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第六章 計數(shù)原理
第6.2.1講 排列與排列數(shù)
1．理解排列、全排列的意義．掌握排列數(shù)公式及其推導方法，重點培養(yǎng)數(shù)學抽象核心素養(yǎng)．
2．能用樹形圖寫出一個排列問題的所有排列，并能用排列數(shù)公式解決一些簡單問題，重點提升數(shù)學運算核心素養(yǎng).
1、利用排列數(shù)公式化簡與求值
2、與排列數(shù)有關的方程、不等式問題
3、排列數(shù)的綜合應用
　排列與排列數(shù)
1．排列與全排列的定義
一般地，從n個不同對象中，任取m（m≤n）個對象，按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同對象中取出m個對象的一個排列．特別地，m＝n時的排列（即取出所有對象的排列）稱為全排列．
2．排列數(shù)及其公式
（1）排列數(shù)定義
從n個不同對象中取出m個對象的所有排列的個數(shù)，稱為從n個不同對象中取出m個對象的排列數(shù)，用符號A表示．
（2）排列數(shù)公式
A＝ ＝n（n－1）…（n－m＋1），這個公式稱為排列數(shù)公式．特別地，當m＝n時，A＝n×（n－1）×…×2×1＝n!
[點睛]
1．排列的定義中包含兩個基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”．
2．一個排列就是完成一件事的一種方法，不同的排列就是完成一件事的不同方法．
3．在定義中“一定的順序”就是說與位置有關，在實際問題中，究竟何時有關，何時無關，要由具體問題的性質(zhì)和條件來決定，這一點要特別注意，這也是與后面學習的組合的根本區(qū)別．
4．“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念，“排列”是指“按照一定的順序排成一列”，它不是一個數(shù)，而是具體的一件事，“排列數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m（m，n都是正整數(shù)，m≤n）個元素的所有不同排列的個數(shù)”，它是一個數(shù)．
題型1、利用排列數(shù)公式化簡與求值
1．已知，那么（ ）
A．5 B．9 C．10 D．11
2．設，且，則（　　）
A． B．
C． D．
3．已知，則n的值是（　?。?br/>A．2 B．6
C．7 D．8
4．等于（　?。?br/>A．107 B．323
C．320 D．348
5．下列各式中與排列數(shù)相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
題型2、與排列數(shù)有關的方程、不等式問題
6．已知，則x等于（ ）
A．6 B．13 C．6或13 D．12
7．不等式的解集是（　?。?br/>A． B．
C． D．
8．已知，則（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
9．已知，則n的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．不等式的解集為（　　）
A． B． C． D．
題型3、排列數(shù)的綜合應用
11．某班聯(lián)歡會原定3個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個節(jié)目，現(xiàn)將這2個新節(jié)目插入節(jié)目單中，要求新節(jié)目不相鄰，那么不同的插法種數(shù)為（ ）
A．6 B．12 C．20 D．72
12．甲、乙、丙等6人站在一起，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（ ）
A．108種 B．96種 C．84種 D．72種
13．南陽市博物院為國家二級博物館，是豫西南最大的地方綜合性博物館、文化新地標，是展示南陽悠久歷史和燦爛文化的重要窗口.南陽市博物院每周一閉館（節(jié)假日除外）.某學校計劃于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）組織高一、高二、高三年級的同學去南陽市博物院參觀研學，每天只能有一個年級參觀，其中高一年級需要連續(xù)兩天，高二、高三年級各需要一天，則不同的方案有（ ）
A．20種 B．50種 C．60種 D．100種
14．某5位同學排成一排準備照相時，又來了甲 乙 丙3位同學要加入，若保持原來5位同學的相對順序不變，且甲 乙2位同學互不相鄰，丙同學不站在兩端，則不同的加入方法共有（ ）
A．360種 B．144種 C．180種 D．192種
15．2023年夏天貴州榕江的村超聯(lián)賽火爆全國，吸引了國內(nèi)眾多業(yè)余球隊參賽．現(xiàn)有六個參賽隊伍代表站成一排照相，如果貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊必須相鄰，同時南昌拌粉隊與溫江烤肉隊不能相鄰，那么不同的站法共有（ ）種．
A．144 B．72 C．36 D．24
一、單選題
16．為貫徹文明校園，東湖中學每周安排5名學生志愿者參加文明監(jiān)督崗工作，若每周只值3天班，每班1人，每人每周最多值一班，則不同的排班種類為（ ）
A．12 B．45 C．60 D．90
17．用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．120 B．86 C．72 D．60
18．A，B，C三名同學照相留念，成“一”字形排隊，所有排列的方法種數(shù)為（ ）
A．3種 B．4種
C．6種 D．12種
19．甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相鄰，排法種數(shù)為（　　）
A．12 B．36 C．48 D．72
20．中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．為傳承和弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校國學社團開展“六藝”講座活動，每藝安排一次講座，共講六次．講座次序要求“禮”在第一次，“射”和“御”兩次相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（ ）
A．48種 B．36種 C．24種 D．20種
21．停車站劃出一排12個停車位置，今有8輛不同的車需要停放，若要求剩余的4個空車位連在一起，則不同的停車方法有（　?。?br/>A．種 B．種
C．種 D．種
22．寒冬己至，大雪紛飛，峨眉山頂銀裝素裹.成實外教育集團的5位學生相約一起爬山觀景.其中位女生，位男生，在到達零公里時，為了安全起見，他們排隊前進，為了照顧大家安全，位男生不能相鄰，且女生甲怕猴子，不能排在最后一個，則不同的排法種數(shù)共有（ ）
A． B． C． D．
23．貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽在黔東南苗族侗族自治州臺江縣臺盤村開賽.該聯(lián)賽由臺盤村“六月六”吃新節(jié)籃球賽發(fā)展演變而來，被網(wǎng)友稱為“村BA”.村BA給全國人民展現(xiàn)的不僅是貴州人熱愛生活的精神，更展現(xiàn)了如今欣欣向榮的貴州山水人文，同時給貴州的旅游帶來巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大區(qū)賽總決賽落下帷幕，為慶祝比賽順利結束，主辦方設置一場扣籃表演，分別由重慶、貴州、四川、云南代表隊每隊各選出2名球員參加扣籃表演，貴州隊作為東道主，扣籃表演必須在第一位及最后一位，那么一共有（ ）種表演順序.
A． B． C． D．
二、多選題
24．現(xiàn)有6個同學排成一排照相，其中甲、乙兩位同學不能相鄰，則不同的排法有（ ）種
A． B． C． D．
25．某班星期一上午要安排語文、數(shù)學、英語、物理4節(jié)課，且該天上午總共4節(jié)課，下列結論正確的是（ ）
A．若數(shù)學課不安排在第一節(jié)，則有18種不同的安排方法
B．若語文課和數(shù)學課必須相鄰，且語文課排在數(shù)學課前面，則有6種不同的安排方法
C．若語文課和數(shù)學課不能相鄰，則有12種不同的安排方法
D．若語文課、數(shù)學課、英語課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法
三、填空題
26．為了貫徹落實黨史學習教育成果，某校名師“學史力行”送教井岡山中學．現(xiàn)有理科語文 數(shù)學 英語 物理 化學 生物6名理科老師要安排在該中學理科1到6班上一節(jié)公開示范課，每個班級只安排一名老師上課且每個老師只在一個班上一節(jié)課，要求數(shù)學老師不能安排在1班，化學老師不能安排在6班，則不同的安排上課的方法數(shù)為 ．
27．編號為A，B，C，D，E的五個小球放在如圖所示的五個盒子里，要求每個盒子只能放一個小球，且A球不能放在1，2號盒子中，B球必須放在與A球相鄰的盒子中，則不同的放法有 種．
四、解答題
28．計算下列各式的值：
(1)；
(2)(，且)．
29．用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字可以組成多少個符合下列條件的無重復的數(shù)字：
(1)六位奇數(shù)；
(2)個位數(shù)字不是5的六位數(shù)；
(3)比400000大的正整數(shù).
30．有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求排列的方法總數(shù)：
(1)選其中4人排成一排；
(2)全體排成一排，男生必須站在一起；
(3)全體排成一排，女生互不相鄰.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】利用排列數(shù)公式計算可得答案.
【詳解】因為，
所以，
則.
故選：C.
2．A
【分析】
先確定最大數(shù)，再確定因式的個數(shù)，即可得答案
【詳解】
先確定最大數(shù)，即，
再確定因式的個數(shù)，即，
所以.
故選：A
3．C
【分析】
根據(jù)排列數(shù)公式，將已知條件展開，即可得出答案.
【詳解】因為，所以，化簡整理可得，
解得或，
又，所以，所以.
故選：C
4．D
【分析】
根據(jù)排列數(shù)計算即可；
【詳解】.
故選：D.
5．D
【分析】
根據(jù)排列數(shù)公式計算可得.
【詳解】因為，故A，B錯誤；
而，則，故D正確；
又，故C錯誤；
故選：D．
6．A
【分析】根據(jù)排列數(shù)公式，化簡計算，結合x的范圍，即可得答案.
【詳解】由題意得，
化簡可得，解得或6，
因為，所以且，故.
故選：A.
7．D
【分析】
根據(jù)排列數(shù)公式計算即可.
【詳解】
由，
得，解得，
所以不等式的解集是.
故選：D.
8．C
【分析】
直接根據(jù)排列數(shù)的性質(zhì)化簡求解即可.
【詳解】因為，
則，
整理可得，
解得，經(jīng)檢驗，滿足題意．
故選：C.
9．C
【分析】
根據(jù)給定條件，利用排列數(shù)公式計算作答.
【詳解】因為，而，即有，于是，
所以n的值為5.
故選：C
10．D
【分析】
根據(jù)題意，利用排列數(shù)公式和排列數(shù)的性質(zhì)，列出方程求得，結合，即可求解.
【詳解】
由，可得，整理得，解得，
又因為，解得，
綜上可得，又由 所以.
故選：D.
11．B
【分析】利用插空法結合排列組合計數(shù)方法求解.
【詳解】這2個新節(jié)目插入節(jié)目單中且不相鄰，則在原定3個節(jié)目已排成節(jié)目單產(chǎn)生的4個空位中，
選2個位置安排2個新節(jié)目，且兩個新節(jié)目順序可變，此時有種插法.
故選：B
12．B
【分析】
分類討論：乙丙及中間人占據(jù)首四位、乙丙及中間人占據(jù)中間四位、乙丙及中間人占據(jù)尾四位，然后根據(jù)分類加法計數(shù)原理求得結果.
【詳解】因為乙和丙之間恰有2人，所以乙丙及中間人占據(jù)首四位或中間四位或尾四位，
當乙丙及中間人占據(jù)首四位，此時還剩最后2位，甲不在兩端，
第一步先排末位有種，第二步將甲和中間人排入有種，第三步排乙丙有種，
由分步乘法計數(shù)原理可得有種；
當乙丙及中間人占據(jù)中間四位，此時兩端還剩2位，甲不在兩端，
第一步先排兩端有種，第二步將甲和中間人排入有種，第三步排乙丙有種，
由分步乘法計數(shù)原理可得有種；
乙丙及中間人占據(jù)尾四位，此時還剩前2位，甲不在兩端，
第一步先排首位有種，第二步將甲和中間人排入有種，第三步排乙丙有種，
由分步乘法計數(shù)原理可得有種；
由分類加法計數(shù)原理可知，一共有種排法.
故選：B.
13．C
【分析】根據(jù)條件，利用分步計數(shù)原理即可求出結果.
【詳解】因為博物院每周一閉館，
所以高一年級可以從周二和周三，周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中選擇2日去參觀，共5種選擇，
再從剩下的四天里安排高二、高三年級，有種安排方法，
根據(jù)分步計數(shù)原理，知不同的方案有種，
故選：C.
14．D
【分析】
按丙是否在甲 乙中間分兩種情況；當丙不在甲乙中間時，利用插空法和分步乘法計數(shù)原理可計算；當丙在甲乙中間時，利用捆綁法、插空法及分步乘法計數(shù)原理可計算；最后利用分類加法計數(shù)原理即可求解.
【詳解】
分兩種情況：
當丙不在甲 乙中間時，先加入甲，有種方法，再加入乙，有種方法，最后加入丙，有種方法，此時不同的加入方法共有種；
當丙在甲 乙中間時，共有種方法.
故不同的加入方法共有種.
故選：D
15．A
【分析】利用相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法求解即可.
【詳解】先將不相鄰的兩隊排除，將貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊看成一個整體，與余下兩隊先排，有種方法，再將不相鄰的兩隊插入他們的空隙中，有種方法，最后落實貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊的具體排法有種方法，故不同的站法有種.
故選：A.
16．C
【分析】
根據(jù)題意得，從5個人中選出3人進行排列，即可求出值班當天不同的排班種類.
【詳解】5名志愿者參加文明監(jiān)督崗工作，每周只值3天班，每班1人，每人每周最多值一班，
則不同的排班種類為：.
故選：C.
17．D
【分析】根據(jù)排列數(shù)計算出正確答案.
【詳解】依題意，組成的無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為.
故選：D
18．C
【分析】
根據(jù)排列的含義，以及排列數(shù)的計算，即得答案.
【詳解】
由題意所有排列的方法種數(shù)為，
故答案為：C
19．D
【分析】甲和乙不相鄰，先排丙、丁、戊三人，再將甲乙插空即可．
【詳解】先排丙、丁、戊三人，共有種排法，
甲和乙不相鄰，再將甲、乙插空，
共有種排法，故排法種數(shù)為．
故選：D
20．A
【分析】
利用捆綁法確定正確答案.
【詳解】依題意，“禮”在第一次，固定，
“射”和“御”兩次相鄰，兩者捆綁，與另外藝進行排列，
所以“六藝”講座不同的次序共有種，
故選：A
21．D
【分析】
根據(jù)排列的知識求得正確答案.
【詳解】將個空車位視為一個元素，與輛車共個元素進行全排列，共有種．
故選：D
22．A
【分析】
種類一：一位男生在最后，先排女生，再排另一位男生；種類二：女生在最后，先排女生，注意女生甲特殊，優(yōu)先排列，最后男生插空，最后分類相加.
【詳解】種類一：一位男生在最后，此時有種情況，
位女生全排列有種情況，
最后將剩余一位男生插入女生所形成的個空中，且不在女生最后，共種情況，
所以共種情況；
種類二：
男生不相鄰，可先排女生，又女生甲不在最后，
所以女生甲有種排法，
其他為女生有種排法，
最后男生插入女生所形成的個空中，且不在女生最后，共種情況，
共種情況；
綜上所述，共種情況，
故選：A.
23．C
【分析】
先確定貴州兩名球員的順序，再確定其余6人的表演順序即可.
【詳解】
由題意易知，一共有8個人需要排列.先確定貴州兩名球員的順序為，在確定其余6人順序為，由分步乘法原理可得一共有種順序.
故選：C.
24．BC
【分析】
利用插空法求解或先求出甲、乙兩位同學相鄰的不同排法，再利用沒有要求的排法減去即可.
【詳解】先將除甲、乙兩位同學的為同學排好，
再將甲、乙兩位同學插入個空，
則不同的排法有種，
假如甲、乙兩位同學相鄰，
則有種排法，
所以甲、乙兩位同學不能相鄰，不同的排法有種.
故選：BC.
25．ABC
【分析】選項A將數(shù)學排在后三節(jié)，再將其余3個科目全排列即可；選項B采用捆綁法進行求解；選項C采用插空法進行求解；選項D根據(jù)除序法進行求解.
【詳解】對于A，有種排法，故A正確；
對于B，采用捆綁法，有種排法，故B正確；
對于C，采用插空法，有種排法，故C正確；
對于D，有種排法，故D錯誤．
故選：ABC
26．504
【分析】根據(jù)排列計算公式，結合特殊元素法求解排列數(shù)即可得出答案.
【詳解】根據(jù)計數(shù)原理可以將事情分成兩類：化學老師安排在1班和化學老師不安排在1班.
①化學老師排在1班，先排1班，有1種方法，其余5個班的老師做全排列共有種方法；
②化學老師不在1班，先排1班，有4種方法，再排6班有4種方法，余下4個班有種方法，所以共有：種方法.
所以不同的安排上課的方法數(shù)為.
故答案為：504.
27．30
【分析】
根據(jù)A球所在位置分三種情況，利用排列知識進行求解，相加后得到答案.
【詳解】
根據(jù)A球所在位置分三類：
若A球放在3號盒子內(nèi)，則B球只能放在4號盒子內(nèi)，余下的三個盒子放球C，D，E，有種不同的放法，
則根據(jù)分步計數(shù)原理，此時有種不同的放法；
若A球放在5號盒子內(nèi)，則B球只能放在4號盒子內(nèi)，余下的三個盒子放球C，D，E，有種不同的放法，則根據(jù)分步計數(shù)原理，此時有種不同的放法；
若A球放在4號盒子內(nèi)，則B球可以放在2號，3號，5號盒子中的任何一個，余下的三個盒子放球C，D，E，有種不同的放法，
根據(jù)分步計數(shù)原理，此時有種不同的放法．
綜上所述，由分類計數(shù)原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30種．
故答案為：30
28．(1)3
(2)1
【分析】
（1）（2）根據(jù)排列數(shù)公式計算可得.
【詳解】（1）；
（2）
．
29．(1)288
(2)504
(3)240
【分析】（1）先在個位排1個奇數(shù)，然后在首位排除0之外的數(shù)字，再利用分步乘法計數(shù)原理可求得結果；
（2）分兩類，個位數(shù)字是0，和不是0，利用兩個計數(shù)原理進行求解即可；
（3）要比400000大，首位必須是4或5，其余位數(shù)全排列，從而利用分步計數(shù)原理即可得解．
【詳解】（1）先排個位數(shù)，有種，
因為0不能在首位，再排首位有種，最后排其它有，
根據(jù)分步計數(shù)原理得，六位奇數(shù)有；
（2）因為0是特殊元素，分兩類，個位數(shù)字是0，和不是0，
當個位數(shù)是0，有，
當個位不數(shù)是0，有，
根據(jù)分類計數(shù)原理得，個位數(shù)字不是5的六位數(shù)有；
（3）要比400000大，首位必須是4或5，其余位數(shù)全排列即可，
所以有（個）.
30．(1)840
(2)720
(3)144
【分析】
（1）從7人中選4人排成一排，利用排列數(shù)公式可求得結果；
（2）利用捆綁法即得；
（3）利用插空法即求．
【詳解】（1）
從7人中選4人排列，有（種）
（2）
將男生看作一個整體與4名女生一起全排列，有種方法；再將男生全排列，有種方法，共有（種）；
（3）
先排女生，有種方法，再在女生之間3個空位中安排男生，有種方法，共有（種）
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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