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第14題 三角形中常遇求范圍，活用定理轉化與回歸
在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若，，則的取值范圍是______．
從三角形邊的關系出發，運用余弦定理結合均值不等式求解，注意等號成立的條件.
∵，，∴由，得．
∴．∵，∴．
∴，當且僅當時取等號．
又∵，當b或c趨向于零時，趨向于3．
∴．
（2020·浙江·統考高考真題）
1．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．
整體換元， 設，結合余弦定理，構造關于b的二次方程，由判別式法求新元亦即的取值范圍.
設，
∵，，
∴由，得．
．∴．
即，∴．
∴，∴，∴．
當時，，又，∴．
∴．
（2022·全國·統考高考真題）
2．已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時， ．
三角換元，利用三角函數有界性求的取值范圍
設，則，
∵，，∴由，得．
∴，∴，即．
∵，∴，∴．∴．
∴，即．
另辟蹊徑：由得得．
由得，解得，即．
（2020·全國·統考高考真題）
3．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
（1）求A；
（2）若BC=3，求周長的最大值.
構造的外接圓，巧用對稱性，在平面直角坐標系內通過數形結合，設的外接圓方程為，并設BC與x軸平行，點，求得，．將問題轉化成坐標運算求解.
如圖所示建立平面直角坐標系，設的外接圓方程為，不妨設BC與x軸平行，設點，易得，．
∴．
由圖可得．∴，即．
（2024上·江蘇揚州·高二統考期末）
4．在中，已知D為邊BC上一點，，．若的最大值為2，則常數的值為（ ）
A． B． C． D．
利用正弦定理把化為三角函數，即，通過三角恒等變形、輔助角公式結合三角函數的有界性求解.
∵，，
由，可得．
∴．
∵．
∴
．
∵，則，∴．
∴．∴．
（2023·全國·高三專題練習）
5．在銳角中，，，的對邊分別是，，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·高三專題練習）
6．在銳角中，，，的對邊分別是，，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·四川成都·高三石室中學范圍）
7．在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2022·湖北武漢·武漢二中校考模擬預測）
8．在銳角中，，則角的范圍是 ，的取值范圍為 .
（2023上·廣東云浮·高三范圍）
9．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知．
(1)若，，求的面積；
(2)若，求周長的取值范圍．
（2019·全國·高考真題）
10．的內角的對邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
11．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下列問題中，并解答.
已知的角，，對邊分別為，，而且___________.
（1）求；
（2）求周長的范圍.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．（I）；（II）
【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理邊化角，然后結合特殊角的三角函數值即可確定角B的大小；
（II）方法二：結合(Ⅰ)的結論將含有三個角的三角函數式化簡為只含有角A的三角函數式，然后由三角形為銳角三角形確定角A的取值范圍，最后結合三角函數的性質即可求得的取值范圍.
【詳解】（I）
[方法一]：余弦定理
由，得，即.
結合余弦定，
∴，
即，
即，
即，
即，
∵為銳角三角形，∴，
∴，
所以，
又B為的一個內角，故.
[方法二]【最優解】：正弦定理邊化角
由，結合正弦定理可得：
為銳角三角形，故.
（II） [方法一]：余弦定理基本不等式
因為，并利用余弦定理整理得，
即.
結合，得.
由臨界狀態（不妨取）可知.
而為銳角三角形，所以.
由余弦定理得，
，代入化簡得
故的取值范圍是.
[方法二]【最優解】：恒等變換三角函數性質
結合(1)的結論有：
.
由可得：，，
則，.
即的取值范圍是.
【整體點評】（I）的方法一，根據已知條件，利用余弦定理經過較復雜的代數恒等變形求得，運算能力要求較高；方法二則利用正弦定理邊化角，運算簡潔，是常用的方法，確定為最優解；（II）的三種方法中，方法一涉及到較為復雜的余弦定理代入化簡，運算較為麻煩，方法二直接使用三角恒等變形，簡潔明快，確定為最優解.
2．##
【分析】設，利用余弦定理表示出后，結合基本不等式即可得解.
【詳解】[方法一]：余弦定理
設，
則在中，，
在中，，
所以
，
當且僅當即時，等號成立，
所以當取最小值時，.
故答案為：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.
則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
設BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，則，
，
，
當且僅當，即時等號成立.
[方法四]：判別式法
設，則
在中，，
在中，，
所以，記，
則
由方程有解得：
即，解得：
所以，此時
所以當取最小值時，，即.

3．（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進而求得；
（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進而得到結果.
【詳解】（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最優解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（當且僅當時取等號），
，
解得：（當且僅當時取等號），
周長，周長的最大值為.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
設，則，根據正弦定理可知，所以，當且僅當，即時，等號成立．此時周長的最大值為．
[方法三]：余弦與三角換元結合
在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知當時，，
所以周長的最大值為．
【整體點評】本題考查解三角形的相關知識，涉及到正弦定理角化邊的應用、余弦定理的應用、三角形周長最大值的求解問題；
方法一：求解周長最大值的關鍵是能夠在余弦定理構造的等式中，結合基本不等式構造不等關系求得最值.
方法二采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍進行求解最值，如果三角形是銳角三角形或有限制條件的，則采用此法解決.
方法三巧妙利用三角換元，實現邊化角，進而轉化為正弦函數求最值問題.
4．D
【分析】令且，求得外接圓半徑為，若，結合已知得點在圓被分割的優弧上運動，進而確定的最大，只需與圓相切，綜合運用兩點距離、圓的性質、正弦定理、三角恒等變換列方程求參數.
【詳解】令且，即，則外接圓半徑為，
若，的外接圓方程為，
所以，令圓心為，
即點在圓被分割的優弧上運動，如下圖，
要使的最大，只需與圓相切，由上易知，
則，而，由圓的性質有，
中，，顯然，
由，則，
所以，可得（負值舍），
故，而，
所以，
整理得，則.
故選：D
【點睛】關鍵點點睛：令且，得到點在圓被分割的優弧上運動為關鍵.
5．A
【分析】根據題意得，進而得到，再由得，，所以，代入化簡求解即可.
【詳解】在銳角中，，因為，，,
所以，，解得，
所以，，而，
，
所以，
所以由正弦定理可知：
，
因為，所以，所以，
即.
故選：A.
6．A
【分析】根據題意得，進而得到，再由得，，所以，代入化簡求解即可.
【詳解】在銳角中，，因為，，,
所以，，解得，
所以，，而，
，
所以，
所以由正弦定理可知：
，
因為，所以，所以，
即.
故選：A.
7．C
【分析】先根據余弦定理和面積公式得到，結合同角的三角函數基本關系時可得，故可求的取值范圍，結合對勾函數的單調性可求的取值范圍.
【詳解】在中，由余弦定理得，且的面積，
由，得，化簡得，
又，，聯立得，
解得或（舍去），
所以，
因為為銳角三角形，所以，，所以，
所以，所以，所以，
設，其中，所以，
由對勾函數單調性知在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，；當時，；當時，；
所以，即的取值范圍是．
故選：C.
8．
【分析】由已知結合余弦定理，正弦定理及和差角公式進行化簡可得，的關系，結合銳角三角形條件可求，的范圍，然后結合對勾函數的單調性可求．
【詳解】解：因為及，
所以，
由正弦定理得，
所以，
整理得，
即，
所以，即，
又為銳角三角形，所以，解得，
故，，
則
，
令，則，在上單調遞增，在上單調遞減，
又，，
故，即．
故答案為：；．
9．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，由正弦定理的邊角互化，即可得到，再由三角形的面積公式，即可得到結果；
（2）根據題意，由余弦定理結合基本不等式，即可得到結果.
【詳解】（1）因為，
由正弦定理可得，
則，
所以，
即，
因為，所以，
又易知，所以，
因為，所以．
因為，，，
所以．
（2）在中，，，由余弦定理得，
所以，
即，即，
所以，當且僅當時等號成立，
又，所以，
所以，
故周長的取值范圍是．
10．(1) ;(2).
【分析】(1)利用正弦定理化簡題中等式，得到關于B的三角方程，最后根據A,B,C均為三角形內角解得.
(2)根據三角形面積公式，又根據正弦定理和得到關于的函數，由于是銳角三角形，所以利用三個內角都小于來計算的定義域，最后求解的值域.
【詳解】(1)
[方法一]【最優解：利用三角形內角和為結合正弦定理求角度】
由三角形的內角和定理得，
此時就變為．
由誘導公式得，所以．
在中，由正弦定理知，
此時就有，即，
再由二倍角的正弦公式得，解得．
[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】
由解法1得，
兩邊平方得，即．
又，即，所以，
進一步整理得，
解得，因此．
[方法三]【利用正弦定理結合三角形內角和為求得的比例關系】
根據題意，由正弦定理得，
因為，故，
消去得．
，，因為故或者，
而根據題意，故不成立，所以，
又因為，代入得，所以.
(2)
[方法一]【最優解：利用銳角三角形求得C的范圍，然后由面積函數求面積的取值范圍】
因為是銳角三角形，又，所以，
則．
因為，所以，則，
從而，故面積的取值范圍是．
[方法二]【由題意求得邊的取值范圍，然后結合面積公式求面積的取值范圍】
由題設及（1）知的面積．
因為為銳角三角形，且，
所以即
又由余弦定理得，所以即，
所以，故面積的取值范圍是．
[方法三]【數形結合，利用極限的思想求解三角形面積的取值范圍】
如圖，在中，過點A作，垂足為，作與交于點．
由題設及（1）知的面積，因為為銳角三角形，且，
所以點C位于在線段上且不含端點，從而，
即，即，所以，
故面積的取值范圍是．

【整體點評】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，與三角形內角和相結合是常用的方法；
方法二：方程思想是解題的關鍵，解三角形的問題可以利用余弦值確定角度值；
方法三：由正弦定理結合角度關系可得內角的比例關系，從而確定角的大小.
(2)方法一：由題意結合角度的范圍求解面積的范圍是常規的做法；
方法二：將面積問題轉化為邊長的問題，然后求解邊長的范圍可得面積的范圍；
方法三：極限思想和數形結合體現了思維的靈活性，要求學生對幾何有深刻的認識和靈活的應用.
11．條件選擇見解析；（1）；（2）.
【分析】（1）選①：由條件結合正弦定理可得，即得出答案.
選②：由條件結合誘導公式、正弦定理和二倍角公式可得，從而得出答案.
選③：由條件結合正弦定理可得，再根據余弦定理可得答案.
（2）由（1）結合余弦定理可得,利用均值不等式可得周長的最大值，再利用三角形中兩邊之和大于第三邊可得出答案.
【詳解】解：（1）選①：
由正弦定理得
即：
因為
因為
選②：
由正弦定理得
因為
因為，所以，
因為
選③：
因為，
所以，即，
所以，
因為，所以；
（2）由（1）可知：，
在中，由余弦定理得，即，
所以，
所以，當且僅當時等號成立，
所以，即周長的最大值為.
又因為，所以周長的取值范圍為
【點睛】關鍵點睛：本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解題的關鍵是利用正弦定理進行邊化角，第（2）問中結合（1）的結果，利用余弦定理得到，先配方再利用均值不等式求出的范圍，最后三角形中兩邊之和大于第三邊得到三角形周長的范圍，屬于中檔題.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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