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第五章 一元函數的導數及其應用
第5.2.3講 簡單復合函數的導數
班級_______ 姓名_______ 組號_______
1．掌握復合函數的求導法則．　
2．能求簡單的復合函數(限于形如f(ax＋b))的導數．
1、求復合函數的導數
2、復合函數與導數的運算法則的綜合
3、復合函數的導數與應用
知識點一　復合函數
一般地，對于兩個函數y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數，記作y＝f(g(x))．
知識點二　復合函數的求導法則
一般地，對于由函數y＝f(u)和u＝g(x)復合而成的函數y＝f(g(x))，它的導數與函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為y′x＝y′u·u′x，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．
(1)中間變量的選擇應是基本初等函數的結構；(2)求導由外向內，并保持對外層函數求導時，內層不變的原則；(3)求每層函數的導數時，注意分清是對哪個變量求導．
題型1、求復合函數的導數
1．設，則（ ）
A． B． C． D．
2．的導數是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函數，則的導數（ ）
A． B． C． D．
4．已知，則（ ）
A． B． C． D．
5．已知函數，則（ ）
A． B． C． D．
題型2、復合函數與導數的運算法則的綜合
6．在下列求導數的運算中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列求導運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列求導運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列求導運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列計算不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
題型3、復合函數的導數與應用
11．已知是自然對數的底數，則函數的圖象在原點處的切線方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知直線與曲線相切，則實數（ ）
A． B． C． D．
13．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則（ ）
A． B． C． D．
14．已知點P是曲線上一動點，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
15．已知函數及其導函數的定義域均為，且是奇函數，記，若是奇函數，則（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
16．已知函數的導數為，則＝（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
17．曲線在處切線的斜率為（ ）
A．2 B． C．1 D．
18．下列求導正確的是（ ）
A． B．
C． D．
19．下列求導不正確的有（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
20．函數的圖象在點處的切線方程是（ ）
A． B． C． D．
21．若，則曲線在點處的切線的斜率為（ ）
A． B． C．2 D．
22．已知函數為的導函數，則（ ）
A．0 B．8 C．2022 D．2023
23．曲線在處的切線與坐標軸所圍成的三角形面積為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
24．下列導數運算正確的有（ ）
A． B． C． D．
25．下列求導運算正確的是（ ）
A． B．，則
C． D．
26．牛頓在《流數法》一書中，給出了高次代數方程的一種數值解法——牛頓法．具體做法如下：如圖，設r是的根，首先選取作為r的初始近似值，在處作圖象的切線，切線與x軸的交點橫坐標記作，稱是r的一次近似值，然后用替代重復上面的過程可得，稱是r的二次近似值；一直繼續下去，可得到一系列的數在一定精確度下，用四舍五入法取值，當近似值相等時，該值即作為函數的一個零點r，若使用牛頓法求方程的近似解，可構造函數，則下列說法正確的是（ ）

A．若初始近似值為1，則一次近似值為3
B．
C．對任意，
D．任意，
27．已知函數和分別為奇函數和偶函數，且，則（ ）
A．
B．在定義域上單調遞增
C．的導函數
D．
三、填空題
28．函數的圖象在處的切線方程為 .
29．已知函數，則= .
四、解答題
30．指出下列函數是怎樣復合而成的．
(1)；
(2)；
(3).
31．已知一罐汽水放入冰箱后的溫度x（單位：）與時間t（單位：h）滿足函數關系．
(1)求，并解釋其實際意義；
(2)已知攝氏度x與華氏度y（單位：）滿足函數關系，求y關于t的導數，并解釋其實際意義．
32．已知函數
(1)求的導數．
(2)求曲線在點處的切線方程．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】利用導數運算求得正確答案.
【詳解】依題意，，
所以.
故選：C
2．A
【分析】直接利用復合函數的求導法法則求解即可
【詳解】由，得，
故選：A
3．D
【分析】利用復合函數求導法則進行求解.
【詳解】.
故選：D
4．D
【分析】根據已知條件，結合導數的求導法則，即可求解．
【詳解】，
則．
故選：D
5．A
【分析】利用復合函數的求導法則即可求解.
【詳解】因為函數，
所以，
，
故選：.
6．D
【分析】利用求導四則運算法則和簡單復合函數求導法則計算，得到答案.
【詳解】A選項，，A錯誤；
B選項，，B錯誤；
C選項，，C錯誤；
D選項，，D正確.
故選：D
7．D
【分析】根據求導法則逐個分析判斷即可
【詳解】對于A，，所以A錯誤，
對于B，，所以B錯誤，
對于C，，所以C錯誤，
對于D，，所以D正確，
故選：D.
8．C
【分析】根據導數的運算逐一判斷即可.
【詳解】：，A錯誤，
：，B錯誤，
：，C正確，
：，D錯誤，
故選：C．
9．B
【分析】根據導數的基本運算與復合導數的運算法則求解即可.
【詳解】對A，，故A錯誤；
對B，，故B正確；
對C，，故C錯誤；
對D，，故D錯誤.
故選：B
10．A
【分析】根據求導法則逐個分析判斷即可
【詳解】對于A，，所以A錯誤，
對于B，，所以B正確，
對于C，，所以C正確，
對于D，，所以D正確，
故選：A
11．B
【分析】求導得，計算，，則得到切線方程.
【詳解】因為，所以，
所以函數的圖象在原點處的切線方程為，
故選：B.
12．C
【分析】先設出切點坐標，根據導數的幾何意義建立方程組，求解方程組可得答案.
【詳解】設切點坐標為，由求導，得,
所以，即解得．
故選：C．
13．D
【分析】設出兩個切點坐標，根據導數的幾何意義可得.將切點代入兩條曲線，聯立方程可分別求得,代入其中一條曲線即可求得的值，由此可求.
【詳解】直線是曲線的切線,也是曲線的切線,
則兩個切點都在直線上,設兩個切點分別為
則兩個曲線的導數分別為,
由導數的幾何意義可知,則
且切點在各自曲線上,所以
則將代入可得
可得
由可得
代入中可知
所以，
所以.
故選：D.
14．A
【分析】求出函數的導數，利用均值不等式求出切線斜率的取值范圍即可計算作答.
【詳解】函數的定義域是R，求導得：函數，而，
則曲線在點處的切線的斜率，
當且僅當，即，時取“=”，而，
于是得，又，因此，，
所以的取值范圍是.
故選：A
15．B
【分析】根據 是奇函數，可得 ，兩邊求導推得，，再結合題意可得4是函數的一個周期，且，進而可求解．
【詳解】因為 是奇函數，所以 ，
兩邊求導得 ，
即，
又，
所以 ，即，
令 ，可得 ，
因為是定義域為的奇函數，所以，即．
因為是奇函數，
所以 ，又，
所以，則，，
所以4是函數的一個周期，
所以．
故選：B．
16．D
【分析】先求出導函數，再代入求值即得.
【詳解】則.
故選：D.
17．B
【分析】求導，再根據導數的幾何意義即可得解.
【詳解】，
當時，，
即曲線在處切線的斜率為.
故選：B.
18．C
【分析】
根據基本函數的求導公式，及導數的運算法則和復合函數的求導法則，進行運算即可判斷選項.
【詳解】對于A，，故A錯誤；
對于B，根據復合函數的求導法則，
，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D錯誤.
故選：C.
19．B
【分析】
根據導數公式可依次判斷各選項.
【詳解】根據導數公式及求導運算法則，可判斷A，C，D選項正確；對B選項，是常數，其導數是0，故B選項錯誤.
故選：B.
20．D
【分析】先求導數，得切線的斜率，再根據點斜式得切線方程.
【詳解】因為，所以．因為，
所以切線方程為，即．
故選：D.
21．B
【分析】先利用復合函數的求導求得，
【詳解】因為，
所以，
因為，
則，
所以在點處的切線的斜率為.
故選：B.
22．B
【分析】利用導數以及函數的奇偶性求得正確答案.
【詳解】依題意，的定義域為，是偶函數.
令，是奇函數，
有，
則.
而，
所以.
故選：B
23．A
【分析】求導，得到切線方程的斜率，進而求出切線方程，求出與坐標軸圍成的三角形面積.
【詳解】由，可得，又，，
故在點處的切線方程為，即.
令得，令得，
所以切線與坐標軸所圍成的三角形面積為.
故選：A.
24．ABD
【分析】根據導數的運算法則依次討論各選項即可得答案.
【詳解】對A，，故正確；
對B，，B正確；
對C，，C錯誤；
對D， ，D正確.
故選：ABD
25．BD
【分析】利用導數的運算法則和初等函數的導數對每一個選項逐一求導.
【詳解】對于選項A： ，故A錯誤；
對于選項B：，故B正確；
對于選項C：，故C錯誤；
對于選項D：，故D正確；
故選：BD.
26．BD
【分析】
根據牛頓法，即可求切線方程，進而得橫坐標，結合選項即可求解BD.
【詳解】設，的零點就是的解．
，當時，，切線為，令，則，所以切線與x軸交點橫坐標為，A錯誤；
在處的切線為，所以切線與x軸交點橫坐標為，
所以，，，，
∴，B正確；
若，，由B得，C錯誤；
，D正確．
故選：BD
27．BD
【分析】根據函數的奇偶性可得，結合選項即可逐一求解,
【詳解】由得，由于函數和分別為奇函數和偶函數，所以，因此，
對于A, ,故A錯誤，
對于B，由于函數在單調遞增，在單調遞減，所以在單調遞增，故B正確，
對于C，當且僅當時取等號，
而，所以C錯誤，
對于D，，當且僅當時取等號，所以D正確，
故選：BD
28．
【分析】由函數的解析式，求得，根據導數求得，結合直線的點斜式，即可求解.
【詳解】因為，
所以，
所以，，
所以在處的切線方程為，即.
故答案為：.
29．
【分析】
首先求函數的導數，并求，再根據函數的解析式，即可求解.
【詳解】，
則，得，
所以，
故.
故答案為：
30．(1)；
(2)；
(3)
【分析】根據復合函數的定義分析即可.
【詳解】（1）是由函數復合而成的．
（2）是由函數復合而成的．
（3）是由函數復合而成的．
31．(1)，實際意義見解析；
(2)，實際意義見解析.
【分析】（1）求出給定函數的導數，再求出對應函數值，并說明意義作答.
（2）求出y關于t的函數，再求出導數及說明意義作答.
【詳解】（1）由，求導得，
所以，在第1時，汽水溫度的瞬時變化率為，
說明在第1附近，汽水溫度大約以的速率下降.
（2）依題意，，求導得，
所以y關于t的導數為，在第時，汽水溫度的瞬時變化率為，
說明在第附近，汽水溫度大約以的速率下降.
32．(1)
(2)
【分析】（1）根據基本初等函數的導數公式及導數的運算法則對原函數求導；
（2）由導數幾何意義求處的切線方程.
【詳解】（1）
.
（2），而，
所以切線方程為，即.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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