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備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題9 反比例函數問題
考點掃描☆聚焦中考
近幾年各地中考涉及本知識點的題目主要以選擇題或填空題的形式出現，少數題目以解答題的形式出現,屬于中檔題；考查內容主要有：反比例函數的概念；反比例函數的圖象；反比例函數的性質；反比例函數解析式的確定；反比例函數的應用；考查熱點主要有：反比例函數的性質及其解析式的確定；反比例函數與一次函數交點的綜合應用；反比例函數與三角形、四邊形等幾何圖形相關的計算和證明。
考點剖析☆典型例題
例1（2023 襄陽）在同一平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+k與反比例函數y＝的圖象可能是（　　）
A．B． C． D．
【答案】A
【點撥】根據一次函數和反比例函數的解析式，可分為兩種情況進行討論：①當k＞0時，一次函數y＝kx+k經過第一、二、三象限；反比例函數y＝k/x的圖象在第一、三象限；②當k＜0時，一次函數y＝kx+k經過第二、三、四象限；反比例函數y＝k/x的圖象在第二、四象限；據此可得出答案．
【解析】解：分兩種情況進行討論：
①當k＞0時，一次函數y＝kx+k經過第一、二、三象限；反比例函數y＝k/x的圖象在第一、三象限；
②當k＜0時，一次函數y＝kx+k經過第二、三、四象限；反比例函數y＝k/x的圖象在第二、四象限；
∴一次函數y＝kx+k與反比例函數y＝k/x的圖象可能是A．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了一次函數的圖象和反比例函數的圖象，熟練掌握一次函數得圖象、反比例函數圖象與系數的關系是解答此題的關鍵．
例2（2023 武漢）關于反比例函數，下列結論正確的是（　　）
A．圖象位于第二、四象限 B．圖象與坐標軸有公共點
C．圖象所在的每一個象限內，y隨x的增大而減小 D．圖象經過點（a，a+2），則a＝1
【答案】C
【點撥】利用反比例函數的圖象和性質進而分析得出答案．
【解析】解：反比例函數，圖象在第一、三象限，與坐標軸沒有交點，故A選項錯誤，B選項錯誤；
反比例函數，在每一個象限內，y隨著x的增大而減小，故C選項正確；
反比例函數圖象經過點（a，a+2），
∴a（a+2）＝3，
解得a＝1或a＝﹣3，
故D選項錯誤，
故選：C．
【點睛】本題考查了反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．
例3（2023 宜昌）某反比例函數圖象上四個點的坐標分別為（﹣3，y1），（﹣2，3），（1，y2），（2，y3），則，y1，y2，y3的大小關系為（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
【答案】C
【點撥】根據反比例函數經過點（﹣2，3）求出其解析式，然后把x＝﹣3，x＝1，x＝2分別代入解析式，求出函數值，進行比較即可得出答案．
【解析】解：設反比例函數的解析式為（k≠0），
∵它的圖象經過點（﹣2，3），
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函數的解析式，
當x＝﹣3時，，
當x＝1時，，
當x＝2時，，
∴y2＜y3＜y1，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標，熟練掌握待定系數法求解析式是解題的關鍵．
例4（2023 張家界）如圖，矩形OABC的頂點A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點D在AB上，且AD＝AB，反比例函數y＝（k＞0）的圖象經過點D及矩形OABC的對稱中心M，連接OD，OM，DM．若△ODM的面積為3，則k的值為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【點撥】設B點的坐標為（a，b），根據矩形對稱中心的性質得出延長OM恰好經過點B，M（，），確定D（，b），然后結合圖形及反比例函數的意義，得出S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝3，代入求解即可．
【解析】解：解法一：∵四邊形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，設B點的坐標為（a，b），
∵矩形OABC的對稱中心M，
∴延長OM恰好經過點B，M（，），
∵點D在AB上，且 AD＝AB，
∴D（，b），
∴BD＝a，
∴S△BDM＝BD h＝×a×（b﹣）＝ab，
∵D在反比例函數的圖象上，
∴ab＝k，
∵S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝ab﹣k﹣ab＝3，
∴ab＝16，
∴k＝ab＝4，
解法二：連接BM，因為點M是矩形的對稱中心，
∴三角形DMO的面積＝三角形DMB的面積，
則三角形DBO的面積為6，
∵AD＝1/4AB，
∴AD：DB＝1：3，
∴三角形ADO的面積：三角形DBO的面積為1：3，
即三角形ADO的面積為2，
∴K＝4．
故選：C．
【點睛】本題考查了矩形的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積等知識，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵．
例5 40．（2023 寧波）如圖，一次函數y1＝k1x+b（k1＞0）的圖象與反比例函數y2＝（k2＞0）的圖象相交于A，B兩點，點A的橫坐標為1，點B的橫坐標為﹣2，當y1＜y2時，x的取值范圍是（　　）
A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜1
【答案】B
【點撥】根據圖象即可．
【解析】解：由圖象可知，當y1＜y2時，x的取值范圍是x＜﹣2或0＜x＜1，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題，不等式的解集就是其所對應的函數圖象上滿足條件的所有點的橫坐標的集合．
例6（2023 寧夏）給某氣球充滿一定質量的氣體，在溫度不變時，氣球內氣體的氣壓p（KPa）是氣體體積V（m3）的反比例函數，其圖象如圖所示．
（1）當氣球內的氣壓超過150KPa時，氣球會爆炸，若將氣球近似看成一個球體，試估計氣球的半徑至少為多少時氣球不會爆炸（球體的體積公式V＝πr3，π取3）；
（2）請你利用p與V的關系試解釋為什么超載的車輛容易爆胎．
【答案】（1）氣球的半徑至少為0.2m時，氣球不會爆炸；
（2）由于車輛超載，輪胎體積變小，胎內氣壓增大導致爆胎．
【點撥】（1）設函數關系式為p＝，用待定系數法可得，即可得當p＝150時，，從而求出r＝0.2；
（2）由于車輛超載，輪胎體積變小，胎內氣壓增大導致爆胎．
【解析】解：（1）設函數關系式為p＝，
根據圖象可得：k＝pV＝120×0.04＝4.8，
∴，
∴當p＝150時，，
∴×3r3＝0.032，
解得：r＝0.2，
∵k＝4.8＞0，
∴p隨V的增大而減小，
∴要使氣球不會爆炸，V≥0.032，此時r≥0.2，
∴氣球的半徑至少為0.2m時，氣球不會爆炸；
（2）由于車輛超載，輪胎體積變小，胎內氣壓增大導致爆胎．
【點睛】本題考查反比例函數的應用，涉及立方根等知識，解題的關鍵是讀懂題意，掌握待定系數法求出反比例函數的解析式．
例7 （2023 瀘州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y＝kx+2與x，y軸分別相交于點A，B，與反比例函數y＝（x＞0）的圖象相交于點C，已知OA＝1，點C的橫坐標為2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y軸的動直線與l和反比例函數的圖象分別交于點D，E，若以B，D，E，O為頂點的四邊形為平行四邊形，求點D的坐標．
【答案】（1）k＝2，m＝12；
（2）（，2+2）或（﹣1，2）．
【點撥】（1）根據題意求出點A的坐標，進而求出k，再求出點C的坐標，求出m；
（2）分2n+2﹣＝2、2n+2﹣＝﹣2兩種情況，計算即可．
【解析】解：（1）∵OA＝1，
∴點A的坐標為（﹣1，0），
則﹣k+2＝0，
解得：k＝2，
∴直線l的解析式為y＝2x+2，
∵點C在直線l上，點C的橫坐標為2，
∴點C的縱坐標為2×2+2＝6，
∴點C的坐標為（2，6），
∴m＝2×6＝12；
（2）設點D的坐標為（n，2n+2），則點E的坐標為（n，），
∴DE＝|2n+2﹣|，
∵OB∥DE，
∴當OB＝DE時，以B，D，E，O為頂點的四邊形為平行四邊形，
∵直線y＝2x+2與y軸交于點B，
∴OB＝2，
∴|2n+2﹣|＝2，
當2n+2﹣＝2時，n1＝，n2＝﹣（舍去），
此時，點D的坐標為（，2+2），
當2n+2﹣＝﹣2時，n1＝﹣1，n2＝﹣﹣1（舍去），
此時，點D的坐標為（﹣1，2），
綜上所述：以B，D，E，O為頂點的四邊形為平行四邊形時，點D的坐標為（，2+2）或（﹣1，2）．
【點睛】本題考查的是反比例函數的圖象和性質、平行四邊形的性質，靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．
考點過關☆專項突破
類型一 反比例函數的圖象與性質
1．（2023 泰安）一次函數y＝ax+b與反比例函數y＝（a，b為常數且均不等于0）在同一坐標系內的圖象可能是（　　）
A．B． C．D．
【答案】D
【點撥】根據一次函數圖象判定a、b的符號，根據ab的符號判定反比例函數圖象所在的象限．
【解析】解：A、一次函數y＝ax+b的圖象經過第一、二、三象限，則a＞0，b＞0，所以ab＞0，則反比例y＝應該位于第一、三象限，故本選項不可能；
B、一次函數y＝ax+b的圖象經過第一、二、四象限，則a＜0，b＞0，所以ab＜0，則反比例y＝應該位于第二、四象限，故本選項不可能；
C、一次函數y＝ax+b的圖象經過第一、三、四象限，則a＞0，b＜0，所以ab＜0，則反比例y＝應該位于第二、四象限，故本選項不可能；
D、一次函數y＝ax+b的圖象經過第一、二、四象限，則a＜0，b＞0，所以ab＜0，則反比例y＝應該位于第二、四象限，故本選項有可能；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了反比例函數的圖象性質和一次函數的圖象性質，要掌握它們的性質才能靈活解題．
2．（2023 揚州）函數y＝的大致圖象是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【點撥】函數y＝的圖象是雙曲線，它的兩個分支分別位于第一、二象限．
【解析】解：由函數y＝可知，函數是雙曲線，它的兩個分支分別位于第一、二象限，當x＞0時，y隨x的增大而減小；當x＜0時，y隨x的增大而增大．
故選：A．
【點睛】考查了函數的圖象，函數y＝的圖象是雙曲線，當x＞0時，y隨x的增大而減小；當x＜0時，y隨x的增大而增大．
3．（2023 上海）下列函數中，函數值y隨x的增大而減小的是（　　）
A．y＝6x B．y＝﹣6x C．y＝ D．y＝﹣
【答案】B
【點撥】根據反比例函數的性質和正比例函數的性質分別判斷即可．
【解析】解：A選項，y＝6x的函數值隨著x增大而增大，
故A不符合題意；
B選項，y＝﹣6x的函數值隨著x增大而減小，
故B符合題意；
C選項，在每一個象限內，y＝的函數值隨著x增大而減小，
故C不符合題意；
D選項，在每一個象限內，y＝﹣的函數值隨著x增大而增大，
故D不符合題意，
故選：B．
【點睛】本題考查了反比例函數的性質，正比例函數的性質，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．
4．（2023 安徽）已知反比例函數y＝（k≠0）在第一象限內的圖象與一次函數y＝﹣x+b的圖象如圖所示，則函數y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象可能為（　　）
A．B． C． D．
【答案】A
【點撥】根據反比例函數y＝與一次函數y＝﹣x+b的圖象，可知k＞0，b＞0，所以函數y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝＞0，根據兩個交點為（1，k）和（k，1），可得k﹣b＝﹣1，b＝k+1，可得函數y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象過點（1，﹣1），不過原點，即可判斷函數y＝x2﹣bx+k﹣1的大致圖象．
【解析】解：∵一次函數y＝﹣x+b的圖象經過第一、二、四象限，且與y軸交于正半軸，則b＞0，反比例函數y＝的圖象經過第一、三象限，則k＞0，
∴函數y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝＞0，
由圖象可知，反比例函數y＝與一次函數y＝﹣x+b的圖象有兩個交點（1，k）和（k，1），
∴﹣1+b＝k，
∴k﹣b＝﹣1，
∴b＝k+1，
∴對于函數y＝x2﹣bx+k﹣1，當x＝1時，y＝1﹣b+k﹣1＝﹣1，
∴函數y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象過點（1，﹣1），
∵反比例函數y＝與一次函數y＝﹣x+b的圖象有兩個交點，
∴方程＝﹣x+b有兩個不相等的實數根，
∴Δ＝b2﹣4k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，
∴k﹣1≠0，
∴當x＝0時，y＝k﹣1≠0，
∴函數y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象不過原點，
∴符合以上條件的只有A選項．
故選：A．
【點睛】本題考查的是一次函數、反比例函數和二次函數的圖象，應該熟記一次函數、反比例函數和二次函數在不同情況下所在的象限．
5．（2023 廣州）已知正比例函數y1＝ax的圖象經過點（1，﹣1），反比例函數y2＝的圖象位于第一、第三象限，則一次函數y＝ax+b的圖象一定不經過（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【點撥】根據正比例函數的性質可以判斷a的正負，根據反比例函數的性質可以判斷b的正負，然后即可得到一次函數y＝ax+b的圖象經過哪幾個象限，不經過哪個象限．
【解析】解：∵正比例函數y1＝ax的圖象經過點（1，﹣1），點（1，﹣1）位于第四象限，
∴正比例函數y1＝ax的圖象經過第二、四象限，
∴a＜0；
∵反比例函數y2＝的圖象位于第一、第三象限，
∴b＞0；
∴一次函數y＝ax+b的圖象經過第一、二、四象限，不經過第三象限，
故選：C．
【點睛】本題考查反比例函數的性質、正比例函數的性質、一次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，判斷出a、b的正負情況．
類型二 反比例函數圖象上點的坐標特征
1．（2023 重慶）反比例函數y＝的圖象一定經過的點是（　　）
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣4） D．（2，3）
【答案】D
【點撥】根據k＝xy對各選項進行逐一判斷即可．
【解析】解：反比例函數y＝中k＝6，
A、∵（﹣3）×2＝﹣6≠6，∴此點不在函數圖象上，故本選項不合題意；
B、∵2×（﹣3）＝﹣6≠6，∴此點不在函數圖象上，故本選項不合題意；
C、∵﹣2×（﹣4）＝8≠6，∴此點不在函數圖象上，故本選項不合題意；
D、∵2×3＝6，∴此點在函數圖象上，故本選項符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數中k＝xy為定值是解答此題的關鍵．
2．（2023 永州）已知點M（2，a）在反比例函數的圖象上，其中a，k為常數，且k＞0，則點M一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【點撥】把點（2，a）代入反比例函數解析式，可得a＝，由k＞0可知a＞0，可得點M一定在第一象限．
【解析】解：∵點M（2，a）在反比例函數的圖象上，
∴a＝，
∵k＞0，
∴a＞0，
∴點M一定在第一象限．
故選：A．
【點睛】考查反比例函數圖象上點的坐標特征；用到的知識點為：反比例函數的比例系數大于0，圖象的兩個分支在一、三象限；關鍵是得到反比例函數的比例系數的符號．
3．（2023 濟南）已知點A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函數y＝（k＜0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系為（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【答案】C
【點撥】首先根據k＜0得函數圖象的兩個分支分別在第二、四象限內，且在每一個象限內y隨x的增大而增大，然后根據點A，B，C的橫坐標得，點A，B在第二象限內，點C在第四象限內，進而可判定y1＞0，y2＞0，y3＜0，最后再根據﹣4＜﹣2得y1＜y2，據此即可得出答案．
【解析】解：∵，k＜0，
∴函數圖象的兩個分支分別在第二、四象限內，且在每一個象限內y隨x的增大而增大，
又∵點A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），
∴點A，B在第二象限內，點C在第四象限內，
∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，
又∵﹣4＜﹣2，
∴y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了反比例函數（k≠0）的性質，解答此題的關鍵是熟練掌握：對于反比例函數y＝k/x（k≠0），當k＞0時，圖象的兩個分支在第一、三象限內變化，且在每一個象限內y隨x的增大而減小；當k＜0時，圖象的兩個分支在第二、四象限內變化，且在每一個象限內y隨x的增大而增大．
4．（2023 邵陽）如圖，矩形OABC的頂點B和正方形ADEF的頂點E都在反比例函數y＝（k≠0）的圖象上，點B的坐標為（2，4），則點E的坐標為（　　）
A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）
【答案】D
【點撥】由題意，首先根據B的坐標求出k，然后可設E（a，），再由正方形ADEF，建立關于a的方程，進而得解．
【解析】解：∵點B的坐標為（2，4）在反比例函數y＝圖象上，
∴4＝．
∴k＝8．
∴反比例函數的解析式為y＝．
∵點E在反比例函數圖象上，
∴可設（a，）．
∴AD＝a﹣2＝ED＝．
∴a1＝4，a2＝﹣2．
∵a＞0，
∴a＝4．
∴E（4，2）．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了反比例函數的圖象與性質的應用，解題時需要理解并能靈活運用．
5．（2023 泰州）函數y與自變量x的部分對應值如表所示，則下列函數表達式中，符合表中對應關系的可能是（　　）
x 1 2 4
y 4 2 1
A．y＝ax+b（a＜0） B．y＝（a＜0） C．y＝ax2+bx+c（a＞0） D．y＝ax2+bx+c（a＜0）
【答案】C
【點撥】根據反比例函數的坐標特征，一次函數的性質，二次函數的坐標特征即可判斷．
【解析】解：A、若直線y＝ax+b過點（1，4），（2，2），則，
解得，
所以y＝﹣2x+6，
當x＝4時，y＝﹣2，故（4，1）沒在直線y＝ax+b上，故A不合題意；
B、由表格可知，y與x的每一組對應值的積是定值為4，所以y是x的反比例函數，a＝4＞0，不合題意；
C、把表格中的函數y與自變量x的對應值代入y＝ax2+bx+c得，
解得，符合題意；
D、由C可知，不合題意．
故選：C．
【點睛】主要考查反比例函數、一次函數以及二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．
6．（2023 攀枝花）如圖，在直角△ABO中，AO＝，AB＝1，將△ABO繞點O順時針旋轉105°至△A′B′O的位置，點E是OB′的中點，且點E在反比例函數y＝的圖象上，則k的值為 　　．
【答案】．
【點撥】依據題意，在Rt△BAO中，AO＝，AB＝1，從而BO＝＝2，可得∠AOB＝30°，又結合題意，∠BOB'＝105°，進而∠BOX＝45°，故可得E點坐標，代入解析式可以得解．
【解析】解：如圖，作EH⊥x軸，垂足為H．
由題意，在Rt△BAO中，AO＝，AB＝1，
∴BO＝＝2．
∴AB＝BO．
∴∠AOB＝30°．
又△ABO繞點O順時針旋轉105°至△A′B′O的位置，
∴∠BOB'＝105°．
∴∠B'OX＝45°．
又點E是OB′的中點，
∴OE＝BO＝1．
在Rt△EOH中，
∵∠B'OX＝45°，
∴EH＝OH＝OE＝．
∴E（，）．
又E在y＝上，
∴k＝＝．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了反比例函數圖象上的點的坐標特征，解題時需要熟練掌握并靈活運用是關鍵．
類型三 反比例函數系數k的幾何意義
1．（2023 福建）如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數y＝和y＝的圖象的四個分支上，則實數n的值為（　　）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
【答案】A
【點撥】如圖，點B在函數y＝上，證明△AOC≌△OBD，根據k的幾何意義即可求解．
【解析】解：連接正方形的對角線，由正方形的性質知對角線交于原點O，過點A，B分別作x軸的垂線．垂足分別為C、D，點B在函數y＝上，如圖：
∵四邊形是正方形，
∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴S△AOC＝S△OBD＝＝，
∵點A在第二象限，
∴n＝﹣3，
故選：A．
【點睛】本題考查正方形的性質，反比例函數的k的幾何意義，熟練掌握以上性質的解題關鍵．
2．（2023 黑龍江）如圖，△ABC是等腰三角形，AB過原點O，底邊BC∥x軸，雙曲線y＝過A，B兩點，過點C作CD∥y軸交雙曲線于點D．若S△BCD＝12，則k的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣12 C．﹣ D．﹣9
【答案】C
【點撥】設出B的坐標，通過對稱性求出C點的坐標，進而求出D的坐標，即可用k表示出線段BC和CD的長度，結合已知面積即可列出方程求出k．
【解析】解：設BC與y軸的交點為F，B（b，），則A（﹣b，﹣），b＞0，由題意知，
AO＝BO，即O是線段AB的中點，過A作AE⊥BC于點E，
∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴BE＝CE，AE∥y軸，
∴CF＝3BF＝3b，
∴C（﹣3b，），
∴D（﹣3b，），
∴CD＝，BC＝4b，
∴S△BCD＝，
∴k＝﹣．
故選：C．
【點睛】對于反比例函數中圖形的面積問題，常用一個未知數表示關鍵點的坐標，通過推導求其面積．
3．（2023 湘西州）如圖，點A在函數y＝（x＞0）的圖象上，點B在函數y＝（x＞0）的圖象上，且AB∥x軸，BC⊥x軸于點C，則四邊形ABCO的面積為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【點撥】延長BA交y軸于點D，根據反比例函數k值的幾何意義得到，S矩形OCBD＝3，根據四邊形ABCO的面積等于S矩形OCBD﹣S△ADO，即可得解．
【解析】解：延長BA交y軸于點D，
∵AB∥x軸，
∴DA⊥y軸，
∵點A在函數的圖象上，
∴，
∵BC⊥x軸于點C，DB⊥y軸，點B在函數的圖象上，
∴S矩形OCBD＝3，
∴四邊形ABCO的面積等于S矩形OCBD﹣S△ADO＝3﹣1＝2；
故選：B．
【點睛】本題考查反比例函數與幾何圖形的綜合應用．熟練掌握反比例函數中k的幾何意義，是解題的關鍵．
4．（2023 宜賓）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A、B分別在y、x軸上，BC⊥x軸，點M、N分別在線段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過M、N兩點，P為x軸正半軸上一點，且OP：BP＝1：4，△APN的面積為3，則k的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【點撥】過點N作NQ⊥x軸于點Q，過C作CT⊥y軸交y軸于T，交NQ于K，設OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），由OP：BP＝1：4，BM＝CM，得A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），又△NKC∽△ATC，NC＝2AN，可得CK＝2TK，NK＝AT，即，得，故，根據△APN的面積為3，有，得2ab+bc＝9，將點M（5b，c）， 代入，整理得：2a＝7c，代入2ab+bc＝9得，從而 ．
【解析】解：如圖，過點N作NQ⊥x軸于點Q，過C作CT⊥y軸交y軸于T，交NQ于K，
設OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），
∵OP：BP＝1：4，BM＝CM，
∴A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），
∵∠NCK＝∠ACT，∠NKC＝90°＝∠ATC，
∴△NKC∽△ATC，
∴＝＝，
∵NC＝2AN，
∴CK＝2TK，NK＝AT，
∴，
解得，
∴，
∴，，
∴，
∵△APN的面積為3，
∴S梯形OANQ﹣S△AOP﹣S△NPQ＝3，
∴，
∴2ab+bc＝9，
將點M（5b，c）， 代入得：
，
整理得：2a＝7c，
將2a＝7c代入2ab+bc＝9得：7bc+bc＝9，
∴，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查反比例函數的圖象上點坐標的特征，解題的關鍵是用含字母的式子表示相關點坐標和相關線段的長度．
5．（2023 鹽城）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B都在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，延長AB交y軸于點C，過點A作AD⊥y軸于點D，連接BD并延長，交x軸于點E，連接CE．若AB＝2BC，△BCE的面積是4.5，則k的值為 　6　．
【答案】6．
【點撥】證明△CNB∽△CDA，得到，即，求出點A（3m，n），則點D（0，n），由△BCE的面積＝S△CDB+S△CDE＝CD （xB﹣xE），即可求解．
【解析】解：過點B分別作BM⊥AD于點M，BN⊥CD于點N，
設點B（m，n），k＝mn，
則BN∥AD，則△CNB∽△CDA，
則，即，
即AD＝3m，
則k＝mn＝3m yA，則yA＝n，
則點A（3m，n），則點D（0，n），
由點B、D的坐標得，直線BD的表達式為：y＝x+n，
則點E（﹣m，0）；
由點A、B的坐標得，直線AB的表達式為：y＝﹣（x﹣m）+n，
則點C（0，），則CD＝n，
∵△BCE的面積＝S△CDB+S△CDE＝CD （xB﹣xE）＝n×（m+m）＝4.5，
則mn＝6＝k，
故答案為：6．
【點睛】本題為反比例函數綜合題，考查了三角形相似、用字母表示坐標等基本數學知識，利用了數形結合的數學思想．
類型四 反比例函數與一次函數的交點問題
1．（2023 濰坊）如圖，在直角坐標系中，一次函數y1＝x﹣2與反比例函數y2＝的圖象交于A，B兩點，下列結論正確的是（　　）
A．當x＞3時，y1＜y2 B．當x＜﹣1時，y1＜y2
C．當0＜x＜3時，y1＞y2 D．當﹣1＜x＜0時，y1＜y2
【答案】B
【點撥】結合函數圖象以及A、B的坐標解答即可．
【解析】解：由題意得：
當x＞3時，y1＞y2，故選項A結論錯誤，不符合題意；
當x＜﹣1時，y1＜y2，故選項B結論正確，符合題意；
當0＜x＜3時，y1＜y2，故選項C結論錯誤，不符合題意；
當﹣1＜x＜0時，y1＞y2，故選項D結論錯誤，不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題綜合考查一次函數與反比例函數的交點問題，掌握數形結合的方法是解答本題的關鍵．
2．（2023 內蒙古）如圖，直線y＝ax+b（a≠0）與雙曲線y＝（k≠0）交于點A（﹣2，4）和點B（m，﹣2），則不等式0＜ax+b＜的解集是（　　）
A．﹣2＜x＜4 B．﹣2＜x＜0 C．x＜﹣2或0＜x＜4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
【答案】B
【點撥】求出一次函數和反比例函數的解析式，根據圖示直接得出不等式的解集．
【解析】解：∵A（﹣2，4）在反比例函數圖象上，
∴k＝xy＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函數解析式為：y＝﹣，
又∵B（m，﹣2）在y＝﹣圖象上，
∴m＝4，
∴B（4，﹣2），
∵點A（﹣2，4）、B（4，﹣2）在一次函數y＝ax+b的圖象上，
∴，解得，
一次函數解析式為：y＝﹣x+2．
由圖象可知，不等式0＜ax+b＜的解集﹣2＜x＜0．
故選：B．
【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，反比例函數與一次函數交點的坐標滿足兩個函數關系式．
3．（2023 淮安）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝x+b的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點，且與反比例函數y＝在第一象限內的圖象交于點C．若點A坐標為（2，0），，則k的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【點撥】代入A點到一次函數中，得出一次函數解析式，再求出B點坐標，連接CO，根據＝，以及△COA和△AOB等高，所以S△COA：S△AOB＝1：2，又因為兩個三角形共用一條邊OA，作CH⊥OA，得到CH：OB＝1：2，求出CH長度，即C點縱坐標，代入一次函數中求出C點坐標，再求出k值．
【解析】解：連接CO，作CH⊥OA交坐標軸于H點（如圖）；
∵A點在一次函數圖象中，代入得到b＝，
∴一次函數解析式：y＝；
∵B點橫坐標為0，
∴代入得到縱坐標為，OB＝；
∵△COA和△AOB等高，且，
∴S△COA：S△AOB＝1：2；
又∵△COA和△AOB共用一條邊OA，
∴CH：OB＝1：2，
∴CH＝＝；
∴將C的縱坐標代入一次函數中，得到橫坐標為3；
∴C點坐標（3，），
∴k＝3×＝；
故選：C．
【點睛】本題考查學生反比例函數一次函數的綜合運用，屬于重難點題型．
4．（2023 懷化）如圖，反比例函數y＝（k＞0）的圖象與過點（﹣1，0）的直線AB相交于A、B兩點．已知點A的坐標為（1，3），點C為x軸上任意一點．如果S△ABC＝9，那么點C的坐標為（　　）
A．（﹣3，0） B．（5，0）
C．（﹣3，0）或（5，0） D．（3，0）或（﹣5，0）
【答案】D
【點撥】利用待定系數法求得兩函數的解析式，然后解析式聯立成方程組，解方程組求得點B的坐標，根據S△ACD+S△BCD＝S△ABC＝9，求得CD的長度，進而即可求得點C的坐標．
【解析】解：把點A（1，3）代入y＝（k＞0）得，3＝，
∴k＝3，
∴反比例函數為y＝，
設直線AB為y＝ax+b，
代入點D（﹣1，0），A（1，3）得，
解得，
∴直線AB為y＝x+，
解，得或，
∴B（﹣2，﹣），
∵S△ABC＝9，
∴S△ACD+S△BCD＝，
∴CD＝4，
∴點C的坐標為（﹣5，0）或（3，0）．
故選：D．
【點睛】本題是反比例函數與一次函數的交點問題，考查了待定系數法求函數的解析式，反比例函數與一次函數的交點的求法，三角形面積，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．
5．（2023 東營）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝ax+b（a＜0）與反比例函數y＝（k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）兩點，與y軸交于點C，連接OA，OB．
（1）求反比例函數和一次函數的表達式；
（2）求△AOB的面積；
（3）請根據圖象直接寫出不等式＜ax+b的解集．
【答案】（1）反比例函數的表達式為 y＝﹣，一次函數的表達式為y＝﹣；（2）9；（3）x＜﹣2或0＜x＜4．
【點撥】（1）根據待定系數法，可得反比例函數解析式，根據圖象上的點滿足函數解析式，可得A點坐標，再根據待定系數法，可得一次函數的解析式；
（2）根據三角形面積的和差，可得答案；
（3）根據函數圖象，即可列出不等式的關系，從而得解．
【解析】解：（1）∵點B（4，﹣3）在反比例函數 的圖象上，
∴．
∴k＝﹣12．
∴反比例函數的表達式為 y＝﹣．
∵A（﹣m，3m）在反比例函數 y＝﹣ 的圖象上，
∴．
∴m1＝2，m2＝﹣2 （舍去）．
∴點A的坐標為（﹣2，6）．
∵點A，B在一次函數y＝ax+b的圖象上，把點 A（﹣2，6），B（4，﹣3）分別代入，得 ，
∴．
∴一次函數的表達式為y＝﹣．
（2）∵點C為直線AB與y軸的交點，
∴OC＝3．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC
＝ OC |xA|+ OC |xB|
＝×3×2+×3×4
＝9．
（3）由題意得，x＜﹣2或0＜x＜4．
【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，利用了待定系數法求函數解析式，利用函數圖象解不等式．
6．（2023 西藏）如圖，一次函數y＝x+2與反比例函數y＝的圖象相交于A，B兩點，且點A的坐標為（1，m），點B的坐標為（n，﹣1）．
（1）求m，n的值和反比例函數的解析式；
（2）點A關于原點O的對稱點為A'，在x軸上找一點P，使PA'+PB最小，求出點P的坐標．
【答案】（1）m＝3，n＝﹣3，y＝．
（2）P（﹣2.5，0）．
【點撥】（1）將點A（1，m），點B（n，﹣1）分別代入y＝x+2之中，即可求出m，n的值；然后再將點（1，3）代入y＝之中求出a＝3即可得到反比例函數的解析；
（2）作點B關于x軸的對稱點B'，連接A'B'交x軸于點P，連接PB，則PA'+PB為最小，故得點P為所求作的點，根據對稱性先求出點A'（﹣1，﹣3），點B'（﹣3，1），再利用待定系數法求出直線A'B'的解析式為y＝﹣2x﹣5，由此可求出點P的坐標．
【解析】解：（1）將點A（1，m），點B（n，﹣1）分別代入y＝x+2之中，
得：m＝1+2，﹣1＝n+2，
解得：m＝3，n＝﹣3，
∴點A（1，3），點B（﹣3，﹣1），
將點（1，3）代入y＝之中，得：a＝1×3＝3，
∴反比例函數的解析式為：y＝，
故得m＝3，n＝﹣3，反比例函數的解析式為：y＝．
（2）作點B關于x軸的對稱點B'，連接A'B'交x軸于點P，連接PB，如圖：
則PA'+PB為最小，
故得點P為所求作的點．理由如下：
在x軸上任取一點M，連接MB，MB'，MA'，
∵點B關于x軸的對稱點B'，
∴x軸為線段BB'的垂直平分線，
∴PB＝PB'，MB＝MB'，
∴MA'+MB＝MA'+MB'，PA'+PB＝PA'+PB'＝A'B'，
根據“兩點之間線段最短”得：A'B'≤MA'+MB'，
即：PA'+PB≤MA'+MB，
∴PA'+PB為最小．
∵點A（1，3），點A與點A'關于原點O對稱，
∴點A'的坐標為（﹣1，﹣3），
又∵點B（﹣3，﹣1），點B和點B'關于x軸對稱，
∴點B'點的坐標為（﹣3，1），
設直線A'B'的解析式為：y＝kx+b，
將點A'（﹣1，﹣3），B'（﹣3，1）代入y＝kx+b，
得：，解得：，
∴直線A'B'的解析式為：y＝﹣2x﹣5，
對于y＝﹣2x﹣5，當y＝0時，x＝﹣2.5，
∴點P的坐標為（﹣2.5，0）．
【點睛】此題主要考查了一次函數與反比例函數的圖象，利用軸對稱求最短路線，熟練掌握待定系數法求函數的解析式，理解利用軸對稱求最短路線的思路和方法是解答此題的關鍵．
類型五 反比例函數的應用
1．（2023 隨州）已知蓄電池的電壓為定值，使用某蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示，則當電阻為6Ω時，電流為（　　）
A．3A B．4A C．6A D．8A
【答案】B
【點撥】根據函數圖象可設I＝，再將（8，3）代入即可得出函數關系式，從而解決問題．
【解析】解：設I＝，
∵圖象過（8，3），
∴U＝24，
∴I＝，
當電阻為6Ω時，電流為：I＝＝4（A）．
故選：B．
【點睛】本題考查了反比例函數的應用，關鍵是掌握函數圖象上點的坐標必能滿足解析式．
2．（2023 南京）甲、乙兩地相距100km，汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛的時間t（單位：h）與行駛速度v（單位：km/h）之間的函數圖象是（　　）
A．B．C． D．
【答案】D
【點撥】根據實際意義，寫出函數的解析式，根據函數的類型，以及自變量的取值范圍即可進行判斷．
【解析】解：根據題意有：100＝v t，
所以t＝，
故v與t之間是反比例函數，其圖象在第一象限．
故選：D．
【點睛】本題考查函數的圖象，現實生活中存在大量成反比例函數的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用實際意義確定其所在的象限．
3．（2023 麗水）如果100N的壓力F作用于物體上，產生的壓強p要大于1000Pa，則下列關于物體受力面積S（m2）的說法正確的是（　　）
A．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m2
【答案】A
【點撥】根據已知條件利用壓強公式推導即可得到答案．
【解析】解：∵，F＝100，
∴，
∵產生的壓強p要大于1000Pa，
∴，
∴S＜0.1，
故選：A．
【點睛】本題考查了反比例的應用等知識點，熟練掌握其性質是解決此題的關鍵．
4．（2023 溫州）在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁所產生的壓強p（kPa）與汽缸內氣體的體積V（mL）成反比例，p關于V的函數圖象如圖所示．若壓強由75kPa加壓到100kPa，則氣體體積壓縮了 　20　mL．
【答案】見試題解答內容
【點撥】設這個反比例函數的解析式為V＝，求得V＝，當p＝75kPa時，求得V＝＝80，當p＝100kPa時求得，V＝＝60于是得到結論．
【解析】解：設這個反比例函數的解析式為V＝，
∵V＝100ml時，p＝60kpa，
∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，
∴V＝，
當p＝75kPa時，V＝＝80，
當p＝100kPa時，V＝＝60，
∴80﹣60＝20（mL），
∴氣體體積壓縮了20mL，
故答案為：20．
【點睛】本題考查了反比例函數的實際應用，讀懂題意，得出反比例函數的解析式是解本題的關鍵．
5．（2023 吉林）笑笑同學通過學習數學和物理知識，知道了電磁波的波長λ（單位：m）會隨著電磁波的頻率f（單位：MHz）的變化而變化．已知波長λ與頻率f是反比例函數關系，下面是它們的部分對應值：
頻率f（MHz） 10 15 50
波長λ（m） 30 20 6
（1）求波長λ關于頻率f的函數解析式．
（2）當f＝75MHz時，求此電磁波的波長λ．
【答案】見試題解答內容
【點撥】（1）設解析式為λ＝（ k≠0），用待定系數法求解即可；
（2）把f＝75MHz值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此電磁波的波長λ．
【解析】解：（1）設波長λ關于頻率f的函數解析式為λ＝（ k≠0），
把點（10，30）代入上式中得：＝30，
解得：k＝300，
∴λ＝；
（2）當f＝75MHz時，λ＝＝4，
答：當f＝75MHz時，此電磁波的波長λ為4m．
【點睛】本題是反比例函數的應用問題，考查了求反比例函數的解析式及求反比例函數的函數值等知識，利用待定系數法求得反比例函數解析式是解題的關鍵．
6．（2023 郴州）在實驗課上，小明做了一個試驗．如圖，在儀器左邊托盤A（固定）中放置一個物體，在右邊托盤B（可左右移動）中放置一個可以裝水的容器，容器的質量為5g．在容器中加入一定質量的水，可以使儀器左右平衡．改變托盤B與點C的距離x（cm）（0＜x≤60），記錄容器中加入的水的質量，得到下表：
托盤B與點C的距離x/cm 30 25 20 15 10
容器與水的總質量y1/g 10 12 15 20 30
加入的水的質量y2/g 5 7 10 15 25
把上表中的x與y1各組對應值作為點的坐標，在平面直角坐標系中描出這些點，并用光滑的曲線連接起來，得到如圖所示的y1關于x的函數圖象．
（1）請在該平面直角坐標系中作出y2關于x的函數圖象；
（2）觀察函數圖象，并結合表中的數據：
①猜測y1與x之間的函數關系，并求y1關于x的函數表達式；
②求y2關于x的函數表達式；
③當0＜x≤60時，y1隨x的增大而 　減小　（填“增大”或“減小”），y2隨x的增大而 　減小　（填“增大”或“減小”），y2的圖象可以由y1的圖象向 　下　（填“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的質量y2（g）滿足19≤y2≤45，求托盤B與點C的距離x（cm）的取值范圍．
【答案】見試題解答內容
【點撥】（1）描點作出圖象即可；
（2）①用待定系數法可得y1關于x的函數表達式；
②由y2與y1關系，結合①可得答案；
③觀察圖象可得答案；
（3）根據19≤y2≤45可得關于x的不等式，可解得x的范圍．
【解析】解：（1）作出y2關于x的函數圖象如下：
（2）①觀察表格可知，y1是x的反比例函數，
設y1＝，把（30，10）代入得：10＝，
∴k＝300，
∴y1關于x的函數表達式是y1＝；
②∵y1＝y2+5，
∴y2+5＝；
∴y2＝﹣5；
③觀察圖象可得，當0＜x≤60時，y1隨x的增大而減小，y2隨x的增大而減小，y2的圖象可以由y1的圖象向下平移得到；
故答案為：減小，減小，下；
（3）∵y2＝﹣5，19≤y2≤45，
∴19≤﹣5≤45，
∴24≤≤50，
∴6≤x≤12.5．
【點睛】本題考查反比例函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出函數關系式．
類型六 反比例函數的綜合
1．（2023 鎮江）如圖，正比例函數y＝﹣3x與反比例函數y＝（k≠0）的圖象交于A、B（1，m）兩點，C點在x軸負半軸上，∠ACO＝45°．
（1）m＝　﹣3　，k＝　﹣3　，點C的坐標為 　（﹣4，0）　；
（2）點P在x軸上，若以B、O、P為頂點的三角形與△AOC相似，求點P的坐標．
【答案】（1）﹣3，﹣3，（﹣4，0）；
（2）點P的坐標為：（4，0）或（2.5，0）．
【點撥】（1）由待定系數法求出函數表達式，在△AOC中，tan∠AOH＝3，∠ACO＝45°，AO＝，用解直角三角形的方法求出CO，即可求解；
（2）證明點P在x軸的正半軸時，存在△AOC∽△BOP和△AOC∽△POB，即可求解．
【解析】解：（1）當x＝1時，y＝﹣3x＝﹣3＝m，即點B（1，﹣3），
將點B的坐標代入反比例函數的表達式得：k＝﹣3×1＝﹣3，
即反比例函數的表達式為：y＝﹣，
根據正比例函數的對稱性，點A（﹣1，3），
由點O、A的坐標得，OA＝，過點A作AH⊥x軸于點H，
由直線AB的表達式知，tan∠AOH＝3，
而∠ACO＝45°，
設AH＝3x＝CH，則OH＝x，則AO＝x＝，則x＝1，
則AH＝CH＝3，OH＝1，
則CO＝CH+OH＝4，
則點C的坐標為：（﹣4，0），
故答案為：﹣3，﹣3，（﹣4，0）；
（2）當點P在x軸的負半軸時，
∵∠BOP＞90°＞∠AOC，
又∵∠BOP＞∠ACO，∠BOP＞∠CAO，
∴△BOP和△AOC不可能相似；
當點P在x軸的正半軸時，∠AOC＝∠BOP，
若△AOC∽△BOP，則，
則OP＝OC＝4，
即點P（4，0）；
若△AOC∽△POB，則，
即，
解得：OP＝2.5，
即點P（2.5，0），
綜上，點P的坐標為：（4，0）或（2.5，0）．
【點睛】本題為反比例函數綜合題，涉及到解直角三角形、三角形相似等知識點，其中（2），分類求解是本題解題的關鍵．
2．（2023 眉山）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝kx+b與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B（0，2），與反比例函數在第四象限內的圖象交于點C（6，a）．
（1）求反比例函數的表達式；
（2）當時，直接寫出x的取值范圍；
（3）在雙曲線上是否存在點P，使△ABP是以點A為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）y＝；
（2）x＜﹣2或0＜x＜6；
（3）（1，﹣6）或（3，﹣2）．
【點撥】（1）將A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b，求得一次函數表達式，進而可得點C的坐標，再將點C的坐標代入反比例函數即可；
（2）將一次函數與反比例函數聯立方程組，求得交點坐標即可得出結果；
（3）過點A作AE⊥BC交y軸于點E，證明△AOB∽△EOA得出點E的坐標，在求出直線AE的表達式，與反比例函數聯立方程組即可．
【解析】（1）將A（4，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴一次函數表達式為：y＝﹣x+2，
將C（6，a）代入得：y＝﹣×6+2＝﹣1，
∴C（6，﹣1），
將C（6，﹣1）代入y＝得：m＝﹣6，
∴反比例函數的表達式為：y＝；
（2）設一次函數與反比例函數在第二象限交于點D，
聯立，
解得：或，
∴D（﹣2，3），
∴由圖象可知：當x＜﹣2或0＜x＜6時，kx+b＞，
（3）存在，理由：
過點A作AE⊥BC交y軸于點E，
∵∠BAO+∠EAO＝90°，∠EAO+∠AEO＝90°，
∴∠BAO＝∠AEO，
∵∠AOB＝∠EOA＝90°，
∴△AOB∽△EOA，
∴，
∴，
∴OE＝8，
∴E（0，﹣8），
設直線AE的表達式為：y＝ax+b，
將（4，0），（0，﹣8）代入得：，
解得：，
∴直線AE的表達式為：y＝2x﹣8，
聯立：，
解得：或，
∴點P的坐標為：（1，﹣6）或（3，﹣2）．
【點睛】本題是一次函數與反比例函數的綜合題，考查的有待定系數法求一次函數、反比例函數表達式，相似三角形的判定及性質．
3．（2023 成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數圖象y＝﹣x+5與y軸交于點A，與反比例函數y＝的圖
象的一個交點為B（a，4），過點B作AB的垂線l．
（1）求點A的坐標及反比例函數的表達式；
（2）若點C在直線l上，且△ABC的面積為5，求點C的坐標；
（3）P是直線l上一點，連接PA，以P為位似中心畫△PDE，使它與△PAB位似，相似比為m．若點D，E恰好都落在反比例函數圖象上，求點P的坐標及m的值．
【答案】（1）點A的坐標為（0，5），反比例函數的表達式為
（2）點C的坐標為（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）點P的坐標為 的值為3．
【點撥】（1）解方程得到點A的坐標為（0，5），將B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，求得B（1，4），將B（1，4）代入y＝得，求得反比例函數的表達式為y＝；
（2）設直線l與y軸交于M，直線y＝﹣x+5與x軸交于N，解方程得到N（S，0），求得OA＝ON＝5，根據兩點間的距離的結論公式得到＝，求得M（0，3），待定系數法求得直線l的解析式為y＝x+3，設點C的坐標為（t，t+3），根據三角形的面積公式列方程得到t＝﹣4或t＝6，求得點C的坐標為（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）解方程組求得E（﹣4，﹣1），根據相似三角形的性質得到∠PAB＝∠PDE，根據平行線的判定定理得到AB∥DE，求得直線DE的解析式為y＝﹣x﹣5，解方程組得到D（﹣1，﹣4），則直線AD的解析式為y＝9x+5，于是得到P（﹣，），根據兩點間的距離距離公式即可得到結論．
【解析】解：（1）令x＝0，則y＝﹣x+5＝5，
∴點A的坐標為（0，5），
將B（a，4）代入y＝﹣x+5得，4＝﹣a+5，
∴a＝1，
∴B（1，4），
將B（1，4）代入y＝得，4＝，
解得k＝4，
∴反比例函數的表達式為y＝；
（2）設直線l與y軸交于M，直線y＝﹣x+5與x軸交于N，
令y＝﹣x+5＝0得，x＝5，
∴N（5，0），
∴OA＝ON＝5，
∵∠AON＝90°，
∴∠OAN＝45°，
∵A（0，5），B（1，4），
∴＝，
∵直線l是AB的垂線，即∠ABM＝90°，∠OAN＝45°，
∴，
∴M（0，3），
設直線l的解析式為y＝k1x+b1，
將M（0，3），B（1，4）代入y＝k1x+b1得，，
解得，
∴直線l的解析式為y＝x+3，
設點C的坐標為（t，t+3），
∵ |xB﹣xC|＝，
解得t＝﹣4或t＝6，
當t＝﹣4時，t+3＝﹣1，
當t＝6時，t+3＝9，
∴點C的坐標為（6，9）或（﹣4，﹣1）；
（3）∵位似圖形的對應點與位似中心三點共線，∴點B的對應點也在直線l上，不妨設為E點，則點A的對應點為D，
將直線l與雙曲線的解析式聯立方程組，
解得，或，
∴E（﹣4，﹣1），
畫出圖形如圖所示，
∵△PAB∽△PDE，
∴∠PAB＝∠PDE，
∴AB∥DE，
∴直線AB與直線DE的一次項系數相等，
設直線DE的解析式為y＝﹣x+b2，
∴﹣1＝﹣（﹣4）+b2，
∴b2＝﹣5，
∴直線DE的解析式為y＝﹣x﹣5，
∵點D在直線DE與雙曲線的另一個交點，
∴解方程組得，或，
∴D（﹣1，﹣4），
則直線AD的解析式為y＝9x+5，
解方程組得，，
∴P（﹣，），
∴，
，
∴m＝．
【點睛】本題考查了反比例函數的綜合題，待定系數法求函數的解析式，反比例函數的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，正確的作出圖形是解題的關鍵．
4．（2023 濟南）綜合與實踐
如圖1，某興趣小組計劃開墾一個面積為8m2的矩形地塊ABCD種植農作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為a m．
【問題提出】
小組同學提出這樣一個問題：若a＝10，能否圍出矩形地塊？
【問題探究】
小穎嘗試從“函數圖象”的角度解決這個問題：
設AB為x m，BC為y m．由矩形地塊面積為8m2，得到xy＝8，滿足條件的（x，y）可看成是反比例函數y＝的圖象在第一象限內點的坐標；木欄總長為10m，得到2x+y＝10，滿足條件的（x，y）可看成一次函數y＝﹣2x+10的圖象在第一象限內點的坐標，同時滿足這兩個條件的（x，y）就可以看成兩個函數圖象交點的坐標．
如圖2，反比例函數y＝（x＞0）的圖象與直線l1：y＝﹣2x+10的交點坐標為（1，8）和 　（4，2）　，因此，木欄總長為10m時，能圍出矩形地塊，分別為：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝　4　m，BC＝　2　m．
（1）根據小穎的分析思路，完成上面的填空；
【類比探究】
（2）若a＝6，能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數圖象并說明理由；
【問題延伸】
當木欄總長為a m時，小穎建立了一次函數y＝﹣2x+a．發現直線y＝﹣2x+a可以看成是直線y＝﹣2x通過平移得到的，在平移過程中，當過點（2，4）時，直線y＝﹣2x+a與反比例函數y＝（x＞0）的圖象有唯一交點．
（3）請在圖2中畫出直線y＝﹣2x+a過點（2，4）時的圖象，并求出a的值；
【拓展應用】
小穎從以上探究中發現“能否圍成矩形地塊問題”可以轉化為“y＝﹣2x+a與y＝圖象在第一象限內交點的存在問題”．
（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且AB和BC的長均不小于1m，請直接寫出a的取值范圍．
【答案】（1）（4，2）；4；2；
（2）不能圍出；
（3）a＝8；
（4）8≤a≤17．
【點撥】（1）觀察圖象或聯立解方程組得到另一個交點坐標為（4，2）；
（2）觀察圖象得到l2 與函數 圖象沒有交點，所以不能圍出；
（3）平移直線y＝﹣2x通過（2，4），將點（2，4）代入y＝﹣2x+a，解得a＝8；
（4）AB和BC的長均不小于1m，所以1≤x≤8，直線y＝﹣2x+a在l3、l4上面或之間移動，可得求a的范圍．
【解析】解：（1）將反比例函數y＝與直線l1：y＝﹣2x+10聯立得
，
∴＝﹣2x+10，
∴x2﹣5x+4＝0，
∴x1＝1，x2＝4，
∴另一個交點坐標為（4，2），
∵AB為x m，BC為y m，
∴AB＝4，BC＝2．
故答案為：（4，2）；4；2；
（2）不能圍出；
y＝﹣2x+6的圖象，如答案圖中l2所示：
∵l2 與函數 圖象沒有交點，
∴不能圍出面積為 8m2的矩形．
（3）如答案圖中直線l3所示：
將點（2，4）代入y＝﹣2x+a，解得a＝8．
（4）∵AB和BC的長均不小于1m，
∴x≥1，y≥1，
∴≥1，
∴x≤8，
∴1≤x≤8，
如圖所示，直線y＝﹣2x+a在l3、l4上面或之間移動，
把（8，1）代入y＝﹣2x+a得a＝17，
∴8≤a≤17．
【點睛】本題考查了實際應用題的函數直觀解釋，比較新穎，實質是一次函數和二次函數圖象的交點問題．
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備考2024中考二輪數學《高頻考點沖刺》（全國通用）
專題9 反比例函數問題
考點掃描☆聚焦中考
近幾年各地中考涉及本知識點的題目主要以選擇題或填空題的形式出現，少數題目以解答題的形式出現,屬于中檔題；考查內容主要有：反比例函數的概念；反比例函數的圖象；反比例函數的性質；反比例函數解析式的確定；反比例函數的應用；考查熱點主要有：反比例函數的性質及其解析式的確定；反比例函數與一次函數交點的綜合應用；反比例函數與三角形、四邊形等幾何圖形相關的計算和證明。
考點剖析☆典型例題
例1（2023 襄陽）在同一平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+k與反比例函數y＝的圖象可能是（　　）
A．B． C． D．
例2（2023 武漢）關于反比例函數，下列結論正確的是（　　）
A．圖象位于第二、四象限 B．圖象與坐標軸有公共點
C．圖象所在的每一個象限內，y隨x的增大而減小 D．圖象經過點（a，a+2），則a＝1
例3（2023 宜昌）某反比例函數圖象上四個點的坐標分別為（﹣3，y1），（﹣2，3），（1，y2），（2，y3），則，y1，y2，y3的大小關系為（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
例4（2023 張家界）如圖，矩形OABC的頂點A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點D在AB上，且AD＝AB，反比例函數y＝（k＞0）的圖象經過點D及矩形OABC的對稱中心M，連接OD，OM，DM．若△ODM的面積為3，則k的值為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
例5 40．（2023 寧波）如圖，一次函數y1＝k1x+b（k1＞0）的圖象與反比例函數y2＝（k2＞0）的圖象相交于A，B兩點，點A的橫坐標為1，點B的橫坐標為﹣2，當y1＜y2時，x的取值范圍是（　　）
A．x＜﹣2或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣2＜x＜0或0＜x＜1
例6（2023 寧夏）給某氣球充滿一定質量的氣體，在溫度不變時，氣球內氣體的氣壓p（KPa）是氣體體積V（m3）的反比例函數，其圖象如圖所示．
（1）當氣球內的氣壓超過150KPa時，氣球會爆炸，若將氣球近似看成一個球體，試估計氣球的半徑至少為多少時氣球不會爆炸（球體的體積公式V＝πr3，π取3）；
（2）請你利用p與V的關系試解釋為什么超載的車輛容易爆胎．
例7 （2023 瀘州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y＝kx+2與x，y軸分別相交于點A，B，與反比例函數y＝（x＞0）的圖象相交于點C，已知OA＝1，點C的橫坐標為2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y軸的動直線與l和反比例函數的圖象分別交于點D，E，若以B，D，E，O為頂點的四邊形為平行四邊形，求點D的坐標．
考點過關☆專項突破
類型一 反比例函數的圖象與性質
1．（2023 泰安）一次函數y＝ax+b與反比例函數y＝（a，b為常數且均不等于0）在同一坐標系內的圖象可能是（　　）
A．B． C．D．
2．（2023 揚州）函數y＝的大致圖象是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 上海）下列函數中，函數值y隨x的增大而減小的是（　　）
A．y＝6x B．y＝﹣6x C．y＝ D．y＝﹣
4．（2023 安徽）已知反比例函數y＝（k≠0）在第一象限內的圖象與一次函數y＝﹣x+b的圖象如圖所示，則函數y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象可能為（　　）
A．B． C． D．
5．（2023 廣州）已知正比例函數y1＝ax的圖象經過點（1，﹣1），反比例函數y2＝的圖象位于第一、第三象限，則一次函數y＝ax+b的圖象一定不經過（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
類型二 反比例函數圖象上點的坐標特征
1．（2023 重慶）反比例函數y＝的圖象一定經過的點是（　　）
A．（﹣3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣4） D．（2，3）
2．（2023 永州）已知點M（2，a）在反比例函數的圖象上，其中a，k為常數，且k＞0，則點M一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023 濟南）已知點A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函數y＝（k＜0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系為（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
4．（2023 邵陽）如圖，矩形OABC的頂點B和正方形ADEF的頂點E都在反比例函數y＝（k≠0）的圖象上，點B的坐標為（2，4），則點E的坐標為（　　）
A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）
5．（2023 泰州）函數y與自變量x的部分對應值如表所示，則下列函數表達式中，符合表中對應關系的可能是（　　）
x 1 2 4
y 4 2 1
A．y＝ax+b（a＜0） B．y＝（a＜0） C．y＝ax2+bx+c（a＞0） D．y＝ax2+bx+c（a＜0）
6．（2023 攀枝花）如圖，在直角△ABO中，AO＝，AB＝1，將△ABO繞點O順時針旋轉105°至△A′B′O的位置，點E是OB′的中點，且點E在反比例函數y＝的圖象上，則k的值為 　　．
類型三 反比例函數系數k的幾何意義
1．（2023 福建）如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數y＝和y＝的圖象的四個分支上，則實數n的值為（　　）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
2．（2023 黑龍江）如圖，△ABC是等腰三角形，AB過原點O，底邊BC∥x軸，雙曲線y＝過A，B兩點，過點C作CD∥y軸交雙曲線于點D．若S△BCD＝12，則k的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣12 C．﹣ D．﹣9
3．（2023 湘西州）如圖，點A在函數y＝（x＞0）的圖象上，點B在函數y＝（x＞0）的圖象上，且AB∥x軸，BC⊥x軸于點C，則四邊形ABCO的面積為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023 宜賓）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A、B分別在y、x軸上，BC⊥x軸，點M、N分別在線段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過M、N兩點，P為x軸正半軸上一點，且OP：BP＝1：4，△APN的面積為3，則k的值為（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 鹽城）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B都在反比例函數y＝（x＞0）的圖象上，延長AB交y軸于點C，過點A作AD⊥y軸于點D，連接BD并延長，交x軸于點E，連接CE．若AB＝2BC，△BCE的面積是4.5，則k的值為 　　．
類型四 反比例函數與一次函數的交點問題
1．（2023 濰坊）如圖，在直角坐標系中，一次函數y1＝x﹣2與反比例函數y2＝的圖象交于A，B兩點，下列結論正確的是（　　）
A．當x＞3時，y1＜y2 B．當x＜﹣1時，y1＜y2
C．當0＜x＜3時，y1＞y2 D．當﹣1＜x＜0時，y1＜y2
2．（2023 內蒙古）如圖，直線y＝ax+b（a≠0）與雙曲線y＝（k≠0）交于點A（﹣2，4）和點B（m，﹣2），則不等式0＜ax+b＜的解集是（　　）
A．﹣2＜x＜4 B．﹣2＜x＜0 C．x＜﹣2或0＜x＜4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
3．（2023 淮安）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝x+b的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點，且與反比例函數y＝在第一象限內的圖象交于點C．若點A坐標為（2，0），，則k的值是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 懷化）如圖，反比例函數y＝（k＞0）的圖象與過點（﹣1，0）的直線AB相交于A、B兩點．已知點A的坐標為（1，3），點C為x軸上任意一點．如果S△ABC＝9，那么點C的坐標為（　　）
A．（﹣3，0） B．（5，0） C．（﹣3，0）或（5，0） D．（3，0）或（﹣5，0）
5．（2023 東營）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝ax+b（a＜0）與反比例函數y＝（k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）兩點，與y軸交于點C，連接OA，OB．
（1）求反比例函數和一次函數的表達式；
（2）求△AOB的面積；
（3）請根據圖象直接寫出不等式＜ax+b的解集．
6．（2023 西藏）如圖，一次函數y＝x+2與反比例函數y＝的圖象相交于A，B兩點，且點A的坐標為（1，m），點B的坐標為（n，﹣1）．
（1）求m，n的值和反比例函數的解析式；
（2）點A關于原點O的對稱點為A'，在x軸上找一點P，使PA'+PB最小，求出點P的坐標．
類型五 反比例函數的應用
1．（2023 隨州）已知蓄電池的電壓為定值，使用某蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示，則當電阻為6Ω時，電流為（　　）
A．3A B．4A C．6A D．8A
2．（2023 南京）甲、乙兩地相距100km，汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛的時間t（單位：h）與行駛速度v（單位：km/h）之間的函數圖象是（　　）
A．B．C． D．
3．（2023 麗水）如果100N的壓力F作用于物體上，產生的壓強p要大于1000Pa，則下列關于物體受力面積S（m2）的說法正確的是（　　）
A．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m2
4．（2023 溫州）在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁所產生的壓強p（kPa）與汽缸內氣體的體積V（mL）成反比例，p關于V的函數圖象如圖所示．若壓強由75kPa加壓到100kPa，則氣體體積壓縮了 　　mL．
5．（2023 吉林）笑笑同學通過學習數學和物理知識，知道了電磁波的波長λ（單位：m）會隨著電磁波的頻率f（單位：MHz）的變化而變化．已知波長λ與頻率f是反比例函數關系，下面是它們的部分對應值：
頻率f（MHz） 10 15 50
波長λ（m） 30 20 6
（1）求波長λ關于頻率f的函數解析式．
（2）當f＝75MHz時，求此電磁波的波長λ．
6．（2023 郴州）在實驗課上，小明做了一個試驗．如圖，在儀器左邊托盤A（固定）中放置一個物體，在右邊托盤B（可左右移動）中放置一個可以裝水的容器，容器的質量為5g．在容器中加入一定質量的水，可以使儀器左右平衡．改變托盤B與點C的距離x（cm）（0＜x≤60），記錄容器中加入的水的質量，得到下表：
托盤B與點C的距離x/cm 30 25 20 15 10
容器與水的總質量y1/g 10 12 15 20 30
加入的水的質量y2/g 5 7 10 15 25
把上表中的x與y1各組對應值作為點的坐標，在平面直角坐標系中描出這些點，并用光滑的曲線連接起來，得到如圖所示的y1關于x的函數圖象．
（1）請在該平面直角坐標系中作出y2關于x的函數圖象；
（2）觀察函數圖象，并結合表中的數據：
①猜測y1與x之間的函數關系，并求y1關于x的函數表達式；
②求y2關于x的函數表達式；
③當0＜x≤60時，y1隨x的增大而 　　（填“增大”或“減小”），y2隨x的增大而 　　（填“增大”或“減小”），y2的圖象可以由y1的圖象向 　　（填“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的質量y2（g）滿足19≤y2≤45，求托盤B與點C的距離x（cm）的取值范圍．
類型六 反比例函數的綜合
1．（2023 鎮江）如圖，正比例函數y＝﹣3x與反比例函數y＝（k≠0）的圖象交于A、B（1，m）兩點，C點在x軸負半軸上，∠ACO＝45°．
（1）m＝　 　，k＝　 　，點C的坐標為 　 　；
（2）點P在x軸上，若以B、O、P為頂點的三角形與△AOC相似，求點P的坐標．
2．（2023 眉山）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝kx+b與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B（0，2），與反比例函數在第四象限內的圖象交于點C（6，a）．
（1）求反比例函數的表達式；
（2）當時，直接寫出x的取值范圍；
（3）在雙曲線上是否存在點P，使△ABP是以點A為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
3．（2023 成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數圖象y＝﹣x+5與y軸交于點A，與反比例函數y＝的圖
象的一個交點為B（a，4），過點B作AB的垂線l．
（1）求點A的坐標及反比例函數的表達式；
（2）若點C在直線l上，且△ABC的面積為5，求點C的坐標；
（3）P是直線l上一點，連接PA，以P為位似中心畫△PDE，使它與△PAB位似，相似比為m．若點D，E恰好都落在反比例函數圖象上，求點P的坐標及m的值．
如圖1，某興趣小組計劃開墾一個面積為8m2的矩形地塊ABCD種植農作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為a m．
【問題提出】
小組同學提出這樣一個問題：若a＝10，能否圍出矩形地塊？
【問題探究】
小穎嘗試從“函數圖象”的角度解決這個問題：
設AB為x m，BC為y m．由矩形地塊面積為8m2，得到xy＝8，滿足條件的（x，y）可看成是反比例函數y＝的圖象在第一象限內點的坐標；木欄總長為10m，得到2x+y＝10，滿足條件的（x，y）可看成一次函數y＝﹣2x+10的圖象在第一象限內點的坐標，同時滿足這兩個條件的（x，y）就可以看成兩個函數圖象交點的坐標．
如圖2，反比例函數y＝（x＞0）的圖象與直線l1：y＝﹣2x+10的交點坐標為（1，8）和 　　，因此，木欄總長為10m時，能圍出矩形地塊，分別為：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝　 　m，BC＝　　 m．
（1）根據小穎的分析思路，完成上面的填空；
【類比探究】
（2）若a＝6，能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數圖象并說明理由；
【問題延伸】
當木欄總長為a m時，小穎建立了一次函數y＝﹣2x+a．發現直線y＝﹣2x+a可以看成是直線y＝﹣2x通過平移得到的，在平移過程中，當過點（2，4）時，直線y＝﹣2x+a與反比例函數y＝（x＞0）的圖象有唯一交點．
（3）請在圖2中畫出直線y＝﹣2x+a過點（2，4）時的圖象，并求出a的值；
【拓展應用】
小穎從以上探究中發現“能否圍成矩形地塊問題”可以轉化為“y＝﹣2x+a與y＝圖象在第一象限內交點的存在問題”．
（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且AB和BC的長均不小于1m，請直接寫出a的取值范圍．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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