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第六章 平面向量及其應用
第6.2.3講 向量的數乘運算
1．通過實例，掌握向量數乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義．
2．了解向量線性運算的性質及其幾何意義．
3．通過實例，用向量解決一些幾何問題，培養數學知識的運用，體會向量的工具性，培養數學運算、直觀想象的學科素養．
1、向量的線性運算
2、用已知向量表示未知向量
3、向量共線
1．向量數乘的定義
一般地，我們規定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘（multiplication of vector by scalar），記作λa，它的長度與方向規定如下：
（1）|λa|＝|λ||a|；
（2）當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反．
由（1）可知，當λ＝0時，λa＝0．
由（1）（2）可知，（－1）a＝－a.
2．向量數乘的運算律
設λ，μ為實數，那么
（1）λ（μa）＝（λμ）a；
（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa；
（3）λ（a＋b）＝λa＋λb．
特別地，我們有
（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a），λ（a－b）＝λa－λb.
3．向量的線性運算
向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算．向量線性運算的結果仍是向量．對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）＝λμ1a±λμ2b．
4．向量的共線定理
向量a（a≠0）與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b＝λa．
[獨立思考]
1．設λ為實數，a為向量，λ＋a，λ－a有意義嗎？
提示：無意義．
2．對于非零向量a，當λ＝時，λa表示什么意義？
提示：表示a方向上的單位向量．
3．設非零向量a位于直線l上，那么對于直線l上的任意一個向量b，如何用a表示？
提示：存在唯一的一個實數λ，使b＝λa.
題型1、向量的線性運算
1．如圖，在矩形中，為中點，那么向量等于（ ）
A． B． C． D．
2．化簡為（ ）
A． B．
C． D．
3．如圖，在平行四邊形中，（ ）
A． B． C． D．
4．在中，已知是邊上一點，若，則（ ）
A．2 B．１
C．-2 D．－1
5．已知是內一點，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
題型2、用已知向量表示未知向量
6．在平行四邊形ABCD中，，，G為EF的中點，則（ ）

A． B． C． D．
7．在中，設，，，則（ ）
A． B． C． D．
8．中，是的中點，點在邊上，且滿足，交于點，則=（ ）
A． B． C． D．
9．設為所在平面內一點，且滿足，則（ ）
A． B． C． D．
10．衡量鉆石價值的4C標準之一是切工．理想切工是一種高雅且杰出的切工，它使鉆石幾乎反射了所有進入鉆石的光線．現有一理想切工的鉆石，其橫截面如圖所示，其中為等腰直角三角形，四邊形BCDE為等腰梯形，且，，，則（ ）
A． B．
C． D．
題型3、向量共線
11．已知點是所在平面上的一點，的三邊為，若，則點是的（ ）
A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心
12．已知是平面上的4個定點，不共線，若點滿足，其中，則點的軌跡一定經過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
13．已知點在所在的平面內，滿足，則動點的軌跡一定通過的（ ）
A．內心 B．垂心 C．外心 D．重心
14．已知，是平面內兩個不共線的向量，，，，且A，C，D三點共線，則（ ）
A． B．2 C．4 D．
15．在中，，，是所在平面內一點，，則等于（ ）
A． B． C． D．
一、單選題
16．在中，點為邊的中點，記，則（ ）
A． B． C． D．
17．若正方形的邊長為2，則（ ）
A． B． C． D．
18．若是內一點，，則是的（ ）
A．內心 B．外心 C．垂心 D．重心
19．已知點在線段上，且，若向量，則（ ）
A．2 B． C． D．
20．如圖，在中，，則（ ）
A． B． C． D．
21．已知不共線的向量，且，，，則一定共線的三點是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
22．已知平面內四個不同的點滿足，則（ ）
A． B． C．2 D．3
23．已知向量，不共線，且向量與方向相同，則實數的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
二、多選題
24．下列命題正確的的有（ ）
A．
B．
C．若，則共線
D．，則共線
25．如圖在中，AD BE CF分別是邊BC CA AB上的中線，且相交于點G，則下列結論正確的是（ ）

A． B．
C． D．
三、填空題
26．在中，D為CB上一點，E為AD的中點，若，則 ．
27．三國時期東吳的數學家趙爽為了證明勾股定理，繪制了一張勾股圓方圖（也稱趙爽弦圖），弦圖作為可分解的一種圖模型在代數與幾何，以及復雜統計量的分解和參數估計都有著極大的作用.現有一弦圖，為正方形，，過作的垂線交于點，線段上存在一點，使得，則 .

四、解答題
28．如圖，在中，M，N分別是OA，OB的中點．設，，試用，表示，，并比較與的長度和方向．

29．如圖，中，AB邊的中點為P，重心為G．在外任取一點O，作向量，，，，．

(1)試用，表示．
(2)試用，，表示．
30．已知兩個非零向量，不共線．
(1)若，，，求證：A，B，D三點共線；
(2)若與共線，求實數k的值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據平面向量的線性運算，結合圖形可得.
【詳解】因為四邊形為矩形，為中點，
所以，
所以.
故選：B
2．D
【分析】
利用平面向量的數乘及加減運算即可求得結果.
【詳解】根據向量的四則運算可知，
.
故選：D
3．D
【分析】根據平面向量的線性運算法則計算出結果.
【詳解】.
故選：D
4．C
【分析】由可得為線段的三等分點中靠近的點，由向量的加(減)法及數乘運算可得，即可求得.
【詳解】解：如圖所示：
因為，
所以為線段的三等分點中靠近的點，
所以=,
所以，
所以.
故選：C.
5．A
【分析】根據向量的加法和減法運算由條件，可得出，然后即可得到是的重心，從而可得出答案.
【詳解】，
所以是的重心，所以.
故選：A.
6．D
【分析】利用向量的加減法的幾何意義將轉化為、即可.
【詳解】
.
故選：D.

7．B
【分析】把作為基底，然后根據已知條件結平面向量基本定理可求得結果.
【詳解】
因為，
所以
，
故選：B
8．A
【分析】設設，，由、得、與的關系，結合求、，進而可得與的線性關系式.
【詳解】由題設可得如下幾何示意圖，
設，，
∵，
∴，
∵，
∴，
由知：，
∴，得，
∴.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：令，，利用幾何圖形中各線段對應向量的線性關系求參數、，寫出與的線性關系式.
9．A
【分析】利用向量的加減、數乘運算即可求得.
【詳解】∵，所以三點共線且.如圖所示：
∴，即.
故選：A.
10．C
【分析】如圖，延長CD和BE交于點F，證明四邊形ABFC為正方形，再利用平面向量的線性運算求解.
【詳解】解：如圖，延長CD和BE交于點F，由題得,
所以四邊形ABFC為矩形，又,所以四邊形ABFC為正方形，
又，所以分別是中點，
所以．
故選：C
11．B
【分析】
在，上分別取點，，使得，，以，為鄰邊作平行四邊形，即可得到四邊形是菱形，再根據平面向量線性運算法則及共線定理得到，，三點共線，即可得到在的平分線上，同理說明可得在其它兩角的平分線上，即可判斷.
【詳解】在，上分別取點，，使得，，則．
以，為鄰邊作平行四邊形，如圖，

則四邊形是菱形，且．
為的平分線．
，
即，
．
，，三點共線，即在的平分線上．
同理可得在其它兩角的平分線上，
是的內心．
故選：B．
12．A
【分析】設邊的中點為，則，進而結合題意得，再根據向量共線判斷即可.
【詳解】解：根據題意，設邊的中點為，則，
因為點滿足，其中
所以，，即，
所以，點的軌跡為的中線，
所以，點的軌跡一定經過的重心.
故選：A
13．D
【分析】由給定條件可得，由表示出即可判斷作答.
【詳解】令邊BC上的高為h，則有，令邊BC的中點為D，則，
因此，，即，
所以動點的軌跡一定通過的重心.
故選：D
14．D
【分析】根據已知求出.根據已知可得共線，進而得出，代入向量整理得出方程組，求解即可得出答案.
【詳解】由已知可得，，.
因為A，C，D三點共線，所以共線，
則，使得，
即，
整理可得.
因為，不共線，
所以有，解得.
故選：D.
15．A
【分析】根據題意，得到，結合，化簡得到，即可求解.
【詳解】由，可得，
因為，可得，
所以，
又因為，所以.
故選：A.
16．C
【分析】利用平面向量的線性運算計算即可.
【詳解】由題意可知，.
故選：C
17．A
【分析】根據平面向量的線性運算即可求解．
【詳解】由正方形的邊長為2，則，
所以．
故選：A．

18．D
【分析】
利用向量的加法法則，結合重心定義判斷作答.
【詳解】取線段的中點，連接，則，而，

因此，即三點共線，線段是的中線，且是靠近中點的三等分點，
所以是的重心.
故選：D
19．D
【分析】根據題意可知，結合向量的線性表示即可求得.
【詳解】如圖，由，可得，所以，即，
故選：D.
20．A
【分析】運用平面向量的三角形法則和數乘向量，直接求解．
【詳解】在中，，
∴.
故選：A．
21．A
【分析】利用向量的共線定理一一判斷即可.
【詳解】對A，,
所以，則三點共線，A正確；
對B，,
則不存在任何，使得，所以不共線,B錯誤；
對C，,
則不存在任何，使得，所以不共線，C錯誤；
對D，,
則不存在任何，使得，所以不共線，D錯誤；
故選:A.
22．D
【分析】
將條件變形，得到的關系，進而可得的值.
【詳解】,
,
即,
.
故選：D.
23．A
【分析】
利用向量共線定理求解即可
【詳解】因為向量與方向相同，
所以存在唯一實數，使，
因為向量，不共線，
所以，解得或（舍去），
故選：A
24．ABC
【分析】
根據向量的數乘運算判斷A，B；由共線向量的定義判斷C，D.
【詳解】解：對于A，，故正確；
對于B，，故正確；
對于C，因為，所以，所以共線，故正確；
對于D，因為恒成立，所以不一定共線，故錯誤.
故選：ABC.
25．BC
【分析】由條件可知為的重心，由重心的性質逐一判定即可.
【詳解】由條件可知為的重心，
對于A，由重心的性質可得，所以，故A錯誤；
對于B，由重心的性質可得，所以，故B正確；
對于D，故D錯誤；
對于C，，，
，故C正確.
故選：BC.
26．##0.1
【分析】
由平面向量的線性運算和三點共線的充分必要條件得出結果.
【詳解】
因為E為AD的中點，所以，
因為B，D，C三點共線，所以，
所以，解得．
故答案為：
27．
【分析】利用面積關系，結合向量共線，即可求解.
【詳解】連接，
因為，所以，
所以，
所以，，故.

故答案為：
28．答案見解析
【分析】平面向量的加法運算和平面向量的數乘運算即可求解.
【詳解】．
，
故與方向相同，且．
29．(1)
(2)
【分析】（1）根據平面向量線性運算的性質進行求解即可；
（2）根據平面向量線性運算的性質，結合三角形重心的性質進行求解即可.
【詳解】（1）
．
（2）
．

30．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據條件，得到，再證明三點共線即可；
（2）由兩向量共線，得到，列出方程組，求出答案.
【詳解】（1）證明：根據條件可知，，所以，共線，
又因為，有公共點B，所以A，B，D三點共線．
（2）因為與共線，
所以存在，使得，
所以，解得或，
即．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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