資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
【全國通用】2024中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（重難點題型突破）
8.1數(shù)學(xué)文化
數(shù)學(xué)文化問題是以數(shù)學(xué)文化為背景的題目，在數(shù)學(xué)文化視野下創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境將數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)方法等融為一體。在近幾年的中考中，以數(shù)學(xué)文化為載體的試題越來越多。旨在考查學(xué)生在新情境下對知識的理解及遷移能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
解決數(shù)學(xué)文化問題時，一般需要認真審題。理解題目所給內(nèi)容的含義，將涉及的數(shù)學(xué)文化或數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為學(xué)過的知識，運用所學(xué)知識解決問題。
1）多掌握數(shù)學(xué)文化知識：通過對數(shù)學(xué)文化知識了解使學(xué)生對文化素養(yǎng)的提升，做題時能夠做到有的放矢，減少對這類問題的恐懼心理。下面是中學(xué)階段有關(guān)文化的命題角度：
（1）源于數(shù)學(xué)名著，如《九章算術(shù)》《算法統(tǒng)宗》《周髀算經(jīng)》《律學(xué)新說》等；
（2）以數(shù)學(xué)成就為背景創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題，如斐波那契數(shù)列、楊輝三角等；
（3）以數(shù)學(xué)故事為背景創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題，如阿基里斯悖論、貝特朗悖論等；
（4）以數(shù)學(xué)名詞、數(shù)學(xué)中有名的猜想或結(jié)論為背景創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題，如阿波羅尼斯圓、哥德巴赫猜想、勾股定理、阿基米德三角形、蒙日圓等。這些內(nèi)容在歷年中考中時有考查， 因此在復(fù)習(xí)備考中，有意識地加強對這方面的訓(xùn)練是很有必要的，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究、創(chuàng)新精神，拓寬思維視野，提升解題能力。
2）注意數(shù)學(xué)文化的譯文：很多數(shù)學(xué)文化的題型都是選用的是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，題目前面都是以文言文的形式出現(xiàn)，而后面都會給出譯文，譯文才是本題的關(guān)鍵題意，所以這類題的關(guān)鍵地方是在譯文上理解。
3）提煉數(shù)學(xué)文化所考察的主干知識內(nèi)容：數(shù)學(xué)文化題型都是以數(shù)學(xué)文化為背景來考查高中數(shù)學(xué)所學(xué)的知識內(nèi)容，我們首先要明確數(shù)學(xué)文化反應(yīng)的是我們所學(xué)的哪個知識，再進行解答。把不熟悉的數(shù)學(xué)文化知識轉(zhuǎn)化為大家熟悉數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)上，脫去它偽裝的外表，露出它的真實目的。
4）緊扣題目信息，發(fā)掘問題的本質(zhì)：無論是以數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化還是實際民生為載體的創(chuàng)新題，都要求學(xué)生們在短時間內(nèi)讀懂并理解一個陌生的數(shù)學(xué)問題的情景，然后運用所學(xué)的知識和已掌握的解題技能靈活的進行解題。這類問題的關(guān)鍵就是通過認真閱讀，深刻理解題意，從中找到數(shù)學(xué)信息。提煉信息我們可以從這幾方面入手：（1）緊扣信息，深刻發(fā)掘問題的本質(zhì)；（2）緊扣信息，類比推理；（3）緊扣信息，探索出本質(zhì)內(nèi)容，并進行數(shù)學(xué)加工；（4）緊扣信息，擺脫傳統(tǒng)思維約束，創(chuàng)新思維。
考向一　代數(shù)類數(shù)學(xué)文化問題
例1．（2023·上海楊浦·二模）《孫子算經(jīng)》中記載：“凡大數(shù)之法，萬萬曰億，萬萬億曰兆．”說明了大數(shù)之間的關(guān)系：1億＝1萬×1萬，1兆＝1萬×1萬×1億，那么2兆＝ ．（用科學(xué)記數(shù)法表示）
【答案】
【分析】2兆＝2×1萬×1萬×1億＝2×1萬×1萬×1萬×1萬，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算，結(jié)果表示成的形式即可．
【詳解】解：2兆＝2×1萬×1萬×1億＝2×1萬×1萬×1萬×1萬，
故答案為：．
【點睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法、同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法法則，以及科學(xué)記數(shù)法的表示方法．
例2．（2024·四川達州·模擬預(yù)測）圖1是我國古代傳說中的洛書，圖2是洛書的數(shù)字表示．相傳，大禹時，洛陽西洛寧縣洛河中浮出神龜，背馱“洛書”，獻給大禹．大禹依此治水成功，遂劃天下為九州．又依此定九章大法，治理社會，流傳下來收入《尚書》中，名《洪范》．《易 系辭上》說：“河出圖，洛出書，圣人則之”．洛書是一個三階幻方，就是將已知的9個數(shù)填入3×3的方格中，使每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的數(shù)字之和都相等．圖3是一個不完整的幻方，根據(jù)幻方的規(guī)則，由已知數(shù)求出x的值應(yīng)為（　　）
A．或 B．1或 C．或4 D．1或4
【答案】A
【分析】本題考查幻方，解一元二次方程．根據(jù)幻方的規(guī)則得出方程是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)幻方的規(guī)則，得出方程，再求解方程即可．
【詳解】解∶設(shè)幻方所填數(shù)如圖所示，
∴，，
由①得，由②
由得：，解得：，，故選：A．
例3．（2023·湖北襄陽·中考真題）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1275年提出的一個問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬和長各是幾步．設(shè)寬為x步，根據(jù)題意列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)寬為x步，則長為步，根據(jù)題意列方程即可．
【詳解】解：設(shè)寬為x步，則長為步，
由題意得：，故選：D．
【點睛】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，正確理解題意是關(guān)鍵．
例4．（2023·湖南張家界·中考真題）《四元玉鑒》是一部成就輝煌的數(shù)學(xué)名著，是宋元數(shù)學(xué)集大成者，也是我國古代水平最高的一部數(shù)學(xué)著作．該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽” ．大意是：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的總售價為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)6210文購買椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)6210文購買椽的數(shù)量為x株，可得一株椽的價錢文，或文，從而可得答案．
【詳解】設(shè)6210文購買椽的數(shù)量為x株，則一株椽的價錢為文，則；故選C
【點睛】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
例5．（23-24九年級·湖南株洲·自主招生）割圓術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)家劉微創(chuàng)造的一種求周長和面積的算法：隨著圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的增加，它的周長和面積越來越接近圓周長和圓面積，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”．這一思想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用．
例如：求的值．則可以設(shè)，根據(jù)上述思想方法有，解方程得；試用這個方法解決問題：（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】由可設(shè)，則，然后求解即可．
【詳解】解：∵，
∴設(shè)，則，解得，即，故選：B．
【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，理解題干中的解題方法，利用類比方法列方程求解是解答的關(guān)鍵．
例6．（2023·四川巴中·中考真題）我國南宋時期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給出了展開式的系數(shù)規(guī)律．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
當(dāng)代數(shù)式的值為1時，則x的值為（ ）
A．2 B． C．2或4 D．2或
【答案】C
【分析】由規(guī)律可得：，令，，可得，再解方程即可．
【詳解】解：由規(guī)律可得：，令，，
∴，∵，∴，
∴，∴或，故選：C．
【點睛】本題考查的是從題干信息中總結(jié)規(guī)律，一元二次方程的解法，靈活地應(yīng)用規(guī)律解題是關(guān)鍵．
考向二　函數(shù)類數(shù)學(xué)文化問題
例1．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）皮克定理是格點幾何學(xué)中的一個重要定理，它揭示了以格點為頂點的多邊形的面積，其中分別表示這個多邊形內(nèi)部與邊界上的格點個數(shù)．在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點為格點．已知，，則內(nèi)部的格點個數(shù)是（ ）
A．266 B．270 C．271 D．285
【答案】C
【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后求出的面積和邊界上的格點個數(shù)，然后代入求解即可．
【詳解】如圖所示，

∵，，∴，
∵上有31個格點，上的格點有，，，，，，，，，，共10個格點，
上的格點有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19個格點，
∴邊界上的格點個數(shù)，∵，∴，∴解得．
∴內(nèi)部的格點個數(shù)是271．故選：C．
【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．
例2．（2023·湖北武漢·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》記載：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”如圖是善行者與不善行者行走路程（單位：步）關(guān)于善行者的行走時間的函數(shù)圖象，則兩圖象交點的縱坐標(biāo)是 ．

【答案】
【分析】設(shè)圖象交點的縱坐標(biāo)是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．根據(jù)速度關(guān)系列出方程，解方程并檢驗即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)圖象交點的縱坐標(biāo)是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的速度是善行者速度的．∴，解得，
經(jīng)檢驗是方程的根且符合題意，∴兩圖象交點的縱坐標(biāo)是．故答案為：
【點睛】此題考查從函數(shù)圖象獲取信息、列分式方程解決實際問題，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計算是解題關(guān)鍵．
例3．（2023·浙江衢州·中考真題）視力表中蘊含著很多數(shù)學(xué)知識，如：每個“E”形圖都是正方形結(jié)構(gòu)，同一行的“E”是全等圖形且對應(yīng)著同一個視力值，不同的檢測距離需要不同的視力表．
素材1 國際通用的視力表以5米為檢測距離，任選視力表中7個視力值n，測得對應(yīng)行的“E”形圖邊長b（mm），在平面直角坐標(biāo)系中描點如圖1．
探究1 檢測距離為5米時，歸納n與b的關(guān)系式，并求視力值1.2所對應(yīng)行的“E”形圖邊長．
素材2 圖2為視網(wǎng)膜成像示意圖，在檢測視力時，眼睛能看清最小“E”形圖所成的角叫做分辨視角，視力值與分辨視角（分）的對應(yīng)關(guān)系近似滿足．
探究2 當(dāng)時，屬于正常視力，根據(jù)函數(shù)增減性寫出對應(yīng)的分辨視角的范圍．
素材3 如圖3，當(dāng)確定時，在A處用邊長為的I號“E”測得的視力與在B處用邊長為的Ⅱ號“E”測得的視力相同．
探究3 若檢測距離為3米，求視力值1.2所對應(yīng)行的“E”形圖邊長．
【答案】探究檢測距離為5米時，視力值1.2所對應(yīng)行的“”形圖邊長為，視力值1.2所對應(yīng)行的“”形圖邊長為；探究；
探究3：檢測距離為時，視力值1.2所對應(yīng)行的“”形圖邊長為．
【分析】探究1：由圖象中的點的坐標(biāo)規(guī)律得到與成反比例關(guān)系，由待定系數(shù)法可得，將 代入得：；
探究2：由，知在自變量的取值范圍內(nèi)，隨著的增大而減小，故當(dāng)時，，即可得；
探究3：由素材可知，當(dāng)某人的視力確定時，其分辨視角也是確定的，可得，即可解得答案．
【詳解】探究由圖象中的點的坐標(biāo)規(guī)律得到與成反比例關(guān)系，
設(shè)，將其中一點代入得：，解得：，
，將其余各點一一代入驗證，都符合關(guān)系式；將 代入得：；
答：檢測距離為5米時，視力值1.2所對應(yīng)行的“”形圖邊長為，視力值1.2所對應(yīng)行的“”形圖邊長為；
探究，在自變量的取值范圍內(nèi)，隨著的增大而減小，當(dāng)時，，
，；
探究3：由素材可知，當(dāng)某人的視力確定時，其分辨視角也是確定的，由相似三角形性質(zhì)可得，由探究1知，，解得，
答：檢測距離為時，視力值1.2所對應(yīng)行的“”形圖邊長為．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，函數(shù)圖象上點坐標(biāo)的特征，相似三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能將生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以解決．
例4．（2023·浙江臺州·中考真題）【問題背景】
“刻漏”是我國古代的一種利用水流計時的工具．綜合實踐小組準(zhǔn)備用甲、乙兩個透明的豎直放置的容器和一根帶節(jié)流閥（控制水的流速大小）的軟管制作簡易計時裝置．
【實驗操作】
綜合實踐小組設(shè)計了如下的實驗：先在甲容器里加滿水，此時水面高度為30cm，開始放水后每隔10min觀察一次甲容器中的水面高度，獲得的數(shù)據(jù)如下表：
流水時間t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（觀察值） 30 29 28.1 27 25.8
任務(wù)1 分別計算表中每隔10min水面高度觀察值的變化量．
【建立模型】小組討論發(fā)現(xiàn)：“，”是初始狀態(tài)下的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數(shù)近似地刻畫水面高度h與流水時間t的關(guān)系．

任務(wù)2 利用時，；時，這兩組數(shù)據(jù)求水面高度h與流水時間t的函數(shù)解析式．
【反思優(yōu)化】經(jīng)檢驗，發(fā)現(xiàn)有兩組表中觀察值不滿足任務(wù)2中求出的函數(shù)解析式，存在偏差．小組決定優(yōu)化函數(shù)解析式，減少偏差．通過查閱資料后知道：t為表中數(shù)據(jù)時，根據(jù)解析式求出所對應(yīng)的函數(shù)值，計算這些函數(shù)值與對應(yīng)h的觀察值之差的平方和，記為w；w越小，偏差越小．
任務(wù)3 （1）計算任務(wù)2得到的函數(shù)解析式的w值．（2）請確定經(jīng)過的一次函數(shù)解析式，使得w的值最小．
【設(shè)計刻度】得到優(yōu)化的函數(shù)解析式后，綜合實踐小組決定在甲容器外壁設(shè)計刻度，通過刻度直接讀取時間．任務(wù)4 請你簡要寫出時間刻度的設(shè)計方案．
【答案】任務(wù)1：見解析；任務(wù)2：；任務(wù)3：（1），（2）；任務(wù)4：見解析
【分析】任務(wù)1：根據(jù)表格每隔10min水面高度數(shù)據(jù)計算即可；
任務(wù)2：根據(jù)每隔10min水面高度觀察值的變化量大約相等，得出水面高度h與流水時間t的是一次函數(shù)關(guān)系，由待定系數(shù)法求解；任務(wù)3：（1）先求出對應(yīng)時間的水面高度，再按要求求w值；
（2）設(shè)，然后根據(jù)表格中數(shù)據(jù)求出此時w的值是關(guān)于k的二次函數(shù)解析式；由此求出w的值最小時k值即可；任務(wù)4：根據(jù)高度隨時間變化規(guī)律，以相同時間刻畫不同高度即可，類似如數(shù)軸三要素，有原點、正方向與單位長度．最大量程約為294min可以代替單位長度要素．
【詳解】解：任務(wù)1：變化量分別為，；；
；；
任務(wù)2：設(shè)，∵時，，時，；
∴∴水面高度h與流水時間t的函數(shù)解析式為．
任務(wù)3：（1）當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴．
（2）設(shè)，則
．
當(dāng)時，w最小．∴優(yōu)化后的函數(shù)解析式為．
任務(wù)4：時間刻度方案要點：①時間刻度的0刻度在水位最高處；②刻度從上向下均勻變大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示時間約為9.8min）．
【點睛】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用、方差的計算，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式及一次函數(shù)的函數(shù)值、二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．
考向三　幾何類數(shù)學(xué)文化問題
例1．（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給出了這樣的一個結(jié)論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】本題利用三角函數(shù)間的關(guān)系和面積相等進行變形解題即可．
【詳解】解：∵，，
∴ 即，
，，故選：A．
【點睛】本題考查等式利用等式的性質(zhì)解題化簡，熟悉是解題的關(guān)鍵．
例2．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設(shè)計直角三角形，得出了一個結(jié)論：如圖，是銳角的高，則．當(dāng)，時， ．

【答案】
【分析】根據(jù)公式求得，根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：∵，，∴
∴,故答案為：．
【點睛】本題考查了三角形的高的定義，正確的使用公式是解題的關(guān)鍵．
例3．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1，漢代初期的《淮南萬畢術(shù)》是中國古代有關(guān)物理、化學(xué)的重要文獻，書中記載了我國古代學(xué)者在科學(xué)領(lǐng)域做過的一些探索及成就．其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線位于法線的兩側(cè)；反射角等于入射角”．為了探清一口深井的底部情況，運用此原理，如圖在井口放置一面平面鏡可改變光路，當(dāng)太陽光線與地面所成夾角時，要使太陽光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面鏡與地面的夾角（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如圖，過作平面鏡，可得，，而，再建立方程，可得，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，過作平面鏡，

∴，，
而，∴，
∴，∴，故選B．
【點睛】本題考查的是垂直的定義，角的和差運算，角平分線的含義，屬于跨學(xué)科題，熟記基礎(chǔ)概念是解本題的關(guān)鍵．
例4．（2023·湖南常德·中考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖．是以O(shè)為圓心，為半徑的圓弧，C是弦的中點，D在上，．“會圓術(shù)”給出長l的近似值s計算公式：，當(dāng)，時， ．（結(jié)果保留一位小數(shù)）
【答案】0.1
【分析】由已知求得與的值，代入得弧長的近似值，利用弧長公式可求弧長的值，進而即可得解．
【詳解】∵，∴，
∵C是弦的中點，D在上，，∴延長可得O在上，
∴，∴，
，∴．故答案為：．
【點睛】本題考查扇形的弧長，掌握垂徑定理。弧長公式是關(guān)鍵．
例5．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）2002年的國際數(shù)學(xué)家大會在中國北京舉行，這是21世紀(jì)全世界數(shù)學(xué)家的第一次大聚會．這次大會的會徽選定了我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，用四個全等的直角三角形（）拼成“趙爽弦圖”，得到正方形與正方形，連接和，與、、分別相交于點P、O、Q，若，則的值是 ．

【答案】
【分析】設(shè)，，則，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出，可得，，利用勾股定理求出和，進而可得的長，再證明，可得，然后據(jù)正方形的性質(zhì)求出，即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)，，則，
∵，，∴，∴，
∵，∴，，∴，
∴，整理得：，解得：，（舍去），
即，∴，，∴，，
∴，∴∴，
∵四邊形是正方形，∴，，
又∵，∴，∴，
又∵，∴，∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程以及二次根式的混合運算等知識，證明，求出的長是解題的關(guān)鍵．
例6．（2023·河南平頂山·二模）提出問題：古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（約公元前325——公元前265），被稱為“幾何學(xué)之父”．在其所著的《幾何原本》中，包含了5條公理、5條公設(shè)、23個定義和467個命題，即先提出公理、公設(shè)和定義，再由簡到繁予以證明，并在此基礎(chǔ)上形成了歐式幾何學(xué)體系．《幾何原本》第3卷給出其中一個命題：如果圓外的一點向圓引兩條直線，一條與圓相切，一條穿過圓，那么被圓截得的線段與該點到凸圓之間的線段為邊構(gòu)成的矩形的面積等于以該點向圓引的切線所構(gòu)成的正方形的面積．如圖1，上述結(jié)論可表示為，你能說明其中的道理嗎？
探索問題：小明在探究的過程中發(fā)現(xiàn)，線段的位置有兩種情況，即過圓心和不過圓心．
如圖2，當(dāng)經(jīng)過圓心時，小明同學(xué)進行了如下推理：連接，易得，又，所以，可得對應(yīng)邊成比例，進而可知，當(dāng)經(jīng)過圓心時，得．當(dāng)不經(jīng)過圓心時，請補全下列推理過程．
(1)已知：如圖3，為的切線，為切點，與相交于，兩點，連接，．求證：．證明：　　．
(2)解決問題：如圖4，已知為的直徑，為延長線上一點，切于點，連接，若，，請直接寫出的長．
【答案】(1)見解析(2)
【分析】（1）連接并延長，交于點，連接，由圓周角定理可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，由切線的性質(zhì)得，即，進而可得，再根據(jù)圓周角定理可得，于是得到，以此可證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可得到證明；（2）連接、，易證明，利用相似三角形的性質(zhì)可得，進而得到，，于是得，設(shè)，則，在中，利用勾股定理建立方程求出的值，進而求出的長．
【詳解】（1）證明：如圖，連接并延長，交于點，連接，
為的直徑，，，
為的切線，為切點，，即，，
，，，
又，，，；
（2）解：如圖，連接、，
為的直徑，，即，
為的切線，，即，，
，，又，，
，即，，，
，設(shè)，則，
在中，，，
解得：，（不合題意，舍去），．
【點睛】本題主要考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)題干所給條件，證明三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題．
考向四　概率統(tǒng)計類數(shù)學(xué)文化問題
例1．（23-24九年級上·山東菏澤·期中）“田忌賽馬”的故事家喻戶曉，若田忌出馬的順序一直是下等馬、中等馬、上等馬（上等馬跑得最快，中等馬次之，下等馬跑得最慢），而齊王隨機出馬，則田忌獲勝（三局兩勝則為勝）的可能性是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】列舉出所有等可能的情況，看符合要求的情況占總情況數(shù)的多少即可．
【詳解】解：當(dāng)齊王隨機出馬時，雙方對陣情況如下：
齊王的馬 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上
田忌的馬 下中上 下中上 下中上 下中上 下中上 下中上
輸贏情況 平局 田忌勝 齊王勝 平局 平局 平局
由上表可知，齊王出戰(zhàn)順序共有6種等可能的情況，只有順序為上、下、中時，田忌獲勝，因此田忌獲勝（三局兩勝則為勝）的可能性是．故選D．
【點睛】本題屬于古典概率題，考查列表法或畫樹狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是列舉時做到不重復(fù)、不遺漏．
例2．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）如圖，“中國七巧板”是由七個幾何圖形組成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四邊形．一只體型微小的小蟲在七巧板上隨機停留，則剛好停在6號板區(qū)域的概率是 ．

【答案】/
【分析】本題考查概率的應(yīng)用，設(shè)圍成的正方形的邊長為a，算出6號板的面積與整體正方形的面積比即可知道答案．
【詳解】解：設(shè)圍成的正方形的邊長為a，則正方形的對角線長為，
五號板的直角邊為，∴六號板的一邊為，另一邊為：
∴六號板的面積為 正方形的面積為：
所以停在1號板區(qū)域的概率是 故答案為：
例3．（2021·福建·中考真題）“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒．該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬，田忌也有上、中、下三匹馬，且這六匹馬在比賽中的勝負可用不等式表示如下：（注：表示A馬與B馬比賽，A馬獲勝）．一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場比賽的勝利．面對劣勢，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序為上馬、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽，即借助對陣（）獲得了整場比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝強的經(jīng)典案例．
假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問題：
（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利？并求其獲勝的概率；（2）如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必敗無疑？若是，請說明理由；若不是，請列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況，并求其獲勝的概率．
【答案】（1）田忌首局應(yīng)出“下馬”才可能在整場比賽中獲勝，；（2）不是，田忌獲勝的所有對陣是，，，，，，
【分析】（1）通過理解題意分析得出結(jié)論，通過列舉法求出獲勝的概率；
（2）通過列舉齊王的出馬順序和田忌獲勝的對陣，求出概率．
【詳解】（1）田忌首局應(yīng)出“下馬”才可能在整場比賽中獲勝．此時，比賽的所有可能對陣為：，，，，共四種．
其中田忌獲勝的對陣有，，共兩種，故此時田忌獲勝的概率為．
（2）不是．齊王的出馬順序為時，田忌獲勝的對陣是；
齊王的出馬順序為時，田忌獲勝的對陣是；
齊王的出馬順序為時，田忌獲勝的對陣是；
齊王的出馬順序為時，田忌獲勝的對陣是；
齊王的出馬順序為時，田忌獲勝的對陣是；
齊王的出馬順序為時，田忌獲勝的對陣是．
綜上所述，田忌獲勝的所有對陣是，，，
，，．
齊王的出馬順序為時，比賽的所有可能對陣是，，，，，，
共6種，同理，齊王的其他各種出馬順序，也都分別有相應(yīng)的6種可能對陣，
所以，此時田忌獲勝的概率．
【點睛】本小題考查簡單隨機事件的概率等基礎(chǔ)知識，考查推理能力、應(yīng)用意識，考查統(tǒng)計與概率思想；通過列舉所有對陣情況，求得概率是解題的關(guān)鍵．
一、選擇題
1．（2024·廣東佛山·一模）我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”：通過圓內(nèi)接正多邊形割圓，邊數(shù)越多割得越細，正多邊形的周長就越接近圓的周長．如圖，由圓內(nèi)接正六邊形可算出．若利用圓內(nèi)接正十二邊形來計算圓周率，則圓周率約為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，讀懂題意，計算出正十二邊形的周長是解題的關(guān)鍵．利用圓內(nèi)接正十二邊形的性質(zhì)求出，再根據(jù)“圓周率等于圓周長與該圓直徑的比”，即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接邊點O作，
在正十二邊形中，，，
，，，，故選：C
2．（2022·湖北襄陽·中考真題）九章算術(shù)是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到里外的城市，需要的時間比規(guī)定時間多一天：如果用快馬送，所需的時間比規(guī)定時間少天．已知快馬的速度是慢馬的倍，求規(guī)定時間．設(shè)規(guī)定時間為天，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：規(guī)定時間為天，
慢馬所需的時間為天，快馬所需的時間為天，
又快馬的速度是慢馬的倍，可列出方程．故選：A．
3．（2023·四川遂寧·中考真題）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中記載了這樣一個題目：今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金，銀各重幾何？其大意是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），兩袋重量相等，兩袋互換一枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計），問黃金，白銀各重幾兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意得方程組（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系：①枚黃金的重量11枚白銀的重量；②枚白銀的重量枚黃金的重量1枚白銀的重量枚黃金的重量兩．
【詳解】解：設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意得方程組為，故選：B．
4．（2023·山東日照·中考真題）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)雞價各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出9錢，會多出11錢；每人出6錢，又差16錢．問人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少？設(shè)人數(shù)為x，可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)人數(shù)為x，根據(jù)每人出9錢，會多出11錢，可得雞的價格為錢，根據(jù)每人出6錢，又差16錢，可得雞的價格為錢，由此列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)人數(shù)為x，由題意得，，故選D．
【點睛】本題考查了從實際問題中抽象出一元一次方程，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·浙江紹興·中考真題）《九章算術(shù)》中有一題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．問大、小器各容幾何？”譯文：今有大容器5個，小容器1個，總?cè)萘繛?斛（斛：古代容是單位）；大容器1個，小容器5個，總?cè)萘繛?斛．問大容器、小容器的容量各是多少斛？設(shè)大容器的容量為斛，小容器的容量為斛，則可列方程組是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)大容器的容積為x斛，小容器的容積為y斛，根據(jù)“大容器5個，小容器1個，總?cè)萘繛?斛；大容器1個，小容器5個，總?cè)萘繛?斛”即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組．
【詳解】解：設(shè)大容器的容積為x斛，小容器的容積為y斛，
根據(jù)題意得：．故選：B．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x、y的二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·甘肅蘭州·中考真題）我國古代天文學(xué)確定方向的方法中蘊藏了平行線的作圖法．如《淮南子天文訓(xùn)》中記載：“正朝夕：先樹一表東方；操一表卻去前表十步，以參望日始出北廉．日直入，又樹一表于東方，因西方之表，以參望日方入北康．則定東方兩表之中與西方之表，則東西也．”如圖，用幾何語言敘述作圖方法：已知直線a和直線外一定點O，過點O作直線與a平行．（1）以O(shè)為圓心，單位長為半徑作圓，交直線a于點M，N；（2）分別在的延長線及上取點A，B，使；（3）連接，取其中點C，過O，C兩點確定直線b，則直線．按以上作圖順序，若，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】證明，可得，結(jié)合，C為的中點，可得．
【詳解】解：∵，，∴，∴，
∵，C為的中點，∴，故選A．
【點睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，三角形的外角的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
7．（23-24九年級上·浙江溫州·期中）我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年攥《九章算術(shù)注》中指出，“周三徑一”不是圓周率值，實際上是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值（如圖1）．劉徽發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，多邊形的周長就無限逼近圓周長，從而創(chuàng)立“割圓術(shù)”，為計算圓周率建立起相當(dāng)嚴(yán)密的理論和完善的算法．如圖2，六邊形是圓內(nèi)接正六邊形，把每段弧二等分，可以作出一個圓內(nèi)接正十二邊形，點為的中點，連結(jié)交于點，若，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)正六邊形的外接圓的圓心為O，連接、、、，則，所以心O在上，由點G為的中點，得，可求得，由是等邊三角形，得，則，所以，則，作交于點I，則，所以，則，，于是得，再利用，得，則，即可求得答案．
【詳解】解：如圖，設(shè)正六邊形的外接圓的圓心為O，連接、、、．
∵，
∴，，∴圓心在上，
∵點G為的中點，∴，
∵，∴，
∵，，∴是等邊三角形．∴，
∵，∴，∴，
作交于點I，則，∴，
∵，∴，∵，
∴，∴，∵，，
∴，∴，∴．故選∶A.
【點睛】本題重點考查正多邊形與圓、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
8．（2023年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)真題）第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽的設(shè)計基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個全等的直角三角形（）和中間一個小正方形拼成的大正方形中，，連接．設(shè)，若正方形與正方形的面積之比為，則（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】設(shè)，，首先根據(jù)得到，然后表示出正方形的面積為，正方形的面積為，最后利用正方形與正方形的面積之比為求解即可．
【詳解】設(shè)，，∵，，
∴，即，∴，整理得，∴，
∵，∴，
∴正方形的面積為，∵正方形的面積為，
∵正方形與正方形的面積之比為，∴，∴解得．故選：C．
【點睛】此題考查勾股定理，解直角三角形，趙爽“弦圖”等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．
二、填空題
9．（2022·江蘇揚州·中考真題）掌握地震知識，提升防震意識．根據(jù)里氏震級的定義，地震所釋放出的能量與震級的關(guān)系為（其中為大于0的常數(shù)），那么震級為8級的地震所釋放的能量是震級為6級的地震所釋放能量的 倍．
【答案】1000
【分析】分別求出震級為８級和震級為6級所釋放的能量，然后根據(jù)同底數(shù)冪的除法即可得到答案．
【詳解】解：根據(jù)能量與震級的關(guān)系為（其中為大于0的常數(shù)）可得到，
當(dāng)震級為8級的地震所釋放的能量為：，
當(dāng)震級為6級的地震所釋放的能量為：，
，震級為8級的地震所釋放的能量是震級為6級的地震所釋放能量的1000倍．
故答案為：1000．
【點睛】本題考查了利用同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減的知識，充分理解題意并轉(zhuǎn)化為所學(xué)數(shù)學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），問題：圖（1）為中國古代一種強弩圖，圖（2）為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若矩，欘，則 度．

【答案】//．
【分析】根據(jù)矩、宣、欘的概念計算即可．
【詳解】解：由題意可知，矩，欘宣矩，
，故答案為：．
【點睛】本題考查了新概念的理解，直角三角形銳角互余，角度的計算；解題的關(guān)鍵是新概念的理解，并正確計算．
11．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）我國南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝精研數(shù)學(xué)，著有《詳解九章算法》，對數(shù)的運算進行了深入研究與總結(jié)．類比其中的思想方法，可以解決很多數(shù)與式的計算問題．現(xiàn)已知a，b為實數(shù)，且，計算可得：，，，…，由此求得 ．
【答案】
【分析】先據(jù)題意求出，進而推出，由此代值計算即可．
【詳解】解：∵，，∴，∴，
∴，故答案為：．
【點睛】本題主要考查了多項式乘以多項式，因式分解的應(yīng)用，正確推出是解題的關(guān)鍵．
12．（2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題）學(xué)校組織學(xué)生參加木藝藝術(shù)品加工勞動實踐活動．已知某木藝藝術(shù)品加工完成共需A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D須在工序A完成后進行，工序E須在工序B，D都完成后進行，工序F須在工序C，D都完成后進行；②一道工序只能由一名學(xué)生完成，此工序完成后該學(xué)生才能進行其他工序；
③各道工序所需時間如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需時間/分鐘 9 9 7 9 7 10 2
在不考慮其他因素的前提下，若由一名學(xué)生單獨完成此木藝藝術(shù)品的加工，則需要 分鐘；若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，則最少需要 分鐘．
【答案】 53 28
【分析】將所有工序需要的時間相加即可得出由一名學(xué)生單獨完成需要的時間；假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，根據(jù)加工要求可知甲學(xué)生做工序A，乙學(xué)生同時做工序B；然后甲學(xué)生做工序D，乙學(xué)生同時做工序C，乙學(xué)生工序C完成后接著做工序G；最后甲學(xué)生做工序E，乙學(xué)生同時做工序F，然后可得答案．
【詳解】解：由題意得：（分鐘），
即由一名學(xué)生單獨完成此木藝藝術(shù)品的加工，需要53分鐘；假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，
∵工序C，D須在工序A完成后進行，工序E須在工序B，D都完成后進行，且工序A，B都需要9分鐘完成，∴甲學(xué)生做工序A，乙學(xué)生同時做工序B，需要9分鐘，
然后甲學(xué)生做工序D，乙學(xué)生同時做工序C，乙學(xué)生工序C完成后接著做工序G，需要9分鐘，
最后甲學(xué)生做工序E，乙學(xué)生同時做工序F，需要10分鐘，
∴若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，最少需要（分鐘），故答案為：53，28；
【點睛】本題考查了邏輯推理與時間統(tǒng)籌，根據(jù)加工要求得出加工順序是解題的關(guān)鍵．
13．（2024·河北邯鄲·二模）幻方的歷史悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”中，有一種特殊的三角形幻方，是由4個較小的三角形和3個較大的三角形構(gòu)成，且滿足每個三角形三個頂點處的數(shù)之和相等．如圖1是這種特殊三角形幻方，陰影部分的三角形三個頂點處的數(shù)之和為，該圖中每個三角形三個頂點處的數(shù)字之和都為15，圖2是這種特殊的三角形幻方．（1）若圖2滿足三角形三個頂點處的數(shù)之和為15，，則 ；處的數(shù)值為 ；（2）的值為 ．
【答案】 12 1
【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，整式的加減運算．
（1）根據(jù)三角形三個頂點處的數(shù)之和為15，得到，，將代入計算即可；（2）先根據(jù)每個三角形三個頂點處的數(shù)之和相等求出A、B，即可得到答案．
【詳解】解：（1）由題意，得：，，
∵，∴，∴；故答案為：；
（2）∵，∴
∵，∴，
∵，∴；故答案為：．
14．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）在《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)”中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這里所用的割圓術(shù)所體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化的思想，比如在…中．“…”代表按規(guī)律不斷求和，設(shè)．則有，解得，故．類似地的結(jié)果為 ．
【答案】
【分析】設(shè)，仿照例題進行求解即可．
【詳解】設(shè)，則，
，解得，，即．故答案為：．
【點睛】本題主要考查了類比推理，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．
15．（23-24九年級上·山東濰坊·期末）據(jù)《史記》記載，戰(zhàn)國時期，齊威王和他的大臣田忌各有上、中、下三匹馬．在同等級的馬中，齊威王的馬比田忌的馬跑得快，但每人較高等級的馬都比對方較低等級的馬跑得快．有一天，齊威王要與田忌賽馬，雙方約定：比賽三局，每局各出一匹，每匹馬只賽一次，贏得兩局者為勝．如果齊威王首局出上馬，田忌首局出下馬，則田忌獲勝的概率是 ．
【答案】
【分析】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．由題意可知，首局齊威王獲勝．畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及田忌贏得兩局的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【詳解】解：由題意可知，首局齊威王獲勝．畫樹狀圖如下：
共有4種等可能的結(jié)果，其中田忌贏得兩局的結(jié)果有：（中下，上中），（下中，中上），共2種，
∴田忌獲勝的概率為．故答案為：．
16．（2023·浙江溫州·中考真題）圖1是方格繪成的七巧板圖案，每個小方格的邊長為，現(xiàn)將它剪拼成一個“房子”造型(如圖2)，過左側(cè)的三個端點作圓，并在圓內(nèi)右側(cè)部分留出矩形作為題字區(qū)域(點，，，在圓上，點，在上)，形成一幅裝飾畫，則圓的半徑為 ．若點，，在同一直線上，，，則題字區(qū)域的面積為 ．

【答案】 5
【分析】根據(jù)不共線三點確定一個圓，根據(jù)對稱性得出圓心的位置，進而垂徑定理、勾股定理求得，連接，取的中點，連接，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖所示，依題意，，∵過左側(cè)的三個端點作圓，，
又，∴在上，連接，則為半徑，
∵，在中，∴解得：；
連接，取的中點，連接，交于點，連接，，

∵， ∴，∴，∵點，，在同一直線上，
∴，∴，又，∴
∵，∴∴
∵∴∴，
∵，設(shè)，則
在中，即
整理得即解得：或
∴題字區(qū)域的面積為故答案為：；．
【點睛】本題考查了垂徑定理，平行線分線段成比例，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
17．（23-24九年級上·遼寧大連·期末）如圖1是博物館展出的古代車輪實物，《周禮·考工記》記載：“……故兵車之輪六尺有六寸，田車之輪六尺有三寸……”據(jù)此，我們可以通過計算車輪的半徑來驗證車輪類型，請將以下推理過程補充完整．
如圖2所示，在車輪上取A、B兩點，設(shè)弧所在圓的圓心為O，半徑為．作弦的垂線，D為垂足，則D是的中點.其推理的依據(jù)是：______．
連接、，經(jīng)測量，，，
在中，由勾股定理可列出關(guān)于的方程：______．解得______．
通過單位換算，得到車輪直徑約為六尺六寸，可驗證此車輪為兵車之輪．
【答案】垂直弦（非直徑）的直徑平分弦，，
【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
【詳解】解：如圖所示，在車輪上取A、B兩點，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為．作弦的垂線，D為垂足，則D是的中點．其推理依據(jù)是：垂直弦（非直徑）的直徑平分弦．
經(jīng)測量：，，則；
用含的代數(shù)式表示，．
在中，由勾股定理可列出關(guān)于的方程：，解得．
通過單位換算，得到車輪直徑約為六尺六寸，可驗證此車輪為兵車之輪．
故答案為：垂直弦（非直徑）的直徑平分弦，，．
18．（2023·云南文山·一模）田忌賽馬的故事為我們熟知，在學(xué)習(xí)概率知識后老師設(shè)計了如下游戲：已知甲、乙兩人手中各有牌面數(shù)字為2、5、7和3、6、8的三張撲克牌，每次同時各出一張牌（打出的牌不收回），誰的牌數(shù)字大誰贏．
(1)若甲、乙將手中的牌隨機抽出一張，一局定勝負，請用列表或畫樹狀圖的方法，比較誰的獲勝機會比較大？
(2)若規(guī)定三局兩勝者為勝，已知乙按從小到大的順序出牌，甲應(yīng)該怎樣出牌，才能保證獲勝？
【答案】(1)乙獲勝的機會比較大，見解析
(2)甲第一張出5，第二張出7，第三張出2可以保證獲勝
【分析】（1）先列表求出等可能出現(xiàn)的結(jié)果所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)、甲獲勝的結(jié)果數(shù)和乙獲勝的結(jié)果數(shù)，再分別求出甲、乙獲勝的概率，然后再比較即可解答；
（2）先根據(jù)題意列出乙的出牌，然后根據(jù)游戲規(guī)則確定甲的出牌即可．
【詳解】（1）解：所有可能出現(xiàn)的結(jié)果列表如下：
由表可知共有9種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中甲獲勝的有3種，
∴，．∴乙獲勝的機會比較大 ．
（2）解：由題意可知乙的出牌：3,6,8則甲第一張出5，第二張出7，第三張出2可以保證獲勝．
【點睛】本題主要考查了運用列表法求概率、概率在游戲中的應(yīng)用等知識點，靈活運用概率是解答本題的關(guān)鍵．
19．（2024·河南周口·一模）歐幾里得是古希臘最盛名、最有影響力的數(shù)學(xué)家之一，被稱為“幾何之父”，他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，被廣泛認為是歷史上最成功的教科書．
小明在閱讀《幾何原本》時，看到定理3.32的敘述：如果一條直線切于一個圓，而且由切點作一條過圓內(nèi)部的直線與圓相截，該直線與切線所成的角等于另一弓形上的角．
小明嘗試證明這個定理，他作出如下圖形，通過分析，發(fā)現(xiàn)若證明這個定理，需研究與的關(guān)系．請幫助小明寫出已知，求證，并證明．
已知：如圖，中，_____________，點為劣弧上一點，連接，．
求證：_________________．
【答案】已知：直線切于點，過的直線交于點
求證：，證明過程見解析
【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形等知識，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．連接，延長交于點，連接，根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理可得，進而可證明，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，結(jié)合，即可證明結(jié)論．
【詳解】已知：直線切于點，過的直線交于點，求證：．
證明：如圖，連接，延長交于點，連接，
由題意得，，
∴，，∴，
又∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴，
∵，∴．
20．（2023·河南平頂山·二模）閱讀材料：北師大版七年級下冊教材24頁為大家介紹了楊輝三角．
楊輝三角如果將為非負整數(shù)）的展開式的每一項按字母的次數(shù)由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一項，系數(shù)為1；，它有兩項，系數(shù)分別為1，1；，它有三項，系數(shù)分別為1，2，1；，它有四項，系數(shù)分別為1，3，3，1；將上述每個式子的各項系數(shù)排成該表．觀察該表，可以發(fā)現(xiàn)每一行的首末都是1，并且下一行的數(shù)比上一行多1個，中間各數(shù)都寫在上一行兩數(shù)的中間，且等于它們的和．按照這個規(guī)律可以將這個表繼續(xù)往下寫．該表在我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，而他是摘錄自北宋時期數(shù)學(xué)家賈憲著的《開方作法本源》中的“開方作法本源圖”，因而人們把這個表叫做楊輝三角或賈憲三角，在歐洲這個表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡（B．Pascal，1623——1662）是1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年．
(1)應(yīng)用規(guī)律：①直接寫出的展開式，　　；
②的展開式中共有 　　項，所有項的系數(shù)和為 　　；
(2)代數(shù)推理：已知m為整數(shù)，求證：能被18整除．
【答案】(1)①；②7，64(2)見解析
【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律，多項式乘法，因式分解的應(yīng)用，找出本題的數(shù)字規(guī)律是正確解題的關(guān)鍵．（1）直接利用已知式子中系數(shù)變化規(guī)律進而得出答案；（2）直接利用已知式子中系數(shù)變化規(guī)律進而得出答案．
【詳解】（1）解：根據(jù)規(guī)律得：
①；
②，
的展開式中共有7項，所有項的系數(shù)和為；
故答案為：，7，64；
（2）證明：，
，
能被18整除．
21．（23-24九年級·江西吉安·期末）通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：．
【模型呈現(xiàn)】某興趣小組在從漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖（如圖1，由外到內(nèi)含三個正方形）中提煉出兩個三角形全等模型圖（如圖2），即“一線三等角”模型和“K字”模型．
（1）請在上圖2中選擇其中一個模型進行證明．
【模型應(yīng)用】（2）如圖3，正方形中，，，求的面積．（3）如圖4，四邊形中，，，，，，求的面積．

【答案】（1）詳見解析（2）（3）
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解答關(guān)鍵是在題目應(yīng)用全等模型進行證明．
（1）應(yīng)用證明三角形全等即可； （2）過C作延長線的垂線，垂足為F，證明，得到，求的面積即可；（3）分別過C和E作延長線的垂線、，垂足分別為G、H，證明，得到邊上的高為1，求的面積即可；
【詳解】證：（1）例如選第一個圖形可證（同理可證第二個）

∵，∴
又∵，，∴
（2）過C作延長線的垂線，垂足為F，

則由（1）易得，∴，即邊上的高為4，
∴．
（3）分別過C和E作延長線的垂線、，垂足分別為G、H，
則由（1）易得，
又∵四邊形是矩形，∴，∴，
∴，即邊上的高為1，∴．
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【全國通用】2024中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（重難點題型突破）
8.1數(shù)學(xué)文化
數(shù)學(xué)文化問題是以數(shù)學(xué)文化為背景的題目，在數(shù)學(xué)文化視野下創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境將數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)方法等融為一體。在近幾年的中考中，以數(shù)學(xué)文化為載體的試題越來越多。旨在考查學(xué)生在新情境下對知識的理解及遷移能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
解決數(shù)學(xué)文化問題時，一般需要認真審題。理解題目所給內(nèi)容的含義，將涉及的數(shù)學(xué)文化或數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為學(xué)過的知識，運用所學(xué)知識解決問題。
1）多掌握數(shù)學(xué)文化知識：通過對數(shù)學(xué)文化知識了解使學(xué)生對文化素養(yǎng)的提升，做題時能夠做到有的放矢，減少對這類問題的恐懼心理。下面是中學(xué)階段有關(guān)文化的命題角度：
（1）源于數(shù)學(xué)名著，如《九章算術(shù)》《算法統(tǒng)宗》《周髀算經(jīng)》《律學(xué)新說》等；
（2）以數(shù)學(xué)成就為背景創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題，如斐波那契數(shù)列、楊輝三角等；
（3）以數(shù)學(xué)故事為背景創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題，如阿基里斯悖論、貝特朗悖論等；
（4）以數(shù)學(xué)名詞、數(shù)學(xué)中有名的猜想或結(jié)論為背景創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題，如阿波羅尼斯圓、哥德巴赫猜想、勾股定理、阿基米德三角形、蒙日圓等。這些內(nèi)容在歷年中考中時有考查， 因此在復(fù)習(xí)備考中，有意識地加強對這方面的訓(xùn)練是很有必要的，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究、創(chuàng)新精神，拓寬思維視野，提升解題能力。
2）注意數(shù)學(xué)文化的譯文：很多數(shù)學(xué)文化的題型都是選用的是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，題目前面都是以文言文的形式出現(xiàn)，而后面都會給出譯文，譯文才是本題的關(guān)鍵題意，所以這類題的關(guān)鍵地方是在譯文上理解。
3）提煉數(shù)學(xué)文化所考察的主干知識內(nèi)容：數(shù)學(xué)文化題型都是以數(shù)學(xué)文化為背景來考查高中數(shù)學(xué)所學(xué)的知識內(nèi)容，我們首先要明確數(shù)學(xué)文化反應(yīng)的是我們所學(xué)的哪個知識，再進行解答。把不熟悉的數(shù)學(xué)文化知識轉(zhuǎn)化為大家熟悉數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)上，脫去它偽裝的外表，露出它的真實目的。
4）緊扣題目信息，發(fā)掘問題的本質(zhì)：無論是以數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化還是實際民生為載體的創(chuàng)新題，都要求學(xué)生們在短時間內(nèi)讀懂并理解一個陌生的數(shù)學(xué)問題的情景，然后運用所學(xué)的知識和已掌握的解題技能靈活地進行解題。這類問題的關(guān)鍵就是通過認真閱讀，深刻理解題意，從中找到數(shù)學(xué)信息。提煉信息我們可以從這幾方面入手：（1）緊扣信息，深刻發(fā)掘問題的本質(zhì)；（2）緊扣信息，類比推理；（3）緊扣信息，探索出本質(zhì)內(nèi)容，并進行數(shù)學(xué)加工；（4）緊扣信息，擺脫傳統(tǒng)思維約束，創(chuàng)新思維。
考向一　代數(shù)類數(shù)學(xué)文化問題
例1．（2023·上海楊浦·二模）《孫子算經(jīng)》中記載：“凡大數(shù)之法，萬萬曰億，萬萬億曰兆．”說明了大數(shù)之間的關(guān)系：1億＝1萬×1萬，1兆＝1萬×1萬×1億，那么2兆＝ ．（用科學(xué)記數(shù)法表示）
例2．（2024·四川達州·模擬預(yù)測）圖1是我國古代傳說中的洛書，圖2是洛書的數(shù)字表示．相傳，大禹時，洛陽西洛寧縣洛河中浮出神龜，背馱“洛書”，獻給大禹．大禹依此治水成功，遂劃天下為九州．又依此定九章大法，治理社會，流傳下來收入《尚書》中，名《洪范》．《易 系辭上》說：“河出圖，洛出書，圣人則之”．洛書是一個三階幻方，就是將已知的9個數(shù)填入3×3的方格中，使每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的數(shù)字之和都相等．圖3是一個不完整的幻方，根據(jù)幻方的規(guī)則，由已知數(shù)求出x的值應(yīng)為（　　）
A．或 B．1或 C．或4 D．1或4
例3．（2023·湖北襄陽·中考真題）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1275年提出的一個問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬和長各是幾步．設(shè)寬為x步，根據(jù)題意列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023·湖南張家界·中考真題）《四元玉鑒》是一部成就輝煌的數(shù)學(xué)名著，是宋元數(shù)學(xué)集大成者，也是我國古代水平最高的一部數(shù)學(xué)著作．該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽” ．大意是：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的總售價為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)6210文購買椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是（ ）
A． B． C． D．
例5．（23-24九年級·湖南株洲·自主招生）割圓術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)家劉微創(chuàng)造的一種求周長和面積的算法：隨著圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的增加，它的周長和面積越來越接近圓周長和圓面積，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”．這一思想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用．
例如：求的值．則可以設(shè)，根據(jù)上述思想方法有，解方程得；試用這個方法解決問題：（ ）
A．2 B． C．3 D．
例6．（2023·四川巴中·中考真題）我國南宋時期數(shù)學(xué)家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給出了展開式的系數(shù)規(guī)律．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
當(dāng)代數(shù)式的值為1時，則x的值為（ ）
A．2 B． C．2或4 D．2或
考向二　函數(shù)類數(shù)學(xué)文化問題
例1．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）皮克定理是格點幾何學(xué)中的一個重要定理，它揭示了以格點為頂點的多邊形的面積，其中分別表示這個多邊形內(nèi)部與邊界上的格點個數(shù)．在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點為格點．已知，，則內(nèi)部的格點個數(shù)是（ ）
A．266 B．270 C．271 D．285
例2．（2023·湖北武漢·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》記載：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”如圖是善行者與不善行者行走路程（單位：步）關(guān)于善行者的行走時間的函數(shù)圖象，則兩圖象交點的縱坐標(biāo)是 ．

例3．（2023·浙江衢州·中考真題）視力表中蘊含著很多數(shù)學(xué)知識，如：每個“E”形圖都是正方形結(jié)構(gòu)，同一行的“E”是全等圖形且對應(yīng)著同一個視力值，不同的檢測距離需要不同的視力表．
素材1 國際通用的視力表以5米為檢測距離，任選視力表中7個視力值n，測得對應(yīng)行的“E”形圖邊長b（mm），在平面直角坐標(biāo)系中描點如圖1．
探究1 檢測距離為5米時，歸納n與b的關(guān)系式，并求視力值1.2所對應(yīng)行的“E”形圖邊長．
素材2 圖2為視網(wǎng)膜成像示意圖，在檢測視力時，眼睛能看清最小“E”形圖所成的角叫做分辨視角，視力值與分辨視角（分）的對應(yīng)關(guān)系近似滿足．
探究2 當(dāng)時，屬于正常視力，根據(jù)函數(shù)增減性寫出對應(yīng)的分辨視角的范圍．
素材3 如圖3，當(dāng)確定時，在A處用邊長為的I號“E”測得的視力與在B處用邊長為的Ⅱ號“E”測得的視力相同．
探究3 若檢測距離為3米，求視力值1.2所對應(yīng)行的“E”形圖邊長．
例4．（2023·浙江臺州·中考真題）【問題背景】
“刻漏”是我國古代的一種利用水流計時的工具．綜合實踐小組準(zhǔn)備用甲、乙兩個透明的豎直放置的容器和一根帶節(jié)流閥（控制水的流速大小）的軟管制作簡易計時裝置．
【實驗操作】
綜合實踐小組設(shè)計了如下的實驗：先在甲容器里加滿水，此時水面高度為30cm，開始放水后每隔10min觀察一次甲容器中的水面高度，獲得的數(shù)據(jù)如下表：
流水時間t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（觀察值） 30 29 28.1 27 25.8
任務(wù)1 分別計算表中每隔10min水面高度觀察值的變化量．
【建立模型】小組討論發(fā)現(xiàn)：“，”是初始狀態(tài)下的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數(shù)近似地刻畫水面高度h與流水時間t的關(guān)系．

任務(wù)2 利用時，；時，這兩組數(shù)據(jù)求水面高度h與流水時間t的函數(shù)解析式．
【反思優(yōu)化】經(jīng)檢驗，發(fā)現(xiàn)有兩組表中觀察值不滿足任務(wù)2中求出的函數(shù)解析式，存在偏差．小組決定優(yōu)化函數(shù)解析式，減少偏差．通過查閱資料后知道：t為表中數(shù)據(jù)時，根據(jù)解析式求出所對應(yīng)的函數(shù)值，計算這些函數(shù)值與對應(yīng)h的觀察值之差的平方和，記為w；w越小，偏差越小．
任務(wù)3 （1）計算任務(wù)2得到的函數(shù)解析式的w值．（2）請確定經(jīng)過的一次函數(shù)解析式，使得w的值最小．
【設(shè)計刻度】得到優(yōu)化的函數(shù)解析式后，綜合實踐小組決定在甲容器外壁設(shè)計刻度，通過刻度直接讀取時間．任務(wù)4 請你簡要寫出時間刻度的設(shè)計方案．
考向三　幾何類數(shù)學(xué)文化問題
例1．（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給出了這樣的一個結(jié)論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B． C．D．
例2．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設(shè)計直角三角形，得出了一個結(jié)論：如圖，是銳角的高，則．當(dāng)，時， ．

例3．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1，漢代初期的《淮南萬畢術(shù)》是中國古代有關(guān)物理、化學(xué)的重要文獻，書中記載了我國古代學(xué)者在科學(xué)領(lǐng)域做過的一些探索及成就．其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線位于法線的兩側(cè)；反射角等于入射角”．為了探清一口深井的底部情況，運用此原理，如圖在井口放置一面平面鏡可改變光路，當(dāng)太陽光線與地面所成夾角時，要使太陽光線經(jīng)反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調(diào)整平面鏡與地面的夾角（ ）

A． B． C． D．
例4．（2023·湖南常德·中考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖．是以O(shè)為圓心，為半徑的圓弧，C是弦的中點，D在上，．“會圓術(shù)”給出長l的近似值s計算公式：，當(dāng)，時， ．（結(jié)果保留一位小數(shù)）
例5．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）2002年的國際數(shù)學(xué)家大會在中國北京舉行，這是21世紀(jì)全世界數(shù)學(xué)家的第一次大聚會．這次大會的會徽選定了我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，用四個全等的直角三角形（）拼成“趙爽弦圖”，得到正方形與正方形，連接和，與、、分別相交于點P、O、Q，若，則的值是 ．

例6．（2023·河南平頂山·二模）提出問題：古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（約公元前325——公元前265），被稱為“幾何學(xué)之父”．在其所著的《幾何原本》中，包含了5條公理、5條公設(shè)、23個定義和467個命題，即先提出公理、公設(shè)和定義，再由簡到繁予以證明，并在此基礎(chǔ)上形成了歐式幾何學(xué)體系．《幾何原本》第3卷給出其中一個命題：如果圓外的一點向圓引兩條直線，一條與圓相切，一條穿過圓，那么被圓截得的線段與該點到凸圓之間的線段為邊構(gòu)成的矩形的面積等于以該點向圓引的切線所構(gòu)成的正方形的面積．如圖1，上述結(jié)論可表示為，你能說明其中的道理嗎？
探索問題：小明在探究的過程中發(fā)現(xiàn)，線段的位置有兩種情況，即過圓心和不過圓心．
如圖2，當(dāng)經(jīng)過圓心時，小明同學(xué)進行了如下推理：連接，易得，又，所以，可得對應(yīng)邊成比例，進而可知，當(dāng)經(jīng)過圓心時，得．當(dāng)不經(jīng)過圓心時，請補全下列推理過程．
(1)已知：如圖3，為的切線，為切點，與相交于，兩點，連接，．求證：．證明：　　．
(2)解決問題：如圖4，已知為的直徑，為延長線上一點，切于點，連接，若，，請直接寫出的長．
考向四　概率統(tǒng)計類數(shù)學(xué)文化問題
例1．（23-24九年級上·山東菏澤·期中）“田忌賽馬”的故事家喻戶曉，若田忌出馬的順序一直是下等馬、中等馬、上等馬（上等馬跑得最快，中等馬次之，下等馬跑得最慢），而齊王隨機出馬，則田忌獲勝（三局兩勝則為勝）的可能性是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）如圖，“中國七巧板”是由七個幾何圖形組成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四邊形．一只體型微小的小蟲在七巧板上隨機停留，則剛好停在6號板區(qū)域的概率是 ．

例3．（2021·福建·中考真題）“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒．該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬，田忌也有上、中、下三匹馬，且這六匹馬在比賽中的勝負可用不等式表示如下：（注：表示A馬與B馬比賽，A馬獲勝）．一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場比賽的勝利．面對劣勢，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序為上馬、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽，即借助對陣（）獲得了整場比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝強的經(jīng)典案例．
假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問題：
（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利？并求其獲勝的概率；（2）如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必敗無疑？若是，請說明理由；若不是，請列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況，并求其獲勝的概率．
一、選擇題
1．（2024·廣東佛山·一模）我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”：通過圓內(nèi)接正多邊形割圓，邊數(shù)越多割得越細，正多邊形的周長就越接近圓的周長．如圖，由圓內(nèi)接正六邊形可算出．若利用圓內(nèi)接正十二邊形來計算圓周率，則圓周率約為（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北襄陽·中考真題）九章算術(shù)是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到里外的城市，需要的時間比規(guī)定時間多一天：如果用快馬送，所需的時間比規(guī)定時間少天．已知快馬的速度是慢馬的倍，求規(guī)定時間．設(shè)規(guī)定時間為天，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川遂寧·中考真題）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中記載了這樣一個題目：今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金，銀各重幾何？其大意是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），兩袋重量相等，兩袋互換一枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計），問黃金，白銀各重幾兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意得方程組（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·山東日照·中考真題）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)雞價各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出9錢，會多出11錢；每人出6錢，又差16錢．問人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少？設(shè)人數(shù)為x，可列方程為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江紹興·中考真題）《九章算術(shù)》中有一題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．問大、小器各容幾何？”譯文：今有大容器5個，小容器1個，總?cè)萘繛?斛（斛：古代容是單位）；大容器1個，小容器5個，總?cè)萘繛?斛．問大容器、小容器的容量各是多少斛？設(shè)大容器的容量為斛，小容器的容量為斛，則可列方程組是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·甘肅蘭州·中考真題）我國古代天文學(xué)確定方向的方法中蘊藏了平行線的作圖法．如《淮南子天文訓(xùn)》中記載：“正朝夕：先樹一表東方；操一表卻去前表十步，以參望日始出北廉．日直入，又樹一表于東方，因西方之表，以參望日方入北康．則定東方兩表之中與西方之表，則東西也．”如圖，用幾何語言敘述作圖方法：已知直線a和直線外一定點O，過點O作直線與a平行．（1）以O(shè)為圓心，單位長為半徑作圓，交直線a于點M，N；（2）分別在的延長線及上取點A，B，使；（3）連接，取其中點C，過O，C兩點確定直線b，則直線．按以上作圖順序，若，則（ ）

A． B． C． D．
7．（23-24九年級上·浙江溫州·期中）我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年攥《九章算術(shù)注》中指出，“周三徑一”不是圓周率值，實際上是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值（如圖1）．劉徽發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，多邊形的周長就無限逼近圓周長，從而創(chuàng)立“割圓術(shù)”，為計算圓周率建立起相當(dāng)嚴(yán)密的理論和完善的算法．如圖2，六邊形是圓內(nèi)接正六邊形，把每段弧二等分，可以作出一個圓內(nèi)接正十二邊形，點為的中點，連結(jié)交于點，若，則的長為（ ）
A． B． C． D．
8．（2023年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)真題）第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽的設(shè)計基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個全等的直角三角形（）和中間一個小正方形拼成的大正方形中，，連接．設(shè)，若正方形與正方形的面積之比為，則（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空題
9．（2022·江蘇揚州·中考真題）掌握地震知識，提升防震意識．根據(jù)里氏震級的定義，地震所釋放出的能量與震級的關(guān)系為（其中為大于0的常數(shù)），那么震級為8級的地震所釋放的能量是震級為6級的地震所釋放能量的 倍．
10．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），問題：圖（1）為中國古代一種強弩圖，圖（2）為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若矩，欘，則 度．

11．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）我國南宋著名數(shù)學(xué)家楊輝精研數(shù)學(xué)，著有《詳解九章算法》，對數(shù)的運算進行了深入研究與總結(jié)．類比其中的思想方法，可以解決很多數(shù)與式的計算問題．現(xiàn)已知a，b為實數(shù)，且，計算可得：，，，…，由此求得 ．
12．（2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題）學(xué)校組織學(xué)生參加木藝藝術(shù)品加工勞動實踐活動．已知某木藝藝術(shù)品加工完成共需A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D須在工序A完成后進行，工序E須在工序B，D都完成后進行，工序F須在工序C，D都完成后進行；②一道工序只能由一名學(xué)生完成，此工序完成后該學(xué)生才能進行其他工序；
③各道工序所需時間如下表所示：
工序 A B C D E F G
所需時間/分鐘 9 9 7 9 7 10 2
在不考慮其他因素的前提下，若由一名學(xué)生單獨完成此木藝藝術(shù)品的加工，則需要 分鐘；若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，則最少需要 分鐘．
13．（2024·河北邯鄲·二模）幻方的歷史悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”中，有一種特殊的三角形幻方，是由4個較小的三角形和3個較大的三角形構(gòu)成，且滿足每個三角形三個頂點處的數(shù)之和相等．如圖1是這種特殊三角形幻方，陰影部分的三角形三個頂點處的數(shù)之和為，該圖中每個三角形三個頂點處的數(shù)字之和都為15，圖2是這種特殊的三角形幻方．（1）若圖2滿足三角形三個頂點處的數(shù)之和為15，，則 ；處的數(shù)值為 ；（2）的值為 ．
14．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）在《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)”中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這里所用的割圓術(shù)所體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化的思想，比如在…中．“…”代表按規(guī)律不斷求和，設(shè)．則有，解得，故．類似地的結(jié)果為 ．
15．（23-24九年級上·山東濰坊·期末）據(jù)《史記》記載，戰(zhàn)國時期，齊威王和他的大臣田忌各有上、中、下三匹馬．在同等級的馬中，齊威王的馬比田忌的馬跑得快，但每人較高等級的馬都比對方較低等級的馬跑得快．有一天，齊威王要與田忌賽馬，雙方約定：比賽三局，每局各出一匹，每匹馬只賽一次，贏得兩局者為勝．如果齊威王首局出上馬，田忌首局出下馬，則田忌獲勝的概率是 ．
16．（2023·浙江溫州·中考真題）圖1是方格繪成的七巧板圖案，每個小方格的邊長為，現(xiàn)將它剪拼成一個“房子”造型(如圖2)，過左側(cè)的三個端點作圓，并在圓內(nèi)右側(cè)部分留出矩形作為題字區(qū)域(點，，，在圓上，點，在上)，形成一幅裝飾畫，則圓的半徑為 ．若點，，在同一直線上，，，則題字區(qū)域的面積為 ．

三、解答題
17．（23-24九年級上·遼寧大連·期末）如圖1是博物館展出的古代車輪實物，《周禮·考工記》記載：“……故兵車之輪六尺有六寸，田車之輪六尺有三寸……”據(jù)此，我們可以通過計算車輪的半徑來驗證車輪類型，請將以下推理過程補充完整．
如圖2所示，在車輪上取A、B兩點，設(shè)弧所在圓的圓心為O，半徑為．作弦的垂線，D為垂足，則D是的中點.其推理的依據(jù)是：______．
連接、，經(jīng)測量，，，
在中，由勾股定理可列出關(guān)于的方程：______．解得______．
通過單位換算，得到車輪直徑約為六尺六寸，可驗證此車輪為兵車之輪．
18．（2023·云南文山·一模）田忌賽馬的故事為我們熟知，在學(xué)習(xí)概率知識后老師設(shè)計了如下游戲：已知甲、乙兩人手中各有牌面數(shù)字為2、5、7和3、6、8的三張撲克牌，每次同時各出一張牌（打出的牌不收回），誰的牌數(shù)字大誰贏．(1)若甲、乙將手中的牌隨機抽出一張，一局定勝負，請用列表或畫樹狀圖的方法，比較誰的獲勝機會比較大？(2)若規(guī)定三局兩勝者為勝，已知乙按從小到大的順序出牌，甲應(yīng)該怎樣出牌，才能保證獲勝？
19．（2024·河南周口·一模）歐幾里得是古希臘最盛名、最有影響力的數(shù)學(xué)家之一，被稱為“幾何之父”，他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，被廣泛認為是歷史上最成功的教科書．
小明在閱讀《幾何原本》時，看到定理3.32的敘述：如果一條直線切于一個圓，而且由切點作一條過圓內(nèi)部的直線與圓相截，該直線與切線所成的角等于另一弓形上的角．
小明嘗試證明這個定理，他作出如下圖形，通過分析，發(fā)現(xiàn)若證明這個定理，需研究與的關(guān)系．請幫助小明寫出已知，求證，并證明．
已知：如圖，中，_____________，點為劣弧上一點，連接，．
求證：_________________．
20．（2023·河南平頂山·二模）閱讀材料：北師大版七年級下冊教材24頁為大家介紹了楊輝三角．
楊輝三角如果將為非負整數(shù)）的展開式的每一項按字母的次數(shù)由大到小排列，就可以得到下面的等式：，它只有一項，系數(shù)為1；，它有兩項，系數(shù)分別為1，1；，它有三項，系數(shù)分別為1，2，1；，它有四項，系數(shù)分別為1，3，3，1；將上述每個式子的各項系數(shù)排成該表．觀察該表，可以發(fā)現(xiàn)每一行的首末都是1，并且下一行的數(shù)比上一行多1個，中間各數(shù)都寫在上一行兩數(shù)的中間，且等于它們的和．按照這個規(guī)律可以將這個表繼續(xù)往下寫．該表在我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》中提到過，而他是摘錄自北宋時期數(shù)學(xué)家賈憲著的《開方作法本源》中的“開方作法本源圖”，因而人們把這個表叫做楊輝三角或賈憲三角，在歐洲這個表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡（B．Pascal，1623——1662）是1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年．
(1)應(yīng)用規(guī)律：①直接寫出的展開式，　　；
②的展開式中共有 　　項，所有項的系數(shù)和為 　　；
(2)代數(shù)推理：已知m為整數(shù)，求證：能被18整除．
21．（23-24九年級·江西吉安·期末）通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：．
【模型呈現(xiàn)】某興趣小組在從漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖（如圖1，由外到內(nèi)含三個正方形）中提煉出兩個三角形全等模型圖（如圖2），即“一線三等角”模型和“K字”模型．
（1）請在上圖2中選擇其中一個模型進行證明．
【模型應(yīng)用】（2）如圖3，正方形中，，，求的面積．（3）如圖4，四邊形中，，，，，，求的面積．

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