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第六章 計數(shù)原理
第6.2.2講 組合與組合數(shù)
1．理解組合的定義，正確認識組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系，重點培養(yǎng)數(shù)學抽象核心素養(yǎng)．
2．理解排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系，掌握組合數(shù)公式，組合數(shù)的性質(zhì)，并能簡單應用．重點提升數(shù)學運算、邏輯推理核心素養(yǎng)．
1、與組合數(shù)有關(guān)的計算與證明
2、簡單的組合應用題
3、分組問題的綜合應用
組合與組合數(shù)
1．組合的定義
一般地，從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象并成一組，稱為從n個不同對象中取出m個對象的一個組合．
2．組合數(shù)的定義、公式
組合數(shù)定義 從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象的所有組合的個數(shù)，稱為從n個不同對象中取出m個對象的組合數(shù)，用符號C表示．
組合數(shù)公式 乘積式 C＝＝
階乘式 C＝
[點睛]
1．排列與組合的異同點
排列 組合
相同點 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素
不同點 與元素的順序有關(guān) 與元素的順序無關(guān)
2.排列問題和組合問題的區(qū)分方法
排列問題 若交換某兩個元素的位置對結(jié)果有影響，則是排列問題，即排列問題與選取的順序有關(guān)
組合問題 若交換任意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取的順序無關(guān)
組合數(shù)的性質(zhì)
組合數(shù)的性質(zhì)
(1)性質(zhì)1：C＝C；；(2)性質(zhì)2：C＝C＋C．
題型1、與組合數(shù)有關(guān)的計算與證明
1．（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
2．（ ）
A．120 B．119 C．110 D．109
3．（ ）
A．110 B．98 C．124 D．148
4．下列等式錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列關(guān)于排列數(shù)與組合數(shù)的等式中，錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
題型2、簡單的組合應用題
6．四名同學分別到3個小區(qū)參加九江市創(chuàng)文志愿者活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，則不同的安排方法種數(shù)是（ ）
A．36 B．24 C．64 D．81
7．一支由12人組成的登山隊準備向一座海拔5888米的山峰攀登，這12人中姓趙、錢、孫、李、周、吳的各有2人．現(xiàn)準備從這12人中隨機挑選4人組成先遣隊，如果這4人中恰有2人同姓，則不同的挑選方法的種數(shù)為（ ）
A．480 B．270 C．240 D．60
8．某冰淇淋店至少需要準備種不同口味的冰淇淋，才能滿足其廣告所稱“任選兩種不同口味的冰淇淋的組合數(shù)超過100”．若來店里的顧客從這m種冰淇淋中任選一種或兩種不同口味的冰淇淋，則不同的選擇方法有（ ）
A．110種 B．115種 C．120種 D．125種
9．2023年3月27日，貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽冠軍戰(zhàn)在黔東南州臺江縣臺盤村打響.主辦方舉辦了一場扣籃表演，由獲得冠軍的球隊派出甲 乙 丙 丁4個球員參加扣籃表演，則甲不在第一位也不在最后一位出場的情況有（ ）
A．12種 B．24種 C．36種 D．72種
10．中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的傳統(tǒng)工藝品.經(jīng)過歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩的品種和高超的工藝水平，從種類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型.現(xiàn)將4盞相同的宮燈、3盞不同的紗燈、2盞不同的吊燈掛成一排，要求吊燈掛兩端，同一類型的燈籠至多2盞相鄰掛，則不同掛法種數(shù)為（ ）
A．216 B．228 C．384 D．486
題型3、分組問題的綜合應用
11．2023年杭州亞運會吉祥物組合為“江南憶”，出自白居易的“江南憶，最憶是杭州”，名為“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”的三個吉祥物，是一組承載深厚文化底蘊的機器人為了宣傳杭州亞運會，某校決定派5名志愿者將這三個吉祥物安裝在學校科技廣場，每名志愿者只安裝一個吉祥物，且每個吉祥物至少有一名志愿者安裝，若志愿者甲只能安裝吉祥物“宸宸”，則不同的安裝方案種數(shù)為（ ）
A．50 B．36 C．26 D．14
12．為了全面推進鄉(xiāng)村振興，加快農(nóng)村、農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化建設(shè)，某市準備派6位鄉(xiāng)村振興指導員到A，B，C，3地指導工作；每地上午和下午各安排一位鄉(xiāng)村振興指導員，且每位鄉(xiāng)村振興指導員只能被安排一次，其中張指導員不安排到地，李指導員不安排在下午，則不同的安排方案共有（ ）
A．180種 B．240種 C．480種 D．540種
13．北山中學在學校“236”發(fā)展目標的引領(lǐng)下，不斷推進教育教學工作的高質(zhì)量發(fā)展，學生社團得到迅猛發(fā)展．現(xiàn)有高一新生中的五名同學打算參加“地理行知社”“英語ABC”“籃球之家”“生物研啟社”四個社團．若每個社團至少有一名同學參加，每名同學至少參加一個社團且只能參加一個社團，且同學甲不參加“生物研啟社”，則不同的參加方法的種數(shù)為（ ）
A．72 B．108 C．180 D．216
14．2023年杭州亞運會已圓滿落幕，志愿者“小青荷”們讓世界看到了新時代中國青年的風采.早在2021年5月，杭州A公司便響應號召，在全公司范圍內(nèi)組織亞運會志愿者的報名與培訓，經(jīng)過選拔，最終有3名黨員和3名團員共6人脫穎而出.在彩排環(huán)節(jié)，需從這6人中選派2人去游泳館，2人去籃球館，且要求每個場館均至少有一位黨員，則不同的選派結(jié)果有（ ）
A．54種 B．45種 C．36種 D．18種
15．甲、乙、丙、丁4個學校將分別組織部分學生開展研學活動，現(xiàn)有五個研學基地供選擇，每個學校只選擇一個基地，則4個學校中至少有3個學校所選研學基地不相同的選擇種數(shù)共有（ ）
A．420 B．460 C．480 D．520
一、單選題
16．計算的值是（ ）
A．62 B．102 C．152 D．540
17．五一小長假期間，旅游公司決定從6輛旅游大巴A B C D E F中選出4輛分別開往紫蒙湖 美林谷 黃崗梁 烏蘭布統(tǒng)四個景區(qū)承擔載客任務，要求每個景區(qū)都要有一輛大巴前往，每輛大巴只開往一個景區(qū)，且這6輛大巴中A B不去烏蘭布統(tǒng)，則不同的選擇方案共有（ ）
A．360 B．240 C．216 D．168
18．某學校為了解學生參加體育活動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取80名學生，已知該校初中部和高中部分別有250名和150名學生，則不同的抽樣結(jié)果共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
19．7個人分4張無座音樂會門票，每人至多1張，票必須分完，那么不同的分法種類為（ ）
A．35 B．84 C．360 D．840
20．名學生參加數(shù)學建模活動，有個不同的數(shù)學建模小組，每個小組分配名學生，則不同的分配方法種數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
21．盒子中有紅球3個，黃球4個，任取3個球，則抽到2個紅球的概率是（ ）
A． B． C． D．
22．某校準備下一周舉辦運動會，甲、乙、丙、丁4位同學報名參加這4個項目的比賽，每人只報名1個項目，任意兩人不報同一個項目，甲不報名參加項目，則不同的報名方法種數(shù)有（ ）
A．18 B．21 C．23 D．72
23．陜西歷史博物館秦漢館以“秦漢文明”為主題，采用“大歷史小主題”展覽敘述結(jié)構(gòu)，將于2024年5月18日正式對公眾開放．屆時，將有6名同學到三個展廳做志愿者，每名同學只去1個展廳，主展廳“秦漢文明”安排3名，遺址展廳“城與陵”安排2名，藝術(shù)展廳“技與美”安排1名，則不同的安排方法共有（ ）
A．360種 B．120種 C．60種 D．30種
二、多選題
24．下列等式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
25．甲乙丙等人的身高互不相同，站成一排進行列隊訓練，則（ ）
A．甲乙不相鄰的不同排法有種
B．甲乙中間恰排一個人的不同排法有種
C．甲乙不排在兩端的不同排法有種
D．甲在乙左側(cè)（可以不相鄰）的不同排法有種
三、填空題
26．若，則正整數(shù)的值是 .
27．從數(shù)字1，2，3，4中選出3個不同的數(shù)字構(gòu)成四位數(shù)，且相鄰數(shù)位上的數(shù)字不相同，則這樣的四位數(shù)共有 個．
四、解答題
28．男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1名.現(xiàn)選派 5人外出參加比賽.
(1)隊長中至少有1人參加，有多少種選派方法
(2)參賽的運動員需要分坐在兩輛車上(每輛車上至少有一名運動員)，有多少種安排方式
29．有5對夫婦和A，B共12人參加一場婚宴，他們被安排在一張有12個座位的圓桌上就餐（旋轉(zhuǎn)之后算相同坐法），而后進行合影留念.
(1)就餐時，5對夫婦都相鄰而坐，其中甲、乙二人的太太是閨蜜要相鄰而坐，A，B不相鄰，共有多少種坐法；
(2)合影時，若隨機選擇5人站成一排進行合影，求有且只有1對夫婦被選中且合影時相鄰的概率．
30．為慶祝3.8婦女節(jié)，東湖中學舉行了教職工氣排球比賽，賽制要求每個年級派出十名成員分為兩支隊伍，每支隊伍五人，并要求每支隊伍至少有兩名女老師，現(xiàn)高二年級共有4名男老師，6名女老師報名參加比賽.
(1)一共有多少不同的分組方案？
(2)在進入決賽后，每個年級只派出一支隊伍參加決賽，在比賽時須按照1、2、3、4、5號位站好，為爭取最好成績，高二年級選擇了、、、、、六名女老師進行訓練，經(jīng)訓練發(fā)現(xiàn)不能站在5號位，若、同時上場，必須站在相鄰的位置，則一共有多少種排列方式？
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．C
【分析】
先根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)將其化簡，再運用組合數(shù)計算公式即得.
【詳解】由.
故選：C.
2．B
【分析】由組合數(shù)公式不斷迭代即可得解.
【詳解】因為，
所以.
故選：B.
3．A
【分析】
利用排列數(shù)與組合數(shù)的計算公式即可得解.
【詳解】.
故選：A.
4．A
【分析】結(jié)合組合數(shù)和排列數(shù)的計算公式即可判斷.
【詳解】對于A，，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D正確，
故選：A
5．C
【分析】由題意利用排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，逐項化簡、計算，即可求解.
【詳解】根據(jù)排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，可得：
由，所以A正確；
由，，
所以B正確；
由，，所以C不正確；
由，所以D正確.
故選：C.
6．A
【分析】
確定必有2名同學去同一個小區(qū)，選出這2名同學，然后將3組同學分到3個小區(qū)，即可求得答案.
【詳解】
由題意可知必有2名同學去同一個小區(qū)，
故不同的安排方法種數(shù)是（種）.
故選：A
7．C
【分析】
方法一：運用直接法的分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合平均分組與不平均分組相關(guān)知識計算；方法二：運用間接法，在剩余的10人中挑選不是同姓的2人時用所有可能情況減去不符合的情況即可得到種數(shù).
【詳解】
方法一：
先在12人中挑選同姓的2人，方法有（種），
然后在剩余的10人中，挑選不是同姓的2人，方法有（種），
所以不同的挑選方法的種數(shù)是.
方法二：
先在12人中挑選同姓的2人，方法有（種），
然后在剩余的10人中，挑選不是同姓的2人，方法有（種），
所以不同的挑選方法的種數(shù)是.
故選；C
8．C
【分析】
根據(jù)組合數(shù)的計算可得，即可結(jié)合分類加法計數(shù)原理求解.
【詳解】
從種不同口味的冰淇淋中任選兩種不同口味的冰淇淋的組合數(shù)為，令，得，因此．若來店里的顧客從這15種冰淇淋中任選一種或兩種不同口味的冰淇淋，則不同的選擇方法共有（種），
故選:C．
9．A
【分析】
利用排列組合數(shù)，首先安排甲的位置，其它三人作全排，再由分步乘法原理即可解出.
【詳解】
由題意，甲在第二 三位選一個位置有種，其他三人在剩下的三個位置上進行全排列有種，
所以甲不在第一位且不在最后一位出場共有種情況.
故選：A
10．A
【分析】
先在兩端掛2盞吊燈，再在2盞吊燈之間掛3盞紗燈，求出其掛法，最后將宮燈插空掛，考慮宮燈的分組情況，結(jié)合分步以及分類計數(shù)原理，即可求得答案.
【詳解】
先掛2盞吊燈有種掛法，再在2盞吊燈之間掛3盞紗燈有種掛法，
最后將宮燈插空掛.
當4盞宮燈分成2，2兩份插空時有種掛法；
當4盞宮燈分成1，1，2三份插空時有種掛法；
當4盞宮燈分成1，1，1，1四份插空時有1種掛法，
所以共有種不同的掛法.
故選：A
11．A
【分析】按照和分組討論安排.
【詳解】（1）按照分3組安裝，
①若志愿者甲單獨安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，
②若志愿者甲和另一個人合作安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，
（2）按照分3組安裝，
①若志愿者甲單獨安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，
②若志愿者甲和另兩個人合作安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，
故共有種，
故選：A.
12．B
【分析】
分兩種情況討論：李指導員安排在C地上午時和李指導員不安排在C地上午時，再結(jié)合排列組合定義即可解決.
【詳解】李指導員安排在C地上午時，張指導員有種安排方案，其余4位指導員有種安排方案，則共有種安排方案；
李指導員不安排在C地上午時，李指導員有種安排方案，張指導員有種安排方案，其余4位指導員有種安排方案，則共有種安排方案；
綜上，共有96+144=240種安排方案.
故選：B
13．C
【分析】
根據(jù)甲參加的社團分類，分甲參加的社團只有1人和參加的社團有2人，由分步和分類計數(shù)原理可得．
【詳解】根據(jù)題意分析可得，必有2人參加同一社團.
首先分析甲，甲不參加“生物研啟社”， 則有3種情況，
再分析其他4人，若甲與另外1人參加同一個社團，則有（種）情況；
若甲是單獨1個人參加一個社團，則有（種）情況．
則除甲外的4人有（種）參加方法．
故不同的參加方法的種數(shù)為
故選：C
14．A
【分析】
根據(jù)全部情況中去掉不符合條件的情況即可結(jié)合排列組合求解.
【詳解】從這6人中選派2人去游泳館，2人去籃球館一共有種選派方法，
若游泳館沒有黨員，籃球館有黨員，則有種，
同理游泳館有黨員，籃球館沒有黨員，則有種，
故從這6人中選派2人去游泳館，2人去籃球館，且要求每個場館均至少有一位黨員，則不同的選派結(jié)果有，
故選：A
15．C
【分析】
根據(jù)給定條件，利用兩個原理結(jié)合排列、組合應用列式計算即得.
【詳解】求不相同的選擇種數(shù)有兩類辦法：恰有3個學校所選研學基地不同有種方法，
4個學校所選研學基地都不相同有種方法，
所以不相同的選擇種數(shù)有（種）.
故選：C
16．A
【分析】利用組合和排列數(shù)公式計算
【詳解】
故選：A
17．B
【分析】優(yōu)先考慮去烏蘭布統(tǒng)，再把剩下的三個景區(qū)各安排一輛大巴前往，利用分步計算原理得解.
【詳解】這6輛旅游大巴，A B不去烏蘭布統(tǒng)，則不同的選擇方案共有種.
故選：B.
18．A
【分析】
利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案．
【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取 人，高中部共抽取人，
根據(jù)組合公式和分布計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種
故選：A．
19．A
【分析】
在7人中選出4人，分得門票即可，由組合數(shù)公式計算可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，“無座門票”是相同的元素，本題是組合問題，
則有種分法.
故選：A
20．B
【分析】
依次分配第一、二、三組，結(jié)合平均分組法可得出不同的分配方法種數(shù).
【詳解】名學生參加數(shù)學建模活動，有個不同的數(shù)學建模小組，每個小組分配名學生
則不同的分配方法種數(shù)為種.
故選：B.
21．A
【分析】
由古典概型概率公式可得.
【詳解】盒子中有紅球3個，黃球4個，從盒子中任取3個球，共有種取法，
3球中抽到個紅球，則有個黃球，故取法有種，
由古典概型的概率公式得所求事件的概率為.
故選：A.
22．A
【分析】
根據(jù)特殊元素優(yōu)先安排的方法，先安頓好甲，再安排其他同學即可.
【詳解】
要做到每人只報名1個項目，任意兩人不報同一個項目，甲不報名參加項目，可以分成兩步完成：
① 讓甲在三個項目中任選一個，有種方法；
② 讓另外三個同學在剩下的三個項目中各任選一個，有種方法.
由分步乘法計數(shù)原理，可得符合條件的報名方法種數(shù)為.
故選：A.
23．C
【分析】直接分組即可，利用乘法原理計算．
【詳解】由題意安排方法共有．
故選：C．
24．BCD
【分析】
根據(jù)排列數(shù)公式和組合數(shù)公式驗證．
【詳解】對于A，，，A錯；
對于B，，，B正確；
對于C，，C正確；
對于D，，
∴，D正確．
故選：BCD．
25．BC
【分析】根據(jù)排列和組合的定義、結(jié)合插空法等知識逐一判斷即可.
【詳解】A：甲乙不相鄰的不同排法有種，所以本選項不正確；
B：甲乙中間恰排一個人的不同排法有種，所以本選項正確；
C：甲乙不排在兩端的不同排法有種，所以本選項正確；
D：甲在乙左側(cè)（可以不相鄰）的不同排法有種，所以本選項不正確.
故選：BC
26．1或3
【分析】應用組合數(shù)公式列出關(guān)于x的方程，即可求正整數(shù)的值.
【詳解】由題設(shè)且，，
所以，即，
所以，又，
當，有，滿足；
當，有，不滿足；
當，有，滿足；
當，有，不滿足；
所以或.
故答案為：1或3
27．72
【分析】
利用分步計數(shù)原理與插空法即可得解.
【詳解】
根據(jù)題意，完成這個事情可分為三步：
第一步驟：選數(shù)字，有種；
第二個步驟：將選好的三個數(shù)字確定一個重復的數(shù)字，有種，
第三個步驟：安排這三個數(shù)字在四個位置上，且相鄰數(shù)位上的數(shù)字不相同，
即先安排兩個不同的數(shù)字，再讓兩個相同的數(shù)字去插空，則有種排序方法，
根據(jù)分步計數(shù)原理可得這樣的四位數(shù)共有：個.
故答案：
28．(1)196
(2)7560
【分析】
（1）求出隨機選擇和沒有隊長的情況，即可求出隊長中至少有1人參加時選派方法的數(shù)量；
（2）求出隨機選擇人數(shù)，人隨機坐和人坐同一個車中的情況，即可求出運動員分坐在兩輛車上(每輛車上至少有一名運動員)時安排方式的數(shù)量.
【詳解】（1）由題意，
男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1名.選派 5人，
若沒有隊長，則有種選派方法，
若隨機選擇，則有種選派方法，
∴隊長中至少有1人參加，有種方法.
（2）由題意，
男運動員6名，女運動員4名，選派 5人外出參加比賽，分坐在兩輛車，
∴選擇的人是隨機的，有種情況，
若人坐同一個車中，有種情況，
若人隨機坐，有種情況，
∴從人中選5人，且坐在輛不同的車中，有種情況.
29．(1)1152種
(2)
【分析】（1）先排甲、乙二人的太太及這兩對夫婦，再排余下3對夫婦，最后用插空法排，，借助分步乘法計數(shù)原理計算即得.
（2）有且只有1對夫婦被選中且合影時相鄰，分都被選中，只有一個被選中，都沒被選中，三種情況，再按古典概型求概率.
【詳解】（1）分成三步來完成第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2種坐法，
甲、乙二人的座位也隨之確定；
第二步，排其余3對夫婦的座位，有種坐法；
第三步，排，，二人的座位，有種坐法，
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種坐法.
（2）若隨機選擇5人站成一排進行合影，有種，
有且只有1對夫婦被選中且合影時相鄰，
分為：當都被選中，有種，
當只有一個被選中，有種，
當都沒被選中，有種，
則概率為：.
30．(1)
(2)
【分析】
（1）分成兩組，根據(jù)是否平均分組分別寫出即可；
（2）首先討論有限制的、、有哪些人上場，其次若、同時上場，則利用捆綁法，求解即可.
【詳解】（1）隊伍分配方案可分為：①兩組都是3女2男；②一組是1男4女，另一組是3男2女，
①若兩組都是3女2男，
則先將6女平均分成兩組共種方式，
再將4男平均分成兩組共種方式，
所以兩組都是3女2男的情況有種；
②一組是1男4女，另一組是3男2女的情況有種，
所以總情況數(shù)為種.
故一共有種不同的分組方案；
（2）總共可分為三種情況，如下：
①若上場且不上場：
先將全排列，共有種方式，
再把捆綁后和全排列共有種方式，
所以上場且不上場共有種不同的排列方式；
②若上場且也上場：
（i）若在1號位，先將全排列，共有種方式，
再從中選兩人，有種方式，
則捆綁后和中的兩人全排列，有種方式，
所以在1號位共有種不同的方式；
（ii）若在2號位，
再將全排列，且可位于3，4號位或4，5號位，共有種方式，
再從中選兩人進行排列，有種方式，
所以在2號位或3號位共有種不同的方式；
（iii）若在3號位，
再將全排列，且可位于1，2號位或4，5號位，共有種方式，
再從中選兩人進行排列，有種方式，
所以在2號位或3號位共有種不同的方式；
（iiii）若在4號位，
將全排列，且可位于1，2號位或2，3號位，共有種方式，
再從中選兩人進行排列，有種方式，
所以在4號位共有種不同的方式.
所以上場且也上場共有種不同的方式；
③若中有一人上場且上場：
上場且不在5號位，則可位于1，2，3，4號位，有種方式，
再從中選一人，有種方式，
中的一人和共4人全排列，共種方式，
所以中有一人上場且上場共有種不同的排列方式.
綜上所述，共有種排列方式.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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