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第四章 數列
第4.4講 數列求和綜合應用
1.熟練掌握等差、等比數列的前n項和公式.
2.掌握非等差數列、非等比數列求和的幾種常用方法．
1、分組求和與并項求和
2、錯位相減法求和
3、裂項相消法求和
數列求和的幾種常用方法
1．公式法
直接利用等差數列、等比數列的前n項和公式求和．
（1）等差數列的前n項和公式：
Sn＝＝na1＋d.
（2）等比數列的前n項和公式：
Sn＝.
2．分組求和法與并項求和法
（1）分組求和法
若一個數列是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
（2）并項求和法
一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．
3．錯位相減法
如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和即可用此法來求，如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的．
4．裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．
常見的裂項技巧
（1）.
（2）
（3）.
（4）
（5）
常用結論
常用求和公式
（1）1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
（2）1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
（3）12＋22＋32＋…＋n2＝.
（4）13＋23＋33＋…＋n3＝.
題型1、分組求和與并項求和
1．已知數列的前項和為，，等比數列的公比為，．
(1)求數列的通項公式；
(2)令，求數列的前10項和．
2．在等差數列中，.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前項和.
3．已知數列的前項和為，且滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列，求數列的前項和．
題型2、錯位相減法求和
4．已知數列滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)求的前項和．
5．已知數列滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，證明：．
6．設公差不為0的等差數列中，，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列的前項和滿足：，求數列的前項和.
題型3、裂項相消法求和
7．已知等差數列的前項和為，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前項和．
8．記為數列的前項和，若，.
(1)求；
(2)若，求數列的前項和.
9．已知數列是首項為2，公比為2的等比數列，為數列的前n項和，若為數列的前n項和，且
(1)求數列的通項公式；
(2)求.
一、單選題
10．已知數列為等差數列，首項為，公差為，數列為等比數列，首項為，公比為，設，為數列的前項和，則當時，的最大值為（ ）
A． B． C． D．
11．數列中，，，則（ ）
A．77 B．78 C．79 D．80
12．設數列的前n項和為，則（　　）
A．
B．
C．
D．
13．已知數列的前項和為，則（ ）
A．1012 B． C．2023 D．
14．高斯（Gauss）被認為是歷史上最重要的數學家之一，并享有“數學王子”之稱．小學進行的求和運算時，他這樣算的：，，…，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導等差數列前n項和的方法正是借助了高斯算法．已知正數數列是公比不等于1的等比數列，且，試根據以上提示探求：若，則（ ）
A．2023 B．4046 C．2022 D．4044
15．已知函數，數列滿足，則（ ）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4046
16．根據預測，某地第個月共享單車的投放量和損失量分別為和（單位：輛），其中，，則該地第4個月底的共享單車的保有量為（ ）
A．421 B．451 C．439 D．935
17．已知數列前項和為，滿足（為常數），且，設函數，記 ，則數列的前17項和為（　　）
A． B． C．11 D．17
二、解答題
18．設數列是公差為的等差數列．
（1）推導的前項和公式；
（2）證明數列是等差數列．
19．記數列的前n項和為，對任意正整數n，有.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和為.
20．已知數列的前項和為.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，若，求的最小值.
21．已知數列，若存在正整數，對一切，都有，則稱數列為周期數列，是它的一個周期．
（1）已知，，求數列的前項和；
（2）數列，，，，…的最小正周期是多少？并求這個數列的前項和．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)，
(2)
【分析】（1）當時求出，可得通項與，由求數列的通項公式；
（2）利用分組求和法求數列的前10項和.
【詳解】（1）當時，，，，
等比數列的公比為，則有，
由，可得．
當時，．
經檢驗，當時，滿足上式，
所以．
（2），
設的前10項和為，
．
2．(1)
(2)
【分析】（1）根據等差數列基本量的計算即可求解，
（2）根據等差數列以及等比求和公式，結合分組求和即可求解，或者分奇偶，又等差求和公式以及并項求和求解.
【詳解】（1）設的公差為，則
解得
所以.
（2）（方法一）
.
（方法二）當為偶數時，
當為奇數時，
.
綜上，
3．(1)
(2)
【分析】(1)由遞推關系求解數列的通項即可；
(2)利用分組求和即可.
【詳解】（1）因為，
當時，，
當時，，
則，
當時，不成立，所以.
（2）由（1）可得，
所以
4．(1)
(2)
【分析】（1）利用作差法即可得解；
（2）利用錯位相減法即可得解.
【詳解】（1）因為，
當時，得，
當時，，
兩式相減得：，則，
檢驗：滿足上式，故；
（2）由（1）知，
則，
故，
兩式相減可得：
，
故．
5．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據求出；
（2）錯位相減法求和得到，結合，得到.
【詳解】（1）由題知，當時，，則．
又．①
當時，，②
①-②得，
所以．
當時，也適合．
綜上，數列的通項公式為．
（2）因為．
所以，①
，②
①-②得，
整理得，
因為．所以
6．(1)
(2)
【分析】（1）根據等差數列的通項公式進行求解即可；
（2）利用錯位相減法進行求解即可.
【詳解】（1）設數列的公差為，
，
，
，
；
（2）當，
當時，，
，
，
①，
②，
由①-②得，，
，
.
7．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差數列的通項公式和性質求解即可；
（2）利用裂項相消法求和即可.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，
因為，所以，
即，即①，
又由，得，即②，
由①②得：，所以．
（2）由（1）得，所以，
所以．
8．(1)；
(2).
【分析】（1）由題設及關系得，構造新數列并結合等差數列定義寫出通項公式，進而可得；
（2）應用裂項相消法求前n項和.
【詳解】（1）由題設，則，
又，故是首項為3，公差為2的等差數列，
所以，則.
（2）由（1）得，
所以.
9．(1)；
(2).
【分析】（1）根據等比數列前n項和公式求得，結合已知可得，應用關系求的通項公式；
（2）應用裂項相消法求和即可.
【詳解】（1）由題設，則，
當時，故，
當，也滿足上式，
所以.
（2）由（1）知：，
所以.
10．B
【分析】利用等差和等比的通項公式，求出，然后利用分組求和求出，即可得出結果.
【詳解】依題意得：，，
，
則數列為遞增數列，
其前項和
，
當時，，
當時，，
所以的最大值為.
故選：B
11．D
【分析】
利用裂項求和法求得正確答案.
【詳解】依題意，，
所以，
由，解得.
故選：D
12．A
【分析】根據題意，得到，利用裂項相消法求數列的前項和公式，得出前100項的和，結合選項，即可求解.
【詳解】由，
所以，
所以，
故選：A.
13．D
【分析】根據數列的通項公式，可求得，依此類推，即可求解.
【詳解】∵，
故
故
.
故選：D.
14．B
【分析】
根據倒序相加法，結合等比數列的下標性質進行求解即可.
【詳解】根據等比數列的下標性質由，
∵函數，∴，
令，則，
∴，∴．
故選：B
15．A
【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正確答案.
【詳解】∵，
∴．
∵，
∴．令，
則，兩式相加得，
∴．
故選:A
16．D
【分析】根據題意求出前四個月的共享單車投放量，減去前四個月的損失量，即為第四個月底的共享單車的保有量.
【詳解】由題意可得該地第4個月底的共享單車的保有量為
故選：D.
17．D
【分析】化簡函數的解析式，利用數列的和，求出通項公式，判斷數列是等差數列，然后求解數列的和即可．
【詳解】因為，
由，得，
數列為等差數列；
，
.
則數列的前17項和為.
故選D．
【點睛】本題考查數列與函數相結合，三角函數的化簡以及數列的遞推關系式的應用，考查轉化思想以及計算能力．
18．（1）；（2）證明見解析．
【分析】（1）由等差數列的性質，利用倒序相加即可得出；
（2）由（1）可得，利用遞推關系、等差數列的定義即可證明．
【詳解】解：（1）因為，，
所以①，
②，
①②得，
．
（2）證明：，
當時，，
當時，，
數列是以為首項，為公差的等差數列．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根據求出的通項公式；
（2）求出，利用錯位相減法求和.
【詳解】（1）當時，，故，
①，當時，②，
兩式相減得，
故，
又當時，，滿足要求，
綜上，；
（2），
，
，
兩式相減得，
，
故
20．(1)
(2)8
【分析】
（1）根據的關系即可求解，
（2）根據裂項相消法求解和，即可列不等式求解.
【詳解】（1）當時，由，得；
當時，，符合上式.
綜上所述，.
（2），
所以.
由，得，解得，又，所以的最小值為8.
21．（1）；（2）最小正周期為；．
【分析】（1）根據特殊角的正弦函數值寫出數列的通項公式，結合數列的周期性進行求解即可；
（2）根據周期數列的定義，分類討論求解即可.
【詳解】解：（1），
故
（2）由周期數列的定義可知該數列的最小正周期為；
當為正奇數時，，
當為正偶數時，，
因此當為正整數時，.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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