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【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
7.1動點、動線、動圖型探究題
動點、動線、動圖構成的問題，稱之為動態幾何問題。它主要以幾何圖形為載體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一體。這類題綜合性強，能力要求高，它能全面地考查學生的實踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力。動態問題成為近年中考試題的熱點，這類試題信息量大，對同學們獲取信息和處理信息的能力要求較高；解題時需要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題，挖掘運動、變化的全過程，并特別關注運動與變化中的不變量、不變關系或特殊關系，動中取靜，靜中求動。
數學因運動而充滿活力，數學因變化而精彩紛呈。動態幾何問題是近年來中考的一個重難點問題，以運動的觀點探究幾何圖形或函數與幾何圖形的變化規律命題。隨之產生的動態幾何試題就是研究在幾何圖形的運動中，伴隨著出現一定的圖形位置、數量關系的“變”與“不變”性的試題。以動態幾何問題為基架而精心設計的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射。
1、解題方法
1）動中取靜即在運動變化過 程中探究不變量；
2）以靜制動有些問題是求最值或形成特殊的幾何圖形，本質就是在運動過程中運動到特殊位置時形成的關系，在動的過程中抓住靜的瞬間，由一般向特殊轉化。
2、解題步驟
1）讀題，辨析是遞進關系還是并列關系；
2）確定動點、動線背景，確定動點個數以及它們之間的關系，動點在什么圖形上運動（直線、射線、折線、三角形、四邊形等）；
3）分類，確定分類依據，從特殊位置入手確定自變量范圍，找不變或相等關系（全等、相似、面積、勾股底或高為定長、定角等），動點和定點構成的圖形要逐一分析；
4）作圖，要作出每個狀態的典型圖形；
5）函數或方程，通過位置關系建立起數量關系；
6）看臨界，要考慮臨界狀態能否成立的情況。
注意：解題時，往往需要通過數形結合揭示題目各數據之間的內在聯系，通過圖形，探究數量關系，再由數量關系研究圖形特征，使問題化難為易，只要善于運用數形結合的思想，由形想數，由數定形，把動點運動的時間t與運動過程中特定圖形的形狀和大小聯系起來，利用方程就可以解決動點問題。
考向一　動點問題
例1．（2023年江蘇省南通市中考數學真題）如圖，中，，，．點從點出發沿折線運動到點停止，過點作，垂足為．設點運動的路徑長為，的面積為，若與的對應關系如圖所示，則的值為（ ）

A．54 B．52 C．50 D．48
【答案】B
【分析】根據點運動的路徑長為，在圖中表示出來，設，在直角三角形中，找到等量關系，求出未知數的值，得到的值．
【詳解】解：當時，由題意可知，，
在中，由勾股定理得，
設，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
即，解得，，
，當時，由題意可知，，
設，，
在中，由勾股定理得，
在中由勾股定理得，
中，由勾股定理得，即，
解得，，，．故選：B．
【點睛】本題主要考查勾股定理，根據勾股定理列出等式是解題的關鍵，運用了數形結合的思想解題．
例2．（2023年河南省中考數學真題）如圖1，點P從等邊三角形的頂點A出發，沿直線運動到三角形內部一點，再從該點沿直線運動到頂點B．設點P運動的路程為x，，圖2是點P運動時y隨x變化的關系圖象，則等邊三角形的邊長為（ ）
A．6 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】如圖，令點從頂點出發，沿直線運動到三角形內部一點，再從點沿直線運動到頂點．結合圖象可知，當點在上運動時，，，易知，當點在上運動時，可知點到達點時的路程為，可知，過點作，解直角三角形可得，進而可求得等邊三角形的邊長．
【詳解】解：如圖，令點從頂點出發，沿直線運動到三角形內部一點，再從點沿直線運動到頂點．
結合圖象可知，當點在上運動時，，∴，，
又∵為等邊三角形，∴，，∴，
∴，∴，
當點在上運動時，可知點到達點時的路程為，
∴，即，∴，過點作，
∴，則，∴，
即：等邊三角形的邊長為6，故選：A．
【點睛】本題考查了動點問題的函數圖象，解決本題的關鍵是綜合利用圖象和圖形給出的條件．
例3．（2023·黑龍江綏化·統考中考真題）如圖，在菱形中，，，動點，同時從點出發，點以每秒個單位長度沿折線向終點運動；點以每秒個單位長度沿線段向終點運動，當其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動．設運動時間為秒，的面積為個平方單位，則下列正確表示與函數關系的圖象是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】連接，過點作于點，根據已知條件得出是等邊三角形，進而證明得出，當時，在上，當時，在上，根據三角形的面積公式得到函數關系式，
【詳解】解：如圖所示，連接，過點作于點，
當時，在上，菱形中，，，

∴，則是等邊三角形，∴，
∵，∴，又∴
∴∴，∴
當時，在上，∴，
綜上所述，時的函數圖象是開口向上的拋物線的一部分，當時，函數圖象是直線的一部分，故選：A．
【點睛】本題考查了動點問題的函數圖象，二次函數圖象的性質，一次函數圖象的性質，菱形的性質，勾股定理，等邊三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
例4．（2023·浙江·九年級模擬）如圖，中，，，，以點為圓心3為半徑的優弧分布交，于點，點優弧上的動點，點為的中點，則長的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根據勾股定理求得AB=8，然后根據的性質求得NE和OE的長，當點P在M處時，AC有最小值，此時，在中應用勾股定理即可求解；當P在點N處時，AC有最大值，根據的性質求出CF、FO、AF，然后在中應用勾股定理即可求解．
【詳解】∵OA=6，OB=10，ON=OM=3 ∴AM=OA-OM=3
∴在中， 過N點作于點E
∴ 又∵∴
∴ ∴ ∴，
當點P在點M、N處時，AC分別有最小值和最大值；當點P在M處時，AC有最小值
∵C是BP的中點， ∴
∴在中， ∴
當P在點N處時，AC有最大值 ∴
∵∴ ∴
∴， ∴， ∴
在中， 綜上所述，故選D．
【點睛】本題考查了圓的性質，勾股定理，三角形相似的判定和性質，題目較為綜合，難度較大，根據題意討論兩種情況是本題的關鍵．
考向二　動線問題
例1．（2023·河北保定·統考一模）如圖，在菱形中，，P為對角線上的一個動點，過點作的垂線，交或于點，交或于點，點從點出發以cm/s的速度向終點運動，設運動時間為，以為折線將菱形向右折疊，若重合部分面積為，求t的值，對于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，則正確的是（ ）
A．只有甲答的對 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【答案】C
【分析】由菱形的性質推出的度數，通過分類討論的方法得到含有特殊角的直角三角形、、以及等邊三角形、，利用面積公式進而列出有關時間的一元二次方程，通過解方程求出.
【詳解】解 ：如圖，連接交于點
四邊形為菱形
，
在中，
由題意可知，
如圖所示，重合部分
在 中，，
，為等邊三角形
如圖所示，重合部分
在中，，
，
為等邊三角形
或，即甲、丙答案合在一起才完整.故答案選 .
【點睛】本題考查的是菱形的性質和折疊問題，涉及到的知識點有利用特殊直角三角形求邊長、求角度以及等邊三角形的判定.是否能用分類討論的方法解決本題折疊問題是這道題的難點.本題的綜合能力較強.
例2．（2023年遼寧省盤錦市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點A在y軸的正半軸上，頂點B、C在x軸的正半軸上，，．點M在菱形的邊和上運動（不與點A，C重合），過點M作軸，與菱形的另一邊交于點N，連接，，設點M的橫坐標為x，的面積為y，則下列圖象能正確反映y與x之間函數關系的是（ ）

A． B．C．D．
【答案】A
【分析】先根據菱形的性質求出各點坐標，分M的橫坐標x在，，之間三個階段，用含x的代數式表示出的底和高，進而求出分段函數的解析式，根據解析式判斷圖象即可．
【詳解】解：菱形的頂點A在y軸的正半軸上，頂點B、C在x軸的正半軸上，
，，，
，，，，
設直線的解析式為，將，代入，得：
，解得，直線的解析式為．軸，N的橫坐標為x，
（1）當M的橫坐標x在之間時，點N在線段上，中上的高為，
，，
，該段圖象為開口向上的拋物線；
（2）當M的橫坐標x在之間時，點N在線段上，中，上的高為，
，該段圖象為直線；
（3）當M的橫坐標x在之間時，點N在線段上，中上的高為，
由，可得直線的解析式為，
，，，
，
該段圖象為開口向下的拋物線；觀察四個選項可知，只有選項A滿足條件，故選A．
【點睛】本題考查動點問題的函數圖象，涉及坐標與圖形，菱形的性質，二次函數、一次函數的應用等知識點，解題的關鍵是分段求出函數解析式．
例3．（2023·黑龍江哈爾濱·校考模擬預測）如圖，直線與x軸、y軸分別交于點和點，直線與直線交于點，平行于y軸的直線m從原點O出發，以每秒個單位長度的速度沿x軸向右平移，到點時停止．直線m交線段、于點、，以為斜邊向左側作等腰，設與重疊部分的面積為（平方單位），直線m的運動時間為t（秒）．
(1)填空：_______，______；
(2)填空：動點的坐標為（t，_____），______（用含t的代數式表示）；
(3)當點落在軸上時，求的值．(4)求S與t的函數關系式并寫出自變量的取值范圍；
【答案】(1)8；(2)；(3)2(4)
【分析】（1）分別令、求出、的長度，再根據等腰直角三角形的性質求出的度數；（2）根據等腰直角三角形的性質可得動點E的坐標，進而求出的長度；（3）當點在軸上時，四邊形為正方形，進而求出的值；（4）點的位置有三種可能：①點在軸的左側；②點在軸上；③點在軸右側，求出S與t的關系式．
【詳解】（1）與軸交于A點，與軸交于B點，
∵當時，；當時，，∴，∴，故答案為：8；．
（2）∵直線與直線交于點C，
∴聯立，得，解得，，∴，，
則，即，，
∵且直線m平行于y軸，垂直于x軸，
∴，為等腰直角三角形，∴，
∴，故答案為：；．
（3）當點落在軸上時，，∴，，
∴四邊形為正方形，∴，∴，即，故答案為：2．
（4）由題意可知：直線m交線段、于點、，以為斜邊向左側作等腰，
所以點的位置有三種情況：①由（3）可知，當時，點在軸上，
此時和重疊部分的面積為等腰直角三角形，四邊形為正方形，
；
②當時，點 在軸左側，此時與重疊部分為梯形，如圖，的兩直角邊與軸有兩交點P、Q，分別過兩個交點作x軸的平行線，交于M、N兩點，
；
③當時，點在軸右側，
此時和重疊部分的面積為等腰直角三角形，四邊形為正方形，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查根據一次函數解析式求點的坐標，以及三角形的面積的計算，正確表示出的長是關鍵．
例4．（2023·河北石家莊·統考模擬預測）如圖1，在菱形中，，．動點從點出發，沿邊以每秒1個單位長度的速度運動，到點時停止，連接，點與點關于直線對稱，連接，．設運動時間為（秒）．
(1)菱形對角線的長為___________；(2)如圖2，當點恰在上時，求的值；
(3)當時，求的周長；(4)直接寫出在整個運動過程中，線段掃過的面積．
【答案】(1)(2)(3)或(4)
【分析】（1）連接交于，依據菱形中，，，即可得到菱形對角線的長；（2）依據點與點關于直線對稱，可得，進而得出，，，依據，，即可得到的值；
（3）當時，有兩種情況：點是的中點；點是的中點．分別依據的周長的周長，進行計算即可；（4）點運動路徑為以點為圓心，6為半徑，圓心角為的弧，從而得到線段掃過的部分為扇形，再利用扇形面積計算即可．
【詳解】（1）解：如圖，連接交于，
菱形中，，．，
，，，故答案為：；
（2）如圖，菱形中，，，
又是菱形的對角線，，
點與點關于直線對稱，，，，，
，，即解得；
（3）當時，有兩種情況：點是的中點；點是的中點．
①當點是的中點時，如圖，過作于，
在中，，，，
在中，，，．
的周長的周長；
②當點是的中點時，如圖，連接，則是等邊三角形，，
在中，，與①同理，得，
的周長的周長；
（4）由題可得，點運動路徑為以點為圓心，6為半徑，圓心角為的弧，
∴線段掃過的部分為扇形，∴線段掃過的面積為．
【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質，全等三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理，三角函數的綜合運用；解決此類問題的關鍵是能分析出各種情況的位置，分類討論做到不重不漏，嚴密思考．
考向三　動圖問題
例1．（2023·遼寧錦州·統考中考真題）如圖，在中，，，，在中，，，與在同一條直線上，點C與點E重合．以每秒1個單位長度的速度沿線段所在直線向右勻速運動，當點B運動到點F時，停止運動．設運動時間為t秒，與重疊部分的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數關系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分，， 三種情況，分別求出函數解析即可判斷．
【詳解】解：過點D作于H，
，
∵，，∴，∴
當時，如圖，重疊部分為，此時，，
，
∴，∴，即，∴∴；
當時，如圖，重疊部分為四邊形，此時，，

∴，，∵，∴，∴，
又，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即，∴，
∴；
當 時如圖，重疊部分為四邊形，此時，，

∴，∵，∴，
∴，即∴，
綜上，，∴符合題意的函數圖象是選項A．故選：A．
【點睛】此題結合圖像平移時面積的變化規律，考查二次函數相關知識，根據平移點的特點列出函數表達式是關鍵，有一定難度．
例2．（2023·山東·九年級專題練習）綜合與實踐
問題情境：矩形ABCD中，AB＝2，∠ADB＝30°，將△BCD沿著對角線BD所在的直線平移，得到△B′C′D′，連接AB′，DC′．
操作探究：(1)如圖1，當△BCD沿射線BD的方向平移時，請判斷AB′與DC′的長度有何關系？并說明理由；(2)如圖2，當△BCD沿射線DB的方向平移時，四邊形AB′C′D能成為菱形嗎？若能，求出平移的距離；若不能，說明理由；(3)當△BCD平移距離為2時，請你在備用圖中畫出平移后的圖形（除圖2），并提出一個問題，直接寫出結論．
【答案】(1)AB′＝DC′，理由見解析(2)能，2(3)見解析
【分析】(1)根據平移的性質證明四邊形是平行四邊形，即可解決問題，
(2)利用菱形的性質可得，進而可以解決問題，(3)結合(2)當沿射線DB的方向平移，平移距離為2時，利用菱形的性質可得與的位置關系．
【詳解】（1）解：，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴，AD＝BC，
∵是由平移得到的，∴，，
∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴．
（2）能，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴，∵，∴，
∵四邊形是菱形，∴，∴，
∵，∴，∴，則平移的距離為2．
（3）如圖，問題：當沿射線DB的方向平移，平移距離為2時，與的位置有何關系？
結論：．
證明：∵四邊形ABCD為矩形，AD=BC，，
∵沿射線DB的方向平移，平移距離為2，
∴，，∴，
∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，
∵，∴，∴，
∴平行四邊形為菱形，∴，即
【點睛】此題考查了平移變換，菱形的判定與性質，矩形的性質，解題關鍵是掌握平移的性質．
例3．（2023·湖南岳陽·統考一模）如圖①，在中，，，，D為的中點，為的中位線，四邊形為的內接矩形（矩形的四個頂點均在的邊上）．(1)計算矩形的面積；(2)將矩形沿向右平移、點F落在上時停止移動，在平移過程中，當矩形與重疊部分的面積為時，求矩形平移的距離；(3)如圖③，將（2）中矩形平移停止時所得的矩形記為矩形，將矩形繞點按順時針方向旋轉，當H1落在上時停止轉動，旋轉后的矩形記為矩形，設旋轉角為，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根據已知，由直角三角形的性質可知，從而求 得，，利用中位線的性質可得，，利用三角函數可得，由矩形的面積公式可得結果；
（2）首先利用分類討論的思想，分析當矩形與重疊部分為三角形時（），利用三角函數和三角形的面積公式可得結果；當矩形與重疊部分為直角梯形時()，列出方程解得x，即可得到答案；（3）作于Q，設，則， ，利用勾股定理可得m，在中，利用三角函數解得；
【詳解】（1）解：如圖①，在中，
∵，，，∴，又∵D為的中點，，∴，，
又∵為的中位線，∴，在中，，，∴，
在中，，∴矩形的面積；
（2）解：如圖②，設矩形移動的距離為x，則，
當矩形與重疊部分為三角形時，則，，∴（舍去），
當矩形與重疊部分為直角梯形時，則，
重疊部分的面積，∴，
即矩形移動的距離為時，矩形與重疊部分的面積是；
（3）解：如圖③，于Q，設，則，∵ ，，
在中，，解之得：，（負的舍去）．
∴．
【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質，中位線的性質和三角函數定義等，利用分類討論的思想，構建直角三角形是解答此題的關鍵．
一、選擇題
1．（2023年河北省中考數學真題）如圖是一種軌道示意圖，其中和均為半圓，點M，A，C，N依次在同一直線上，且．現有兩個機器人（看成點）分別從M，N兩點同時出發，沿著軌道以大小相同的速度勻速移動，其路線分別為和．若移動時間為x，兩個機器人之間距離為y，則y與x關系的圖象大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設圓的半徑為R，根據機器人移動時最開始的距離為，之后同時到達點A，C，兩個機器人之間的距離y越來越小，當兩個機器人分別沿和移動時，此時兩個機器人之間的距離是直徑，當機器人分別沿和移動時，此時兩個機器人之間的距離越來越大．
【詳解】解：由題意可得：機器人（看成點）分別從M，N兩點同時出發，
設圓的半徑為R，∴兩個機器人最初的距離是，
∵兩個機器人速度相同，∴分別同時到達點A，C，
∴兩個機器人之間的距離y越來越小，故排除A，C；
當兩個機器人分別沿和移動時，此時兩個機器人之間的距離是直徑，保持不變，當機器人分別沿和移動時，此時兩個機器人之間的距離越來越大，故排除C，
故選：D．
【點睛】本題考查動點函數圖像，找到運動時的特殊點用排除法是關鍵．
2．（2023·廣東珠海·校考一模）如圖①，在正方形中，點是的中點，點是對角線上一動點，設，．已知與之間的函數圖象如圖②所示，點是圖象的最低點，那么正方形的邊長的值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】由、關于對稱，推出，推出，推出當、、共線時，的值最小，連接，由圖象可知，就可以求出正方形的邊長．
【詳解】解：如圖，連接交于點，連接，連接交于點．
四邊形是正方形，是的中點，
點是的中點，是的重心，，，
、關于對稱，，，
當、、共線時，的值最小，的值最小就是的長，
，設正方形的邊長為，則，
在中，由勾股定理得：，
，負值已舍，即正方形的邊長為．故選：C．
【點睛】本題考查的是動點圖象問題，涉及到正方形的性質，重心的性質，利用勾股定理求線段長是解題的關鍵．
3．（2023年黑龍江省大慶市中考數學真題）如圖1，在平行四邊形中，，已知點在邊上，以1m/s的速度從點向點運動，點在邊上，以的速度從點向點運動．若點，同時出發，當點到達點時，點恰好到達點處，此時兩點都停止運動．圖2是的面積與點的運動時間之間的函數關系圖象（點為圖象的最高點），則平行四邊形的面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意可得：，，設，則，作交的延長線于點，作交的延長線于點，則可得，，從而得到，根據的最大值為3，求出的值，從而得到，最后由平行四邊形的面積公式進行計算即可得到答案．
【詳解】解：根據題意可得：，，設，則，
作交的延長線于點，作交的延長線于點，
，
，，，，
，
由圖象可得的最大值為3，，解得：或（舍去），
，，
平行四邊形的面積為：，故選：C．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質、解直角三角形、二次函數的圖象與性質，熟練掌握平行四邊形的性質、二次函數的圖象與性質，添加適當的輔助線構造直角三角形，是解題的關鍵．
4．（2023年遼寧省本溪市、鐵嶺市、遼陽市中考數學真題）如圖，在中，，，．動點從點出發，以的速度沿射線勻速運動，到點停止運動，同時動點從點出發，以的速度沿射線勻速運動．當點停止運動時，點也隨之停止運動．在的右側以為邊作菱形，點在射線．設點的運動時間為，菱形與的重疊部分的面積為，則能大致反映與之間函數關系的圖象是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先證明菱形是邊長為x，一個角為的菱形，找到臨界點，分情況討論，即可求解．
【詳解】解：作于點D，作于點E，

由題意得，，∴，∴，
∴是線段的垂直平分線，∴，∴，，
∴，，當點M運動到直線上時，

此時，是等邊三角形，∴，；
當點Q、N運動到與點重合時，∴，；
當點P運動到與點重合時，∴，；∴當時，，
當時，如圖，作于點G，交于點R，

則，，，
∴，
當時，如圖，作于點I，
則，，∴，
綜上，與之間函數關系的圖象分為三段，當時，是開口向上的一段拋物線，當時，是開口向下的一段拋物線，當時，是開口向上的一段拋物線，
只有選項A符合題意，故選：A．
【點睛】本題主要考查了動點問題的函數的圖象，二次函數的圖形的性質，等邊三角形的性質，菱形的性質，三角形的面積公式，利用分類討論的思想方法解答和熟練掌握拋物線的性質是解題的關鍵．
5．（2023·遼寧鞍山·統考中考真題）如圖，在矩形中，對角線交于點O，，，垂直于的直線從出發，沿方向以每秒個單位長度的速度平移，當直線與重合時停止運動，運動過程中分別交矩形的對角線于點E，F，以為邊在左側作正方形，設正方形與重疊部分的面積為S，直線的運動時間為ts，則下列圖象能大致反映S與t之間函數關系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出在點左側時的兩段圖象，即可得出結論．
【詳解】解：當在點左側，即：時：
①當正方形的邊在的外部時，重疊部分為矩形，如圖：

設分別交于點，
∵垂直于的直線從出發，沿方向以每秒個單位長度的速度平移，∴，
∵在矩形中，，，∴，∴，
∴為等邊三角形，∴，∴，
∴，∴，圖象為開口向下的一段拋物線；
②當正方形的邊在的內部時，與重疊部分即為正方形，如圖：
由①可知：，∴，圖象是一段開口向上的拋物線；
當過點時，即時，重合，此時，；綜上：滿足題意的只有B選項，故選B．
【點睛】本題考查動點的函數圖象問題．解題的關鍵是確定動點的位置，利用數形結合和分類討論的思想進行求解．
6．（2023·遼寧·統考中考真題）如圖，，在射線，上分別截取，連接，的平分線交于點D，點E為線段上的動點，作交于點F，作交射線于點G，過點G作于點H，點E沿方向運動，當點E與點B重合時停止運動．設點E運動的路程為x，四邊形與重疊部分的面積為S，則能大致反映S與x之間函數關系的圖象是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分三種情況分別求出S與x的函數關系式，據函數的類型與其圖象的對應關系進行判斷即可．
【詳解】解：∵，， ∴是邊長為6的正三角形，
∵平分， ∴，，，
①當矩形全部在之中，即由圖1到圖2，此時，

∵， ∴，∴，
∴， 在中，， ∴， ∴；
②如圖3時，當，則，解得，
由圖2到圖3，此時，

如圖4，記，的交點為，則是正三角形， ∴，
∴， 而，∴，
∴，
③如圖6時，，由圖3到圖6，此時，如圖5，同理是正三角形，
∴，，，
∴， 因此三段函數的都是二次函數關系，其中第1段是開口向上，第2段、第3段是開口向下的拋物線， 故選：A．
【點睛】本題考查動點問題的函數圖象，求出各種情況下S與x的函數關系式是正確解答的前提，理解各種函數所對應的圖象的形狀是解決問題的關鍵．
7．（2022·四川樂山·中考真題）如圖，等腰△ABC的面積為2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．點P是線段AB上一動點，連接PE，過點E作PE的垂線交BC的延長線于點F，M是線段EF的中點．那么，當點P從A點運動到B點時，點M的運動路徑長為（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】D
【分析】當P與A重合時，點F與C重合，此時點M在N處，當點P與B重合時，如圖，點M的運動軌跡是線段MN．求出CF的長即可解決問題．
【詳解】解：過點A作AD⊥BC于點D，連接CE，
∵AB=AC，∴BD=DC=BC=1，∵AE=BC，∴AE=DC=1，
∵AE∥BC，∴四邊形AECD是矩形，∴S△ABC=BC×AD=×2×AD=2，
∴AD=2，則CE=AD=2，當P與A重合時，點F與C重合，此時點M在CE的中點N處，
當點P與B重合時，如圖，點M的運動軌跡是線段MN．
∵BC=2，CE=2，由勾股定理得BE=4，cos∠EBC=，即，∴BF=8，
∵點N是CE的中點，點M是EF的中點，∴MN=BF=4，∴點M的運動路徑長為4，故選：D．
【點睛】本題考查點的軌跡、矩形的判定和性質、解直角三角形、勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找點M的運動軌跡，學會利用起始位置和終止位置尋找軌跡，屬于中考填空題中的壓軸題．
8．（2022·黑龍江大慶·中考真題）平面直角坐標系中，點M在y軸的非負半軸上運動，點N在x軸上運動，滿足．點Q為線段的中點，則點Q運動路徑的長為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設點M的坐標為（0，m），點N的坐標為（n，0），則點Q的坐標為，根據，得出，然后分兩種情況，或，得出與的函數關系式，即可得出Q橫縱坐標的關系式，找出點Q的運動軌跡，根據勾股定理求出運動軌跡的長即可．
【詳解】解：設點M的坐標為（0，m），點N的坐標為（n，0），則點Q的坐標為，
∵，∴，（，） ，
∵當時，，∴，即，
∴此時點Q在一條線段上運動，線段的一個端點在x軸的負半軸上，坐標為（-4，0），另一端在y軸的負半軸上，坐標為（0，-4），∴此時點Q的運動路徑長為；
∵當時，，∴，即，
∴此時點Q在一條線段上運動，線段的一個端點在x軸的正半軸上，坐標為（4，0），另一端在y軸的負半軸上，坐標為（0，-4），∴此時點Q的運動路徑長為；
綜上分析可知，點Q運動路徑的長為，故B正確．故選：B．
【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系中的動點問題，根據題意找出點Q的運動軌跡是兩條線段，是解題的關鍵．
二、填空題
9．（2023·山東·統考中考真題）如圖，在四邊形中，，點E在線段上運動，點F在線段上，，則線段的最小值為 ．

【答案】/
【分析】設的中點為O，以為直徑畫圓，連接，設與的交點為點，證明，可知點F在以為直徑的半圓上運動，當點F運動到與的交點時，線段有最小值，據此求解即可．
【詳解】解：設的中點為O，以為直徑畫圓，連接，設與的交點為點，

∵，∴，∴，
∵，∴，∴點F在以為直徑的半圓上運動，
∴當點F運動到與的交點時，線段有最小值，
∵，∴，，∴，
的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線的性質，圓周角定理的推論，勾股定理等知識，根據題意分析得到點F的運動軌跡是解題的關鍵．
10．（2023·山東煙臺·統考中考真題）如圖1，在中，動點從點出發沿折線勻速運動至點后停止．設點的運動路程為，線段的長度為，圖2是與的函數關系的大致圖象，其中點為曲線的最低點，則的高的長為 ．

【答案】/
【分析】過點作于點，當點與重合時，在圖2中點表示當時，點到達點，此時當在上運動時，最小，勾股定理求得，然后等面積法即可求解．
【詳解】如圖過點作于點，當點與重合時，在圖2中點表示當時，點到達點，此時當在上運動時，最小，

∴，在中，∴
∵，∴,故答案為：．
【點睛】本題考查動點問題的函數圖象，勾股定理，垂線段最短，從函數圖象獲取信息是解題的關鍵．
11．（2023·內蒙古通遼·統考中考真題）如圖，等邊三角形的邊長為，動點P從點A出發以的速度沿向點B勻速運動，過點P作，交邊于點Q，以為邊作等邊三角形，使點A，D在異側，當點D落在邊上時，點P需移動 s．

【答案】1
【分析】當點D落在上時，如圖，，根據等邊三角形，是等邊三角形，證明，進而可得x的值．
【詳解】解：設點P的運動時間為，由題意得，，

∵，∴，∵和是等邊三角形，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，解得．故答案為：1．
【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質，含角的直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，靈活運用等邊三角形的性質是解題的關鍵．
12．（2022·內蒙古通遼·中考真題）如圖，是的外接圓，為直徑，若，，點從點出發，在內運動且始終保持，當，兩點距離最小時，動點的運動路徑長為______．
【答案】
【分析】根據題中的條件可先確定點P的運動軌跡，然后根據三角形三邊關系確定CP的長最小時點P的位置，進而求出點P的運動路徑長．
【詳解】解：為的直徑，
∴點P在以AB為直徑的圓上運動，且在△ABC的內部，
如圖，記以AB為直徑的圓的圓心為，連接交于點，連接
∴當點三點共線時，即點P在點處時，CP有最小值，
∵∴ 在中，
∴∠∴∴兩點距離最小時，點P的運動路徑長為
【點睛】本題主要考查了直徑所對圓周角是直角，弧長公式，由銳角正切值求角度，確定點P的路徑是解答本題的關鍵．
13．（2022·湖北黃岡·中考真題）如圖1，在△ABC中，∠B＝36°，動點P從點A出發，沿折線A→B→C勻速運動至點C停止．若點P的運動速度為1cm/s，設點P的運動時間為t（s），AP的長度為y（cm），y與t的函數圖象如圖2所示．當AP恰好平分∠BAC時，t的值為________．
【答案】##
【分析】根據函數圖像可得AB=4=BC，作∠BAC的平分線AD，∠B＝36°可得∠B＝∠DAC＝36°，進而得到，由相似求出BD的長即可．
【詳解】根據函數圖像可得AB=4，AB+BC=8，∴BC=AB=4，
∵∠B＝36°，∴，作∠BAC的平分線AD，
∴∠BAD＝∠DAC＝36°＝∠B，∴AD=BD，，∴AD=BD=CD，
設，∵∠DAC＝∠B＝36°，∴，
∴，∴，解得： ，（舍去），
∴，此時(s)，故答案為：.
【點睛】此題考查了圖形與函數圖象間關系、相似三角形的判定與性質、解一元二次方程，關鍵是證明．
14．（2023·北京海淀·校考模擬預測）如圖，在中，是以斜邊為直徑的半圓上一動點，為的中點，連接，則的最小值為______
【答案】##
【分析】取的中點O，的中點E，的中點F，連接、，先根據勾股定理求得，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，再根據圓周角定理和垂徑定理證得點M在以為直徑的圓上，當點P在點A處時，點M在點E處，當點P在點B處時，點M在點F處，取的中點，連接交于點，則的長度即為的最小值，延長交于G，連接，，證明，利用相似三角形的性質和解一元二次方程求得即可求解．
【詳解】解：如圖，取的中點O，的中點E，的中點F，連接、，
∵在中，，，，
∴，，∴，
∵P是以斜邊為直徑的半圓上一動點，為的中點，∴，即，
∴點M在以為直徑的圓上，當點P在點A處時，點M在點E處，當點P在點B處時，點M在點F處，取的中點，連接交于點，則的長度即為的最小值，
延長交于G，連接，，則，
∵，，∴，
∴，即，解得：或（舍去）,
故的最小值為，故答案為：．
【點睛】本題考查了勾股定理、直角三角形斜邊上的中線性質、圓周角定理、垂徑定理、點與圓的位置關系、圓內接四邊形的外角性質、相似三角形的判定與性質、解一元二次方程等知識，熟練掌握相關知識的聯系與運用，確定點M的運動路線以及利用隱形圓求解線段最值問題是解答的關鍵．
15．（2023·浙江舟山·統考一模）如圖，在中，，，．動點P沿線段以的速度從點A向點C運動，另有一動點Q與點P同時出發，沿線段以相同的速度從點B向點C運動．作于點D，再將繞的中點旋轉，得到；作于點E，再將繞的中點旋轉，得到．設點P的運動時間為．
（1）如圖當點落在邊上時x的值為___________；
（2）如圖，在點P，Q運動中：當點在內部時x的取值范圍為___________．
【答案】
【分析】（1）利用銳角三角函數的意義直接求出；（2）找出分界點①剛好到達邊時，②剛好到達邊時，利用同一條線段兩種算法求出值，即可得的取值范圍．
【詳解】解：（1）∵，，，
∴，∴，，，
由題意得：，∴，，
∴，∴；故答案為：；
（2）同（1）可得，，，
①剛好到達邊時，
由旋轉可知，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，
∴，，∴，，
∴，即，
∵，則：，，
∴，∴；
②剛好到達邊時，∵，∴，
∴，∴，∴，故答案為：．
【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了銳角三角函數，解直角三角形等知識，具體的規劃是學會用分類討論的思想思考問題屬于中考常考題．
三、解答題
16．（2023·河北·統考中考真題）在平面直角坐標系中，設計了點的兩種移動方式：從點移動到點稱為一次甲方式：從點移動到點稱為一次乙方式．
例、點P從原點O出發連續移動2次；若都按甲方式，最終移動到點；若都按乙方式，最終移動到點；若按1次甲方式和1次乙方式，最終移動到點．

(1)設直線經過上例中的點，求的解析式；并直接寫出將向上平移9個單位長度得到的直線的解析式；(2)點P從原點O出發連續移動10次，每次移動按甲方式或乙方式，最終移動到點．其中，按甲方式移動了m次．①用含m的式子分別表示；②請說明：無論m怎樣變化，點Q都在一條確定的直線上．設這條直線為，在圖中直接畫出的圖象；(3)在（1）和（2）中的直線上分別有一個動點，橫坐標依次為，若A，B，C三點始終在一條直線上，直接寫出此時a，b，c之間的關系式．
【答案】(1)的解析式為；的解析式為；
(2)①；②的解析式為，圖象見解析；(3)
【分析】（1）根據待定系數法即可求出的解析式，然后根據直線平移的規律：上加下減即可求出直線的解析式；（2）①根據題意可得：點P按照甲方式移動m次后得到的點的坐標為，再得出點按照乙方式移動次后得到的點的橫坐標和縱坐標，即得結果；
②由①的結果可得直線的解析式，進而可畫出函數圖象；
（3）先根據題意得出點A，B，C的坐標，然后利用待定系數法求出直線的解析式，再把點C的坐標代入整理即可得出結果．
【詳解】（1）設的解析式為，把、代入，得
，解得：，∴的解析式為；
將向上平移9個單位長度得到的直線的解析式為；
（2）①∵點P按照甲方式移動了m次，點P從原點O出發連續移動10次，
∴點P按照乙方式移動了次，∴點P按照甲方式移動m次后得到的點的坐標為；
∴點按照乙方式移動次后得到的點的橫坐標為，縱坐標為，∴；
②由于，∴直線的解析式為；
函數圖象如圖所示：

（3）∵點的橫坐標依次為，且分別在直線上，∴，
設直線的解析式為，把A、B兩點坐標代入，得
，解得：，∴直線的解析式為，
∵A，B，C三點始終在一條直線上，∴，整理得：；
即a，b，c之間的關系式為：．
【點睛】本題是一次函數和平移綜合題，主要考查了平移的性質和一次函數的相關知識，正確理解題意、熟練掌握平移的性質和待定系數法求一次函數的解析式是解題關鍵．
17．（2023·廣西·統考中考真題）如圖，是邊長為4的等邊三角形，點D，E，F分別在邊，，上運動，滿足．(1)求證：；(2)設的長為x，的面積為y，求y關于x的函數解析式；(3)結合（2）所得的函數，描述的面積隨的增大如何變化．

【答案】(1)見詳解(2)(3)當時，的面積隨的增大而增大，當時，的面積隨的增大而減小
【分析】（1）由題意易得，，然后根據“”可進行求證；
（2）分別過點C、F作，，垂足分別為點H、G，根據題意可得，，然后可得，由（1）易得，則有，進而問題可求解；（3）由（2）和二次函數的性質可進行求解．
【詳解】（1）證明：∵是邊長為4的等邊三角形，∴，，
∵，∴，
在和中，，∴；
（2）解：分別過點C、F作，，垂足分別為點H、G，如圖所示：

在等邊中，，，
∴，∴，
設的長為x，則，，
∴，∴，
同理（1）可知，∴，
∵的面積為y，∴；
（3）解：由（2）可知：，∴，對稱軸為直線，
∴當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小；
即當時，的面積隨增大而增大，當時，的面積隨的增大而減小．
【點睛】本題主要考查銳角三角函數、二次函數的綜合及等邊三角形的性質，熟練掌握銳角三角函數、二次函數的綜合及等邊三角形的性質是解題的關鍵．
18．（2023·吉林長春·九年級校考期中）如圖①，在 中，，，點從點 出發沿折線運動．點P在AB上的運動速度是每秒個單位長度，在 上的運動速度是每秒5個單位長度．當點不與點重合時，作于點Q，以線段 為邊作矩形 ，使點始終在線段的同側，且，點運動的時間為 （s）．
(1) __________．(2)用含有t的代數式表示線段的長．(3)當點落在的邊上時，求t的值．(4)如圖②，點分別是的中點，作直線，直接寫出直線 與的一邊垂直時的值．
【答案】(1)(2)①當時，；②當時，
(3)或(4)，，，
【分析】（1）過點作邊的高線，根據及，可求高及所在直角三角形的鄰直角邊即可；（2）當點在段運動時， ，由，則，可得，當點在段運動時，，則，由，可得：，綜上即可；（3）分兩大類情況討論：點在上與點在上，由，，當點在上時，，則，此時由，可得，代入數據可求，同理求點在上情況即可；（4）分別畫出垂直于三邊的圖形，依據圖形分析即可．
【詳解】（1）如圖所示：過點作邊的高線，由，
設，則，根據勾股定理：，
可得：，所以 ，
（2）如下左圖所示：， 當點在段運動時（）， ，由可得，則，可得
如下右圖所示：當點在段運動時（），，則，
由，可得：
綜上所得：①當時，；②當時，
（3）如下左圖所示：點在上，由，可得：，
由點P在 上的運動速度是每秒個單位長度，則，由，，則，此時由，可得， ，解得：
如下右圖所示：點在上，，， ，，此時由，即，
（4）當時：① 如圖1所示：， 則 ，
， ；
② 如圖2所示：， ，則 ，，
如圖3所示：當時，設垂足為，，， ，
， ，由相似性質及，可得： ，，
，
如圖4所示： 當時，設垂足為，，，，，
此時有關系式： ，即 ，

圖1 圖2 圖3 圖4
【點睛】本題結合動點考查了相似與銳角三角函數，關鍵是靈活運用相似性質及三角函數解三角形，最后一問主要通過畫圖分析，逆向（執果索因）解決問題．
19．（2023·吉林長春·九年級校考階段練習）如圖，在中，，，，動點P從點A出發，沿折線以每秒5個單位長度的速度向點B運動，當點P不與A、B重合時，過點P作，垂足為點D，將線段PD繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE，連接CE，點P、點D關于直線CE的對稱點分別為點、．設點P的運動時間為t秒．(1)當P與C重合時，求t的值．(2)用含t的代數式表示PD的長．(3)當線段在內部時，求t的取值范圍．(4)當時，直接寫出t的值．
【答案】(1)(2)(3)(4)或
【分析】（1）當P與C重合時，點P運動的路程即為AC的長度，據此列出方程求解即可；
（2）分點P在AC上和在BC上兩種情況討論求解即可；（3）過點C作CF⊥AB于F，如圖3-1所示，先證明當CE在CF左側時， 此時點必然在△ABC的外部，不符合題意；然后分別求出如圖3-2和如圖3-3所示的兩種臨界情況，最后證明如圖3-4所示的情況不符合題意即可得到答案；
（4）分P在BC上和P在AC上兩種情況，建立平面直角坐標系進行求解即可．
（1）解：由題意得，解得；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
如圖1所示，當點P在AC上，即時，
∵∠A=∠A，∠ADP=∠ACB=90°，∴△ADP∽△ACB，∴，即，∴；
如圖2所示，當點P在BC上，即，∵∠B=∠B，∠BDP=∠BCA=90°，∴△BDP∽△BCA，
∴，即，∴；
綜上所述，；
（3）解：過點C作CF⊥AB于F，如圖3-1所示，當CE在CF左側時，設直線CE與AB交于點G，
∵∠AFC=90°，∴∠AGC＞90°，又∵點是D關于直線CE的對稱點，
∴此時點必然在△ABC的外部，不符合題意；
如圖3-2所示，當CE與CF恰好重合時，∵∠ADP=∠EPD=90°，∴，
∴，∴∠CEP=∠BCA=90°，∴△CPE∽△BAC，
∴，由（2）得，∴由旋轉的性質可得PE=PD=4t，∴，解得；
如圖3-3所示，當點恰好落在BC上時，由軸對稱的性質可得，
過點E作EH⊥CP于H，則△CHE為等腰直角三角形，∴CH=HE，
∵∠EHP=∠BCA=90°，∠EPH=∠A，∴△EHP∽△BCA，
∴，即，∴，
∴，∴，解得；
當點P在AC上運動，且時，此時點在△ABC外部，不符合題意；
如圖3-4所示，當點P在BC上運動時，由于點E在△ABC外部，則點在△ABC外部，不符合題意；綜上所述，當線段在內部時，；
（4）解：如圖1所示，當P在AC上時，設與直線CE交于點M，延長PD交直線CE于Q，連接MD，，由軸對稱的性質可得，
∴，∴，∵，∴，∴，
又∵，∴∠CMP=∠QMP=90°，∵PM=PM，∴△CMP≌△QMP（ASA），∴CP=PQ，
如圖所示，以AB為x軸，以CF所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，
在Rt△ABC中，，，
∴,，∴點C的坐標為（0，）
在Rt△PAD中，，∴，
∴點D的坐標為（，0），由旋轉的性質可得，∠DPE=∠ADP=90°，
∴軸，∴點E的坐標為（，4t），
設直線CE的解析式為，∴，∴，
∴直線CE的解析式為，
當時，，
∴，∴，
∴，∴，
∴解得；
如圖4-2所示，當點P在線段BC上時，同圖4-1中建立坐標系，設與BC交于N，過點D作DM⊥BC于M，過點N作NQ⊥PD于Q，過點B作BG⊥CE于G，過點G作GT⊥x軸于T，
∵，，∴，
∴，同理可證，∴∠PDN=∠MDN，
又∵NQ⊥PD，MN⊥DM，∴NQ=NM，∠NQD=∠NMD=90°，∴△NQD≌△NMD（AAS），∴DQ=DM，
在Rt△ABC中，，
∵∠ABC+∠DPB=90°=∠DPM+∠PDM，∴∠PDM=∠ABC，
∴，，
∴，∴，同理可證∠PNQ=∠PBD，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴（可以參考兩個角的兩邊互相平行進行證明，兩個角都是銳角，不存在互補的情況），∴，同理可得，
∴，∴，∴，∴，
∴點G的坐標為（，），同理可求得直線CG的解析式為，
在Rt△BDP中，，∴，
由（2）得，∴點E的坐標為（，），
∵點E在直線CG上，∴，
∴，∴，解得；綜上所述，當時，或
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，解直角三角形，一次函數與幾何綜合，全等三角形的性質與判定，軸對稱的性質，旋轉的性質，角平分線的性質等等，解題的關鍵在于能夠正確作出輔助線，利用分類討論和數學結合的思想求解．
20．（2023·四川德陽·統考中考真題）已知：在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，如果把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個新圖象．當平面內的直線與新圖象有三個公共點時，求k的值；(3)如圖2，如果把直線沿y軸向上平移至經過點，與拋物線的交點分別是，，直線交于點，過點作于點，若．求點的坐標．

【答案】(1)(2)或(3)
【詳解】（1）設拋物線的解析式為，，，，
把，代入，得：，解得：，
拋物線的解析式為
（2）直線表達式，直線經過定點，
將過點的直線旋轉觀察和新圖象的公共點情況
把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的解析式為，
新圖象表達式為：時，；或時，，
如下圖當直線與翻折上去的部分拋物線相切時，和新圖象有三個公共點，

聯立，得：，整理得： ，
，，，，時，即如上圖所示，符合題意，時，如下圖所示，經過點，不符合題意，故舍去，
如下圖，當直線經過點時，和新圖象有三個公共點，
把代入，得：，解得：，
綜上所述，當平面內的直線與新圖象有三個公共點時，k的值為或
（3）在拋物線上，設坐標為，
，，，，，，
，，，，
，，，
，，，，
，（舍去），，代入，點的坐標為
【點睛】本題考查了二次函數綜合、翻折、交點個數問題，結合一元二次方程、三角函數解直角三角形知識點，熟練掌握、綜合運用知識點，數形結合是解題的關鍵．
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【全國通用】2024中考數學二輪復習（重難點題型突破）
7.1動點、動線、動圖型探究題
動點、動線、動圖構成的問題，稱之為動態幾何問題。它主要以幾何圖形為載體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一體。這類題綜合性強，能力要求高，它能全面地考查學生的實踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力。動態問題成為近年中考試題的熱點，這類試題信息量大，對同學們獲取信息和處理信息的能力要求較高；解題時需要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題，挖掘運動、變化的全過程，并特別關注運動與變化中的不變量、不變關系或特殊關系，動中取靜，靜中求動。
數學因運動而充滿活力，數學因變化而精彩紛呈。動態幾何問題是近年來中考的一個重難點問題，以運動的觀點探究幾何圖形或函數與幾何圖形的變化規律命題。隨之產生的動態幾何試題就是研究在幾何圖形的運動中，伴隨著出現一定的圖形位置、數量關系的“變”與“不變”性的試題。以動態幾何問題為基架而精心設計的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射。
1、解題方法
1）動中取靜即在運動變化過 程中探究不變量；
2）以靜制動有些問題是求最值或形成特殊的幾何圖形，本質就是在運動過程中運動到特殊位置時形成的關系，在動的過程中抓住靜的瞬間，由一般向特殊轉化。
2、解題步驟
1）讀題，辨析是遞進關系還是并列關系；
2）確定動點、動線背景，確定動點個數以及它們之間的關系，動點在什么圖形上運動（直線、射線、折線、三角形、四邊形等）；
3）分類，確定分類依據，從特殊位置入手確定自變量范圍，找不變或相等關系（全等、相似、面積、勾股底或高為定長、定角等），動點和定點構成的圖形要逐一分析；
4）作圖，要作出每個狀態的典型圖形；
5）函數或方程，通過位置關系建立起數量關系；
6）看臨界，要考慮臨界狀態能否成立的情況。
注意：解題時，往往需要通過數形結合揭示題目各數據之間的內在聯系，通過圖形，探究數量關系，再由數量關系研究圖形特征，使問題化難為易，只要善于運用數形結合的思想，由形想數，由數定形，把動點運動的時間t與運動過程中特定圖形的形狀和大小聯系起來，利用方程就可以解決動點問題。
考向一　動點問題
例1．（2023年江蘇省南通市中考數學真題）如圖，中，，，．點從點出發沿折線運動到點停止，過點作，垂足為．設點運動的路徑長為，的面積為，若與的對應關系如圖所示，則的值為（ ）

A．54 B．52 C．50 D．48
例2．（2023年河南省中考數學真題）如圖1，點P從等邊三角形的頂點A出發，沿直線運動到三角形內部一點，再從該點沿直線運動到頂點B．設點P運動的路程為x，，圖2是點P運動時y隨x變化的關系圖象，則等邊三角形的邊長為（ ）
A．6 B．3 C． D．
例3．（2023·黑龍江綏化·統考中考真題）如圖，在菱形中，，，動點，同時從點出發，點以每秒個單位長度沿折線向終點運動；點以每秒個單位長度沿線段向終點運動，當其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動．設運動時間為秒，的面積為個平方單位，則下列正確表示與函數關系的圖象是（ ）

A． B． C． D．
例4．（2023·浙江·九年級模擬）如圖，中，，，，以點為圓心3為半徑的優弧分布交，于點，點優弧上的動點，點為的中點，則長的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
考向二　動線問題
例1．（2023·河北保定·統考一模）如圖，在菱形中，，P為對角線上的一個動點，過點作的垂線，交或于點，交或于點，點從點出發以cm/s的速度向終點運動，設運動時間為，以為折線將菱形向右折疊，若重合部分面積為，求t的值，對于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，則正確的是（ ）
A．只有甲答的對 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
例2．（2023年遼寧省盤錦市中考數學真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點A在y軸的正半軸上，頂點B、C在x軸的正半軸上，，．點M在菱形的邊和上運動（不與點A，C重合），過點M作軸，與菱形的另一邊交于點N，連接，，設點M的橫坐標為x，的面積為y，則下列圖象能正確反映y與x之間函數關系的是（ ）

A． B．C．D．
例3．（2023·黑龍江哈爾濱·校考模擬預測）如圖，直線與x軸、y軸分別交于點和點，直線與直線交于點，平行于y軸的直線m從原點O出發，以每秒個單位長度的速度沿x軸向右平移，到點時停止．直線m交線段、于點、，以為斜邊向左側作等腰，設與重疊部分的面積為（平方單位），直線m的運動時間為t（秒）．
(1)填空：_______，______；
(2)填空：動點的坐標為（t，_____），______（用含t的代數式表示）；
(3)當點落在軸上時，求的值．(4)求S與t的函數關系式并寫出自變量的取值范圍；
例4．（2023·河北石家莊·統考模擬預測）如圖1，在菱形中，，．動點從點出發，沿邊以每秒1個單位長度的速度運動，到點時停止，連接，點與點關于直線對稱，連接，．設運動時間為（秒）．
(1)菱形對角線的長為___________；(2)如圖2，當點恰在上時，求的值；
(3)當時，求的周長；(4)直接寫出在整個運動過程中，線段掃過的面積．
考向三　動圖問題
例1．（2023·遼寧錦州·統考中考真題）如圖，在中，，，，在中，，，與在同一條直線上，點C與點E重合．以每秒1個單位長度的速度沿線段所在直線向右勻速運動，當點B運動到點F時，停止運動．設運動時間為t秒，與重疊部分的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數關系的是（ ）

A． B． C． D．
例2．（2023·山東·九年級專題練習）綜合與實踐
問題情境：矩形ABCD中，AB＝2，∠ADB＝30°，將△BCD沿著對角線BD所在的直線平移，得到△B′C′D′，連接AB′，DC′．
操作探究：(1)如圖1，當△BCD沿射線BD的方向平移時，請判斷AB′與DC′的長度有何關系？并說明理由；(2)如圖2，當△BCD沿射線DB的方向平移時，四邊形AB′C′D能成為菱形嗎？若能，求出平移的距離；若不能，說明理由；(3)當△BCD平移距離為2時，請你在備用圖中畫出平移后的圖形（除圖2），并提出一個問題，直接寫出結論．
例3．（2023·湖南岳陽·統考一模）如圖①，在中，，，，D為的中點，為的中位線，四邊形為的內接矩形（矩形的四個頂點均在的邊上）．(1)計算矩形的面積；(2)將矩形沿向右平移、點F落在上時停止移動，在平移過程中，當矩形與重疊部分的面積為時，求矩形平移的距離；(3)如圖③，將（2）中矩形平移停止時所得的矩形記為矩形，將矩形繞點按順時針方向旋轉，當H1落在上時停止轉動，旋轉后的矩形記為矩形，設旋轉角為，求的值．
一、選擇題
1．（2023年河北省中考數學真題）如圖是一種軌道示意圖，其中和均為半圓，點M，A，C，N依次在同一直線上，且．現有兩個機器人（看成點）分別從M，N兩點同時出發，沿著軌道以大小相同的速度勻速移動，其路線分別為和．若移動時間為x，兩個機器人之間距離為y，則y與x關系的圖象大致是（ ）

A． B． C． D．
2．（2023·廣東珠海·校考一模）如圖①，在正方形中，點是的中點，點是對角線上一動點，設，．已知與之間的函數圖象如圖②所示，點是圖象的最低點，那么正方形的邊長的值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．（2023年黑龍江省大慶市中考數學真題）如圖1，在平行四邊形中，，已知點在邊上，以1m/s的速度從點向點運動，點在邊上，以的速度從點向點運動．若點，同時出發，當點到達點時，點恰好到達點處，此時兩點都停止運動．圖2是的面積與點的運動時間之間的函數關系圖象（點為圖象的最高點），則平行四邊形的面積為（ ）

A． B． C． D．
4．（2023年遼寧省本溪市、鐵嶺市、遼陽市中考數學真題）如圖，在中，，，．動點從點出發，以的速度沿射線勻速運動，到點停止運動，同時動點從點出發，以的速度沿射線勻速運動．當點停止運動時，點也隨之停止運動．在的右側以為邊作菱形，點在射線．設點的運動時間為，菱形與的重疊部分的面積為，則能大致反映與之間函數關系的圖象是（　　）

A． B．
C． D．
5．（2023·遼寧鞍山·統考中考真題）如圖，在矩形中，對角線交于點O，，，垂直于的直線從出發，沿方向以每秒個單位長度的速度平移，當直線與重合時停止運動，運動過程中分別交矩形的對角線于點E，F，以為邊在左側作正方形，設正方形與重疊部分的面積為S，直線的運動時間為ts，則下列圖象能大致反映S與t之間函數關系的是（ ）

A． B． C． D．
6．（2023·遼寧·統考中考真題）如圖，，在射線，上分別截取，連接，的平分線交于點D，點E為線段上的動點，作交于點F，作交射線于點G，過點G作于點H，點E沿方向運動，當點E與點B重合時停止運動．設點E運動的路程為x，四邊形與重疊部分的面積為S，則能大致反映S與x之間函數關系的圖象是（ ）

A． B． C． D．
7．（2022·四川樂山·中考真題）如圖，等腰△ABC的面積為2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．點P是線段AB上一動點，連接PE，過點E作PE的垂線交BC的延長線于點F，M是線段EF的中點．那么，當點P從A點運動到B點時，點M的運動路徑長為（ ）
A． B．3 C． D．4
8．（2022·黑龍江大慶·中考真題）平面直角坐標系中，點M在y軸的非負半軸上運動，點N在x軸上運動，滿足．點Q為線段的中點，則點Q運動路徑的長為( )
A． B． C． D．
二、填空題
9．（2023·山東·統考中考真題）如圖，在四邊形中，，點E在線段上運動，點F在線段上，，則線段的最小值為 ．

10．（2023·山東煙臺·統考中考真題）如圖1，在中，動點從點出發沿折線勻速運動至點后停止．設點的運動路程為，線段的長度為，圖2是與的函數關系的大致圖象，其中點為曲線的最低點，則的高的長為 ．

11．（2023·內蒙古通遼·統考中考真題）如圖，等邊三角形的邊長為，動點P從點A出發以的速度沿向點B勻速運動，過點P作，交邊于點Q，以為邊作等邊三角形，使點A，D在異側，當點D落在邊上時，點P需移動 s．

12．（2022·內蒙古通遼·中考真題）如圖，是的外接圓，為直徑，若，，點從點出發，在內運動且始終保持，當，兩點距離最小時，動點的運動路徑長為______．
13．（2022·湖北黃岡·中考真題）如圖1，在△ABC中，∠B＝36°，動點P從點A出發，沿折線A→B→C勻速運動至點C停止．若點P的運動速度為1cm/s，設點P的運動時間為t（s），AP的長度為y（cm），y與t的函數圖象如圖2所示．當AP恰好平分∠BAC時，t的值為________．
14．（2023·北京海淀·校考模擬預測）如圖，在中，是以斜邊為直徑的半圓上一動點，為的中點，連接，則的最小值為______
15．（2023·浙江舟山·統考一模）如圖，在中，，，．動點P沿線段以的速度從點A向點C運動，另有一動點Q與點P同時出發，沿線段以相同的速度從點B向點C運動．作于點D，再將繞的中點旋轉，得到；作于點E，再將繞的中點旋轉，得到．設點P的運動時間為．
（1）如圖當點落在邊上時x的值為___________；
（2）如圖，在點P，Q運動中：當點在內部時x的取值范圍為___________．
三、解答題
16．（2023·河北·統考中考真題）在平面直角坐標系中，設計了點的兩種移動方式：從點移動到點稱為一次甲方式：從點移動到點稱為一次乙方式．
例、點P從原點O出發連續移動2次；若都按甲方式，最終移動到點；若都按乙方式，最終移動到點；若按1次甲方式和1次乙方式，最終移動到點．
(1)設直線經過上例中的點，求的解析式；并直接寫出將向上平移9個單位長度得到的直線的解析式；(2)點P從原點O出發連續移動10次，每次移動按甲方式或乙方式，最終移動到點．其中，按甲方式移動了m次．①用含m的式子分別表示；②請說明：無論m怎樣變化，點Q都在一條確定的直線上．設這條直線為，在圖中直接畫出的圖象；(3)在（1）和（2）中的直線上分別有一個動點，橫坐標依次為，若A，B，C三點始終在一條直線上，直接寫出此時a，b，c之間的關系式．

17．（2023·廣西·統考中考真題）如圖，是邊長為4的等邊三角形，點D，E，F分別在邊，，上運動，滿足．(1)求證：；(2)設的長為x，的面積為y，求y關于x的函數解析式；(3)結合（2）所得的函數，描述的面積隨的增大如何變化．

18．（2023·吉林長春·九年級校考期中）如圖①，在 中，，，點從點 出發沿折線運動．點P在AB上的運動速度是每秒個單位長度，在 上的運動速度是每秒5個單位長度．當點不與點重合時，作于點Q，以線段 為邊作矩形 ，使點始終在線段的同側，且，點運動的時間為 （s）．
(1) __________．(2)用含有t的代數式表示線段的長．(3)當點落在的邊上時，求t的值．(4)如圖②，點分別是的中點，作直線，直接寫出直線 與的一邊垂直時的值．
19．（2023·吉林長春·九年級校考階段練習）如圖，在中，，，，動點P從點A出發，沿折線以每秒5個單位長度的速度向點B運動，當點P不與A、B重合時，過點P作，垂足為點D，將線段PD繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE，連接CE，點P、點D關于直線CE的對稱點分別為點、．設點P的運動時間為t秒．(1)當P與C重合時，求t的值．(2)用含t的代數式表示PD的長．(3)當線段在內部時，求t的取值范圍．(4)當時，直接寫出t的值．
20．（2023·四川德陽·統考中考真題）已知：在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，如果把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個新圖象．當平面內的直線與新圖象有三個公共點時，求k的值；(3)如圖2，如果把直線沿y軸向上平移至經過點，與拋物線的交點分別是，，直線交于點，過點作于點，若．求點的坐標．

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