資源簡介

一元函數(shù)的導數(shù)及其應用
第5.1.2講導數(shù)的概念及其幾何意義
1．了解導數(shù)概念的實際背景，知道導數(shù)是關于瞬時變化率的數(shù)學表達，體會導數(shù)的內(nèi)涵與思想．　
2.體會極限思想，會利用導數(shù)求函數(shù)在某點處的導數(shù)．　
3.借助函數(shù)的圖象直觀理解導數(shù)的幾何意義．
1、求函數(shù)在某一點處的導數(shù)
2、已知某處的導數(shù)值求參數(shù)或自變量
3、導數(shù)幾何意義的應用
知識點一　導數(shù)的概念
1．函數(shù)的平均變化率
對于函數(shù)y＝f（x），設自變量x從x0變化到x0＋Δx，相應地，函數(shù)值y就從f（x0）變化到f（x0＋Δx），這時，x的變化量為Δx，y的變化量為Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）．比值＝叫做函數(shù)y＝f（x）從x0到x0＋Δx的平均變化率．
2．函數(shù)f（x）在x＝x0處的導數(shù)
如果當Δx→0時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱y＝f（x）在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f（x）在x＝x0的導數(shù)（也稱為瞬時變化率），記作f′（x0）或y′，即f′（x0）＝＝_．
（1）函數(shù)應在點x0的附近有定義，否則導數(shù)不存在．（2）導數(shù)是一個局部概念，與Δx無關，導數(shù)的實質(zhì)是一個極限值．
知識點二　導數(shù)的幾何意義
1．切線的定義
如圖所示，在曲線y＝f（x）上任取一點P（x，f（x）），如果當點P（x，f（x））沿著曲線y＝f（x）無限趨近于點P0（x0，f（x0））時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線P0T稱為曲線y＝f（x）在點P0處的切線．
2．導數(shù)的幾何意義
函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的導數(shù)f′（x0）就是切線P0T的斜率k0，則k0＝＝f′（x0）．
（1）曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））處的切線方程為y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）．
（2）切線斜率的絕對值的大小反映了曲線在相應點附近上升或下降的快慢．
對于函數(shù)y＝f（x），當x＝x0時，f′（x0）是一個唯一確定的數(shù)，則當x變化時，f′（x）就是x的函數(shù)，我們稱它為函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)（簡稱導數(shù)），即f′（x）＝y(tǒng)′＝．
（1）f′（x0）是具體的值，是數(shù)值．
（2）f′（x）是函數(shù)f（x）在某區(qū)間I上每一點都存在導數(shù)而定義的一個新函數(shù)，是函數(shù)．
題型1、求函數(shù)在某一點處的導數(shù)
1．若曲線在點處的切線方程為，則（ ）
A． B．
C． D．不存在
2．曲線在點處的切線方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知曲線在處的切線方程是，則與分別為（ ）
A． B． C． D．
4．已知函數(shù)，在點處的切線方程為，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，函數(shù)的圖象在點處的切線是，則（ ）
A． B． C．2 D．1
題型2、已知某處的導數(shù)值求參數(shù)或自變量
6．若曲線與y=2x+1相切，則實數(shù)a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．設，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
8．函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則（ ）
A． B．1 C．2 D．0
9．已知函數(shù)與的圖象在處有相同的切線，則（ ）
A．0 B． C．1 D．或1
10．如圖所示，函數(shù)的圖像在點處的切線方程是，則的值為（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．2
題型3、導數(shù)幾何意義的應用
11．已知曲線在處的切線過點，其中，則直線方程為（ ）
A． B． C． D．
12．函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導函數(shù)，則下列大小關系正確的是（ ）

A．
B．
C．
D．
13．我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽創(chuàng)立了“割圓術”，實施“以直代曲”的近似計算，用圓內(nèi)接正多邊形的面積去逼近圓的面積求圓周率，求出了精度較高的近似值，這是我國最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學文化之一.借用“以直代曲”的近似計算方法，在切點附近，可以用函數(shù)圖像的切線代替在切點附近的曲線來近似計算，例如：求，我們先求得在處的切線方程為，再把代入切線方程，即得，類比上述方式，則（ ）
A．1.0005 B．1.0001 C．1.005 D．1.001
14．過原點的直線與分別與曲線，相切，則直線斜率的乘積為（ ）
A．-1 B．1 C． D．
15．若過點可作曲線的三條切線，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
16．若曲線在點處的切線方程為，則（ ）
A． B．
C． D．不存在
17．曲線在點處的切線方程是（ ）
A． B．
C． D．
18．已知曲線在處的切線方程是，則與分別為（ ）
A． B． C． D．
19．已知函數(shù)，在點處的切線方程為，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
20．如圖，函數(shù)的圖象在點處的切線是，則（ ）
A． B． C．2 D．1
21．已知直線與曲線相切，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．1
22．已知函數(shù)，若的圖像與軸有3個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
23．若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
24．已知函數(shù)的圖象如圖所示，若為的導函數(shù)，則下列關系正確的是（ ）

A． B．
C． D．
25．已知函數(shù)圖象上任一點處的切線方程為，那么下列結論正確的有（ ）
A．
B．在處的切線平行或重合于x軸
C．切線斜率的最小值為1
D．
三、填空題
26．若函數(shù)在點處的導數(shù)是，那么過點A的切線方程是 ．
27．設函數(shù)，且為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為 ．
四、解答題
28．已知曲線：
(1)求的值；
(2)求曲線在點處的切線方程.
29．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點．
(1)求曲線在點A處的切線方程．
(2)曲線是否存在過坐標原點的切線？若存在，求切點的坐標；若不存在，請說明理由．
30．已知函數(shù).
(1)求曲線與直線垂直的切線方程；
(2)若過點的直線與曲線相切，求直線的斜率.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】由切線方程知，即可判斷的正負.
【詳解】由切線方程可以看出其斜率是2，又曲線在該點處的切線的斜率就是函數(shù)在該點處的導數(shù)，
即
故選：A
2．A
【分析】求得函數(shù)的導數(shù)，將代入可得切線方程的斜率，再用點斜式即可得出答案.
【詳解】因為，所以，
又因為曲線過點，
由點斜式可得，化簡可得，
所以切線方程是，
故選：A.
3．D
【分析】根據(jù)切點坐標和導數(shù)的幾何意義即可得出答案.
【詳解】在切線上，故，又切線斜率為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得.
故選：D
4．A
【分析】求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得參數(shù)值.
【詳解】由，得，
又在點處的切線方程為，
則，
解得，
故選：A.
5．D
【分析】根據(jù)已知求出切線方程，由導數(shù)的幾何意義得，由切線方程得，從而可得結論．
【詳解】由題可得函數(shù)的圖象在點處的切線與軸交于點，與軸交于點，則切線，即.
所以，，，.
故選：D．
6．A
【分析】根據(jù)導數(shù)求切線方程的即可.
【詳解】設切點坐標為，由，則，且，將代入得，故a=1.
故選：A
7．B
【分析】求導，然后直接解方程可得.
【詳解】
由，解得.
故選：B
8．C
【分析】利用切線斜率和切點坐標直接求解
【詳解】由題意可知，將代入切線方程，得，所以．
故選：C
9．C
【分析】求出兩函數(shù)的導函數(shù)，利用求解即可.
【詳解】點在兩函數(shù)圖象上，
，，
根據(jù)題意可得，
即.
故選：C
10．C
【分析】由切線方程可得切點坐標和切線斜率，進而可得結果.
【詳解】切線方程為：，當，
則，
故選：C
【點睛】本題考查了導數(shù)得幾何意義，考查了計算能力和邏輯推理能力，屬于基礎題目.
11．B
【分析】利用導數(shù)的幾何意義，利用斜率建立方程，求解，即可求切線方程.
【詳解】，，，
所以，解得：，
即，
所以直線的方程為，即.
故選：B
12．B
【分析】
由函數(shù)圖象及導函數(shù)幾何意義得到，得到答案.
【詳解】
由圖象可知在上單調(diào)遞增，，

故，即．
故選：B．
13．A
【分析】
根據(jù)題意，由 導數(shù)的幾何意義，求得曲線在處的切線的方程為，結合題意，即可求解.
【詳解】
設函數(shù)，可得，則，，
可得曲線在處的切線的方程為，
由于與0之間的距離比較小，“以直代曲”，
在切點附近用切線代替曲線進行近似計算，
可得.
故選：A
14．B
【分析】設的切點分別為，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過原點解出即可求解.
【詳解】設的切點分別為，
由題意可得，，
所以在處的切線為，在處的切線為，
又因為兩條切線過原點，所以，解得，
所以直線斜率的乘積為，
故選：B
15．C
【分析】首先求函數(shù)在切點處的切線方程，在根據(jù)條件轉化為函數(shù)與有3個交點，即可求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】，設切點，
所以在點處的切線方程為，因為切線過點，
所以，整理為，
即，設，
，
當時，，當或時，，
所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間和單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的極大值是，函數(shù)的極小值是，若函數(shù)與有3個交點，則，即.
故選：C
16．A
【分析】由切線方程知，即可判斷的正負.
【詳解】由切線方程可以看出其斜率是2，又曲線在該點處的切線的斜率就是函數(shù)在該點處的導數(shù)，
即
故選：A
17．A
【分析】求得函數(shù)的導數(shù)，將代入可得切線方程的斜率，再用點斜式即可得出答案.
【詳解】因為，所以，
又因為曲線過點，
由點斜式可得，化簡可得，
所以切線方程是，
故選：A.
18．D
【分析】根據(jù)切點坐標和導數(shù)的幾何意義即可得出答案.
【詳解】在切線上，故，又切線斜率為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得.
故選：D
19．A
【分析】求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得參數(shù)值.
【詳解】由，得，
又在點處的切線方程為，
則，
解得，
故選：A.
20．D
【分析】根據(jù)已知求出切線方程，由導數(shù)的幾何意義得，由切線方程得，從而可得結論．
【詳解】由題可得函數(shù)的圖象在點處的切線與軸交于點，與軸交于點，則切線，即.
所以，，，.
故選：D．
21．D
【分析】設切點坐標為，求導，從而有斜率，再由點在曲線上求解.
【詳解】解：設切點坐標為，
因為，所以，
所以切線的斜率，
又，即，解得，
所以由，得.
故選：D.
22．A
【分析】首先將題意等價于與有3個交點，分別畫出和的圖象，再利用導數(shù)的幾何意義，即可得到答案.
【詳解】的圖像與軸有3個不同的交點，
等價于與有3個交點.
畫出和的圖象，如圖所示：

因為過，
當與在相切時，
，設切點為，
，切線，即，
因為切線過，
所以，解得
此時，此時與有2個交點.
當時，，即，
當過時，，解得，
設，，
，，為增函數(shù)，所以，即
此時與有三個交點.
因為與有3個交點，
所以.
故選：A
23．B
【分析】設切點為，結合導數(shù)法有，則存在兩條切線等價于方程有兩個不同正解，結合判別式法及韋達定理列不等式組即可化簡判斷選項.
【詳解】設切點為，則，∴，則，
化簡得：①，則，
∵過點可以作曲線的兩條切線，∴方程①有兩個不同正解，∴，∴.
故選：B．
24．BD
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義結合圖象即可判斷各選項.
【詳解】對于AB，由圖可知，，所以，A錯B對；
對于CD，由圖可知，，所以C錯D對.
故選：BD
25．AB
【分析】由導數(shù)的概念對選項逐一判斷
【詳解】由題意函數(shù)圖象上任一點處的切線方程為
，
可得，
對于A，，A正確;
對于B，當時，，故在處的切線平行或重合于x軸，B正確;
對于C，，最小值為，故C錯誤
對于D，，D錯誤
故選：AB
26．
【分析】由導數(shù)的幾何意義求解即可.
【詳解】∵切線的斜率為.
∴點處的切線方程為，
即.
故答案為：.
27．
【分析】首先根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，確定函數(shù)的解析式，再利用導數(shù)的幾何意義求解切線方程.
【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，
即，，
，，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
故答案為：
28．(1)
(2)
【分析】(1)利用導數(shù)公式求解；(2)根據(jù)切點處函數(shù)的導數(shù)等于切線的斜率以及切點在曲線上也在切線上的原理求解..
【詳解】（1）由題得，所以.
（2）因為，
所以，切線方程為，
即.
29．(1)
(2)曲線存在過坐標原點的切線，且切點的坐標為或．
【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）設出過坐標原點的切線方程以及切點坐標，利用導數(shù)的幾何意義以及切點既在切線上也在曲線上列出方程組求解即可.
【詳解】（1）依題意可得，則,
∵，∴，
∴曲線在點（1，5）處的切線方程為，
即；
（2）設過原點的切線方程為，則切點為，
則,消去k，整理得，
解得或，
所以曲線存在過坐標原點的切線，且切點的坐標為或．
30．(1)
(2)或5
【分析】（1）求出切線的斜率，再寫出切線方程；
（2）根據(jù)切線的斜率與直線的方程列方程組求解即可.
【詳解】（1）因為斜率為，所以，
所以，又.
所以所求切線方程為，即.
（2），設切點的橫坐標為，直線的斜率為，直線的方程：，
則
則，整理得，所以，
所以或5.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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