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第五章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
第5.1.1講 變化率問(wèn)題
班級(jí)_______ 姓名_______ 組號(hào)_______
1．理解平均速度和瞬時(shí)速度的關(guān)系，并能求解平均速度和瞬時(shí)速度．
2.體會(huì)拋物線上割線與切線的關(guān)系，能求解拋物線上某點(diǎn)處的切線斜率．
1、求物體運(yùn)動(dòng)的平均速度
2、求物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度
3、求曲線在某點(diǎn)處切線的斜率或方程
知識(shí)點(diǎn)一　平均速度與瞬時(shí)速度
1．平均速度
若物體運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系是s＝f(t)，函數(shù)f(t)在t0與t0＋Δt之間的平均速度是＝＝.
2．瞬時(shí)速度
我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱(chēng)為瞬時(shí)速度．
當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，函數(shù)f(t)在t0與t0＋Δt之間的平均＝＝趨近于常數(shù)v，則常數(shù)v叫做物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度．
則v＝＝.
知識(shí)點(diǎn)二　拋物線的切線的斜率
1．設(shè)P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))是曲線y＝f(x)上任意不同兩點(diǎn)，則平均變化率＝為割線P0P的斜率．
2．當(dāng)P點(diǎn)沿著曲線逐漸靠近P0點(diǎn)，即當(dāng)Δx→0時(shí)，割線P0P的斜率極限值是y＝f(x)在x0處的切線的斜率，則k＝．
題型1、求物體運(yùn)動(dòng)的平均速度
1．函數(shù)從到的平均變化率為（ ）
A． B．
C． D．
2．函數(shù)，當(dāng)自變量由改變到時(shí)，的變化為（ ）
A． B．
C． D．
3．函數(shù)，則自變量從變到時(shí)函數(shù)值的增量為（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
5．若一射線從處開(kāi)始，繞點(diǎn)勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（到處為止），所掃過(guò)的圖形內(nèi)部的面積是時(shí)間的函數(shù)，的圖象如圖所示，則下列圖形中，符合要求的是（ ）

A． B．
C． D．
題型2、求物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度
6．質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s＝2t2＋3t做直線運(yùn)動(dòng)（位移單位：m，時(shí)間單位：s），則質(zhì)點(diǎn)M在t＝2 s時(shí)的瞬時(shí)速度是（ ）
A．2 m/s B．6 m/s
C．4 m/s D．11 m/s
7．函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率為（ ）
A． B． C． D．
8．有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為，是時(shí)間，是位移，則該機(jī)器人在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度為（ ）
A． B． C． D．
9．設(shè)某質(zhì)點(diǎn)的位移（單位：）與時(shí)間（單位：）的關(guān)系是，則質(zhì)點(diǎn)在第時(shí)的瞬時(shí)速度等于（ ）
A． B． C． D．
10．為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門(mén)要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改．設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為，用的大小評(píng)價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱．已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示．

給出下列四個(gè)結(jié)論：
①在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；
②在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；
③在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都已達(dá)標(biāo)；
④甲企業(yè)在，，這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（　　）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④
題型3、求曲線在某點(diǎn)處切線的斜率或方程
11．若函數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
12．若，則（ ）
A． B． C． D．
13．已知函數(shù)，則（ ）
A． B．1 C．2 D．3
14．已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，若，則（ ）
A．0 B． C．1 D．
15．已知函數(shù)，，，，它們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中的圖象如圖所示，則，，，的大小關(guān)系是（ ）
A．
B．
C．
D．
一、單選題
16．某物體做直線運(yùn)動(dòng)，若它所經(jīng)過(guò)的位移s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為，則這個(gè)物體在時(shí)間段內(nèi)的平均速度為（ ）
A．2 B． C．3 D．
17．設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量x由改變到時(shí)，函數(shù)的改變量為（ ）
A． B． C． D．都不對(duì)
18．下列四個(gè)函數(shù)中，在區(qū)間上的平均變化率最大的為（ ）
A． B．
C． D．
19．定義在上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的平均變化率為，其中，則函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)（ ）
A． B． C． D．
20．已知的值是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
21．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
22．若是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且，則（ ）
A． B． C． D．0
23．已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，若函數(shù)在上的平均變化率為，則下面敘述正確的是（ ）
A．直線的傾斜角為 B．直線的傾斜角為
C．直線的斜率為 D．直線的斜率為
二、多選題
24．設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量由變化到時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)，但不能為0
B．函數(shù)值的改變量為
C．函數(shù)在上的平均變化率為
D．函數(shù)在上的平均變化率
25．若當(dāng)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．
C．曲線上點(diǎn)處的切線斜率為
D．曲線上點(diǎn)處的切線斜率為
三、填空題
26．為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門(mén)要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為，用的大小評(píng)價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱．已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示．

給出下列三個(gè)結(jié)論：
①在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；
②在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；
③甲企業(yè)在，，這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
27．某高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的重心相對(duì)于水面的高度（單位：）與跳起后的時(shí)間（單位：）存在函數(shù)關(guān)系，的圖象如圖所示，已知曲線在處的切線平行于軸，根據(jù)圖象，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①在時(shí)高度關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率為；
②曲線在附近比在附近下降得慢；
③曲線在附近比在附近上升得快；
④設(shè)在和時(shí)該運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度分別為和，則．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
四、解答題
28．投石入水，水面會(huì)產(chǎn)生圓形波紋區(qū)，且圓的面積隨著波紋的傳播半徑的增大而增大（如圖）．計(jì)算：

(1)半徑從增加到時(shí)，圓面積S相對(duì)于的平均變化率；
(2)半徑時(shí)，圓面積S相對(duì)于的瞬時(shí)變化率．
29．一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是（位移：m，時(shí)間：s）.
(1)求此物體的初速度；
(2)求此物體在時(shí)的瞬時(shí)速度；
(3)求到時(shí)的平均速度.
30．有一個(gè)長(zhǎng)方體的容器（如圖），它的寬為10cm，高為100cm．右側(cè)面為一活塞，容器中裝有1000mL的水．活塞的初始位置（距左側(cè)面）為，水面高度為100cm．當(dāng)活塞位于距左側(cè)面xcm的位置時(shí)，水面高度為ycm．
(1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式
，
；
(2)活塞的位置x從1cm變?yōu)?cm，水面高度y改變了多少？活塞的位置x從8cm變?yōu)?0cm，水面高度y改變了多少？以上哪個(gè)過(guò)程水面高度的變化較快？
(3)試估計(jì)當(dāng)
時(shí)，水面高度y的瞬時(shí)變化率．
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)平均變化率的求法求得正確答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以平均變化率為.
故選：B
2．D
【分析】
根據(jù)的變化求得正確答案.
【詳解】依題意，的變化為.
故選：D
3．C
【分析】根據(jù)變量的增量的定義進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】
因?yàn)?，所以，故C項(xiàng)正確.
故選：C.
4．C
【分析】畫(huà)出函數(shù)的圖象，觀察與連線的斜率即得.
【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示.

由圖可知曲線上各點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線的斜率隨著的增大而減小.
由，得，即.
故選：C.
5．D
【分析】逐個(gè)分析掃過(guò)部分的面積增速的快慢即得.
【詳解】因?yàn)镺P是勻速旋轉(zhuǎn)，
選項(xiàng)A，OP掃過(guò)的圓內(nèi)陰影部分面積在開(kāi)始時(shí)段緩慢增加，中間增速最快，后面時(shí)段相對(duì)增速越來(lái)越慢，不合題意；
選項(xiàng)B，OP掃過(guò)的圓內(nèi)陰影部分面積是勻速變化的，不合題意；
選項(xiàng)C，OP掃過(guò)正方形的陰影部分，是開(kāi)始時(shí)段緩慢增加，中間增速最快，后面時(shí)段相對(duì)增速越來(lái)越慢，不合題意；
選項(xiàng)D， OP掃過(guò)的三角形內(nèi)陰影部分面積在開(kāi)始時(shí)段的增速和最后時(shí)段的增速比中間時(shí)段快，選項(xiàng)D符合
故選：D
6．D
【分析】
本題首先分析題意，運(yùn)用物理知識(shí)，進(jìn)行數(shù)學(xué)結(jié)合.
【詳解】
質(zhì)點(diǎn)M在t＝2 s時(shí)位移的平均變化率為＝＝11＋2Δt，
當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于11 m/s.
故選：D.
7．C
【分析】
利用瞬時(shí)變化率的定義可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率為
.
故選：C.
8．A
【分析】
利用瞬時(shí)速度定義即可求得該機(jī)器人在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度.
【詳解】
該機(jī)器人在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度為
故選：A
9．D
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得質(zhì)點(diǎn)在第時(shí)的瞬時(shí)速度.
【詳解】質(zhì)點(diǎn)在第時(shí)的瞬時(shí)速度為.
故選：D.
10．C
【分析】在理解的基礎(chǔ)上結(jié)合圖象來(lái)判斷.
【詳解】①：表示區(qū)間端點(diǎn)連線斜率，污水治理能力與斜率的相反數(shù)成正比，在這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，正確；
②：在時(shí)刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，正確；
③：在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水達(dá)標(biāo)排放量以下，所以都已達(dá)標(biāo)；正確；
④：甲企業(yè)在，，這三段時(shí)間中，甲企業(yè)在這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)最大，即在的污水治理能力最強(qiáng)．錯(cuò)誤；
故選：C．
11．B
【分析】根據(jù)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的定義，由此可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br/>則.
故選: B
12．C
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念轉(zhuǎn)化求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以.
故選：C.
13．C
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解.
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，
所以，
故選：C
14．B
【分析】對(duì)條件變形，利用導(dǎo)數(shù)的定義求解出到數(shù)值.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>故
故選：B
15．A
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，畫(huà)出各個(gè)函數(shù)圖象在處的切線，根據(jù)切線的斜率來(lái)判斷即可．
【詳解】依次作出，，，在的切線，如圖所示：
根據(jù)圖形中切線的斜率可知．
故選：A．
16．B
【分析】根據(jù)平均速度的公式計(jì)算.
【詳解】.
故選：B.
17．C
【分析】
由函數(shù)增量的定義寫(xiě)出的表達(dá)式即可.
【詳解】由題意知：.
故選：C
18．B
【分析】
根據(jù)平均變化率的計(jì)算即可比較大小求解.
【詳解】對(duì)于A，在上的平均變化率為，
對(duì)于B，在上的平均變化率為，
對(duì)于C, 在上的平均變化率為，
對(duì)于D，在上的平均變化率為，
由于，故在上的平均變化率最大，
故選：B
19．B
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得的值.
【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義可得，
故選：B.
20．C
【分析】
根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的定義計(jì)算即可.
【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的定義：.
故選：C
21．B
【分析】根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)的定義，求得，列出方程，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，
則，
所以，解得.
故選：B.
22．A
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的定義，將待求表達(dá)式轉(zhuǎn)化成和有關(guān)的形式后計(jì)算.
【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的定義，
.
故選：A
23．A
【分析】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率的幾何意義是曲線上兩點(diǎn)，所在直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求出直線的傾斜角.
【詳解】在上的平均變化率為，，
在上的平均變化率就是直線的斜率，所以，
故直線的傾斜角為，
故選：A
24．ABD
【分析】
利用平均變化率的概念一一判定即可.
【詳解】由平均變化率的定義可知自變量的改變量不能為零，可以為正數(shù)或負(fù)數(shù)，
函數(shù)值的改變量為，平均變化率為函數(shù)值的改變量比自變量的改變量，即A、B、D正確；
故選：ABD
25．AD
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】由得：，即，
曲線上點(diǎn)處的切線斜率為，C錯(cuò)誤；D正確；
，A正確；B錯(cuò)誤.
故選：AD.
26．①②
【分析】根據(jù)圖形及兩點(diǎn)的斜率公式即可求解.
【詳解】表示兩點(diǎn)，連線斜率的相反數(shù)，
因此斜率越大，污水治理能力越弱．
由題圖可知甲企業(yè)的污水排放量在時(shí)刻高于乙企業(yè)，而在時(shí)刻甲、乙兩企業(yè)的污水排放量相同，故在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故①正確；
在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都低于污水達(dá)標(biāo)排放量，故都已達(dá)標(biāo)，②正確；
甲企業(yè)在，，這三段時(shí)間中，在時(shí)對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)連線的斜率最小，因此在的污水治理能力最強(qiáng)，故③錯(cuò)誤．
故答案為：①②.
27．①③④
【分析】對(duì)于①，因?yàn)榍€在處的切線平行于軸，所以切線的斜率為0，即；對(duì)于②，比較大小即可；對(duì)于③，比較大小即可；對(duì)于④，，，比較大小即可.
【詳解】因?yàn)椋?
對(duì)于①，因?yàn)榍€在處的切線平行于軸，所以切線的斜率為0，即，所以在時(shí)高度關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率為，故①正確；
對(duì)于②，由題意知，所以，即曲線在附近比在附近下降得快，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，由題意知，所以，即曲線在附近比在附近上升得快，故③正確；
對(duì)于④，由題意知且，所以，
，
所以，
所以.
即，故④正確；
故答案為：①③④.
28．(1)
(2)．
【分析】（1）根據(jù)平均變化率的定義進(jìn)行求解；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，結(jié)合瞬時(shí)變化率的定義得到答案.
【詳解】（1）圓面積S相對(duì)于半徑的平均變化率為
．
（2）在表達(dá)式中，讓d趨近于0，得到圓面積S相對(duì)于的瞬時(shí)變化率為，
恰為此時(shí)圓的周長(zhǎng)．
29．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根據(jù)初速度的定義求解即可，
（2）根據(jù)瞬時(shí)速度的定義求解即可，
（3）根據(jù)平均速度的定義求解即可.
【詳解】（1）初速度
（2）
，
所以此物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為，方向與初速度方向相反，
（3），
所以到時(shí)的平均速度為
30．(1)
(2),，前一個(gè)過(guò)程變化快
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意，由水的體積恒定不變，列出方程即可；
（2）根據(jù)題意，分別求出活塞位置為1cm、2cm和7cm、8cm時(shí)的水面高度，計(jì)算可得答案；
（3）根據(jù)瞬時(shí)變化率的公式，求導(dǎo)計(jì)算可得答案.
【詳解】（1）水的體積恒定不變，那么就有
，
（2）活塞位置為1cm時(shí)，
活塞位置為2cm時(shí)，
水面高度改變?yōu)?br/>活塞位置為8cm時(shí)，
活塞位置為10cm時(shí)，
水面高度改變?yōu)?br/>可見(jiàn)，前一個(gè)過(guò)程變化快
（3）瞬時(shí)變化率：如果當(dāng)時(shí)，有極限，我們就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（即瞬時(shí)變化率，簡(jiǎn)稱(chēng)變化率），記作，，當(dāng)時(shí)，瞬時(shí)變化率為此時(shí)，的值為，即時(shí)，瞬時(shí)變化率為
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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