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第五章 一元函數(shù)的導數(shù)及其應用
第5.2.1講 基本初等函數(shù)的導數(shù)
班級_______ 姓名_______ 組號_______
1.能根據(jù)定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的導數(shù).
2. 能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求簡單函數(shù)的導數(shù).
1、利用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)
2、利用導數(shù)公式研究切線問題
3、導數(shù)公式的實際應用
知識點一　幾個常用函數(shù)的導數(shù)
f(x)＝c f′(x)＝0
f(x)＝x f′(x)＝1
f(x)＝x2 f′(x)＝2x
f(x)＝x3 f′(x)＝
f(x)＝ f′(x)＝
f(x)＝ f′(x)＝
知識點二　基本初等函數(shù)的導數(shù)公式
原函數(shù) 導函數(shù)
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f(x)＝sin x cosx
f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln_a(a>0，且a≠1)
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ (a>0，且a≠1)
f(x)＝ln x f′(x)＝
（1）三角函數(shù)的導數(shù)公式中，一要注意名稱的改變，二要注意符號的變換.（2）利用導數(shù)公式求導時，一定要看清原函數(shù)的形式.只有當函數(shù)符合上述形式時，才能用導數(shù)公式表求導.
題型1、利用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)
1．設(shè)，若，則（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
2．下列求導數(shù)運算中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式中正確的是 （　　）
A． B．
C． D．
4．下列求導運算不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
題型2、利用導數(shù)公式研究切線問題
6．已知過點的直線與曲線的相切于點，則切點坐標為（ ）
A． B． C． D．
7．已知曲線在點處的切線為，則實數(shù)（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
9．“以直代曲”是重要的數(shù)學思想．具體做法是：在函數(shù)圖像某個切點附近用切線代替曲線來近似計算.比如要求的近似值，我們可以先構(gòu)造函數(shù)，由于0.05與0比較接近，所以求出處的切線方程為，再把代入切線方程，故有，類比上述方式，則（ ）
A．1.001 B．1.005 C．1.015 D．1.025
10．已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程是，若，則
A． B． C． D．
題型3、導數(shù)公式的實際應用
11．已知直線l是曲線的切線，切點橫坐標為，直線l與x軸和y軸分別相交于A、B兩點，則面積為（ ）
A． B．1 C． D．
12．已知直線與曲線相切，切點為，與曲線也相切，切點是則的值為（ ）
A． B． C．0 D．1
13．定義：如果函數(shù)在區(qū)間上存在，滿足，，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個雙中值函數(shù)．已知函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知對任意實數(shù)都有，，若恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
15．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，當時，，則使得成立的的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
16．函數(shù)的導函數(shù)（ ）
A． B． C．e D．x
17．若，則（ ）
A． B． C．1 D．0
18．下列導數(shù)運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
19．若函數(shù)，則（ ）
A．0 B． C． D．
20．已知函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
21．設(shè)函數(shù)的導函數(shù)為，且，則（ ）
A． B． C． D．
22．“以直代曲”是重要的數(shù)學思想．具體做法是：在函數(shù)圖像某個切點附近用切線代替曲線來近似計算．比如要求的近似值，我們可以先構(gòu)造函數(shù)，由于0.05與0比較接近，所以求出處的切線方程為，再把代入切線方程，故有，類比上述方式．則（ ）
A．1.001 B．1.005 C．1.015 D．1.025
23．定義：如果函數(shù)在區(qū)間上存在，滿足，，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個雙中值函數(shù)，已知函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是
A． B． C． D．
二、多選題
24．下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
25．下列結(jié)論正確的為（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
三、填空題
26．曲線在點處的切線方程是 ．
27．拉格朗日中值定理是微分學的基本定理之一，內(nèi)容為：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值點”．根據(jù)這個定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”為 ．
四、解答題
28．（1）求函數(shù)在點處的導數(shù)；
（2）求函數(shù)在點處的導數(shù)．
29．已知函數(shù)，點在曲線上.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求曲線過點的切線方程.
30．已知在時有極值0.
(1)求常數(shù)的值；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】求出導函數(shù)，將代入導函數(shù)，即可求出
【詳解】.
故選：D
2．D
【分析】根據(jù)初等函數(shù)的導數(shù)公式即可判斷.
【詳解】對A，，故A錯誤；
對B，，故B錯誤；
對C，，故C錯誤；
對D，，故D正確；
故選：D.
3．D
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式判斷即可.
【詳解】對于A、B：，故A、B錯誤；
對于C、D：，故C錯誤，D正確；
故選：D
4．C
【分析】根據(jù)基本函數(shù)的導數(shù)公式進行求解即可.
【詳解】根據(jù)導數(shù)公式可知選項A、B、D是正確的；
對于C，，故C錯誤.
故選：C.
5．A
【分析】根據(jù)函數(shù)的導數(shù)公式求解.
【詳解】因為，所以，
令，則有，解得，
所以，
所以，
故選：A.
6．A
【分析】
設(shè)切點坐標，利用導數(shù)求出過切點的切線方程，代入已知點求出，即可求出切點的坐標.
【詳解】
設(shè)切點坐標為，由，得，則過切點的切線方程為，
把點代入切線方程得，，即，
又，所以，則，
則切點坐標為.
故選：A
7．D
【分析】利用導數(shù)的幾何意義計算即可.
【詳解】，所以，又曲線在點處的切線為，所以.
故選：D.
8．A
【分析】求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得出切線斜率，然后根據(jù)點斜式寫出切線方程.
【詳解】設(shè)，則，所以，即為切線斜率，
所以曲線在點處的切線方程為，即．
故選：A
9．A
【分析】求出函數(shù)在點處的切線方程，再代入求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，可得，，，
由于與0比較接近，所以求出曲線在點處的切線為，
在切點附近用切線代替曲線進行近似計算，．
故選：A.
10．C
【分析】根據(jù)切線方程計算，，再計算的導數(shù)，將2代入得到答案.
【詳解】函數(shù)的圖像在點處的切線方程是
故答案選C
【點睛】本題考查了切線方程，求函數(shù)的導數(shù)，意在考查學生的計算能力.
11．C
【分析】由已知可得切點坐標，利用導函數(shù)求出切線l的斜率，根據(jù)點斜式得到切線方程，進而得到A、B兩點的坐標，即可求出的面積.
【詳解】解：當時，，
而，，
所以切線l：，即，
當時，，即；當時，，即，
所以，
故選：C.
12．D
【分析】根據(jù)導數(shù)求出切線的斜率，得到切線方程，根據(jù)兩切線相同列出等式即可得解.
【詳解】設(shè)直線與曲線相切于，又，∴直線的斜率為，
∴處的切線方程為，即；
直線與曲線相切于，，
可得切線方程為，
即.
因為直線與兩條曲線都相切，所以兩條切線相同，
則且，
則，即
可得，解得，
故選：D.
13．B
【分析】由，，
即在有兩解，解不等式即可得解.
【詳解】求導可得，
由，
所以有兩解，
即在有兩解，
令
所以
解得：.
故選：B
14．D
【解析】由導數(shù)的運算求出，然后用分離參數(shù)法得出時，，時，，再設(shè)，求出在時最小值，在時的最大值，從而可得的范圍．
【詳解】因為，所以，即，所以（為常數(shù)），
，由，，
不等式為，時，不等式為，成立，
時，，時，，
設(shè)，則，
當或時，，當或時，，
所以在和上是減函數(shù)，在和上是增函數(shù)，
時，在時取得極小值也最小值，由恒成立得，
時，在時取得極大值也是最大值，由恒成立得，
綜上有．
故選：D．
【點睛】本題考查導數(shù)的運算，考查用導數(shù)研究不等式恒成立問題，用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解題關(guān)鍵，解題時注意分類討論思想的應用．
15．D
【分析】構(gòu)造函數(shù) 根據(jù)的符號判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的特點，得當時，f（x）<0, 當時，f（x）>0,再解不等式即可.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)則 ，
已知當時，，所以在x>0時，<0，即g（x）在（0，+）上是減函數(shù)，
因為y=lnx在（0，+）上是增函數(shù)，所以f（x）在（0，+）上是減函數(shù)
已知是奇函數(shù)，所以f（x）在（-，0）上也是減函數(shù)，f（0）=0，
故當時，f（x）<0, 當時，f（x）>0,
由得 ，解得x<-2或0故選D.
【點睛】本題考查了函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，考查了奇函數(shù)，以及不等式的解法，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性分析f（x）＞0與f（x）＜0的解集.
16．A
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導公式，即可求得答案.
【詳解】由可得，
故選：A
17．D
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式可判斷.
【詳解】由，所以函數(shù)是常函數(shù)，
.
故選：D.
18．B
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導公式即可結(jié)合選項求解.
【詳解】對于A, ,故A錯誤，
對于B，，故B正確，
對于C，，故C錯誤，
對于D, ,故D錯誤，
故選：B
19．A
【分析】利用初等函數(shù)求導公式求出導函數(shù)，從而可得答案.
【詳解】因為函數(shù)，
所以，
則．
故選：A.
20．A
【分析】根據(jù)函數(shù)的導數(shù)公式求解.
【詳解】因為，所以，
令，則有，解得，
所以，
所以，
故選：A.
21．A
【分析】
對求導后，將代入先求出，然后求出即可.
【詳解】由，求導可得，，
取得到，解得，
此時，則.
故選：A
22．B
【分析】由題意可設(shè)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得在處的切線方程，根據(jù)在函數(shù)圖像某個切點附近用切線代替曲線來近似計算，即可求得答案.
【詳解】設(shè)，則，
則，故在處的切線方程為，設(shè)為，
故由題意得，
故選：B
23．A
【詳解】，
∵函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，
∴區(qū)間上存在 ，
滿足
∴方程在區(qū)間有兩個不相等的解，
令，
則，
解得
∴實數(shù)的取值范圍是.
故選:A．
24．ACD
【分析】利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式對各函數(shù)求導即可判斷正誤.
【詳解】A：，對；
B：，錯；
C：，對；
D：，則，對.
故選：ACD
25．BCD
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)運算規(guī)則逐項驗證答案即可.
【詳解】常函數(shù)的導函數(shù)為0，選項A錯誤；
根據(jù)冪函數(shù)的求導規(guī)則，，選項B正確；
由指數(shù)函數(shù)的求導規(guī)則可知，選項C正確；
由對數(shù)函數(shù)的求導規(guī)則可知，選項D正確.
故選：BCD.
26．
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可.
【詳解】由題意，的導函數(shù)，故曲線在點處的切線斜率為，則切線方程.
故答案為：
27．##
【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，令為函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”，列方程求解即可.
【詳解】由可得，
令為函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”，
則，解得.
故答案為：
28．(1)，（2）
【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，再代入計算可得.
【詳解】（1）， ，
∴；
（2）∵，，
∴.
29．(1)；
(2)或.
【分析】（1）應用導數(shù)幾何意義求曲線上一點處的切線方程即可；
（2）令所求切線在曲線上的切點為，由導數(shù)幾何意義寫出切線方程，結(jié)合點在切線上求參數(shù)，即可得切線方程.
【詳解】（1）由題意，故，
所以，而，
所以曲線在點處的切線方程為.
（2）令所求切線在曲線上的切點為，則，
所以切線方程為，
又在切線上，故或，
所以切線方程為或.
30．(1)
(2)
【分析】（1）求出導函數(shù)，再由在時有極值0，可得解方程組即可求出的值；
（2）求出導函數(shù)，再由函數(shù)的單調(diào)性以及導數(shù)的正負列出表格，即可解得函數(shù)在和遞增，遞減，從而可得值域.
【詳解】（1），可得，
由題時有極值0.可得：即
解得：或，
當時，單調(diào)，不會有極值，故舍去.
經(jīng)驗證成立；
（2）由（1）可知，
，，
增 減 增
所以函數(shù)在和遞增，遞減.
且，，，，
可得值域為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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