資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
8.3跨學科融合
跨學科融合是指將不同領域內的學科知識整合到一起，通過多學科課程的融通，更好地解決學生在學習過程中出現的問題，提升學生在不同情境中解決問題的能力數學中的跨學科融合問題是指在其他學科背景下創設數學問題或在研究其他學科的問題時，運用數學知識和數學思維解決問題。由于數學是學好物理、化學、地理等課程的基礎，因此在近幾年的中考命題中，以其他學科的知識為背景，或以其他學科的問題為載體設計的數學問題經常出現，令人耳目全新。這類試題既能體現數學科的基礎作用，又能考查學生綜合運用知識的能力，更符合當前課程改革的需要。在今后的中考試題中，跨學科的綜合題仍是命題的熱點和趨勢。
近年來各地中考和模擬考關于跨學科融合考查主要涉及物理、生物、化學、語文、音樂、信息技術、地理等其他學科領域，如物理：彈簧、定滑輪、氣敏電阻裝置、電流電壓電阻的關系、壓強、杠桿、小孔成像、凸透鏡、液體密度、光的反射、電路圖；生物：細胞分裂、光合作用、心電心率圖、新生物的檢測；化學：溶解度曲線圖、分子結構式、生活現象（物質變化）；語文：曹沖稱象；音樂：五線譜；信息技術：程序圖、函數求值機；地理：地球半徑等。
解決跨學科融合問題時，首先要對所涉及的各學科的基礎知識有一定的理解和掌握，其次要認真審題。挖掘有用的信息，將有關學科的知識加以遷移引申。綜合運用數學和其他學科的知識，從不同的角度尋求分析問題和解決問題的方法。
考向一　與物理融合問題
例1．（2024·江蘇常州·模擬預測）如圖，平行于主光軸的光線和經過凹透鏡的折射后，折射光線的反向延長線交于主光軸上一點P．若，則的度數是（　　）

A．20° B．30° C．50° D．70°
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的性質，首先求出和，再根據平行線的性質求出和即可．
【詳解】解：∵，∴，
∵，∴，
∴．故選：C．
例2．（2023·山西·中考真題）一種彈簧秤最大能稱不超過的物體，不掛物體時彈簧的長為，每掛重物體，彈簧伸長．在彈性限度內，掛重后彈簧的長度與所掛物體的質量之間的函數關系式為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】掛重后彈簧長度等于不掛重時的長度加上掛重后彈簧伸長的長度，據此即可求得函數關系式．
【詳解】解：由題意知：；故選：B．
【點睛】本題考查了求函數關系式，正確理解題意是關鍵．
例3．（2023·河南鶴壁·二模）圖是我國青海湖最深處的某一截面圖，青海湖水面下任意一點A的壓強（單位：）與其離水面的深度單位：的函數解析式為，其圖象如圖所示，其中為青海湖水面大氣壓強，為常數（計算結果保留一位小數）根據圖中信息分析，下列結論正確的是（ ）

A．青海湖水深處的壓強為 B．青海湖水面大氣壓強為
C．函數解析式中自變量的取值范圍是 D．與的函數解析式為
【答案】A
【分析】由圖象可知，直線過點和，由此可得出和的值，進而可判斷B，D；根據實際情況可得出的取值范圍，進而可判斷C；將代入解析式，可求出的值，進而可判斷．
【詳解】解：由圖象可知，直線直線過點和
∴，解得．直線解析式為：故D錯誤，不符合題意；
青海湖水面大氣壓強為，故B錯誤，不符合題意；
根據實際意義，，故C錯誤，不符合題意；
將代入解析式，∴，
即青海湖水深處的壓強為，故A正確，符合題意．故選：．
【點睛】本題主要考查一次函數的實際應用，涉及一次函數的圖象和性質，待定系數法等知識．關鍵是計算過程中需要結合實際意義．
例4．（2024·安徽蚌埠·一模）如圖所示，小余同學設計的物理電路圖，假設開關，都處于斷開狀態，現隨機閉合其中的兩個開關，能讓小燈泡發光的概率為（　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查列表法或樹狀圖求概率，畫樹狀圖展示所有結果數，再找出同時閉合其中的兩個開關按鍵，燈泡能發光的結果數，然后根據概率公式求解．
【詳解】畫樹狀圖為：
共有種等可能的結果數，其中同時閉合其中的兩個開關按鍵，燈泡能發光的結果數為， 所以同時閉合其中的兩個開關按鍵，燈泡能發光的概率，故選C．
例5．（2024·四川南充·一模）我國古代教育家墨子發現了小孔成像：用一個帶有小孔的板遮擋在墻體與物之間，墻體上就會形成物的倒影，這種現象叫小孔成像．如圖，根據小孔成像原理，已知蠟燭的火焰高，當物距，像距時，火焰的像高為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，直接利用相似三角形的對應邊成比例解答．
【詳解】解：火焰的像高為，由題意得：
由相似三角形對應高的比等于相似比得到：．
解得．即火焰的像高是．故選：D．
例6．（2023·河南安陽·統考二模）一定電壓(單位：V)下電流和電阻之間成反比例關系，東東用一個蓄電池作為電源組裝了一個電路如圖1所示，通過實驗，發現電流隨著電阻值的變化而變化的一組數據如表格所示．
R(Ω) … 2 3 4 6 12 …
I(A) … 24 16 12 a 4 …
下列說法不正確的是（ ）
A．表中
B．這個蓄電池的電壓值是48V
C．圖2中圖象可以表示電流I和電阻R之間的函數關系
D．若該電路的最小電阻值為1.5Ω，該電路能通過的最大電流是34A
【答案】C
【分析】A.根據電壓電流電阻，即可求解；
B.根據電壓電流電阻，即可求解；
C.設，可求，進行判斷即可；
D.若該電路的最小電阻值為，代入計算即可；
【詳解】解：A.根據電壓電流電阻，蓄電池的電流，故不符合題意．
B.根據電壓電流電阻，蓄電池的電壓值是，故不符合題意；
C.設，將點代入得，，；
圖中圖象可以表示電流和電阻之間的函數關系，故符合題意；
D.若該電路的最小電阻值為，該電路能通過的最大電流是，故不符合題意；故選：C．
【點睛】本題考查了反比例函數的應用，從實際問題中整理出反比例函數模型是解決此類問題的關鍵．
例7．（2022·浙江舟山·中考真題）某動物園利用杠桿原理稱象：如圖，在點P處掛一根質地均勻且足夠長的鋼梁（呈水平狀態），將裝有大象的鐵籠和彈簧秤（秤的重力忽略不計）分別懸掛在鋼梁的點A，B處，當鋼梁保持水平時，彈簧秤讀數為k（N）．若鐵籠固定不動，移動彈簧秤使擴大到原來的n（）倍，且鋼梁保持水平，則彈簧秤讀數為 （N）（用含n，k的代數式表示）．
【答案】
【分析】根據杠桿的平衡條件是：動力×動力臂=阻力×阻力臂，計算即可．
【詳解】設彈簧秤新讀數為x
根據杠桿的平衡條件可得：解得故答案為：．
【點睛】本題是一個跨學科的題目，熟記物理公式動力×動力臂=阻力×阻力臂是解題的關鍵．
考向二　與化學融合問題
例1．（2023·山東濱州·中考真題）由化學知識可知，用表示溶液酸堿性的強弱程度，當時溶液呈堿性，當時溶液呈酸性．若將給定的溶液加水稀釋，那么在下列圖象中，能大致反映溶液的與所加水的體積之間對應關系的是（　　）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】根據題意，溶液呈堿性，隨著加入水的體積的增加，溶液的濃度越來越低，的值則接近7，據此即可求解．
【詳解】解：∵溶液呈堿性，則，隨著加入水的體積的增加，溶液的濃度越來越低，的值則接近7，故選：B．
【點睛】本題考查了函數的圖象，數形結合是解題的關鍵．
例2．（2022·山東臨沂·中考真題）將5kg濃度為98%的酒精，稀釋為75%的酒精．設需要加水，根據題意可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用酒精的總質量不變列方程即可．
【詳解】設需要加水，由題意得，故選：B．
【點睛】本題考查了分式方程的實際應用，準確理解題意，找到等量關系是解題的關鍵．
例3．（2023·河南漯河·二模）在一定溫度下，某固態物質在100g溶劑中達到飽和狀態時所溶解的溶質的質量，叫做這種物質在這種溶劑中的溶解度，甲、乙兩種蔗糖的溶解度與溫度之間的對應關系如圖所示，則下列說法中，錯誤的是（　　）

A．甲、乙兩種物質的溶解度均隨著溫度的升高而增大
B．當溫度升高至時，甲的溶解度與乙的溶解度一樣
C．當溫度為時，甲、乙的溶解度都小于
D．當溫度小于時，同等溫度下甲的溶解度高于乙的溶解度
【答案】D
【分析】根據函數圖象橫縱坐標表示的意義判斷即可．
【詳解】解：由圖象可知：
A．甲、乙兩種物質的溶解度均隨著溫度的升高而增大，故選項A說法正確，不符合題意；
B．當溫度升高至時，甲的溶解度與乙的溶解度一樣，故選項B說法正確，不符合題意；
C．當溫度為時，甲、乙的溶解度都小于，故選項C說法正確，不符合題意；
D．當溫度小于時，同等溫度下甲的溶解度小于乙的溶解度，故選項D說法錯誤，符合題意．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了函數的圖象，根據函數圖象的性質和圖象上的數據分析得出函數的類型和所需要的條件是解題的關鍵．
例4．（2023·四川遂寧·中考真題）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物，在生產生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動、植物的養護．通常用碳原子的個數命名為甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（當碳原子數目超過個時即用漢文數字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化學式為，乙烷的化學式為，丙烷的化學式為……，其分子結構模型如圖所示，按照此規律，十二烷的化學式為 ．

【答案】
【分析】根據碳原子的個數，氫原子的個數，找到規律，即可求解．
【詳解】解：甲烷的化學式為，乙烷的化學式為，丙烷的化學式為……，
碳原子的個數為序數，氫原子的個數為碳原子個數的2倍多2個，
十二烷的化學式為，故答案為：．
【點睛】本題考查了規律題，找到規律是解題的關鍵．
例5．（23-24九年級上·福建漳州·期末）化學課上，小紅學到：將二氧化碳氣體通入澄清石灰水，澄清石灰水就會變渾濁以下為四個常考的實驗：
A．高錳酸鉀制取氧氣：
B．碳酸鈣制取二氧化碳：
C．電解水：
D．一氧化碳還原氧化銅：
(1)若小紅從四個實驗中任意選一個實驗，實驗產生的氣體不會使澄清石灰水變渾濁的概率是多少？
(2)若小紅從四個實驗中任意選兩個實驗，請用列表或樹狀圖的方法求兩個實驗產生的氣體均能使澄清石灰水變渾濁的概率．
【答案】(1)(2)兩個實驗所產生的氣體均能使澄清石灰水變渾濁的概率為
【分析】本題主要考查了利用樹狀圖或列表法求概率：（1）直接利用概率公式計算，即可求解；
（2）根據題意，畫出樹狀圖，可得總共有12種結果，每種結果出現的可能性相同，其中兩個實驗所產生的氣體均能使澄清石灰水變渾濁的結果有2種，再根據概率公式計算，即可求解．
【詳解】（1）解：實驗A和C產生的氣體不會使澄清石灰水變渾濁，
P（不會使澄清的石灰水變渾濁）．
（2）解：樹狀圖如下：

總共有12種結果，每種結果出現的可能性相同，其中兩個實驗所產生的氣體均能使澄清石灰水變渾濁的結果有2種：，所以兩個實驗所產生的氣體均能使澄清石灰水變渾濁的概率．
考向三　與生物融合問題
例1．（2023年青海省中考數學真題）生物興趣小組探究酒精對某種魚類的心率是否有影響，實驗得出心率與酒精濃度的關系如圖所示，下列說法正確的是（ ）

A．酒精濃度越大，心率越高 B．酒精對這種魚類的心率沒有影響
C．當酒精濃度是時，心率是168次/分 D．心率與酒精濃度是反比例函數關系
【答案】C
【分析】觀察圖象即可判斷A、B、C選項，根據反比例函數的定義，即可判斷D選項．
【詳解】解∶由圖象可知，酒精濃度越大，心率越低，故A錯誤；
酒精濃度越大，心率越低，酒精對這種魚類的心率有影響，故B錯誤；
由圖象可知，當酒精濃度是時，心率是168次/分，故C正確；
任意取兩個點坐標，，因為，所以心率與酒精濃度不是反比例函數關系，故D錯誤．故選∶ C．
【點睛】本題考查了觀察圖象，讀取、分析、處理信息的能力，反比例函數定義，根據反比例函數定義判斷是否為反比例函數是解題的關鍵．
例2．（2023·山西太原·二模）孟德爾被譽為現代遺傳學之父，他通過豌豆雜交實驗，發現了遺傳學的基本規律．如圖，純種高莖豌豆和純種矮莖豌豆雜交，子一代都是高莖豌豆，子一代種子種下去，自花傳粉，獲得的子二代豌豆由DD、Dd、dd三種遺傳因子控制．由此可知，子二代豌豆中含遺傳因子D的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】畫出遺傳圖解，即可得到答案．
【詳解】解：畫圖如下：
共有4種情況，而出現高莖的有3種結果，∴子二代豌豆中含遺傳因子D的概率是，故選：D
【點睛】本題主要考查了求概率，正確畫出樹狀圖是解答本題的關鍵．
例3．（23-24八年級·重慶渝中·期末）光合作用對植物極其重要，研究植物生長經常用（k是常數）估算葉片比較狹長的農作物葉片的面積，其中a，b分別是葉片的長和寬．某品種水稻葉（圖1）可以看成是圖2的形狀，大致都在水稻葉的處“收尖”（左邊看成三角形，右邊看成矩形）．根據圖2估算k的值約為 （結果保留兩位小數）．
【答案】
【分析】根據圖2求出水稻葉的面積，進而求出k即可．
【詳解】解：由圖2可得，，∵，∴．故答案為：．
【點睛】本題考查了函數的解析式，根據圖形求出水稻葉的面積是解題的關鍵．
例4．（2023·江蘇揚州·一模）如圖，有規律的“心電”圖形由圖形不斷向右重復組成，圖形分為兩條曲線和兩條線段，曲線是二次函數圖象的一部分，該二次函數頂點是，與軸交于點；曲線是反比例函數圖象的一部分；線段是直線的一部分；線段是直線的一部分．若點、是“心電”圖形上的兩點，則的最大值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】A
【分析】先把拋物線化為頂點式，求出B點、、、、等點的坐標，則B點的縱坐標即為n的最大值，然后根據直線的解析式經過，求出對應的函數解析式，然后根據圖像的周期為6對應進行求解確定k的值，再計算即可得到答案．
【詳解】解：∵拋物線的解析式為：∴化為頂點式為：
∴拋物線的頂點坐標為（2，10）∴n的最大值為10令，解得
∴A點的坐標為（0，2）根據圖像可知是周期為6 的圖像∴點的坐標為（6，2）
∵直線：經過點∴，解得∴直線的解析式為：
∵2021÷6=336余5∴k相等于x=5時，直線的值，即∴
∴當n最大時，有最大值∴最大值故選A．
【點睛】本題主要考查了二次函數圖像與一次函數圖像的性質，以及周期問題，解題的關鍵在于熟練的掌握運用相關知識點．
考向四　與其他融合問題
例1．（2024·貴州畢節·一模）在單詞“”中任意選擇一個字母，選中字母為“a”的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了概率的計算方法，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率．用a的個數除以字母的總個數即可．
【詳解】解：∵單詞“”中共有11個字母，其中a有2個，
∴選中字母為“a”的概率為．故選B．
例2．（2023·河南商丘·一模）成語是中華文化的瑰寶，是中華文化的微縮景觀下列成語所描述的事件是隨機事件的是( )
A．旭日東升 B．不期而遇 C．秋去冬來 D．水中撈月
【答案】B
【分析】事先能肯定它一定會發生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的．
【詳解】A．“旭日東升”是必然事件，不符合題意；B．“不期而遇”，是隨機事件，符合題意；
C．“秋去冬來”是必然事件，不符合題意；D．“水中撈月”是不可能事件，不符合題意．故選：B．
【點睛】本題考查的是事件的分類，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，必然事件指在一定條件下一定發生的事件，不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件
例3．（2024·陜西西安·一模）五線譜是一種記譜法，通過在五根等距離的平行線上標以不同時值的音符及其他記號來記載音樂，如圖，一條直線上的三個點都在五線譜的線上，若的長為3，則的長為（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據平行線分線段成比例定理得到，從而根據比例的性質可求出的長．
【詳解】解：五條平行橫線的距離都相等，，的長為3，，故選：C．
例4．（2023·山東淄博·一模）如圖，日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷盤垂直的晷針投射到晷盤上的影子來測定時間．淄博市某學校內A處有一個日晷模型，晷盤與赤道面平行，平面示意圖如下，A處的緯度為北緯（地球球心為O，A處的緯度是指與赤道面所成角），則晷針與底座所成角為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據空間角的關系，畫出截面圖進行求解即可．
【詳解】解∶如圖所示，由題意可知，指針交底座于點，，底座于相切于點，，
∵于相切于點，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，即晷針與底座所成角為，故選∶ A．
【點睛】本題主要考查平行線的性質、切線的性質、同角的余角相等，熟練掌握相關性質是解決本題的關鍵，是中檔題．
例5．（2023·北京海淀·一模）我國是世界上最早發明歷法的國家之一．《周禮》中記載：壘土為主，立木為表，測日影，正地中，意四時．如圖1，圭是地面上一根水平標尺，指向正北，表是一根垂直于地面的桿，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根據表影的長度可以測定節氣．
在一次數學活動課上，要制作一個圭表模型．如圖2，地面上放置一根長的桿，向正北方向畫一條射線，在上取點D，測得．
（1）判斷：這個模型中與是否垂直．答：_________（填“是”或“否”）；你的理由是：________________________________________________．
（2）某地部分節氣正午時分太陽光線與地面夾角的值，如下表：
節氣 夏至 秋分 冬至
太陽光線與地面夾角
①記夏至和冬至時表影分別為和，利用上表數據，在射線上標出點M和點N的位置；
②記秋分時的表影為，推測點P位于（ ）
A．線段中點左側 B．線段中點處 C．線段中點右側
【答案】（1）是，答案見解析 ；（2） ① 作圖見解析；②A．
【分析】（1）活用勾股定理的逆定理判斷即可；
（2）①根據它們距離表的遠近和角度的大小來確定；②根據夾角的大小計算判斷
【詳解】（1）是，
理由：由測量結果可知，由勾股定理的逆定理可知．
故答案是：是；，由勾股定理的逆定理可知．
（2）①如圖，∵tan∠ADB=＞1，∴∠ADB＞45°，
∵∠AMB＞∠ADB，∴點M在點D的左邊；∵tan∠ADB=＞1，∴∠ADB＞45°，
∵∠ANB＜∠ADB，∴點N在點D的右邊；如圖，點M,點N即為所求．
②∵tan∠ADB=＞1，∴∠ADB＞45°，
∵∠APB＜∠ADB，∴點P在點D的左邊；故選A．
【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，直角三角形兩個銳角互余的性質，特殊角的三角函數值，熟練將生活問題轉化數學模型求解是解題的關鍵．
一、選擇題
1．（2024·河南周口·二模）科學家發現，在一般光照條件下，每千克小球藻（鮮重）經光合作用每小時約可釋放氧氣0.00064千克，并產生相應質量的葡萄糖.數據“0.00064”用科學記數法表示為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數，表示時關鍵要確定a的值以及n的值．
【詳解】，故選：A．
2．（2024·浙江金華·模擬預測）如圖，平行于主光軸的光線和經過凸透鏡的折射后，折射光線交于主光軸MN上一點．若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了平行線的性質，對頂角的性質，先由兩直線平行，同旁內角互補得到，再根據對頂角的性質求解即可
【詳解】解：∵，∴，
∴，∴，故選；C．
3．（2023·北京昌平·二模）某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓千帕隨氣球內氣體的體積立方米的變化情況如下表所示，此時p與V的函數關系最可能是（ ）
立方米 64 48 32 24 …
千帕 2 3 4 …
A．正比例函數 B．一次函數 C．二次函數 D．反比例函數
【答案】D
【分析】此題主要考查了反比例函數的應用，觀察表格中的數據可知的值是一個定值，則p與V的函數關系最可能是反比例函數，據此可得答案．
【詳解】解：由題意可知，；；；；，…
由此可得出p和V的函數關系是為：故選：D．
4．（2024·廣東深圳·一模）約在兩千五百年前，如圖（1），墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗，并在《墨經》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖（2）所示的小孔成像實驗中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了相似三角形性質的應用，解題的關鍵在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．根據小孔成像的性質及相似三角形的性質求解即可．
【詳解】根據小孔成像的性質及相似三角形的性質可得：蠟燭火焰的高度與火焰的像的高度的比值等于物距與像距的比值，設蠟燭火焰的高度為，則
，解得：，即蠟燭火焰的高度為．故選：A．
5．（2023·安徽·一模）數學是一門可融入日常生活的學科，在研究其他領域中，可以用已知的數學知識對自己的猜想進行驗證．某生物研究小組在研究“溫度對生菜成熟葉片光合速率和呼吸速率的影響”實驗中，得到了一份實驗數據，如圖所示．不測量長度，結合所學的幾何方面的知識，可判斷出曲線圖中當光合作用相對速率與呼吸作用相對速率差值最大時，處理溫度是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】觀察圖形可得答案．
【詳解】曲線圖中當光合作用相對速率與呼吸作用相對速率差值最大時，處理溫度是，故選：B．
【點睛】本題考查了函數圖象，解答問題的關鍵是明確題意，找出所求問題的條件，利用數形結合思想解答．
6．（2023年湖南省婁底市中考數學真題）一個長方體物體的一頂點所在A、B、C三個面的面積比是，如果分別按A、B、C面朝上將此物體放在水平地面上，地面所受的壓力產生的壓強分別為、、（壓強的計算公式為），則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根據長方體的性質，得出相對面的面積相等，再根據物體的壓力不變，結合反比例函數的性質進行分析，即可得出答案．
【詳解】解：∵長方體物體的一頂點所在A、B、C三個面的面積比是，
∴長方體物體的A、B、C三面所對的與水平地面接觸的面積比也為，
∵，，且一定，∴隨的增大而減小，∴．故選：A．
【點睛】本題考查了反比例函數的性質，解本題的關鍵在熟練掌握反比例函數的性質．
7．（2023年湖北省恩施州中考數學真題）如圖，取一根長的勻質木桿，用細繩綁在木桿的中點O并將其吊起來，在中點O的左側距離中點處掛一個重的物體，在中點O的右側用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態．彈簧秤與中點O的距離L（單位：）及彈簧秤的示數F（單位：N）滿足．以L的數值為橫坐標，F的數值為縱坐標建立直角坐標系．則F關于L的函數圖象大致是（　　）

A． B．C．D．
【答案】B
【分析】根據題意代入數據求得，即可求解．
【詳解】解：∵，，，∴，
∴，函數為反比例函數，
當時，，即函數圖象經過點．故選：B．
【點睛】本題考查了反比例函數的應用以及函數圖象，根據題意求出函數關系式是解題的關鍵．
8．（2023九年級下·廣東·專題練習）如圖①，電源兩端電壓（單位：）保持不變，電流強度與總電阻成反比，在實驗課上，調節滑動變阻器的電阻，改變燈泡的亮度，測得電路中總電阻和通過的電流強度之間的關系如圖②所示（溫整提示：總電阻燈泡電阻滑動變阻器電阻），下列說法錯誤的是（　　）

A．電流強度隨著總電阻的增大而減小
B．調節滑動變阻器，當總電阻為時，電流強度為
C．當燈泡電阻為，電路中電流為時，滑動變阻器的阻值為
D．當經過燈泡的電流為時，電路中的總電阻為
【答案】D
【分析】本題主要考查了反比例函數的性質，解題的關鍵是掌握反比例函數的性質．設，根據待定系數法求出電流強度與總電阻之間的函數解析式為，再根據反比例函數的性質和圖像逐一判斷即可．
【詳解】解：電源兩端電壓（單位：）保持不變，電流強度與總電阻成反比，
可設，將代入，得，電流強度與總電阻之間的函數解析式為，
電流強度隨著總電阻的增大而減小，故選項A說法正確，不符合題意；
當時，，故選項B說法正確，不符合題意；
當時，，滑動變阻器電阻總電阻燈泡電阻，故選項C說法正確，不符合題意；當時，，故選項D說法錯誤，符合題意．故選：D．
二、填空題
9.（2023·河南南陽·一模）通常情況下紫色石蕊試液遇酸性變紅色，遇堿性溶液變藍色．老師讓學生用紫色石蕊試液檢測四瓶因標簽污損無法分辨的無色溶液的酸堿性，已知這四種溶液分別是A．鹽酸（呈酸性），a．白醋（呈酸性），B．氫氧化鈉溶液（呈堿性），b．氫氧化鈣溶液（呈堿性）中的一種．學生小徐同時任選兩瓶溶液，將紫色石蕊試液滴入其中進行檢測，則兩瓶溶液恰好都變藍的概率為 ．
【答案】
【分析】本題考查樹狀圖求概率，先畫出樹狀圖，找到符合條件的情況，再根據概率公式計算即可．
【詳解】解：樹狀圖如下：
由圖可得，一共12種等可能的情況，兩瓶恰好都變藍的情況有2種，概率為：，故答案為：．
10．（2024·山西臨汾·一模）車載雷達通過發射高頻電磁波，接收目標反射信號，經后方處理后實現對車輛周圍環境的感知和識別．由物理學知識可知，當電磁波波速一定時，波長是頻率的反比例函數，其函數圖象如圖所示．當時，該電磁波頻率f的值為 ．
【答案】30
【分析】本題主要考查了求反比例函數解析式以及求反比例函數的自變量，設反比例函數為：，用待定系數法求出反比例函數的解析式，然后再根據函數值求自變量即可．
【詳解】解：設反比例函數為：，
由函數圖像可知，函數過點，∴，解得：，
∴反比例函數為：，當時，則：，故答案為：30．
11．（2023·山東·中考真題）某些燈具的設計原理與拋物線有關．如圖，從點照射到拋物線上的光線，等反射后都沿著與平行的方向射出．若，，則
．

【答案】
【分析】可求，由，即可求解．
【詳解】解：，，，，
，，故答案：．
【點睛】本題考查了平行線的性質，掌握性質是解題的關鍵．
12．（2022·江蘇揚州·中考真題）掌握地震知識，提升防震意識．根據里氏震級的定義，地震所釋放出的能量與震級的關系為（其中為大于0的常數），那么震級為8級的地震所釋放的能量是震級為6級的地震所釋放能量的 倍．
【答案】1000
【分析】分別求出震級為８級和震級為6級所釋放的能量，然后根據同底數冪的除法即可得到答案．
【詳解】解：根據能量與震級的關系為（其中為大于0的常數）可得到，
當震級為8級的地震所釋放的能量為：，
當震級為6級的地震所釋放的能量為：，
，震級為8級的地震所釋放的能量是震級為6級的地震所釋放能量的1000倍．
故答案為：1000．
【點睛】本題考查了利用同底數冪的除法底數不變指數相減的知識，充分理解題意并轉化為所學數學知識是解題的關鍵．
13．（2023·廣東深圳·三模）數學小組研究如下問題：深圳市的緯度約為北緯，求北緯緯線的長度．小組成員查閱相關資料，得到如下信息：信息一：如圖1，在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；
信息二：如圖2，赤道半徑約為千米，弦，以為直徑的圓的周長就是北緯緯線的長度；（參考數據：，，，）
根據以上信息，北緯緯線的長度約為 千米．

【答案】
【分析】根據平行線的性質可知，在中，利用銳角三角函數求出，即為以為直徑的圓的半徑，求出周長即可．
【詳解】解：如圖，過點O作，垂足為D，

根據題意，∵，∴，
∵在中， ，∴，
∵，∴由垂徑定理可知：，
∴以為直徑的圓的周長為，故答案為：．
【點睛】本題考查解直角三角形，平行線的性質，解題的關鍵是熟練三角函數的含義與解直角三角形的方法．
14．（2023·廣東深圳·模擬預測）化學中直鏈烷烴的名稱用“碳原子數+烷”來表示，當碳原子數為時，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷，丁烷的分子結構式如圖所示，則第7個庚烷分子結構式中“”的個數是 ．

【答案】16
【分析】根據題目中的圖形，可以發現“”的個數的變化特點，然后即可寫出第7個庚烷分子結構式中“”的個數．
【詳解】解：由圖可得：甲烷分子結構中“”的個數是：，
乙烷分子結構中“”的個數是：，丙烷分子結構中“”的個數是：，……
庚烷分子結構中“”的個數是：，故答案為：16．
【點睛】本題考查數字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發現“”的個數的變化特點．
三、解答題
15．（2023·重慶·一模）生物學上研究表明：不同濃度的生長素對植物的生長速度影響不同，在一定范圍內，生長素的濃度對植物的生長速度有促進作用，相反，在某些濃度范圍，生長速度會變緩慢，甚至阻礙植物生長（阻礙即植物不生長，甚至枯萎）．小林同學在了解到這一信息后，決定研究生長素濃度與茶樹生長速度的關系，設生長素濃度為x克/升，生長速度為y毫米/天，當x超過4時，茶樹的生長速度y與生長素x濃度滿足關系式：．實驗數據如下表，當生長速度為0時，實驗結束．
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 2 4 6 8 10 9 7 4 0
（1）如圖，建立平面直角坐標系xOy，描出表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數圖象；
（2）根據上述表格，求出整個實驗過程中y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）結合畫出的函數圖象，寫出該函數的一條性質：　 　；
（4）若直線y＝kx+3與上述函數圖象有2個交點，則k的取值范圍是：　 　．
【答案】（1）畫出該函數圖象如圖所示；見解析；（2）
（3）當0＜x＜4時，y隨x的增大而增大；（4）．
【分析】（1）把表中的x，y的值分別描入平面直角坐標系中，再用直線或平滑的曲線連接即可；
（2）利用待定系數法進行求解，當0＜x＜4時，函數圖像是直線，當4≤x≤8時，函數圖像是拋物線；
（3）當0＜x＜4時，函數圖像是直線，，y隨x的增大而增大；（4）直線y＝kx+3過點(0,3)，要與上述函數圖像有2個交點，則直線過點（4，10）或（8，0），代入求解出k的值，進而求出k的取值范圍．
【詳解】（1）畫出該函數圖象如圖所示；
（2）當0＜x＜4時，設y＝kx+b，
把（0，2），（2，6）代入y＝kx+b得，，解得：，∴y＝2x+2；
當4≤x≤8時，把（7，4），（8，0）代入得，解得：
∴y＝﹣x2+x+4；∴整個實驗過程中y與x的函數關系式為：；
（3）當0＜x＜4時，y隨x的增大而增大，故答案為：當0＜x＜4時，y隨x的增大而增大；
（4）∵直線y＝kx+3與上述函數圖象有2個交點，∴當直線y＝kx+3過（4，10）或（8，0）時，
即把（4，10）或（8，0）分別代入y＝kx+3得，k＝或k＝﹣，
∴若直線y＝kx+3與上述函數圖象有2個交點，則k的取值范圍是：故答案為：．
【點睛】本題考查了畫函數圖像，待定系數法，一次函數和二次函數的性質，函數的交點個數求k的取值范圍，屬于基礎題，熟練掌握函數圖像的畫法，待定系數法，函數的性質是解題的關鍵．
16．（2023·安徽·模擬預測）奧地利遺傳學家孟德爾發現純種的黃豌豆和綠豌豆雜交，得到的雜種第一代豌豆都呈黃色．他假設純種黃豌豆的基因是，純種綠豌豆的基因是，則雜種第一代豌豆的基因是，其中黃、綠基因各一個，只要兩個基因中有一個基因是黃色基因，豌豆就呈黃色，故第一代的所有豌豆均呈黃色．將雜種第一代豌豆自交，即父本的兩個基因，與母本的兩個基因，再隨機配對，將產生種可能的結果：
(1)求第二代出現黃豌豆的概率．(2)如果在第二代中再選擇兩個品種雜交，使第三代黃豌豆出現的概率為，請列舉一種符合要求的配對方案，并說明理由．
【答案】(1)第二代出現黃踠豆的概率；(2)，理由見解析．
【分析】本題考查了用樹狀圖或列表法求概率，掌握樹狀圖或列表法是解題的關鍵．（）根據概率的計算公式直接計算即可求解；（）選出符合要求的配對方案，畫出樹狀圖，根據樹狀圖即可求解；
【詳解】（1）解：第二代共有種情況，其中出現黃啘豆的有，，共種情況，所以第二代出現黃踠豆的概率；
（2）解：共有兩種方案，答出任意一種即可．
方案一：選擇的兩個品種分別為和．畫出樹狀圖如下：
由樹狀圖可得；
方案二：選擇的兩個品種分別為和．畫出樹狀圖如下：
由樹狀圖可得．
17．（2023·廣西·中考真題）【綜合與實踐】
有言道：“桿秤一頭稱起人間生計，一頭稱起天地良心”．某興趣小組將利用物理學中杠桿原理制作簡易桿秤.小組先設計方案，然后動手制作，再結合實際進行調試，請完成下列方案設計中的任務．
【知識背景】如圖，稱重物時，移動秤砣可使桿秤平衡，根據杠桿原理推導得：.其中秤盤質量克，重物質量m克，秤砣質量M克，秤紐與秤盤的水平距離為l厘米，秤紐與零刻線的水平距離為a厘米，秤砣與零刻線的水平距離為y厘米．

【方案設計】目標：設計簡易桿秤．設定，，最大可稱重物質量為1000克，零刻線與末刻線的距離定為50厘米．
任務一：確定l和a的值．(1)當秤盤不放重物，秤砣在零刻線時，桿秤平衡，請列出關于l，a的方程；(2)當秤盤放入質量為1000克的重物，秤砣從零刻線移至末刻線時，桿秤平衡，請列出關于l，a的方程；(3)根據（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任務二：確定刻線的位置．(4)根據任務一，求y關于m的函數解析式；
(5)從零刻線開始，每隔100克在秤桿上找到對應刻線，請寫出相鄰刻線間的距離．
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)相鄰刻線間的距離為5厘米
【分析】（1）根據題意可直接進行求解；（2）根據題意可直接代值求解；
（3）由（1）（2）可建立二元一次方程組進行求解；（4）根據（3）可進行求解；
（5）分別把，，，，，，，，，，代入求解，然后問題可求解．
【詳解】（1）解：由題意得：，∴，∴；
（2）解：由題意得：，∴，∴；
（3）解：由（1）（2）可得：，解得：；
（4）解：由任務一可知：，∴，∴；
（5）解：由（4）可知，
∴當時，則有；當時，則有；當時，則有；當時，則有；當時，則有；當時，則有；當時，則有；當時，則有；當時，則有；當時，則有；當時，則有；
∴相鄰刻線間的距離為5厘米．
【點睛】本題主要考查一次函數的應用，解題的關鍵是理解題意．
18．（2023·江蘇蘇州·中考真題）某動力科學研究院實驗基地內裝有一段筆直的軌道，長度為的金屬滑塊在上面做往返滑動．如圖，滑塊首先沿方向從左向右勻速滑動，滑動速度為，滑動開始前滑塊左端與點重合，當滑塊右端到達點時，滑塊停頓，然后再以小于的速度勻速返回，直到滑塊的左端與點重合，滑動停止．設時間為時，滑塊左端離點的距離為，右端離點的距離為，記與具有函數關系．已知滑塊在從左向右滑動過程中，當和時，與之對應的的兩個值互為相反數；滑塊從點出發到最后返回點，整個過程總用時（含停頓時間）．請你根據所給條件解決下列問題：

(1)滑塊從點到點的滑動過程中，的值________________；（填“由負到正”或“由正到負”）
(2)滑塊從點到點的滑動過程中，求與的函數表達式；
(3)在整個往返過程中，若，求的值．
【答案】(1)由負到正(2)(3)當或時，
【分析】（1）根據等式，結合題意，即可求解；
（2）設軌道的長為，根據已知條件得出，則，根據當和時，與之對應的的兩個值互為相反數；則時，，得出，繼而求得滑塊返回的速度為，得出，代入，即可求解；（3）當時，有兩種情況，由（2）可得，①當時，②當時，分別令，進而即可求解．
【詳解】（1）∵，當滑塊在點時，，，
當滑塊在點時，，，∴的值由負到正．故答案為：由負到正．
（2）解：設軌道的長為，當滑塊從左向右滑動時，∵，∴，
∴∴是的一次函數，
∵當和時，與之對應的的兩個值互為相反數；
∴當時，，∴，∴，
∴滑塊從點到點所用的時間為，
∵整個過程總用時（含停頓時間）．當滑塊右端到達點時，滑塊停頓，
∴滑塊從點到點的滑動時間為，
∴滑塊返回的速度為，∴當時，，
∴，∴，
∴與的函數表達式為；
（3）當時，有兩種情況，由（2）可得，
①當時，，解得：；
②當時，，解得：，
綜上所述，當或時，．
【點睛】本題考查了一次函數的應用，分析得出，并求得往返過程中的解析式是解題的關鍵．
19．（2024·遼寧鞍山·模擬預測）【發現問題】小星同學學習了并聯電路的相關知識后，掌握了并聯電路中總電阻與各支路電阻的關系：（為正整數）．在探究由兩個電阻組成的并聯電路時（電路圖如圖1），小星同學發現了一個有趣的問題：當電阻與電阻的和為定值時，并聯電路的總電阻（）與其中任意一個電阻（或）存在函數關系．
【實驗探究】小星同學找來了若干個電阻進行實驗，且每次連接到電路中的兩個電阻的和恒為，即，實驗數據記錄如下：
1 2 3 4 5 …
9 8 7 6 5 …
…
（1）請在圖2中描出上表中與各對數值所對應的點，并用光滑的曲線連接：
【提出猜想】觀察（1）中的圖象，小星同學提出了大膽的猜想：在由兩個電阻組成的并聯電路中，當電阻與電阻的和為定值時，并聯電路的總電阻（）與其中任意一個電阻（與）滿足二次函數關系．
【驗證猜想】為了驗證上述猜想，小星同學進行了下列推導：
當并聯電路中有兩個電阻時，根據公式：
，得，通分整理，得．
求倒數，得．
設，則．
代入，得．整理，得．
（2）請幫小星同學補全推導過程：
①_____________；②____________；③____________；④____________；⑤_____________．
【實際應用】（3）小星同學獲知，某電取暖器的電路中有兩個并聯的、阻值可連續調節的電阻，且無論如何調節，這兩個電阻的和恒為（，）．已知電路中總電阻越大，電取暖器的電功率越低，當工作中的電取暖器達到最低電功率時，分別求各支路電阻與總電阻的值．
【答案】（1）見解析；（2）①；②；③；④；⑤；（3）當工作中的電取暖器達到最低電功率時，各支路電阻均為，總電阻為．
【分析】本題主要考查了二次函數的實際應用：（1）先描點，再連線畫出對應的函數圖象即可；（2）根據題意以及所給推導過程求解即可；（3）根據（2）所求得到，再根據二次函數的性質求解即可．
【詳解】解：（1）如圖所示，即為所求；
（2）∵，∴，∴．∴．
設，則．代入，得，∴．
故答案為：①；②；③；④；⑤；
（3）由（2）的推導，知當時，，由題知，，∴，
∵電路中總電阻越大，電取暖器的電功率越低，
∴當工作中的電取暖器達到最低電功率時，電路中總電阻最大，
∴當時，取得最大值，即，此時，
綜上所述，當工作中的電取暖器達到最低電功率時，各支路電阻均為，總電阻為．
20．（2023·廣西南寧·三模）綜合與實踐
心率監測不僅能夠對運動者在鍛煉過程中的身體狀況進行有效監控與衡量，也可最大限度避免強度過大造成危險，確保體育運動的有效性與安全性，體育運動時的心率受年齡、性別、運動項目、運動時間等因素影響．某數學小組對此問題很感興趣，選取相關因素進行項目研究．
【提出問題】跳繩運動中心率與運動時間的關系．
【收集數據】第一次該小組收集小紅同學的跳繩心率，每隔10秒作一次記錄并繪制圖象（如圖1）．
【二次收集數據】小組討論后，發現這樣收集數據不合理．于是進行第二次數據收集：隨機抽取15位學生參與跳繩運動．15位學生同時開始跳繩，每隔十秒，記錄他們的心率，并計算此時他們心率的平均數，然后繪制圖象（如圖2）．

【建立模型】由圖象可知，隨著跳繩時間增加，心率趨于一個定值，該小組要尋找一個函數模型分析跳繩過程中心率與時間的關系，他們依次建立一次函數模型、二次函數模型，但都與心率曲線不吻合，老師提醒他們可以借助反比例函數圖象的平移來建立模型．小組借助計算機軟件建立跳繩運動中心率隨運動時間（單位：秒）的變化而變化的函數模型：．
【解決問題】（1）寫出第一次數據收集不合理的地方（寫出一條即可）；
（2）《義務教育體育與健康課程標準（2022年版）》提出要“科學設置運動負荷”，體育課上，班級所有學生平均心率原則上在140-160，以努力解決學生在體育課上“不出汗”的問題．請你根據函數解析式，求學生需要跳繩多少秒才能達到140的心率（結果精確到個位）；
（3）研究發現，運動時心率達到175時，就是運動過度.請你根據模型解析式，通過計算，對跳繩200秒的小明同學提出建議（寫出一條建議即可）．
【答案】（1）選取的樣本只是小紅一個人，只有樣本不具有代表性，因此第一次數據收集不合理；（2）學生需要跳繩47秒才能達到140的心率；（3）小明的運動過度，要縮短跳繩時間
【分析】本題考查反比例函數的應用，調查樣本的可靠性，理解反比例函數的意義是正確解答的前提．
（1）根據抽樣調查的意義，選取樣本時，樣本容量要適當，樣本具有代表性進行判斷即可；
（2）求出當時相應的的值即可；（3）求出當時相應的的值，比較得出答案．
【詳解】解：（1）選取的樣本只是小紅一個人，只有樣本不具有代表性，因此第一次數據收集不合理；
（2）當時，即，解得，
答：學生需要跳繩47秒才能達到140的心率；
（3）當時，，由于，
因此小明的運動過度，要縮短跳繩時間．
21．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）【問題背景】
新能源汽車多數采用電能作為動力來源，不需要燃燒汽油，這樣就減少了二氧化碳等氣體的排放，從而達到保護環境的目的．
【實驗操作】為了解汽車電池需要多久能充滿，以及充滿電量狀態下電動汽車的最大行駛里程，某綜合實踐小組設計兩組實驗．
實驗一：探究電池充電狀態下電動汽車儀表盤增加的電量y（%）與時間t（分鐘）的關系，數據記錄如表1：
電池充電狀態
時間t（分鐘） 0 10 30 60
增加的電量y（%） 0 10 30 60
實驗二：探究充滿電量狀態下電動汽車行駛過程中儀表盤顯示電量e（%）與行駛里程s（千米）的關系，數據記錄如表2：
汽車行駛過程
已行駛里程s（千米） 0 160 200 280
顯示電量e（%） 100 60 50 30
【建立模型】（1）觀察表1、表2發現都是一次函數模型，請結合表1、表2的數據，求出y關于t的函數表達式及e關于s的函數表達式；
【解決問題】（2）某電動汽車在充滿電量的狀態下出發，前往距離出發點460千米處的目的地，若電動汽車行駛240千米后，在途中的服務區充電，一次性充電若干時間后繼續行駛，且到達目的地后電動汽車儀表盤顯示電量為20%，則電動汽車在服務區充電多長時間？
【答案】（1）y關于t函數解析式為：，e關于s函數解析式為：；（2）電動汽車在服務區充電35分鐘．
【分析】本題考查了一次函數的應用，熟練掌握一次函數的性質是解答本題的關鍵．
（1）根據表格數據，待定系數法求出兩個函數解析式即可；（2）先計算行駛后的電量，假設充電充了分鐘，應增加電量：，出發時電量為，走完剩余路程，應耗電量為：，應耗電量為，據此可得：，解得即可．
【詳解】解：（1）根據題意，兩個函數均為一次函數，設，，
將，代入得，解得，函數解析式為：，
將，代入得，解得，函數解析式為：；
（2）由題意得，先在滿電的情況下行走了，
當時，，未充電前電量顯示為，
假設充電充了分鐘，應增加電量：，
出發時電量為，走完剩余路程，
應耗電量為：，應耗電量為，據此可得：
，解得，答：電動汽車在服務區充電35分鐘．
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【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
8.3跨學科融合
跨學科融合是指將不同領域內的學科知識整合到一起，通過多學科課程的融通，更好地解決學生在學習過程中出現的問題，提升學生在不同情境中解決問題的能力數學中的跨學科融合問題是指在其他學科背景下創設數學問題或在研究其他學科的問題時，運用數學知識和數學思維解決問題。由于數學是學好物理、化學、地理等課程的基礎，因此在近幾年的中考命題中，以其他學科的知識為背景，或以其他學科的問題為載體設計的數學問題經常出現，令人耳目全新。這類試題既能體現數學科的基礎作用，又能考查學生綜合運用知識的能力，更符合當前課程改革的需要。在今后的中考試題中，跨學科的綜合題仍是命題的熱點和趨勢。
近年來各地中考和模擬考關于跨學科融合考查主要涉及物理、生物、化學、語文、音樂、信息技術、地理等其他學科領域，如物理：彈簧、定滑輪、氣敏電阻裝置、電流電壓電阻的關系、壓強、杠桿、小孔成像、凸透鏡、液體密度、光的反射、電路圖；生物：細胞分裂、光合作用、心電心率圖、新生物的檢測；化學：溶解度曲線圖、分子結構式、生活現象（物質變化）；語文：曹沖稱象；音樂：五線譜；信息技術：程序圖、函數求值機；地理：地球半徑等。
解決跨學科融合問題時，首先要對所涉及的各學科的基礎知識有一定的理解和掌握，其次要認真審題。挖掘有用的信息，將有關學科的知識加以遷移引申。綜合運用數學和其他學科的知識，從不同的角度尋求分析問題和解決問題的方法。
考向一　與物理融合問題
例1．（2024·江蘇常州·模擬預測）如圖，平行于主光軸的光線和經過凹透鏡的折射后，折射光線的反向延長線交于主光軸上一點P．若，則的度數是（　　）

A．20° B．30° C．50° D．70°
例2．（2023·山西·中考真題）一種彈簧秤最大能稱不超過的物體，不掛物體時彈簧的長為，每掛重物體，彈簧伸長．在彈性限度內，掛重后彈簧的長度與所掛物體的質量之間的函數關系式為（ ）

A． B． C． D．
例3．（2023·河南鶴壁·二模）圖是我國青海湖最深處的某一截面圖，青海湖水面下任意一點A的壓強（單位：）與其離水面的深度單位：的函數解析式為，其圖象如圖所示，其中為青海湖水面大氣壓強，為常數（計算結果保留一位小數）根據圖中信息分析，下列結論正確的是（ ）

A．青海湖水深處的壓強為 B．青海湖水面大氣壓強為
C．函數解析式中自變量的取值范圍是 D．與的函數解析式為
例4．（2024·安徽蚌埠·一模）如圖所示，小余同學設計的物理電路圖，假設開關，都處于斷開狀態，現隨機閉合其中的兩個開關，能讓小燈泡發光的概率為（　）
A． B． C． D．
例5．（2024·四川南充·一模）我國古代教育家墨子發現了小孔成像：用一個帶有小孔的板遮擋在墻體與物之間，墻體上就會形成物的倒影，這種現象叫小孔成像．如圖，根據小孔成像原理，已知蠟燭的火焰高，當物距，像距時，火焰的像高為（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023·河南安陽·統考二模）一定電壓(單位：V)下電流和電阻之間成反比例關系，東東用一個蓄電池作為電源組裝了一個電路如圖1所示，通過實驗，發現電流隨著電阻值的變化而變化的一組數據如表格所示．
R(Ω) … 2 3 4 6 12 …
I(A) … 24 16 12 a 4 …
下列說法不正確的是（ ）
A．表中 B．這個蓄電池的電壓值是48V
C．圖2中圖象可以表示電流I和電阻R之間的函數關系
D．若該電路的最小電阻值為1.5Ω，該電路能通過的最大電流是34A
例7．（2022·浙江舟山·中考真題）某動物園利用杠桿原理稱象：如圖，在點P處掛一根質地均勻且足夠長的鋼梁（呈水平狀態），將裝有大象的鐵籠和彈簧秤（秤的重力忽略不計）分別懸掛在鋼梁的點A，B處，當鋼梁保持水平時，彈簧秤讀數為k（N）．若鐵籠固定不動，移動彈簧秤使擴大到原來的n（）倍，且鋼梁保持水平，則彈簧秤讀數為 （N）（用含n，k的代數式表示）．
考向二　與化學融合問題
例1．（2023·山東濱州·中考真題）由化學知識可知，用表示溶液酸堿性的強弱程度，當時溶液呈堿性，當時溶液呈酸性．若將給定的溶液加水稀釋，那么在下列圖象中，能大致反映溶液的與所加水的體積之間對應關系的是（　　）
A． B． C．D．
例2．（2022·山東臨沂·中考真題）將5kg濃度為98%的酒精，稀釋為75%的酒精．設需要加水，根據題意可列方程為（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·河南漯河·二模）在一定溫度下，某固態物質在100g溶劑中達到飽和狀態時所溶解的溶質的質量，叫做這種物質在這種溶劑中的溶解度，甲、乙兩種蔗糖的溶解度與溫度之間的對應關系如圖所示，則下列說法中，錯誤的是（　　）

A．甲、乙兩種物質的溶解度均隨著溫度的升高而增大
B．當溫度升高至時，甲的溶解度與乙的溶解度一樣
C．當溫度為時，甲、乙的溶解度都小于
D．當溫度小于時，同等溫度下甲的溶解度高于乙的溶解度
例4．（2023·四川遂寧·中考真題）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物，在生產生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動、植物的養護．通常用碳原子的個數命名為甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（當碳原子數目超過個時即用漢文數字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化學式為，乙烷的化學式為，丙烷的化學式為……，其分子結構模型如圖所示，按照此規律，十二烷的化學式為 ．
例5．（23-24九年級上·福建漳州·期末）化學課上，小紅學到：將二氧化碳氣體通入澄清石灰水，澄清石灰水就會變渾濁以下為四個常考的實驗：
A．高錳酸鉀制取氧氣：
B．碳酸鈣制取二氧化碳：
C．電解水：
D．一氧化碳還原氧化銅：
(1)若小紅從四個實驗中任意選一個實驗，實驗產生的氣體不會使澄清石灰水變渾濁的概率是多少？
(2)若小紅從四個實驗中任意選兩個實驗，請用列表或樹狀圖的方法求兩個實驗產生的氣體均能使澄清石灰水變渾濁的概率．
考向三　與生物融合問題
例1．（2023年青海省中考數學真題）生物興趣小組探究酒精對某種魚類的心率是否有影響，實驗得出心率與酒精濃度的關系如圖所示，下列說法正確的是（ ）

A．酒精濃度越大，心率越高 B．酒精對這種魚類的心率沒有影響
C．當酒精濃度是時，心率是168次/分 D．心率與酒精濃度是反比例函數關系
例2．（2023·山西太原·二模）孟德爾被譽為現代遺傳學之父，他通過豌豆雜交實驗，發現了遺傳學的基本規律．如圖，純種高莖豌豆和純種矮莖豌豆雜交，子一代都是高莖豌豆，子一代種子種下去，自花傳粉，獲得的子二代豌豆由DD、Dd、dd三種遺傳因子控制．由此可知，子二代豌豆中含遺傳因子D的概率是（ ）
A． B． C． D．
例3．（23-24八年級·重慶渝中·期末）光合作用對植物極其重要，研究植物生長經常用（k是常數）估算葉片比較狹長的農作物葉片的面積，其中a，b分別是葉片的長和寬．某品種水稻葉（圖1）可以看成是圖2的形狀，大致都在水稻葉的處“收尖”（左邊看成三角形，右邊看成矩形）．根據圖2估算k的值約為 （結果保留兩位小數）．
例4．（2023·江蘇揚州·一模）如圖，有規律的“心電”圖形由圖形不斷向右重復組成，圖形分為兩條曲線和兩條線段，曲線是二次函數圖象的一部分，該二次函數頂點是，與軸交于點；曲線是反比例函數圖象的一部分；線段是直線的一部分；線段是直線的一部分．若點、是“心電”圖形上的兩點，則的最大值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
考向四　與其他融合問題
例1．（2024·貴州畢節·一模）在單詞“”中任意選擇一個字母，選中字母為“a”的概率（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·河南商丘·一模）成語是中華文化的瑰寶，是中華文化的微縮景觀下列成語所描述的事件是隨機事件的是( )
A．旭日東升 B．不期而遇 C．秋去冬來 D．水中撈月
例3．（2024·陜西西安·一模）五線譜是一種記譜法，通過在五根等距離的平行線上標以不同時值的音符及其他記號來記載音樂，如圖，一條直線上的三個點都在五線譜的線上，若的長為3，則的長為（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
例4．（2023·山東淄博·一模）如圖，日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷盤垂直的晷針投射到晷盤上的影子來測定時間．淄博市某學校內A處有一個日晷模型，晷盤與赤道面平行，平面示意圖如下，A處的緯度為北緯（地球球心為O，A處的緯度是指與赤道面所成角），則晷針與底座所成角為（ ）．
A． B． C． D．
例5．（2023·北京海淀·一模）我國是世界上最早發明歷法的國家之一．《周禮》中記載：壘土為主，立木為表，測日影，正地中，意四時．如圖1，圭是地面上一根水平標尺，指向正北，表是一根垂直于地面的桿，正午，表的日影（即表影）落在圭上，根據表影的長度可以測定節氣．
在一次數學活動課上，要制作一個圭表模型．如圖2，地面上放置一根長的桿，向正北方向畫一條射線，在上取點D，測得．
（1）判斷：這個模型中與是否垂直．答：_________（填“是”或“否”）；你的理由是：________________________________________________．
（2）某地部分節氣正午時分太陽光線與地面夾角的值，如下表：
節氣 夏至 秋分 冬至
太陽光線與地面夾角
①記夏至和冬至時表影分別為和，利用上表數據，在射線上標出點M和點N的位置；
②記秋分時的表影為，推測點P位于（ ）
A．線段中點左側 B．線段中點處 C．線段中點右側
一、選擇題
1．（2024·河南周口·二模）科學家發現，在一般光照條件下，每千克小球藻（鮮重）經光合作用每小時約可釋放氧氣0.00064千克，并產生相應質量的葡萄糖.數據“0.00064”用科學記數法表示為（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·浙江金華·模擬預測）如圖，平行于主光軸的光線和經過凸透鏡的折射后，折射光線交于主光軸MN上一點．若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·北京昌平·二模）某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓千帕隨氣球內氣體的體積立方米的變化情況如下表所示，此時p與V的函數關系最可能是（ ）
立方米 64 48 32 24 …
千帕 2 3 4 …
A．正比例函數 B．一次函數 C．二次函數 D．反比例函數
4．（2024·廣東深圳·一模）約在兩千五百年前，如圖（1），墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗，并在《墨經》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖（2）所示的小孔成像實驗中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·安徽·一模）數學是一門可融入日常生活的學科，在研究其他領域中，可以用已知的數學知識對自己的猜想進行驗證．某生物研究小組在研究“溫度對生菜成熟葉片光合速率和呼吸速率的影響”實驗中，得到了一份實驗數據，如圖所示．不測量長度，結合所學的幾何方面的知識，可判斷出曲線圖中當光合作用相對速率與呼吸作用相對速率差值最大時，處理溫度是( )
A． B． C． D．
6．（2023年湖南省婁底市中考數學真題）一個長方體物體的一頂點所在A、B、C三個面的面積比是，如果分別按A、B、C面朝上將此物體放在水平地面上，地面所受的壓力產生的壓強分別為、、（壓強的計算公式為），則（ ）
A． B． C． D．
7．（2023年湖北省恩施州中考數學真題）如圖，取一根長的勻質木桿，用細繩綁在木桿的中點O并將其吊起來，在中點O的左側距離中點處掛一個重的物體，在中點O的右側用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態．彈簧秤與中點O的距離L（單位：）及彈簧秤的示數F（單位：N）滿足．以L的數值為橫坐標，F的數值為縱坐標建立直角坐標系．則F關于L的函數圖象大致是（　　）

A． B．C．D．
8．（2023九年級下·廣東·專題練習）如圖①，電源兩端電壓（單位：）保持不變，電流強度與總電阻成反比，在實驗課上，調節滑動變阻器的電阻，改變燈泡的亮度，測得電路中總電阻和通過的電流強度之間的關系如圖②所示（溫整提示：總電阻燈泡電阻滑動變阻器電阻），下列說法錯誤的是（　　）

A．電流強度隨著總電阻的增大而減小
B．調節滑動變阻器，當總電阻為時，電流強度為
C．當燈泡電阻為，電路中電流為時，滑動變阻器的阻值為
D．當經過燈泡的電流為時，電路中的總電阻為
二、填空題
9.（2023·河南南陽·一模）通常情況下紫色石蕊試液遇酸性變紅色，遇堿性溶液變藍色．老師讓學生用紫色石蕊試液檢測四瓶因標簽污損無法分辨的無色溶液的酸堿性，已知這四種溶液分別是A．鹽酸（呈酸性），a．白醋（呈酸性），B．氫氧化鈉溶液（呈堿性），b．氫氧化鈣溶液（呈堿性）中的一種．學生小徐同時任選兩瓶溶液，將紫色石蕊試液滴入其中進行檢測，則兩瓶溶液恰好都變藍的概率為 ．
10．（2024·山西臨汾·一模）車載雷達通過發射高頻電磁波，接收目標反射信號，經后方處理后實現對車輛周圍環境的感知和識別．由物理學知識可知，當電磁波波速一定時，波長是頻率的反比例函數，其函數圖象如圖所示．當時，該電磁波頻率f的值為 ．
11．（2023·山東·中考真題）某些燈具的設計原理與拋物線有關．如圖，從點照射到拋物線上的光線，等反射后都沿著與平行的方向射出．若，，則
．

12．（2022·江蘇揚州·中考真題）掌握地震知識，提升防震意識．根據里氏震級的定義，地震所釋放出的能量與震級的關系為（其中為大于0的常數），那么震級為8級的地震所釋放的能量是震級為6級的地震所釋放能量的 倍．
13．（2023·廣東深圳·三模）數學小組研究如下問題：深圳市的緯度約為北緯，求北緯緯線的長度．小組成員查閱相關資料，得到如下信息：信息一：如圖1，在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；
信息二：如圖2，赤道半徑約為千米，弦，以為直徑的圓的周長就是北緯緯線的長度；（參考數據：，，，）
根據以上信息，北緯緯線的長度約為 千米．

14．（2023·廣東深圳·模擬預測）化學中直鏈烷烴的名稱用“碳原子數+烷”來表示，當碳原子數為時，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷，丁烷的分子結構式如圖所示，則第7個庚烷分子結構式中“”的個數是 ．
三、解答題
15．（2023·重慶·一模）生物學上研究表明：不同濃度的生長素對植物的生長速度影響不同，在一定范圍內，生長素的濃度對植物的生長速度有促進作用，相反，在某些濃度范圍，生長速度會變緩慢，甚至阻礙植物生長（阻礙即植物不生長，甚至枯萎）．小林同學在了解到這一信息后，決定研究生長素濃度與茶樹生長速度的關系，設生長素濃度為x克/升，生長速度為y毫米/天，當x超過4時，茶樹的生長速度y與生長素x濃度滿足關系式：．實驗數據如下表，當生長速度為0時，實驗結束．
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 2 4 6 8 10 9 7 4 0
（1）如圖，建立平面直角坐標系xOy，描出表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數圖象；
（2）根據上述表格，求出整個實驗過程中y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）結合畫出的函數圖象，寫出該函數的一條性質：　 　；
（4）若直線y＝kx+3與上述函數圖象有2個交點，則k的取值范圍是：　 　．
16．（2023·安徽·模擬預測）奧地利遺傳學家孟德爾發現純種的黃豌豆和綠豌豆雜交，得到的雜種第一代豌豆都呈黃色．他假設純種黃豌豆的基因是，純種綠豌豆的基因是，則雜種第一代豌豆的基因是，其中黃、綠基因各一個，只要兩個基因中有一個基因是黃色基因，豌豆就呈黃色，故第一代的所有豌豆均呈黃色．將雜種第一代豌豆自交，即父本的兩個基因，與母本的兩個基因，再隨機配對，將產生種可能的結果：
(1)求第二代出現黃豌豆的概率．(2)如果在第二代中再選擇兩個品種雜交，使第三代黃豌豆出現的概率為，請列舉一種符合要求的配對方案，并說明理由．
17．（2023·廣西·中考真題）【綜合與實踐】
有言道：“桿秤一頭稱起人間生計，一頭稱起天地良心”．某興趣小組將利用物理學中杠桿原理制作簡易桿秤.小組先設計方案，然后動手制作，再結合實際進行調試，請完成下列方案設計中的任務．
【知識背景】如圖，稱重物時，移動秤砣可使桿秤平衡，根據杠桿原理推導得：.其中秤盤質量克，重物質量m克，秤砣質量M克，秤紐與秤盤的水平距離為l厘米，秤紐與零刻線的水平距離為a厘米，秤砣與零刻線的水平距離為y厘米．

【方案設計】目標：設計簡易桿秤．設定，，最大可稱重物質量為1000克，零刻線與末刻線的距離定為50厘米．
任務一：確定l和a的值．(1)當秤盤不放重物，秤砣在零刻線時，桿秤平衡，請列出關于l，a的方程；(2)當秤盤放入質量為1000克的重物，秤砣從零刻線移至末刻線時，桿秤平衡，請列出關于l，a的方程；(3)根據（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任務二：確定刻線的位置．(4)根據任務一，求y關于m的函數解析式；
(5)從零刻線開始，每隔100克在秤桿上找到對應刻線，請寫出相鄰刻線間的距離．
18．（2023·江蘇蘇州·中考真題）某動力科學研究院實驗基地內裝有一段筆直的軌道，長度為的金屬滑塊在上面做往返滑動．如圖，滑塊首先沿方向從左向右勻速滑動，滑動速度為，滑動開始前滑塊左端與點重合，當滑塊右端到達點時，滑塊停頓，然后再以小于的速度勻速返回，直到滑塊的左端與點重合，滑動停止．設時間為時，滑塊左端離點的距離為，右端離點的距離為，記與具有函數關系．已知滑塊在從左向右滑動過程中，當和時，與之對應的的兩個值互為相反數；滑塊從點出發到最后返回點，整個過程總用時（含停頓時間）．請你根據所給條件解決下列問題：

(1)滑塊從點到點的滑動過程中，的值________________；（填“由負到正”或“由正到負”）
(2)滑塊從點到點的滑動過程中，求與的函數表達式；
(3)在整個往返過程中，若，求的值．
19．（2024·遼寧鞍山·模擬預測）【發現問題】小星同學學習了并聯電路的相關知識后，掌握了并聯電路中總電阻與各支路電阻的關系：（為正整數）．在探究由兩個電阻組成的并聯電路時（電路圖如圖1），小星同學發現了一個有趣的問題：當電阻與電阻的和為定值時，并聯電路的總電阻（）與其中任意一個電阻（或）存在函數關系．
【實驗探究】小星同學找來了若干個電阻進行實驗，且每次連接到電路中的兩個電阻的和恒為，即，實驗數據記錄如下：
1 2 3 4 5 …
9 8 7 6 5 …
…
（1）請在圖2中描出上表中與各對數值所對應的點，并用光滑的曲線連接：
【提出猜想】觀察（1）中的圖象，小星同學提出了大膽的猜想：在由兩個電阻組成的并聯電路中，當電阻與電阻的和為定值時，并聯電路的總電阻（）與其中任意一個電阻（與）滿足二次函數關系．
【驗證猜想】為了驗證上述猜想，小星同學進行了下列推導：
當并聯電路中有兩個電阻時，根據公式：
，得，通分整理，得．
求倒數，得．
設，則．
代入，得．整理，得．
（2）請幫小星同學補全推導過程：
①_____________；②____________；③____________；④____________；⑤_____________．
【實際應用】（3）小星同學獲知，某電取暖器的電路中有兩個并聯的、阻值可連續調節的電阻，且無論如何調節，這兩個電阻的和恒為（，）．已知電路中總電阻越大，電取暖器的電功率越低，當工作中的電取暖器達到最低電功率時，分別求各支路電阻與總電阻的值．
20．（2023·廣西南寧·三模）綜合與實踐
心率監測不僅能夠對運動者在鍛煉過程中的身體狀況進行有效監控與衡量，也可最大限度避免強度過大造成危險，確保體育運動的有效性與安全性，體育運動時的心率受年齡、性別、運動項目、運動時間等因素影響．某數學小組對此問題很感興趣，選取相關因素進行項目研究．
【提出問題】跳繩運動中心率與運動時間的關系．
【收集數據】第一次該小組收集小紅同學的跳繩心率，每隔10秒作一次記錄并繪制圖象（如圖1）．
【二次收集數據】小組討論后，發現這樣收集數據不合理．于是進行第二次數據收集：隨機抽取15位學生參與跳繩運動．15位學生同時開始跳繩，每隔十秒，記錄他們的心率，并計算此時他們心率的平均數，然后繪制圖象（如圖2）．

【建立模型】由圖象可知，隨著跳繩時間增加，心率趨于一個定值，該小組要尋找一個函數模型分析跳繩過程中心率與時間的關系，他們依次建立一次函數模型、二次函數模型，但都與心率曲線不吻合，老師提醒他們可以借助反比例函數圖象的平移來建立模型．小組借助計算機軟件建立跳繩運動中心率隨運動時間（單位：秒）的變化而變化的函數模型：．
【解決問題】（1）寫出第一次數據收集不合理的地方（寫出一條即可）；
（2）《義務教育體育與健康課程標準（2022年版）》提出要“科學設置運動負荷”，體育課上，班級所有學生平均心率原則上在140-160，以努力解決學生在體育課上“不出汗”的問題．請你根據函數解析式，求學生需要跳繩多少秒才能達到140的心率（結果精確到個位）；
（3）研究發現，運動時心率達到175時，就是運動過度.請你根據模型解析式，通過計算，對跳繩200秒的小明同學提出建議（寫出一條建議即可）．
21．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）【問題背景】
新能源汽車多數采用電能作為動力來源，不需要燃燒汽油，這樣就減少了二氧化碳等氣體的排放，從而達到保護環境的目的．
【實驗操作】為了解汽車電池需要多久能充滿，以及充滿電量狀態下電動汽車的最大行駛里程，某綜合實踐小組設計兩組實驗．
實驗一：探究電池充電狀態下電動汽車儀表盤增加的電量y（%）與時間t（分鐘）的關系，數據記錄如表1：
電池充電狀態
時間t（分鐘） 0 10 30 60
增加的電量y（%） 0 10 30 60
實驗二：探究充滿電量狀態下電動汽車行駛過程中儀表盤顯示電量e（%）與行駛里程s（千米）的關系，數據記錄如表2：
汽車行駛過程
已行駛里程s（千米） 0 160 200 280
顯示電量e（%） 100 60 50 30
【建立模型】（1）觀察表1、表2發現都是一次函數模型，請結合表1、表2的數據，求出y關于t的函數表達式及e關于s的函數表達式；
【解決問題】（2）某電動汽車在充滿電量的狀態下出發，前往距離出發點460千米處的目的地，若電動汽車行駛240千米后，在途中的服務區充電，一次性充電若干時間后繼續行駛，且到達目的地后電動汽車儀表盤顯示電量為20%，則電動汽車在服務區充電多長時間？
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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