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第14題 三角函數(shù)圖象定式，各類性質(zhì)一目了然
如圖所示為函數(shù)的一段圖像，求其解析式．
先求，設(shè)函數(shù)的周期為，由，可得，從而.通過觀察圖象中的最大值點，代入解析式，求得．
先求，設(shè)函數(shù)的周期為，則，∴，∴．
∴所求解析式為．
∵當(dāng)時函數(shù)取得最大值．
∴，又∵，∴．
∴所求函數(shù)的解析式為．
（23-24高一下·江西九江·階段練習(xí)）
1．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）

A． B．
C． D．
先求，設(shè)函數(shù)的周期為，由，可得，從而.通過確定圖象中的起始點，代入解析式，求得．
先求，設(shè)函數(shù)的周期為，則，∴，∴．
∴所求解析式為．
把函數(shù)圖像向左補充，可知應(yīng)是“五點法”作圖中的第一點，則，解得．
∴所求函數(shù)的解析式為．
（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）
2．已知函數(shù)的一段圖象過點，如圖所示，則函數(shù)（ ）
A． B．
C． D．

先求，設(shè)函數(shù)的周期為，由，可得，從而.通過確定圖象中的“第五個點”坐標(biāo)，代入解析式，求得．
根據(jù)“五點法”作圖，應(yīng)是“五點法”作圖中的第五點，則有，解得．
∴所求函數(shù)的解析式為．
（23-24高三下·山東濰坊·階段練習(xí)）
3．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式為 .
先求，設(shè)函數(shù)的周期為，由，可得，從而.通過觀察函數(shù)圖像向左擴展，平移個單位長度可得到的圖像，求得．
先求，設(shè)函數(shù)的周期為，則，∴，∴．
∴所求解析式為．
把函數(shù)圖像向左擴展（補充）知，的圖像向左平移個單位長度可得到的圖像，于是有，即．
∴所求函數(shù)的解析式為．
4．若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得圖象關(guān)于軸對稱，則的最小正值是 ．
先求，設(shè)函數(shù)的周期為，由，可得，從而.根據(jù)點在所給圖像上，把這一點坐標(biāo)代入得，再根據(jù)點在遞減的一段上，求得．
先求，設(shè)函數(shù)的周期為，則，∴，∴．
∴所求解析式為．
由題目中圖可知在所給圖像上，把這一點坐標(biāo)代入得，又點在遞減的一段上．
∴．
由此有，∴，又∵，∴．
最后求A，所求函數(shù)解析式為．又圖像過點，∴，A＝2．
∴所求函數(shù)的解析式為．
（23-24高三下·湖北襄陽·開學(xué)考試）
5．函數(shù)（，）的圖象如圖所示，與軸的交點坐標(biāo)為，與直線的相鄰三個交點的橫坐標(biāo)依次為，，，則的值為 ．
1．三角函數(shù)的圖像
三角函數(shù)的性質(zhì)如有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性等是數(shù)形結(jié)合絕妙體現(xiàn)．對稱軸、對稱中心、函數(shù)的零點在圖像上可以直接反映出來，利用三角函數(shù)的圖像可以確定解析式中參數(shù)的值，比如對函數(shù)來說，由圖像確定函數(shù)的最大值M和最小值m，求得，．由圖像確定周期T，求得．由圖像尋找第一個零點求得初相，由圖像得到對稱軸方程，對稱中心坐標(biāo)．由圖像確定函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、周期性、奇偶性、最值以及函數(shù)零點的個數(shù)等問題．
2．函數(shù)的圖像與性質(zhì)，
值域與最值 值域為，當(dāng)時，函數(shù)有最大值A(chǔ)；當(dāng)時，函數(shù)有最小值（其中）
周期 （頻率是）
對稱性 函數(shù)圖像關(guān)于點成中心對稱；關(guān)于直線成軸對稱（其中）
單調(diào)性 在區(qū)間上單調(diào)遞增；
在區(qū)間上單調(diào)遞減（其中）
3．求三角函數(shù)的值域
求三角函數(shù)的值域，必須熟練地根據(jù)題型確定求值域的方法，如配方法、圖像法、換元法、函數(shù)單調(diào)性法等，最常見的方法如下．
（1）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)型，通過配方法求值域．如型．
（2）利用正弦、余弦函數(shù)的有界性，一般利用公式（其中），，則．
（3）換元法．如函數(shù)解析式中同時含有，時，令，有，等．
4．求三角函數(shù)的周期
求三角函數(shù)的周期時，要善于通過三角恒等變形將復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為常見三角函數(shù)，并注意結(jié)合圖形進行分析，化歸與直觀化是求周期的基本思想方法，常見三角函數(shù)為，，，其最小正周期分別為，，．
5．三角函數(shù)的單調(diào)性
三角函數(shù)的單調(diào)性是研究三角函數(shù)大小的比較、三角函數(shù)值域、最值問題的重要工具，研究三角函數(shù)的單調(diào)性時一定要注意整體思維，如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可先將看作一個整體，然后代入的單調(diào)區(qū)間，若，則必須先運用誘導(dǎo)公式使之符合要求再進行求解．
6．函數(shù)對稱性與周期性之間的關(guān)系
通過類比可得，對于任意函數(shù)，其對稱性與周期性之間有如下關(guān)系．
（1）若函數(shù)的圖像有兩條對稱軸和，則是的一個周期．
（2）若函數(shù)有兩個對稱中心、，則是的一個周期．
（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則是的一個周期．
7．三角函數(shù)的對稱性規(guī)律
關(guān)于三角函數(shù)的對稱性又有如下的規(guī)律．
（1）函數(shù)的圖像的對稱軸由解得，對稱中心的橫坐標(biāo)由解得，縱坐標(biāo)為B．
（2）函數(shù)的圖像的對稱軸由解得，對稱中心的橫坐標(biāo)由解得，縱坐標(biāo)為B．
（3）函數(shù)的圖像的對稱中心的橫坐標(biāo)由解得，縱坐標(biāo)為B．
（4）一般地，對于函數(shù)，若滿足，則函數(shù)自身關(guān)于對稱；若滿足，則函數(shù)自身關(guān)于點對稱，要注意函數(shù)圖像對稱與兩個圖像之間對稱的區(qū)別，如和關(guān)于對稱．
8．三角函數(shù)的奇偶性規(guī)律
關(guān)于三角函數(shù)奇偶性的3個規(guī)律如下．
（1）函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù)．
（2）函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù)．
（3）函數(shù)是奇函數(shù)．
（23-24高一下·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）
6．函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則（ ）

A． B．
C． D．
（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）
7．函數(shù)的圖象如圖所示，直線經(jīng)過函數(shù)圖象的最高點和最低點，則（ ）

A． B．0 C． D．
（23-24高一下·河南駐馬店·階段練習(xí)）
8．已知函數(shù)的圖象過點，且在區(qū)間上具有單調(diào)性，則的取值范圍可以為（ ）
A． B． C． D．
（2024·廣西南寧·一模）
9．在物理學(xué)中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的距離的運動稱為“簡諧運動”．在適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系下，某個簡諧運動可以用函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．，頻率為，初相為
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C．函數(shù)在上的值域為
D．若把圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個單位，則所得函數(shù)是
（23-24高三下·北京海淀·開學(xué)考試）
10．已知函數(shù)，若，且函數(shù)的部分圖象如圖所示，則等于 ．
11．設(shè)函數(shù)（A，，是常數(shù)，，），若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，求的最小正周期．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)圖象得到，得到最小正周期，進而求出的值，代入圖象所過的定點坐標(biāo)可求出的值，由圖象平移得到，整體法即可求出函數(shù)的遞減區(qū)間.
【詳解】依題意可得，解得，
設(shè)函數(shù)最小正周期為，則，
又，所以，解得，
所以，
又過點，
所以，即，
所以，所以，
又，所以，所以.
故，
令，解得，
故其單調(diào)遞減區(qū)間為.
故選：C.
2．D
【分析】通過三個連續(xù)零點的值可以求出函數(shù)的周期，根據(jù)最小正周期公式可以求出的值，將特殊點代入解析式中，可以求出，的值，進而確定函數(shù)解析式.
【詳解】由圖知，，則.
由圖知，在取得最大值，且圖象經(jīng)過，故，
所以，故，
又因為，所以，
函數(shù)又經(jīng)過，故，得.
所以函數(shù)的表達式為．
故選：D .
3．
【分析】由正弦型函數(shù)的圖象可知，由圖象過，，求解函數(shù)的解析式即可.
【詳解】根據(jù)圖象可得, 而，則，
所以或，又，所以，
由得則，即,
由，所以，
故時，，所以.
故答案為：.
4．
【分析】根據(jù)平移求出的解析式，由題可得為偶函數(shù)，即可求出.
【詳解】將的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，該圖象關(guān)于y軸對稱，即為偶函數(shù)，
因此，所以，
故時得的最小正值為.
故答案為：.
5．##
【分析】根據(jù)圖象求出周期得，再代入點求得值.
【詳解】由圖象知，所以，
將點代入得，
又因為在增區(qū)間內(nèi)，故，
又因為，所以，
所以.
故答案為：
6．C
【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象得到的解析式，再根據(jù)平移變換求解即可.
【詳解】由圖知： 解得，
因為，所以，則，即
因為，
所以，即.
因為，得，
所以
所以
故選：C.
7．D
【分析】根據(jù)圖象得到，，從而得到函數(shù)最小正周期，故，代入特殊點坐標(biāo)，得到，得到函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)的周期求出答案.
【詳解】由的解析式可知，，
中，令得，令得，
故，，即，．
故的周期．即，解得，
故，則，得，．
因為，所以．則．
，，，
，，，
，，……，
因為，．
所以．
故選：D．
8．AC
【分析】由函數(shù)的圖象過點求得，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)列式求得的范圍，即可得解.
【詳解】因為函數(shù)的圖象過點，所以，得，
因為，所以，所以，
當(dāng)時，，
因為在區(qū)間上具有單調(diào)性，
所以，，
即且，，
則，，
因為，得，
因為，所以時，，則，故A正確；
當(dāng)時，，故C正確；B、D錯誤.
故選：AC.
9．BCD
【分析】根據(jù)圖象求出三角函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)以及函數(shù)平移的原則即可判斷.
【詳解】由圖象可得，
頻率是，
即，
，
對于A，，初相是，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，因為，所以，
在上的值域為，故C正確；
對于D，把的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)為，
又向左平移個單位，得到的函數(shù)為，故D正確；
故選：BCD.
10．
【分析】根據(jù)以及的部分圖象，可判斷的零點以及單調(diào)情況，從而求得最小正周期，可得的值，再結(jié)合零點，即可求得答案.
【詳解】由題意知，故，
結(jié)合函數(shù)的部分圖象可知是在一個周期內(nèi)的3個零點，
且在上滿足，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上滿足，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故的最小正周期為，則；
將代入，得,
即，由于，故，
故答案為：
11．
【分析】根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性可得；再根據(jù)可知其圖象的一條對稱軸為，和其相鄰的一個對稱中心為，即可求解周期．
【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性可知，，，
又，且，
所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，
由可得函數(shù)的一個對稱中心為，
即其圖象關(guān)于成中心對稱，
故,是距離最近的一個對稱中心．故函數(shù)的最小正周期．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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