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壓軸小題4圓內(nèi)接四邊形周長最值問題
【哈爾濱師大附中 東北師大附中遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024年高三第二次聯(lián)合】． “不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角滿足，則這塊四邊形木板周長的最大值為（ ）
A. B. C. D.
由勾股定理計(jì)算圓的直徑，再由正弦定理、余弦定理解三角形結(jié)合基本不等式計(jì)算即可.
由勾股定理易知圓的直徑，如圖所示設(shè)，
由正弦定理知，
由余弦定理知：，
①，
同理②，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào).
∴A正確.
1．如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個(gè)觀景臺(tái)，已知射線，為濕地兩邊夾角為的公路（長度均超過千米），在兩條公路，上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)，，且千米，若要求觀景臺(tái)與兩接送點(diǎn)所成角與互補(bǔ)且觀景臺(tái)在的右側(cè)，并在觀景臺(tái)與接送點(diǎn)，之間建造兩條觀光線路與，則觀光線路之和最長是（ ）
A． B． C． D．
由正弦，余弦定理建立函數(shù)關(guān)系式，再由柯西不等式求最值．
由已知，設(shè)截得的四邊形木板為ABCD．
．
由，得．
在△ABD中，．
即，．
．
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
同理，∴，選A．
先計(jì)算圓的直徑，再利用正弦定理化邊為角，根據(jù)輔助角公式及三角函數(shù)有界性計(jì)算即可.
由已知，圓形木板的直徑為．
設(shè)截得的四邊形ABCD．
，．
由得．
在△ABD中，．
，
．
同理可得，，選A．
（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）
2．若滿足，，則最小值是（ ）
A． B． C． D．
利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)構(gòu)造等腰三角形化折線段為直線段，根據(jù)正弦定理、三角函數(shù)有界性，半角公式計(jì)算即可.
圓直徑
設(shè)則，
延長DA至，使，延長DC至，使
則，∴，
同理，
∴周長
.
3．定義平面凸四邊形為平面上每個(gè)內(nèi)角度數(shù)都小于的四邊形．已知在平面凸四邊形中，，，，，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．將一直徑為的圓形木板，截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角滿足，則這塊四邊形木板周長的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（23-24高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）
5．已知外接圓半徑為，，為銳角，則下列正確的是（ ）
A．
B．周長的最小值為
C．的取值范圍為
D．的最大值為
6．如圖，有一塊半圓形廣場，計(jì)劃規(guī)劃出一個(gè)等腰梯形的形狀的活動(dòng)場地，它的下底是的直徑為，上底的端點(diǎn)在圓周上，其他幾個(gè)弓形區(qū)域?qū)⑦M(jìn)行盆景裝飾.為研究這個(gè)梯形周長的變化情況，提出以下兩種方案：方案一：設(shè)腰長，周長為；方案二：設(shè)，周長為，則（ ）
A．當(dāng)，在定義域內(nèi)增大時(shí)，先增大后減小，先減小后增大
B．當(dāng)，在定義域內(nèi)增大時(shí)，先增大后減小，先增大后減小
C．當(dāng)，在定義域內(nèi)增大時(shí)，先減小后增大，先減小后增大
D．梯形的周長有最大值為
（22-23高一下·重慶九龍坡·階段練習(xí)）
7．銳角內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其外接圓O的半徑，點(diǎn)D在邊BC上，且，是靠近的三等分點(diǎn)，則下列判斷正確的是（ ）

A．
B．
C．周長的取值范圍是
D．的最大值為
8．如圖，扇形OPQ的半徑為6，圓心角為60°，C為弧上一動(dòng)點(diǎn)，B為半徑上一點(diǎn)且滿足，則的周長的最大值是 ．
（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）
9．在平面四邊形ABCD中，，，，當(dāng)AC的長度最小時(shí)，的取值范圍是 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】求出，，在中，利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可得出答案.
【詳解】解：在中，因?yàn)椋?br/>所以，
又與互補(bǔ)，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，即，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
所以觀光線路之和最長是4.
故選：B.
2．D
【分析】代入化簡可得，再設(shè)，，根據(jù)輔助角公式求解即可.
【詳解】由題意，
.
因?yàn)椋士稍O(shè)，，
則，其中.
故當(dāng)時(shí)取小值.
故選：D
3．A
【分析】利用余弦定理可求得，從而得到，結(jié)合凸四邊形定義可求得的范圍；利用正弦定理表示出，由角的范圍可求得正弦值的取值范圍，由此可得結(jié)果.
【詳解】
在中，由余弦定理得：，
且，，，，
，，
，；
在中，由正弦定理得：，；
當(dāng)時(shí)，，，
又，
，即的取值范圍為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解三角形中的邊長取值范圍的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠利用正弦定理將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域的求解問題，從而通過確定角的范圍來確定所求邊長的取值范圍.
4．D
【分析】根據(jù)正弦定理得，進(jìn)而由余弦定理結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】如圖：不妨設(shè),則,由正弦定理可得,
在三角形中，由余弦定理可得,
由于,所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
在中， ,
由余弦定理可得,
由于,所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故這塊四邊形的周長，
所以這塊四邊形木板周長的最大值為.
故選：D
5．D
【分析】選項(xiàng)A，由余弦定理化簡得，代入已知可得；選項(xiàng)B，由正弦定理化邊為角轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)型值域求解；選項(xiàng)C，由，由兩角和余弦公式展開化簡為，由正切函數(shù)圖象求值域即可；選項(xiàng)D，由正弦定理化邊為角，結(jié)合三角恒等變換求函數(shù)值域.
【詳解】對(duì)于A，已知外接圓半徑,,
由余弦定理得，，
則，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由正弦定理得，
解得，又為銳角，所以，
則周長為
因?yàn)椋瑒t，
則，故周長無最小值，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，
故，
所以的取值范圍為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由正弦定理得，則，
所以，
則
，
因?yàn)椋裕?br/>則當(dāng)，故D正確.
故選：D.
6．BD
【分析】方案一：連接，，在中，設(shè)，，由余弦定理，得，，，在中，，同理可得，進(jìn)而得出周長與單調(diào)性.
方案二：連接，可得，，，作于，于，利用直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
【詳解】方案一：如圖所示，連接，則，
在中，設(shè)，，
由余弦定理，得
，，
，
在中，,
同理，
，
，
梯形的周長：，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
梯形的周長有最大值為.
方案二：連接，則，
，
作于，于，
得，
，
梯形的周長：
，
可得在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.
故選：B D．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是表達(dá)與，考查了分析能力、運(yùn)算能力.
7．ABD
【分析】由正弦定理可判斷A；由同弧所對(duì)的圓心角為圓周角的兩倍求得，進(jìn)而得出，在中，由余弦定理得，然后由勾股定理可判斷B；利用正弦定理將周長轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，然后求值域可判斷C；數(shù)形結(jié)合可判斷D．
【詳解】對(duì)于A：
由題知，，由正弦定理可得，
又為銳角三角形，所以，故A正確；
對(duì)于B：
因?yàn)椋沂强拷娜确贮c(diǎn)，
所以，，
連接，由（1）得，則，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，即，故B正確；
對(duì)于C：
因?yàn)椋?br/>所以，，
則周長
，
因?yàn)闉殇J角三角形，
故，解得，
所以，
所以，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：
易知，當(dāng)A、O、D三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，
所以AD的最大值為，故D正確，
故選：ABD．

8．##
【分析】設(shè)，則，然后利用正弦定理表示出，相加化簡后利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求出其最大值
【詳解】設(shè)，則，由正弦定理得
，即，
所以，
所以的周長為
，
因?yàn)椋裕?br/>所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即 的周長的最大值為，
故答案為：
9．
【分析】在中，利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的最小值，再在中，利用正弦定理求出，再結(jié)合三角函數(shù)即可得解.
【詳解】在平面四邊形ABCD中，，，
在中，
由余弦定理得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為，
在中，，
由正弦定理得，
則，
，
故，
因?yàn)椋裕裕?br/>所以的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在中，利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的最小值是解決本題的關(guān)鍵.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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