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第四章 數列第4.1.2講 數列的遞推公式與前n項和
1.遞推公式是數列的一種表示方法，能夠根據遞推公式寫出數列的前幾項.　
2.掌握由一些簡單的遞推公式求數列的通項公式的方法.　
3.了解數列的前n項和Sn的含義，能根據前n項和Sn求數列的通項公式.
1、由遞推公式求數列中的項
2、由遞推公式求數列的通項
3、數列的前n項和及應用
知識點一　數列的遞推公式
1.定義：如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式.
2.用遞推公式給出一個數列，必須具備兩個條件：
（1）“基礎”——數列{an}的第1項(或前幾項)；
（2）遞推關系——數列{an}的任意一項an與它的前一項an－1(n≥2)(或前幾項)間的關系用公式表示.
知識點二　數列的前n項和
1.數列{an}的前n項和：把數列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2.數列{an}的通項an與前n項和Sn之間的關系為an＝.
題型1、由遞推公式求數列中的項
1．數列滿足，（），則（ ）
A．3 B．5 C．11 D．13
2．在數列中，，，則的值為（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
3．數列滿足，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知數列滿足，，則（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
5．觀察下列各式：，，，，，…，則（ ）
A．47 B．76 C．121 D．123
題型2、由遞推公式求數列的通項
6．若無窮數列的前n項和為，且滿足，則數列的通項公式（ ）
A． B． C． D．
7．已知數列滿足，，則數列的通項公式是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知數列滿足，則（ ）
A． B． C． D．
9．“楊輝三角”是中國古代重要的數學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，記為圖中虛線上的數，，，，…構成的數列的第項，則的值為（ ）
A． B． C． D．
10．已知，，則數列的通項公式是（ ）
A． B． C． D．n
題型3、數列的前n項和及應用
11．已知數列的前項和為，且，則的值為（ ）
A．16 B．4 C．12 D．不確定
12．設數列的前項和，則的值為（ ）
A．13 B．16 C．29 D．32
13．設為數列的前項和，若，則（ ）
A． B． C． D．
14．若數列的前項和，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知數列的前n項和為，對任意的都有，則的值為（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．0
一、單選題
16．數列，，，，…的遞推公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知數列的首項，且，則這個數列的第2項是（ ）
A． B．3
C． D．6
18．在數列中，，，，記數列的前項和為，則（ ）
A． B． C．0 D．3
19．已知數列，，，則等于（ ）
A．3027 B．3028 C．3034 D．3035
20．記正整數的最大公約數為，例如，．已知數列的前項和為，且，則（ ）
A．50 B．75 C．100 D．1275
21．如圖所示，九連環是中國傳統民間智力玩具，以金屬絲制成9個圓環，解開九連環共需要256步，解下或套上一個環算一步，且九連環的解下和套上是一對逆過程.九連環把玩時按照一定的程序反復操作，可以將九個環全部從框架上解下或者全部套上.將第個圓環解下最少需要移動的次數記為，已知，，按規則有，則解下第5個圓環最少需要移動的次數為（ ）

A．15 B．21 C．27 D．31
22．“斐波那契”數列由十三世紀意大利數學家斐波那契發現，該數列滿足遞推關系：，．已知數列為“斐波那契”數列，為數列的前項和，若，則（ ）
A． B． C． D．
23．若數列滿足，則（ ）
A．2 B． C． D．
二、多選題
24．數列的前n項和為，且滿足，，則下列說法正確的有（ ）
A． B．是周期數列 C． D．
25．若數列滿足，，則稱該數列為斐波那契數列．如圖所示的“黃金螺旋線”是根據斐波那契數列畫出來的曲線．圖中的長方形由以斐波那契數為邊長的正方形拼接而成，在每個正方形中作圓心角為的扇形，連接起來的曲線就是“黃金螺旋線”．記以為邊長的正方形中的扇形面積為，數列的前項和為．下列結論正確的是（ ）

A． B．是奇數
C． D．
三、填空題
26．已知數列滿足，且，則 .
27．已知數列的前項和，則 .
四、解答題
28．根據下列條件，寫出數列的前5項：，（）.
29．已知數列{an}中，，.
(1)寫出數列的前5項；
(2)猜想數列的通項公式；
(3)畫出數列的圖象．
30．試分別根據下列條件，寫出數列的前5項：
(1)，，，其中；
(2)，，其中．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】由遞推關系逐項求解即得.
【詳解】因為，（），
所以，
.
故選：D.
2．B
【分析】由已知條件利用數列的遞推公式，依次令，3，4，5，結合遞推思想能求出結果．
【詳解】在數列中，，，
，
，
，
．
故選：B．
3．C
【分析】根據題設遞推式可得數列具有周期性，周期為4，進而求解即可.
【詳解】由，
因為，所以，，
，，，
所以數列具有周期性，周期為4，
所以．
故選：C.
4．B
【分析】先求出，再由遞推關系證明當時，由此可求.
【詳解】∵數列滿足,
∴，解得.
當時,，即，
所以，
所以，故，
故選：B.
5．A
【分析】根據題目信息可得，數列呈現出從第三項起，后一項等于前兩項的和的規律，逐項計算即可得.
【詳解】根據題目各式規律可知，從第三項開始后一項等于前兩項的和，
所以可得；
；
，即可得.
故選：A
6．D
【分析】根據求解即可.
【詳解】由題意，所以當時，，當時，，不符合上式，所以.
故選：D
7．A
【分析】由題意可得數列為首項為3的常數列，從而可得出答案.
【詳解】由題意得，即
所以數列是以首項為的常數列，
則，得.
故選：A
8．D
【分析】利用與的關系即得.
【詳解】①，
當時，
②，
則①－②得，，
故．
當時，，也符合.
故選：D．
9．B
【分析】根據楊輝三角可得數列的遞推公式，結合累加法可得數列的通項公式與.
【詳解】由已知可得數列的遞推公式為，且，且，
故，
，
，
，
，
等式左右兩邊分別相加得，
，
故選：B.
10．D
【分析】根據題意可得，再利用累乘法計算可得；
【詳解】由，得，
即，
則，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故選：D．
11．C
【分析】根據求出，進而利用求出答案.
【詳解】由題意得，化簡得，
故
.
故選：C
12．B
【分析】根據公式計算得到答案.
【詳解】.
故選：B
13．A
【分析】根據公式，即可求解.
【詳解】當時，，
當時，，
驗證，當時，，
所以.
故選：A
14．D
【分析】利用與的關系，可得答案.
【詳解】當時，，
當時，，
經檢驗，可得.
故選：D.
15．C
【分析】由條件令得到，再令可得答案.
【詳解】在中，令可得，，即
所以，令，可得
故選：C
16．C
【分析】觀察數列，數列從第二項起，可知每一項是前一項的，由此可以得到遞推公式，得出結果.
【詳解】數列從第2項起，后一項是前一項的，故遞推公式為．
故選：C
17．B
【分析】直接根據遞推公式即可得解.
【詳解】因為，且，
所以.
故選：B.
18．B
【分析】列出數列的前幾項，即可得到數列的周期性，從而求解.
【詳解】因為，，，
所以，，，，，，，
所以是以為周期的周期數列，且，
，，，
所以.
故選：B
19．C
【分析】
根據題意利用并項求和法運算求解.
【詳解】因為，，
所以.
故選：C.
20．B
【分析】根據的定義求得正確答案.
【詳解】依題意，，
以此類推……，可知當時：
當為奇數時，當為偶數時，，
所以.
故選：B
21．D
【分析】根據遞歸公式計算即可.
【詳解】由題意可知，，.
故選：D
22．D
【分析】利用遞推關系找到通項即可.
【詳解】，以此類推，．
故選：D
23．C
【分析】
根據遞推關系推出數列的周期性即可.
【詳解】因為，所以，
，
，
所以是周期為的數列，故.
故選：C
24．ABC
【分析】依次取即可驗證A項和B項的正確與否，再根據周期性可判斷C項是否正確，最后根據周期性和分組求和法可判斷D項是否正確.
【詳解】由題意，數列滿足，，
當n=1時，；當n=2時，；
當n=3時，；當n=4時，；
當n=5時，；當n=6時，，，
歸納可得數列構成以4為周期的周期數列，所以A正確，B正確；
又由，所以C正確；
因為，所以，所以D錯誤．
故選：ABC．
25．ABD
【分析】
根據數列遞推關系以及特征，即可判斷選項AB，利用累加法即可判斷選項C，利用定義直接求解，表示出，即可判斷選項D.
【詳解】
該數列為，所以，A正確；
由斐波那契數列得每三個數中，前兩個為奇數后一個為偶數，
且是奇數，B正確；
由，得：，
，，
累加得，C錯；
由，
得：
，
所以，
，D對.
故選：ABD
26．21
【分析】根據遞推公式可得為常數列，進而求解通項公式，進而可得.
【詳解】因為數列滿足，故為常數列，故，則，故.
故答案為：21
27．
【分析】根據與的關系運算求解.
【詳解】由題意可得：，
所以.
故答案為：.
28．
【分析】根據遞推公式逐項求解即可.
【詳解】因為，，
所以，，
，
，
，
所以，數列的前5項為：.
29．(1)1，，，，
(2)
(3)圖見解析
【分析】（1）直接代入計算即可；
（2）根據前5項猜想；
（3）畫出點集即可.
【詳解】（1），，
，，.
（2）猜想：.
下面證明其通項為，，顯然，則，
則，
累乘得，所以對也適合，則.
（3）圖象如圖所示：
30．(1)1，2，4，8，16
(2)2，，，，．
【分析】（1）根據遞推公式，對依次賦值求解；
（2）根據遞推公式，對依次賦值求解.
【詳解】（1）因為，，，其中，
所以，，
．
因此，數列的前5項依次為1，2，4，8，16．
（2）因為，，其中，
所以，，
，．
因此，數列的前5項依次為2，，，，．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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