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第五章 一元函數的導數及其應用
第5.2.2講 導數的四則運算法則
1．能利用導數的四則運算法則，求簡單函數的導數．　
2．進一步理解導數的運算與幾何意義的綜合應用．
1、利用運算法則求函數的導數
2、導數四則運算法則的應用
3、導數四則運算的實際應用
知識點　導數的四則運算法則
設兩個函數f(x)，g(x)可導，則
和(或差)的導數 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
積的導數 [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．特別地，當g(x)＝c(c為常數)時，[cf(x)]′＝cf′(x)
商的導數 (g(x)≠0)
（1）函數和、差的導數可以推廣到n個函數
設f1(x)，f2(x)，…，fn(x)在x處可導，則[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．
（2）積的導數公式，中間用“加號”，前導后不導＋前不導后導；商的導數公式，分母平方，分子用“減號”．
題型1、利用運算法則求函數的導數
1．已知函數（是的導函數），則（ ）
A． B． C． D．
2．若函數，則（ ）
A． B．
C． D．
3．函數的導數為（ ）
A． B． C． D．
4．函數的導數為（ ）
A． B．
C． D．
5．下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
題型2、導數四則運算法則的應用
6．曲線在點處的切線的斜率為（ ）
A． B．1 C． D．4
7．函數的導數的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
8．若，則的解集為（ ）
A． B． C． D．
9．已知，為的導函數，則的大致圖象是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函數，在區間內任取兩個實數，，且，若不等式恒成立，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型3、導數四則運算的實際應用
11．吹氣球時，氣球的半徑（單位：dm）與體積（單位：L）之間的關系是．當時，氣球的瞬時膨脹率為（ ）
A． B． C． D．
12．2023年3月5日，于西班牙博伊陶爾進行的2023年滑雪登山世錦賽落下帷幕，19歲中國小將玉珍拉姆獲得女子組短距離項目冠軍.在一次練習中，玉珍拉姆在運動過程中的重心相對于水平面的高度h（單位：）與開始時間t（單位：）存在函數關系，則此次練習中，玉珍拉姆在時的瞬時速度為（ ）
A．35 B．17 C． D．
13．已知某高山滑雪運動員在一次滑雪訓練中滑行的位移（單位：）與時間（單位：）之間的關系為.則當時，該運動員的滑雪速度為（ ）
A． B． C． D．
14．新型冠狀病毒肺炎（COVID﹣19）嚴重影響了人類正常的經濟與社會發展．我國政府對此給予了高度重視，采取了各種防范與控制措施，舉國上下團結一心，疫情得到了有效控制．人類與病毒的斗爭將是長期的，有必要研究它們的傳播規律，做到有效預防與控制，防患于未然．已知某地區爆發某種傳染病，當地衛生部門于4月20日起開始監控每日感染人數，若該傳染病在當地的傳播模型為（表示自4月20日開始（單位：天）時刻累計感染人數，的導數表示時刻的新增病例數），則下列命題正確的是（　　）
A．4月20號累計感染人數為2500
B．4月20號新增病例數為25
C．4月20號新增病例數為45
D．新增病例數自4月20號起逐漸減少
15．日常生活中的飲用水是經過凈化的，隨著水的純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知將水凈化到純凈度為時所需費用（單位：元）約為，則凈化到純凈度為98%左右時凈化費用的變化率，大約是凈化到純凈度為92%左右時凈化費用變化率的（ ）
A．16倍 B．20倍 C．25倍 D．32倍
一、單選題
16．曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
17．若函數的導函數為，則下列4個描述中，其中不正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
18．下列求導運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
19．已知函數，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
20．節日里，人們常用放氣球的形式慶祝，已知氣球的體積（單位：與半徑（單位：）的關系為，則時體積關于半徑的瞬時變化率為（ ）
A． B． C． D．
21．點在曲線上移動，設點處切線的傾斜角為，則角的范圍是（ ）
A． B． C． D．
22．已知函數為的導函數，則的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
23．給出定義：設是函數的導函數，是函數的導函數，若方程有實數解，則稱，為函數的“拐點”．經研究發現所有的三次函數都有“拐點”，且該“拐點”也是函數的圖像的對稱中心．若函數，則（ ）
A．8082 B． C．8084 D．
二、多選題
24．下列求導運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
25．經研究發現：任意一個三次多項式函數的圖象都只有一個對稱中心點，其中是的根，是的導數，是的導數．若函數圖象的對稱點為，則（ ）
A． B．
C．過點的切線方程為 D．過點的切線方程為
三、填空題
26．已知直線是曲線在點處的切線方程，則
27．設函數在上的導函數為，已知，，則不等式的解集是 ．
四、解答題
28．求下列函數的導數
(1)；
(2)
29．（1）已知函數，求；
（2）已知曲線，求曲線在處的切線方程.
30．已知函數，.
(1)求函數的圖象在點處的切線方程；
(2)令，求.
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．D
【分析】對于原函數和導函數，分別取，代入運算求解即可.
【詳解】因為，則，
又因為，
當時，，解得，
所以.
故選：D.
2．D
【分析】根據題意，由導數的四則運算法則，即可得到結果.
【詳解】因為函數，則.
故選：D
3．C
【分析】根據基本函數的求導公式以及求導法則即可求解.
【詳解】
故選：C.
4．D
【分析】利用導數乘法運算規則即可求得函數的導數.
【詳解】由，可得
故選：D
5．C
【分析】根據導數公式表以及導數的運算法則運算可得答案.
【詳解】，故A不正確；
，故B不正確；
，故C正確；
，故D不正確.
故選：C
6．A
【分析】求出函數的導數，在點處的切線的斜率即為處的導數.
【詳解】令，，
故在點處的切線的斜率為.
故選：A
7．D
【分析】根據已知，利用函數的求導公式以及函數的奇偶性、函數值進行排除.
【詳解】因為，所以，
令，，則，
所以函數是奇函數，故A，C錯誤；
又，故B錯誤.
故選：D.
8．C
【分析】求出函數的定義域與導函數，再解不等式即可.
【詳解】函數的定義域為，且，
由，則，解得，所以的解集為.
故選：C
9．A
【分析】求出導函數，根據奇偶性可得BD不正確；根據可得C不正確；
【詳解】因為，所以，
因為，所以為奇函數，其圖象關于原點對稱，故BD不正確；
因為，故C不正確；
故選：A
10．A
【分析】由的幾何意義，得函數圖象上在區間內任意兩點連線的斜率大于1，即函數的導數大于1在內恒成立，可得在內恒成立，利用二次函數的性質可求.
【詳解】因為的幾何意義，表示點與點連線斜率，
∵實數，在區間內，不等式恒成立，
∴函數圖象上在區間內任意兩點連線的斜率大于1，
故函數的導數大于1在內恒成立，∴在內恒成立，
由函數的定義域知，，所以在內恒成立，
由于二次函數在上是單調遞減函數，
故，∴，
∴．
故選：A.
11．A
【分析】求導，再代入求解出即為答案.
【詳解】，
故
故選：A
12．C
【分析】利用導數的幾何意義即可得解.
【詳解】因為，所以，
所以，即玉珍拉姆在時的瞬時速度為.
故選：C.
13．B
【分析】根據導數的幾何意義，對求導，再將代入求解即可.
【詳解】因為，所以，
故，
所以該運動員的滑雪速度為.
故選：B.
14．C
【分析】由題對求導，再對照選項判斷即可得出答案．
【詳解】對求導得：，
當時，，故4月20號累計感染人數為，A選項錯誤；
當時，，故4月20號新增感染人數為，所以B錯，C正確；
根據基本不等式：，
當，即當時取等號，
于是，
結合C選項可知，在4月20日新增人數的人，既然會某時刻達到新增人，說明不會越來越少，故D錯誤．
故選：C
15．A
【分析】先求出，再求出的值即得解.
【詳解】解：由題意可知，凈化所需費用的瞬時變化率為，
，，
，
即凈化到純凈度為左右時凈化費用的變化率，大約是凈化到純凈度為左右時凈化費用變化率的16倍，
故選：A．
16．C
【分析】求出和，利用導函數幾何意義求出切線方程.
【詳解】，，故，
所以在點處的切線方程為，
即.
故選：C
17．D
【分析】結合函數的求導公式和求導法則，逐項判斷，即可得到本題答案.
【詳解】因為，
所以，項正確，D項錯誤.
故選：D
18．B
【分析】根據導數運算求得正確答案.
【詳解】A選項，，所以A選項錯誤.
B選項，，所以B選項正確.
C選項，，所以C選項錯誤.
D選項，，所以D選項錯誤.
故選：B
19．C
【分析】根據導數的求導法則，求導代入即可求解.
【詳解】對求導可得，
所以，所以，
故選：C
20．B
【分析】根據瞬時變化率的定義結合導數的運算求解即可.
【詳解】由，求導得，
所以時體積關于半徑的瞬時變化率為.
故選：B.
21．C
【分析】求導，求出導函數的值域，再根據導數的幾何意義即可得解.
【詳解】，
所以點處切線的斜率的取值范圍為，即，
又，所以角的范圍是.
故選：C.
22．B
【分析】求出，判斷奇偶性，并結合特殊值驗證，即可判斷出答案.
【詳解】由可知，
則，即為奇函數，故A，D錯誤；
又，故C錯誤，B正確，
故選：B
23．A
【分析】按定義求得拐點，即為函數的圖像的對稱中心，利用對稱性化簡求值即可.
【詳解】，令得，，即函數的圖像的對稱中心為，則，
故
故選：A
24．BC
【分析】由基本初等函數的導數公式和導數的運算法則計算判斷.
【詳解】為常數，，A錯誤；
，，B正確；
，C正確；
，D錯誤.
故選：BC
25．AC
【分析】求導，由，，解得，故，利用導數的幾何意義計算即可判斷出結果.
【詳解】由題意可得，
因為，所以，
所以，
解得，故.
，所以過點的切線方程為，即，即C正確，
故選：AC.
26．e
【分析】利用導數的幾何意義求切線方程，并寫出的形式確定參數，即可得結果.
【詳解】由題設，且，則，
所以，切線方程為，即，
所以，故.
故答案為：
27．
【分析】利用求導法則構造新函數，解出代入不等式，運算即可得解.
【詳解】解：由題意得，
∴，令，
則，
∵，∴
∴，
∴，
則有，解得，
所以，所求解集為.
【點睛】本題考查函數的導數的應用和一元二次不等式的解法，關鍵在于恰當構造函數.構造函數的主要思路有：
（1）條件中出現和時，適當轉換后考慮根據商的求導法則令；
（2）條件中出現和時，適當轉換后考慮根據積的求導法則令.
28．(1)
(2)
【分析】（1）（2）利用求導法則可求得.
【詳解】（1）解：因為，則.
（2）解：因為，則.
29．（1）；（2）.
【分析】（1）等式兩邊求導，然后令，可求得的值；
（2）求出、的值，利用導數的幾何意義可求得所求切線的方程.
【詳解】解：（1）因為，
等式兩邊求導可得，
所以，，即，解得；
（2）因為，則，
所以，，，
所以，曲線在處的切線方程為，即.
30．(1)
(2)
【分析】（1）利用導數幾何意義求切線方程；
（2）應用基本函數的導數公式及加減法法則求導即可.
【詳解】（1）由題設，且，則，
所以在點處的切線方程為，即.
（2）由，
所以.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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