斜邊經過兩個正方形的頂點紙片利用率100%．以上方案一、二的利用率分別為a、b，則（　　）
A． B． C． D．
10．（21-22九年級上·河北廊坊·期中）已知：如圖所示，要在一塊長32米，寬20米的矩形場地上修兩條小路，使其余的空白部分的面積為540平方米．嘉琪同學設計了如下三種方案．
方案①兩條小路都是矩形．且寬都是2米；
方案②橫向小路為矩形且寬為2米，縱向小路為平行四邊形（非矩形）且短邊為2米；
方案③橫向、縱向小路都是平行四邊形（非矩形），短邊都是2米．
則可行的方案是（ ）

A．①② B．①②③ C．②③ D．③
二、填空題
11．（2023·北京順義·一模）某京郊民宿有二人間、三人間、四人間三種客房供游客住宿，某旅游團有25位女士游客準備同時住這三種客房共8間，如果每間客房都要住滿，請寫出一種住宿方案 ；如果二人間、三人間、四人間三種客房的收費標準分別為300元/間、360元/間、400元/間，則最優惠的住宿方案是 ．
12．（22-23九年級上·北京海淀·階段練習）某校舉辦校慶晚會，其主舞臺為一圓形舞臺，圓心為O．A，B是舞臺邊緣上兩個固定位置，由線段AB及優弧AB圍成的區域是表演區．若在A處安裝一臺某種型號的燈光裝置，其照亮區域如圖1中陰影所示．此時若在B處安裝一臺同種型號的燈光裝置，恰好可以照亮整個表演區，如圖2中陰影所示．
若將燈光裝置改放在如圖3所示的點M，N或P處，能使表演區完全照亮的方案可能是 ．（填寫方案序號即可）.①在M處放置2臺該型號燈光裝置 ②在P處放置2臺該型號燈光裝置
③在M，N處各放置1臺該型號燈光裝置
13．（23-24八年級上·河北滄州·階段練習）在一次數學活動中，為了測量一堵墻上點A的高度，嘉淇設計了如下方案：
第一步：找一根長度大于的直桿，使直桿靠在墻上，且頂端與點A重合，測量出直桿與地面的夾角；
第二步：使直桿頂端沿墻面豎直緩慢下滑，使得 ，標記此時直桿的底端點D；
第三步：測量地面上線段 的長度，即為點A的高度．
若測得，，則直桿下滑的高度AC為 m．

14．（2022·北京·中考真題）甲工廠將生產的I號、II號兩種產品共打包成5個不同的包裹，編號分別為A，B，C，D，E，每個包裹的重量及包裹中I號、II號產品的重量如下：
包裹編號 I號產品重量/噸 II號產品重量/噸 包裹的重量/噸
A 5 1 6
B 3 2 5
C 2 3 5
D 4 3 7
E 3 5 8
甲工廠準備用一輛載重不超過19.5噸的貨車將部分包裹一次運送到乙工廠．
（1）如果裝運的I號產品不少于9噸，且不多于11噸，寫出一種滿足條件的裝運方案________（寫出要裝運包裹的編號）；（2）如果裝運的I號產品不少于9噸，且不多于11噸，同時裝運的II號產品最多，寫出滿足條件的裝運方案________（寫出要裝運包裹的編號）．
三、解答題
15．（2023年吉林省中考數學真題）某校數學活動小組要測量校園內一棵古樹的高度，王朵同學帶領小組成員進行此項實踐活動，記錄如下：
填寫人：王朵 綜合實踐活動報告 時間：2023年4月20日
活動任務：測量古樹高度
活動過程
【步驟一】設計測量方案小組成員討論后，畫出如圖①的測量草圖，確定需測的幾何量．
【步驟二】準備測量工具自制測角儀，把一根細線固定在半圓形量角器的圓心處，細線的另一端系一個小重物，制成一個簡單的測角儀，利用它可以測量仰角或俯角，如圖②所示準備皮尺．
【步驟三】實地測量并記錄數據如圖③，王朵同學站在離古樹一定距離的地方，將這個儀器用手托起，拿到眼前，使視線沿著儀器的直徑剛好到達古樹的最高點．如圖④，利用測角儀，測量后計算得出仰角．測出眼睛到地面的距離．測出所站地方到古樹底部的距離． ________．．．
【步驟四】計算古樹高度．（結果精確到）（參考數據：）
請結合圖①、圖④和相關數據寫出的度數并完成【步驟四】．
16．（2022·四川成都·中考真題）隨著“公園城市”建設的不斷推進，成都繞城綠道化身成為這座城市的一個超大型“體育場”，綠道騎行成為市民的一種低碳生活新風尚．甲、乙兩人相約同時從綠道某地出發同向騎行，甲騎行的速度是，乙騎行的路程與騎行的時間之間的關系如圖所示．
(1)直接寫出當和時，與之間的函數表達式；(2)何時乙騎行在甲的前面？
17．（2023年湖南省湘西初中學業水平數學試題）2023年“地攤經濟”成為社會關注的熱門話題，“地攤經濟”有著啟動資金少、管理成本低等優點，特別是在受到疫情沖擊后的經濟恢復期，“地攤經濟”更是成為許多創業者的首選，甲經營了某種品牌小電器生意，采購2臺A種品牌小電器和3臺B種品牌小電器，共需要90元；采購3臺A種品牌小電器和1臺B種品牌小電器，共需要65元銷售一臺A種品牌小電器獲利3元，銷售一臺B種品牌小電器獲利4元．
(1)求購買1臺A種品牌小電器和1臺B種品牌小電器各需要多少元？
(2)甲用不小于2750元，但不超過2850元的資金一次性購進A、B兩種品牌小電器共150臺，求購進A種品牌小電器數量的取值范圍．
(3)在（2）的條件下，所購進的A、B兩種品牌小電器全部銷售完后獲得的總利潤不少于565元，請說明甲合理的采購方案有哪些？并計算哪種采購方案獲得的利潤最大，最大利潤是多少？
18．（2024·遼寧鞍山·三模）【發現問題】蜂巢的結構非常精美，每個巢室都是由多個正六邊形組成（如圖1），某數學興趣小組的同學用若干個形狀，大小均相同的正六邊形模具，模仿蜂巢結構拼成如圖2所示的若干個圖案，同學們發現：在每個拼接成的圖案中，所需正六邊形模具的總個數隨著第一層（最下面一層）正六邊形模具個數的變化而變化．

【提出問題】在拼接成的圖案中，所需正六邊形模具的總個數y與第一層正六邊形模具的個數x之間有怎樣的函數關系
【分析問題】同學們結合實際操作和計算得到如下表所示的數據
第一層正六邊形模具的個數x 1 2 3 4 …
拼接圖案中所需正六邊形模具的總個數y 1 7 19 37 …
然后在平面直角坐標系中描出上面表格中各對數值所對應的點得到圖3，同學們根據圖3中點的分布情況，猜想其圖象是二次函數圖象的一部分．

為了驗證猜想，同學們從“形”的角度出發，借助“割補”的方法，把某一拼接圖案中上半部分的正六邊形模具（虛線部分）移到下面（如圖4），并把第一層缺少的正六邊形模具（陰影部分）補全，再拼接到一起（如圖5），使每一層正六邊形模具的數量相同，借此圖求出正六邊形模具的總個數，再減去用于補全圖形的正六邊形模具的個數，即可求出y與x之間的關系式．
【解決問題】(1)直接寫出y與x的關系式；(2)若同學按圖2的方式拼接圖案，共用了169個正六邊形模具，求拼接成的圖案中第一層正六邊形模具的個數；
(3)如圖6，作正六邊形模具的外接圓，圓心為O，A，B為正六邊形模具相鄰的兩個頂點，的長為，現有一張長100cm，寬80cm的長方形桌子，若按圖2的拼接方式拼接圖案（模具間的接縫忽略不計），最多可以放下多少個正六邊形模具 （）
19．（2023·江蘇·二模）綜合與實踐
動手實踐：一次數學興趣活動，張老師將等腰的直角頂點與正方形的頂點重合（），按如圖（1）所示重疊在一起，使點在邊上，連接．
則可證：______，______三點共線；
發現問題：（1）如圖（2），已知正方形，為邊上一動點，，交的延長線于，連結交于點．
若，則______，______；
嘗試探究：（2）如圖（3），在（1）的條件下若，求證：；
拓展延伸：（3）如圖（4），在（1）的條件下，當______時，為的6倍（直接寫結果，不要求證明）．
20．（2023·江蘇連云港·統考中考真題）【問題情境 建構函數】
（1）如圖1，在矩形中，是的中點，，垂足為．設，試用含的代數式表示．
【由數想形 新知初探】（2）在上述表達式中，與成函數關系，其圖像如圖2所示．若取任意實數，此時的函數圖像是否具有對稱性？若有，請說明理由，并在圖2上補全函數圖像．
【數形結合 深度探究】（3）在“取任意實數”的條件下，對上述函數繼續探究，得出以下結論：①函數值隨的增大而增大；②函數值的取值范圍是；③存在一條直線與該函數圖像有四個交點；④在圖像上存在四點，使得四邊形是平行四邊形．其中正確的是__________．（寫出所有正確結論的序號）
【抽象回歸 拓展總結】（4）若將（1）中的“”改成“”，此時關于的函數表達式是__________；一般地，當取任意實數時，類比一次函數、反比例函數、二次函數的研究過程，探究此類函數的相關性質（直接寫出3條即可）．

21．（2024·廣東深圳·一模）在一節數學探究課中，同學們遇到這樣的幾何問題：如圖1，等腰直角三角形和共頂點A，且三點共線，，連接，點G為的中點，連接和，請思考與具有怎樣的數量和位置關系？
【模型構建】小穎提出且并給出了自己思考，以G是中點入手，如圖2，通過延長與相交于點F，證明，得到，隨后通過得即，又,所以且．
（1）請結合小穎的證明思路利用結論填空：當時，_____；______．
【類比探究】（2）如圖3，若將繞點A逆時針旋轉α度（），請分析此時上述結論是否成立？如果成立，如果不成立，請說明理由．
【拓展延伸】（3）若將E繞點A逆時針旋轉β度（），當時，請直接寫出旋轉角β的度數為_______．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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