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第一部分：一元二次方程
一元二次方程的定義：
一個(gè)方程若整理可以后化為（a≠0），稱(chēng)原方程為一元二次方程。
一元二次方程的一般式： （a≠0）
我們應(yīng)記住此方程的特點(diǎn)：⑴ a≠0；b,c可以為0
（2）最高次項(xiàng)的次數(shù)為2 （3）它是一個(gè)整式方程(分母中不含未知數(shù))
2．應(yīng)用時(shí)應(yīng)化為一般式：（ａ≠0）
在（1）用求根公式X= 求根時(shí)；
（2）用判別式△=判斷方程的根的情況時(shí)；
（3）用根系關(guān)系時(shí)
應(yīng)將原方程化為一般式：，以便好認(rèn)定中的ａ、ｂ、ｃ各為多少，從而帶人公式。
一元二次方程的解法：
（1）直接開(kāi)平方法： 當(dāng)方程直接可以化為或
（）=a 時(shí)，且a≥0時(shí)有解；否則a＜0時(shí)無(wú)解。
（2） 配方法：不常用，但應(yīng)掌握方法原理：
)=M
ａ ）=N
且當(dāng)M、N的值為非負(fù)數(shù)時(shí)，方程才有解
因式分解法解一元二次方程：
注意到一個(gè)最簡(jiǎn)單的知識(shí)：A·B=0 A=0或B=0；
（ ）（ ）=0 則兩個(gè)括號(hào)都可以為0
也就是說(shuō)用此方法解一元二次方程，事前一定要將原方程化為右邊為0，而左邊為分解因式的形式，但不是每一個(gè)方程都可以用因式分解的方法來(lái)求解。
（4）求根公式法：這是一種最基本的方法，適合于任何一個(gè)一元二次方程，當(dāng)方程化為后：
步驟： ①ａ=？，ｂ=？，ｃ=？
②計(jì)算△=？
△<0 方程無(wú)實(shí)數(shù)解0無(wú)法繼續(xù)求解
△=0 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解
△>0 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解
③ 在△≥0時(shí)才可以代人求根公式 X= ，算出方程的根
判別式的用途（應(yīng)用方式）
由數(shù)字系數(shù)的一元二次方程 求出△=？ 得出原方程有無(wú)實(shí)數(shù)根
由含字母系數(shù)的一元二次方程 求出△=？
將△所表示的式子變形（一般變形為△=（ ）2+？、△=—（ ）2+？、△=（ ）（ ）等形式）（結(jié)合題目條件和題中的隱含條件）得到△>0(△<0或△≥0 )
從而得到字母的取值范圍或其他結(jié)論
已知方程根的情況下（二次項(xiàng)系數(shù)不為0，△>0或△<0或△≥0) 解不等式或不等式組求出字母的取植或取值范圍，或證明某個(gè)結(jié)論成立可以在鎖定的范圍中找出合乎條件的特殊值（如整數(shù)、最小、最大、非負(fù)值等）
根系關(guān)系：
一元二次方程如果有根，則兩根
、與方程的系數(shù)ａ、ｂ、ｃ有密切的聯(lián)系 ；
已知一個(gè)含有待定系數(shù)的一元二次方程和它的一個(gè)根，求另一個(gè)根和字母的值。
不解方程，求由該方程的兩個(gè)根、所組成的式的值。解決這類(lèi)問(wèn)題，應(yīng)將此代數(shù)式變形，盡量出現(xiàn)、，常見(jiàn)的關(guān)系有：
① =
②
③ ④
⑤
⑥
⑦
⑧ ∵（）=
∴
評(píng)價(jià)：以上變形主要利用整體思想解決問(wèn)題
兩根的符號(hào)的討論：（在有根的情況下）
＞0；＞0 兩根同時(shí)為正
＜0；＜0 一正一負(fù)；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值較大
＞0；＜0 一正一負(fù)；正數(shù)的絕對(duì)值較大
＜0；＞0 兩根同時(shí)為負(fù)
判別式與根系關(guān)系的合作應(yīng)用：
用于討論、判別根的符號(hào)情況或求取字母取值或取值范圍。
先決條件：1 中的a必須保證a≠0
2 以下所有的討論都是在方程有根的情況（△≥0 )的前提下才能進(jìn)行。這兩點(diǎn)都不可忽視。
① 有實(shí)根△≥0 ② 沒(méi)有實(shí)根△＜0
③ 有兩等根△＝0 ④ 有兩不等根△＞0
⑤ 有零根=0 =0C=0（和中有一根為0）
⑥ 有-1根（a≠0）中有關(guān)系
ａ－ｂ＋ｃ=0存在（X=－1時(shí)）
⑦ 有+1根（a≠0）中有關(guān)系
ａ＋ｂ＋ｃ=0存在（X=+1時(shí)）

⑧ 有相反的兩根△≥0, =0(即-=0b=0)
⑨ 有互為倒數(shù)的兩根△=0，=1（即=1，ｃ=ａ）
有兩正根△≥0, ＞0，＞0
⑾ 有兩負(fù)根△≥0, <0，＞0
（12）．有兩異號(hào)根△＞0，<0
（13）．有兩異號(hào)根，且正根的絕對(duì)值較大△＞0，＞0，<0
（14）．有兩異號(hào)根，且負(fù)根的絕對(duì)值較大△＞0， <0，<0
（15）．兩根都大于（或小于）某常數(shù)K
△≥0, =？，=？，＞K，＞k ＞0
（或△≥0, =？，=？，以上關(guān)系在解題時(shí)主要應(yīng)這注意下面幾點(diǎn)：
A．二次項(xiàng)系數(shù)決不為0 （特別應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)有字母時(shí)，更應(yīng)緊惕）
B．判別式△是決定方程是否有根，和根的情況怎樣
C．在△≥0的情況下，才有根系關(guān)系
D．結(jié)合題目中的條件很重要。
六．列方程解應(yīng)用題
1．平均增長(zhǎng)率問(wèn)題（復(fù)利問(wèn)題）
（初始數(shù)）基數(shù)ａ第一次增長(zhǎng)后達(dá)到達(dá)
第二次增長(zhǎng)后達(dá)到達(dá)到
2．單利問(wèn)題：本金A 、 年（或月）利率X 、 時(shí)間B年（或月），有：本利和=本金×年（或月）數(shù)×?xí)r間數(shù)年（或月）+本金
3．其他的實(shí)際問(wèn)題
七．利用求根公式分解二次三項(xiàng)式
對(duì)于在有理數(shù)范圍中不能分解的二次三項(xiàng)式，如果令=0時(shí)有解、，則可以分解：
=
具體方法：
分解令=0：
① △=0 上式為完全平方式
② △≥0 方程有兩根、=
③△＜0 方程沒(méi)有根二次三項(xiàng)式不可以分解

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