資源簡介

2023-2024學年高一下冊數學-8.3簡單幾何體的表面積和體積（人教A版2019必修第二冊）
知識點一：多面體的表面積、側面積
（1）多面體的表面積、側面積定義：因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側面積就是所有側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和．
（2）棱柱、棱錐、棱臺的側面展開圖
①棱柱的側面展開圖是平行四邊形，一邊為棱柱的側棱，另一邊等于棱柱的底面周長；
②棱錐的側面展開圖由若干個三角形組成；
③棱臺的側面張開圖由若干個梯形組成.

（3）棱柱、棱錐、棱臺的表面積
①棱柱的表面積：；
②棱錐的表面積：；
③棱臺的表面積：
知識點二：棱柱、棱錐、棱臺的體積
（1）棱柱的高和體積
①棱柱的高：兩底面之間的距離，即從一個底面上任意一點，向另外一個底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面之間的交點）之間的距離，也就是垂線段的長.
②棱住的體積：棱柱的體積等于它的底面積和高的乘積，即.
（2）棱錐的高和體積
①棱錐的高：棱錐的頂點到底面之間的距離，即從頂點向底面作垂線，頂點到垂足（垂線與底面之間的交點）之間的距離，即垂線段的長.
②棱錐的體積：棱錐的體積等于它的底面積和高的乘積的，即
（3）棱臺的體積：V＝(S上＋S下＋)h
知識點三：圓柱、圓錐、圓臺的表面積
（1）側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l
（2）圓柱、圓錐、圓臺的表面積的求解步驟;
解決圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題，要利用好旋轉體的軸截面及側面展開圖，借助平面幾何知識，求得所需幾何要素，代入公式求解即可，基本步驟如下：
①得到空間幾何體的平面展開圖．
②依次求出各個平面圖形的面積．
③將各平面圖形的面積相加．
知識點四：圓柱、圓錐、圓臺的體積
（1）圓柱、圓錐、圓臺的體積公式：
①圓柱的體積公式：
②圓錐的體積公式：
③圓臺的體積公式：V＝(S上＋S下＋)h
（2）柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關系
題型一：求多面體的表面積、側面積
解題思路：（1）多面體的表面積、側面積定義：因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側面積就是所有側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和．
（2）棱柱、棱錐、棱臺的側面展開圖
①棱柱的側面展開圖是平行四邊形，一邊為棱柱的側棱，另一邊等于棱柱的底面周長；
②棱錐的側面展開圖由若干個三角形組成；
③棱臺的側面張開圖由若干個梯形組成.

（3）棱柱、棱錐、棱臺的表面積
①棱柱的表面積：；
②棱錐的表面積：；
③棱臺的表面積：
例1．某幾何體為棱柱或棱錐，且每個面均為邊長是2的正三角形或正方形，給出下面4個值：①；②24；③；④．則該幾何體的表面積可能是其中的（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】
根據題意，由多面體的表面積公式，代入計算，即可得到結果.
【詳解】
當該幾何體為正四面體時，其表面積為．
當該幾何體為正四棱錐時，其表面積為．
當該幾何體為正三棱柱時，其表面積為．
當該幾何體為正方體時，其表面積為．
故選：D．
例2．將一個正四棱臺物件放入有一定深度的電解槽中，對其表面進行電泳涂裝．如圖所示，已知該物件的上底邊長與側棱長相等，且為下底邊長的一半，一個側面的面積為，則該物件的高為（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【分析】
作出正四棱臺的圖形，設，利用該四棱臺側面的面積求得，進而利用勾股定理即可得解.
【詳解】設，則.
因為該四棱臺為正四棱臺，所以各個側面都為等腰梯形，上、下底面為正方形，
在四邊形中，過點作于點，
則，所以，
所以，解得，
在平面中，過點作于點，
易知為正四棱臺的高，則，
所以.
故選：C.
例3．攢尖是古代中國建筑中屋頂的一種結構形式，依其平面有圓形攢尖 三角攢尖 四角攢尖 六角攢尖等，多見于亭悶式建筑.如故宮中和殿的屋頂為四角攢尖頂，它的主要部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，設正四棱錐的側面等腰三角形的頂角為，則該正四棱錐的底面積與側面積的比為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由側面為等邊三角形，結合面積公式求解即可.
【詳解】設底面棱長為，
因為正四棱錐的側面等腰三角形的頂角為60°，所以側面為等邊三角形，
則該正四棱錐的底面積與側面積的比為.
故選：B
例4．正方體的八個頂點中，有四個恰好為正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
設正方體的棱長為，可求出正四面體的棱長，繼而求得兩種幾何體的表面積即可.
【詳解】正方體的棱長為，此時正四面體的棱長為，
則正方體的表面積為，
正四面體的表面積為，
兩者之比為，
故選：B.
變式訓練
5．正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，8，該梭臺的表面積為148，則側棱長為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先求得側面的高，進而求得側棱長.
【詳解】設正四棱臺側面的高為，則，
所以側棱長為.
故選：C
6．在長方體中，.該長方體的表面積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
畫出幾何體，分別計算的長，從而可計算即可得出結論.
【詳解】如圖，在長方體中，連接,

，
，
該長方體的表面積為.
故選：D.
7．一個正三棱錐的每一個面都是邊長是1的正三角形，則此正三棱錐的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出底面積和側面積，即可求出正三棱錐的表面積.
【詳解】一個正三棱錐的每一個面都是邊長是1的正三角形，
所以一個面為，
故三棱錐的表面積為.
故選：D

8．某廣場設置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個相同的四面體得到的(如圖)，則該幾何體共有 個面；若被截正方體的棱長是60cm，那么該幾何體的表面積是 cm2.
【答案】 14
【分析】由題意知，截去的八個四面體是全等的正三棱錐，8個底面三角形，再加上6個小正方形，所以該幾何體共有14個面；再根據面積公式即可求出表面積.
【詳解】由題意知，截去的八個四面體是全等的正三棱錐，8個底面三角形，
再加上6個小正方形，所以該幾何體共有14個面；
如果被截正方體的棱長是，那么石凳的表面積是
.
故答案為：14，.
9．在底面是菱形的直四棱柱中，直四棱柱的對角線長分別為9，15，高是5，則該直四棱柱的表面積是
【答案】
【分析】
根據題意設底面對角線，，再列式求解菱形的邊長，進而求得直四棱柱的表面積即可.
【詳解】如圖所示，設底面對角線，，交點為O，
對角線，，，

所以，即，故，
由，即，故，
因為底面是菱形，
所以，
即，
所以該直四棱柱的側面積為，
表面積為.
故答案為：
10．各棱長為1的四面體的表面積為 .
【答案】
【分析】利用正四面體的結構特征進行求解．
【詳解】各棱長為1的四面體為正四面體，其4個面均為邊長為1的等邊三角形，
所以它的表面積為.
故答案為：．
11．一個正六棱柱的底面邊長為3，高為4，則它的側面積為 .
【答案】72
【分析】根據題意結合正棱柱的側面積公式直接求解
【詳解】因為正六棱柱的底面邊長為3，高為4，
所以此棱柱的側面積為，
故答案為：72
12．已知正四棱錐的底面邊長為8，側棱長為，則表面積為 .
【答案】144
【分析】利用正四棱錐的性質，再根據條件，求出斜高，即可求出結果.
【詳解】如圖所示，正四棱錐的底面邊長為8，側棱長為，所以，高，
過作交于，連接，
因為是正四棱錐，易知，且，
所以正四棱錐的側面積為，又底面積為，
故正四棱錐的表面積為144.

故答案為：144.
題型二：求棱柱、棱錐、棱臺的體積
解題思慮：（1）棱柱的高和體積
①棱柱的高：兩底面之間的距離，即從一個底面上任意一點，向另外一個底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面之間的交點）之間的距離，也就是垂線段的長.
②棱住的體積：棱柱的體積等于它的底面積和高的乘積，即.
（2）棱錐的高和體積
①棱錐的高：棱錐的頂點到底面之間的距離，即從頂點向底面作垂線，頂點到垂足（垂線與底面之間的交點）之間的距離，即垂線段的長.
②棱錐的體積：棱錐的體積等于它的底面積和高的乘積的，即
（3）棱臺的體積：V＝(S上＋S下＋)h
例1．在正四棱臺中，，且三棱錐的體積為，則該正四棱臺的體積為（ ）

A．14 B．21 C．24 D．36
【答案】B
【分析】
設正四棱臺的高為，結合棱錐體積公式可求得，根據面積比可表示出上下底面面積，代入棱臺體積公式
可求得結果.
【詳解】設正四棱臺的高為，則，，
，
又，，
正四棱臺的體積
.
故選：B.
例2．正三棱柱的側面展開圖是邊長分別為和的矩形，則它的體積為（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】分類討論側面展開圖矩形的長、寬為和、4和6兩種情況，結合柱體的體積公式計算即可求解.
【詳解】如圖，正三棱柱，其側面展開圖為一個矩形，
當矩形長、寬分別為和時，正三棱柱的高為4，底面的邊長為2，
此時；
當矩形長、寬分別為4和6時，正三棱柱的高為6，底面的邊長為，
此時.
所以正三棱柱的體積為或.
故選：D
例3．如圖，在正三棱柱中，，則三棱錐的體積為（ ）．
A． B．3 C． D．6
【答案】A
【分析】利用棱柱和棱錐公式結合整體減部分的方法即可.
【詳解】因為正三棱柱，
所以，
則
，
故選：A.
例4．如圖，已知正四棱錐中，底面是正方形，與交于點M，是棱錐的高，若，則正四棱錐的體積為 .

【答案】24
【分析】
由題意先根據底面正方形對角線長度求得底面積，然后解直角三角形得四棱錐的高的長度，結合棱錐體積公式即可求解.
【詳解】
因為四棱錐中，底面是正方形，且對角線，
所以，且，
所以，
因為是棱錐的高，且，
所以在中，，
所以正四棱錐的體積為.
故答案為：24.
變式訓練
5．已知正三棱柱所有棱長均為2，則該正三棱柱的體積為（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根據三棱棱柱體積的計算公式直接計算，判斷選項.
【詳解】,
故選:A
6．已知一個正四棱臺的上、下底面邊長分別為1，2，體積為3，則該正四棱臺的高為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
設該正四棱臺的高為，由棱臺體積公式計算即可.
【詳解】設該正四棱臺的高為，
又其上、下底面邊長分別為1，2，體積為3，
則，
所以,
故選：D.
7．《九章算術·商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，不易之率也.”我們可以翻譯為：取一長方體，分成兩個一模一樣的直三棱柱，稱為塹堵，再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得一個四棱錐和一個三棱錐，這個四棱錐稱為陽馬，這個三棱錐稱為鱉臑.現已知某個陽馬的體積是2，則原長方體的體積是 .
【答案】6
【分析】
根據柱體和錐體體積公式求得正確答案.
【詳解】
如圖所示，原長方體，
設矩形的面積為，，
陽馬的體積為2，
即，所以，即原長方體的體積是6.
故答案為：6.
8．已知正四棱柱的側棱長為2，體積為6，則該正四棱柱的表面積為 ．
【答案】
【分析】先求出正四棱柱的底面邊長，再根據多面體的表面積公式即可得解.
【詳解】設正四棱柱的的底面邊長為，
則，解得，
所以該正四棱柱的表面積為.
故答案為：.
9．已知一個三棱柱與一個四棱錐的底面面積和體積均相等，若三棱柱的高為1，則四棱錐的高為 ．
【答案】3
【分析】記四棱錐的底面積和高分別為S，h，然后根據棱錐、棱柱體積公式可得.
【詳解】記四棱錐的底面積和高分別為S，h，
由題意知，，得，
即四棱錐的高為3.
故答案為：3
10．已知一個正六棱柱的底面邊長是，高為4，則這個正六棱柱的體積是 ．
【答案】
【分析】應用棱柱的體積公式求正六棱柱的體積即可.
【詳解】正六棱柱底面為正六邊形，且底面邊長是，高為4，
所以底面面積為，則這個正六棱柱的體積是.
故答案為：
11．已知長方體的體積為72，則三棱錐的體積為
【答案】
【分析】設長方體的長、寬、高分別為，根據題意，得到，結合三棱錐的體積公式，即可求解.
【詳解】如圖所示，設長方體的長、寬、高分別為，
因為長方體的體積為，可得，
又由三棱錐的體積為.
故答案為：.

題型三：求圓柱、圓錐、圓臺的表面積和側面積
解題思路：（1）側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l
（2）圓柱、圓錐、圓臺的表面積的求解步驟;
解決圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題，要利用好旋轉體的軸截面及側面展開圖，借助平面幾何知識，求得所需幾何要素，代入公式求解即可，基本步驟如下：
①得到空間幾何體的平面展開圖．
②依次求出各個平面圖形的面積．
③將各平面圖形的面積相加．
例1．已知一個圓柱的高不變，它的體積擴大為原來的倍，則它的側面積擴大為原來的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】B
【分析】
根據圓柱體積公式可求得，代入圓柱側面積公式即可求得結果.
【詳解】
設圓柱的高為，底面半徑為，則其體積，側面積為；
設體積擴大倍后的底面半徑為，則，，
其側面積變為，，即側面積擴大為原來的倍.
故選：B.
例2．已知一個圓柱和一個圓錐的底面半徑和高分別相等，圓柱的軸截面是一個正方形，則這個圓柱的側面積和圓錐的側面積的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設出底面半徑，由題意可得高，即可計算圓柱的側面積和圓錐的側面積，即可得解.
【詳解】設這個圓柱和圓錐的底面半徑為，
由圓柱的軸截面是一個正方形，故其高，
則圓柱的側面積，
圓錐的側面積，
則.
故選：B.
例3．已知一個圓柱底面半徑為2，高為3，上底面的同心圓半徑為1，以這個圓面為上底面，圓柱下底面為下底面的圓臺被挖去，剩余的幾何體表面積等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意剩余幾何體表面積等于圓環的面積加上圓臺的側面積再加上圓柱的側面積，將代入相應的面積公式并求和即可得解.
【詳解】剩余幾何體表面積等于圓環的面積加上圓臺的側面積再加上圓柱的側面積，
由題意，
所以圓環的面積為，
圓臺母線，
所以圓臺側面積為，
圓柱側面積為，
所以剩余的幾何體表面積等于.
故選：D.
例4．已知一個圓柱的底面半徑和高相等，且體積為，那么此圓柱的側面積S等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設圓柱的底面半徑為，則高也是，然后根據題意列方程可求出，再利用側面積公式可求得答案.
【詳解】設圓柱的底面半徑為，則高也是，
所以圓柱的體積為，解得，
所以圓柱的側面積，
故選：B.
變式訓練
5．已知圓柱的底面半徑是3，高是4，那么圓柱的側面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由圓柱的側面積公式直接可得.
【詳解】由題意設底面半徑為，母線為，
圓柱的側面積為.
故選：C.
6．傳說古希臘數學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發現.在一個“圓柱容球”模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為 .
【答案】
【分析】
借助球體體積公式及圓柱表面積公式計算即可得.
【詳解】設球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，母線長為，
則球的體積為，所以，
所以圓柱表面積為.
故答案為：.
7．已知球與正方體的各個面都相切，當球內接圓柱的軸截面為正方形時，圓柱的側面積為，則該正方體的棱長為 .
【答案】
【分析】設正方體的棱長為，則球的半徑，設圓柱的高為，圓柱底面圓的半徑，根據側面積得到，，根據計算，得到答案.
【詳解】設正方體的棱長為，則球的半徑.
設圓柱的高為，底面半徑為，圓柱的軸截面為正方形，故圓柱底面圓的半徑，
，所以，即，則，
故，所以.
故答案為：.
8．某圓柱的側面展開圖是面積為的正方形，則該圓柱底面的半徑為 ．
【答案】1
【分析】
根據圓柱的側面展開圖可知底面圓的周長等于正方形的邊長，即可求出底面圓的半徑.
【詳解】
因為圓柱的側面展開圖是面積為的正方形，所以正方形的變長為，
設底面圓的半徑為，則底面圓的周長，得.

故答案為:1.
9．若圓柱的底面半徑為，側面積為，則圓柱的母線長為 .
【答案】8
【分析】由圓柱的側面積公式求解.
【詳解】設圓柱的母線長為，則，，
故答案為：8.
10．已知圓錐的高為，其側面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
借助圓錐的高、底面半徑與母線長的關系及底面周長與側面展開圖的弧長間的關系，結合圓錐體積計算公式計算即可得.
【詳解】設底面半徑為，母線長為，
則有，解得，
則.
故選：B.
11．已知圓錐的底面圓的面積為，側面展開圖為一個扇形，其面積為，則該圓錐的母線長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據圓錐的特征，結合底面圓的面積以及扇形面積公式，即可求解.
【詳解】設圓錐底面圓的半徑為，圓錐母線長為，
由題意可知，解得：，，
所以該圓錐母線長為.
故選：C
12．如圖，為圓錐底面圓的一條直徑，點為線段的中點，現沿將圓錐的側面展開，所得的平面圖形中為直角三角形，若，則圓錐的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，得到，由，求得，結合圓錐的側面積公式和圓的面積公式，即可求解.
【詳解】如圖所示，作出展開圖，可得為銳角，故，
由，可得，即為等邊三角形，所以，
則圓錐的側面積為，底面積，
所以圓錐的表面積為.
故選：B．
題型四：求圓柱、圓錐、圓臺的體積
解題思路：（1）圓柱、圓錐、圓臺的體積公式：
①圓柱的體積公式：
②圓錐的體積公式：
③圓臺的體積公式：V＝(S上＋S下＋)h
例1．甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和．若，則 ．
【答案】/
【分析】
設母線長為，甲，乙圓錐底面半徑分別為，，根據圓錐的側面積公式可得，再結合圓心角之和可將分別用表示，利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，根據圓錐的體積公式即可得解．
【詳解】
設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，
則，所以，
又，則，所以，
所以甲圓錐的高，
乙圓錐的高，
所以．
故答案為：
例2．某圓錐的側面積為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的底面半徑長為（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】設圓錐的母線長為，底面半徑為，由題意得到求解.
【詳解】設圓錐的母線長為，底面半徑為，即側面展開圖的半徑為，側面展開圖的弧長為.
又圓錐的底面周長為，所以，即圓錐的母線長.
所以圓錐的側面積為，
解得.
故選：C.
例3．某圓錐的軸截面是斜邊長為2的等腰直角三角形，則該圓錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據題意，求得圓錐的底面圓的半徑和母線長，結合側面積公式，即可求解.
【詳解】
設圓錐的底面圓的半徑為，母線長為，
因為圓錐的軸截面是斜邊長為2的等腰直角三角形，可得，
所以該圓錐的側面積為.
故選：B．
例4．已知圓錐PO的母線長為2，O為底面的圓心，其側面積等于，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，利用圓錐側面積公式求出底面圓半徑，進而求出高即可計算得解.
【詳解】設圓錐PO的底面圓半徑為，由母線長為2，側面積等于，得，
解得，因此圓錐的高，
所以該圓錐的體積為.
故選：C
變式訓練
5．已知某圓錐的軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的側面積與表面積的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
設圓錐的底面半徑，確定母線長，求出側面積和表面積即可求得答案.
【詳解】由題意可得軸截面是等腰直角三角形，設該圓錐的底面圓的半徑為，則其母線長為，從而該圓錐的側面積.
表面積，
故.
故選：A.

6．若一個圓錐的母線長為，且其側面積與其軸截面面積的比為，則該圓錐的高為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
設出圓錐底面圓半徑，利用圓錐側面積公式及三角形面積公式列式計算即得.
【詳解】設圓錐底面圓半徑為，圓錐高為，依題意，，解得，
所以該圓錐的高為.
故選：A
7．已知某圓錐的側面展開圖是一個圓心角為的扇形，若圓錐的體積為，則該圓錐的表面積為 ．
【答案】
【分析】設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，根據已知得，，可解出，再由表面積公式求解.
【詳解】設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，
由題意，由扇形弧長得 ， ①
又圓錐的高為，
則，②
由①②可得 ，
所以圓錐的表面積.
故答案為：.
8．某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，則（ ）

A．該圓臺的高為1cm B．該圓臺軸截面面積為
C．該圓臺的側面積為 D．該圓臺的體積為
【答案】BCD
【分析】由勾股定理即可求得圓臺的高，即可判斷A選項；由梯形面積公式即可判斷B選項；由臺體的側面積公式可判斷C選項；由圓臺的體積公式即可判斷D選項.
【詳解】
如圖，作交于，易得，則，則圓臺的高為，A錯誤；
圓臺的軸截面面積為，B正確；
圓臺的側面積為，故C正確；
圓臺的體積為，D正確.
故選：BCD
9．已知圓臺上下底面圓的半徑分別為1，3，母線長為4，則該圓臺的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據圓臺側面積的計算公式，結合已知條件，直接求解即可.
【詳解】設上下底面圓半徑分別為，母線長為，
則圓臺側面積.
故選：C.
10．一個圓臺的上、下底面的半徑分別為1和4，體積為，則它的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用圓臺的體積公式求得高，再利用圓臺的表面積公式即可得解.
【詳解】依題意，設圓臺的高為，則，解得，
所以圓臺的母線長為，
則圓臺的表面積為.
故選：B．
11．已知圓錐的母線為6，底面半徑為1，把該圓錐截成圓臺，使圓臺的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺的上底面半徑為，則圓臺的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據圓錐、圓臺的軸截面，求出圓臺母線長，利用公式求圓臺的側面積.
【詳解】作出圓錐、圓臺的軸截面，如圖所示，
圓錐的母線為，底面半徑，圓臺上底面半徑，
由三角形相似可得，解得，
則圓臺母線長，
圓臺的側面積為.
故選：C
12．如圖所示，某圓臺型木桶（厚度不計）上下底面的面積分別為和，且木桶的體積為，則該木桶的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由臺體的體積公式求出圓臺的高，作出圖象求出臺體的母線長，再根據體積公式求解即可.
【詳解】設上下底面的的半徑分別為，高為，
所以，故，
因為木桶的體積為，所以，
所以，解得：，
設圓臺的母線長為，如下圖，
所以，
所以該木桶的側面積為.
故選：D.
13．已知圓臺的上、下底面的半徑分別為1，3，其表面積為，則該圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用圓臺的表面積公式求得母線長，進而求得圓臺的高，從而利用圓臺的體積公式即可得解.
【詳解】設圓臺的母線長為．高為．
所以，解得，
所以．
所以該圓臺的體積．
故選：D．
14．已知圓臺的上下底面半徑分別為1和2，側面積為，則該圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據扇環的面積公式求出母線長，利用勾股定理求高，在根據圓臺體積公式計算即可.
【詳解】解：圓臺的側面展開圖是個扇環，，

所以圓臺的高，
則，
故選：B.
15．已知一個圓臺的上、下底面半徑分別為2，4，它的側面展開圖扇環的圓心角為，則這個圓臺的側面積為 .
【答案】
【分析】根據題意計算母線長，再利用圓臺的側面積公式計算得到答案.
【詳解】因為圓臺的上底面圓半徑2，下底面圓半徑4，它的側面展開圖扇環的圓心角為，
設圓臺的母線長為l，扇環所在的小圓的半徑為x，如圖，由題意可得：
，解得，
所以圓臺的側面積,
故答案為：.

16．如果圓臺的上底面半徑為5，下底面半徑為R，中截面（與上、下底面平行且等距的平面）把圓臺分為上、下兩個部分，其側面積的比為，則 ．
【答案】25
【分析】中截面把圓臺分為上、下兩個圓臺，則兩個圓臺的側高相等，且中截面半徑等于兩底面半徑和的一半，根據中截面把圓臺分為上、下兩個圓臺的側面積的比為，我們易構造出關于的方程，解方程即可求出的值．
【詳解】設中截面的半徑為，則①，
記中截面把圓臺分為上、下兩個圓臺的側面積分別為、，母線長均為，
，
又，
②，
將①代入②整理得：.
故答案為：25
17．已知圓臺的上、下底面的面積分別為，，側面積為，則這個圓臺的體積是 .
【答案】
【分析】設圓臺的高為，母線長為，由側面積公式求出，即可求出，再根據圓臺的體積公式計算可得.
【詳解】因為圓臺的上、下底面的面積分別為，，所以上底面半徑，下底面半徑，
設圓臺的高為，母線長為，由側面積為，由圓臺側面積公式可得，所以，
所以，
圓臺的體積.
故答案為：
1．若甲、乙兩個圓柱的體積相等，底面積分別為和，側面積分別為和.若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設甲圓柱底面圓半徑為，高為，乙圓柱底面圓半徑為，高為，由等面積之比得到，再由體積相同得到，最后由側面積公式計算可得.
【詳解】設甲圓柱底面圓半徑為，高為，乙圓柱底面圓半徑為，高為，
則，∴.
又，則，
∴.
故選：B.
2．已知圓錐的底面圓的面積為，側面展開圖為一個扇形，其面積為，則該圓錐的母線長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據圓錐的特征，結合底面圓的面積以及扇形面積公式，即可求解.
【詳解】設圓錐底面圓的半徑為，圓錐母線長為，
由題意可知，解得：，，
所以該圓錐母線長為.
故選：C
3．四羊方尊（又稱四羊尊）為中國商代晚期青銅器，其盛酒部分可近似視為一個正四棱臺（上、下底面的邊長分別為，高為），則四羊方尊的容積約為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據臺體的體積公式運算求解.
【詳解】由題意可得：四羊方尊的容積約為.
故選：A.
4．蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業生產和游牧生活，蒙古包古代稱作穹廬 氈包或氈帳.已知蒙古包的造型可近似的看作一個圓柱和圓錐的組合體，已知圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面圓的面積為平方米，則該蒙古包（含底面）的表面積為（ ）
A．平方米 B．平方米
C．平方米 D．平方米
【答案】A
【分析】由題意可求出底面圓的半徑，即可求出圓錐的母線長，根據圓錐的側面積公式以及圓柱的側面積公式結合圓的面積公式，即可求得答案.
【詳解】由題意知圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面圓的面積為平方米，
設底面圓的半徑為r，則，
則圓錐的母線長為（米），
故該蒙古包（含底面）的表面積為（平方米），
故選：A
5．如圖所示，該圖形由一個矩形和一個扇形組合而成，其中矩形和扇形分別是一個圓柱的軸截面和一個圓錐的側面展開圖，且矩形的長為2，寬為3，扇形的圓心角為，半徑等于矩形的寬，若圓柱高為3，則圓柱和圓錐的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出圓柱的體積，再得到扇形的弧長，再求得圓錐的體積，最后求出體積比.
【詳解】因為矩形的長為2，寬為3，所以圓柱的底面半徑為1，高為3，
所以圓柱的體積為，
因為扇形的圓心角為，半徑等于矩形的寬，所以半徑為3，
根據弧長公式可以得到扇形的弧長為，
又扇形的弧長等于底面圓的周長，所以圓錐底面圓的半徑為，
所以根據圓錐的體積公式得到圓錐的高為，
所以圓錐的體積為，
所以圓柱和圓錐的體積之比為，
故選：D.
6．已知圓錐的高為，其側面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
借助圓錐的高、底面半徑與母線長的關系及底面周長與側面展開圖的弧長間的關系，結合圓錐體積計算公式計算即可得.
【詳解】設底面半徑為，母線長為，
則有，解得，
則.
故選：B.
7．已知某圓錐的底面半徑為2，體積為，則該圓錐的母線長為（ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】
根據圓錐的體積求出圓錐的高，根據勾股定理即可求得答案.
【詳解】設圓錐的高為h，則由圓錐的底面半徑為2，體積為，
可得，
故該圓錐的母線長為，
故選：C
8．已知圓臺上下底面圓的半徑分別為1，3，母線長為4，則該圓臺的側面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據圓臺側面積的計算公式，結合已知條件，直接求解即可.
【詳解】設上下底面圓半徑分別為，母線長為，
則圓臺側面積.
故選：C.
9．底面積是，側面積是的圓錐的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先利用圓錐的側面積公式求出母線長，進而求出高，再利用圓錐的體積公式求解．
【詳解】
設圓錐的母線長為，高為，半徑為，
則且，故
，
圓錐的體積為．
故選：D．
二、填空題
10．已知圓臺上底面半徑為2，下底面半徑為5，圓臺的體積為，則圓臺的側面積為 .
【答案】
【分析】根據圓臺的體積公式求出高即可求出圓臺的側面積.
【詳解】因為圓臺上底面半徑為2，下底面半徑為5，圓臺的體積為，
所以，
所以，所以圓臺的側面積為.
故答案為：.
11．已知圓錐的底面半徑為2，母線與底面所成的角為，則該圓錐的表面積為 ．
【答案】
【分析】
利用圓錐的結構特點，結合圓錐的表面積公式求解.
【詳解】已知圓錐的底面半徑，圓錐母線與底面所成的角為，
所以圓錐的母線長為，
所以該圓錐的表面積為.
故答案為：
12．如圖，已知正四棱錐中，底面是正方形，與交于點M，是棱錐的高，若，則正四棱錐的體積為 .

【答案】24
【分析】
由題意先根據底面正方形對角線長度求得底面積，然后解直角三角形得四棱錐的高的長度，結合棱錐體積公式即可
求解.
【詳解】
因為四棱錐中，底面是正方形，且對角線，
所以，且，
所以，
因為是棱錐的高，且，
所以在中，，
所以正四棱錐的體積為.
故答案為：24.
13．圓錐的側面展開圖中扇形中心角為，底面周長為，這個圓錐的側面積是 ．
【答案】
【分析】借助扇形弧長公可計算出圓錐母線長，結合扇形面積公式即可得圓錐側面積.
【詳解】設圓錐母線長為l，扇形圓心角為，則，故，
則.
故答案為：.2023-2024學年高一下冊數學-8.3簡單幾何體的表面積和體積（人教A版2019必修第二冊）
知識點一：多面體的表面積、側面積
（1）多面體的表面積、側面積定義：因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側面積就是所有側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和．
（2）棱柱、棱錐、棱臺的側面展開圖
①棱柱的側面展開圖是平行四邊形，一邊為棱柱的側棱，另一邊等于棱柱的底面周長；
②棱錐的側面展開圖由若干個三角形組成；
③棱臺的側面張開圖由若干個梯形組成.

（3）棱柱、棱錐、棱臺的表面積
①棱柱的表面積：；
②棱錐的表面積：；
③棱臺的表面積：
知識點二：棱柱、棱錐、棱臺的體積
（1）棱柱的高和體積
①棱柱的高：兩底面之間的距離，即從一個底面上任意一點，向另外一個底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面之
間的交點）之間的距離，也就是垂線段的長.
②棱住的體積：棱柱的體積等于它的底面積和高的乘積，即.
（2）棱錐的高和體積
①棱錐的高：棱錐的頂點到底面之間的距離，即從頂點向底面作垂線，頂點到垂足（垂線與底面之間的交點）之間的距離，即垂線段的長.
②棱錐的體積：棱錐的體積等于它的底面積和高的乘積的，即
（3）棱臺的體積：V＝(S上＋S下＋)h
知識點三：圓柱、圓錐、圓臺的表面積
（1）側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l
（2）圓柱、圓錐、圓臺的表面積的求解步驟;
解決圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題，要利用好旋轉體的軸截面及側面展開圖，借助平面幾何知識，求得所需幾何要素，代入公式求解即可，基本步驟如下：
①得到空間幾何體的平面展開圖．
②依次求出各個平面圖形的面積．
③將各平面圖形的面積相加．
知識點四：圓柱、圓錐、圓臺的體積
（1）圓柱、圓錐、圓臺的體積公式：
①圓柱的體積公式：
②圓錐的體積公式：
③圓臺的體積公式：V＝(S上＋S下＋)h
（2）柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關系
題型一：求多面體的表面積、側面積
解題思路：（1）多面體的表面積、側面積定義：因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側面積就是所有側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和．
（2）棱柱、棱錐、棱臺的側面展開圖
①棱柱的側面展開圖是平行四邊形，一邊為棱柱的側棱，另一邊等于棱柱的底面周長；
②棱錐的側面展開圖由若干個三角形組成；
③棱臺的側面張開圖由若干個梯形組成.

（3）棱柱、棱錐、棱臺的表面積
①棱柱的表面積：；
②棱錐的表面積：；
③棱臺的表面積：
例1．某幾何體為棱柱或棱錐，且每個面均為邊長是2的正三角形或正方形，給出下面4個值：①；②24；③；④．則該幾何體的表面積可能是其中的（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
例2．將一個正四棱臺物件放入有一定深度的電解槽中，對其表面進行電泳涂裝．如圖所示，已知該物件的上底邊長與側棱長相等，且為下底邊長的一半，一個側面的面積為，則該物件的高為（ ）
A． B．1 C． D．3
例3．攢尖是古代中國建筑中屋頂的一種結構形式，依其平面有圓形攢尖 三角攢尖 四角攢尖 六角攢尖等，多見于亭悶式建筑.如故宮中和殿的屋頂為四角攢尖頂，它的主要部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，設正四棱錐的側面等腰三角形的頂角為，則該正四棱錐的底面積與側面積的比為（ ）

A． B． C． D．
例4．正方體的八個頂點中，有四個恰好為正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比為（ ）．
A． B． C． D．
變式訓練
5．正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，8，該梭臺的表面積為148，則側棱長為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．在長方體中，.該長方體的表面積為（　　）
A． B． C． D．
7．一個正三棱錐的每一個面都是邊長是1的正三角形，則此正三棱錐的表面積是（ ）
A． B． C． D．
8．某廣場設置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個相同的四面體得到的(如圖)，則該幾何體共有 個面；若被截正方體的棱長是60cm，那么該幾何體的表面積是 cm2.
9．在底面是菱形的直四棱柱中，直四棱柱的對角線長分別為9，15，高是5，則該直四棱柱的表面積是
10．各棱長為1的四面體的表面積為 .
11．一個正六棱柱的底面邊長為3，高為4，則它的側面積為 .
12．已知正四棱錐的底面邊長為8，側棱長為，則表面積為 .
題型二：求棱柱、棱錐、棱臺的體積
解題思慮：（1）棱柱的高和體積
①棱柱的高：兩底面之間的距離，即從一個底面上任意一點，向另外一個底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面之間的交點）之間的距離，也就是垂線段的長.
②棱住的體積：棱柱的體積等于它的底面積和高的乘積，即.
（2）棱錐的高和體積
①棱錐的高：棱錐的頂點到底面之間的距離，即從頂點向底面作垂線，頂點到垂足（垂線與底面之間的交點）之間的距離，即垂線段的長.
②棱錐的體積：棱錐的體積等于它的底面積和高的乘積的，即
（3）棱臺的體積：V＝(S上＋S下＋)h
例1．在正四棱臺中，，且三棱錐的體積為，則該正四棱臺的體積為（ ）

A．14 B．21 C．24 D．36
例2．正三棱柱的側面展開圖是邊長分別為和的矩形，則它的體積為（ ）
A． B． C． D．或
例3．如圖，在正三棱柱中，，則三棱錐的體積為（ ）．
A． B．3 C． D．6
例4．如圖，已知正四棱錐中，底面是正方形，與交于點M，是棱錐的高，若，則正四棱錐的體積為 .

變式訓練
5．已知正三棱柱所有棱長均為2，則該正三棱柱的體積為（ ）
A． B．4 C． D．
6．已知一個正四棱臺的上、下底面邊長分別為1，2，體積為3，則該正四棱臺的高為（ ）
A．1 B． C． D．
7．《九章算術·商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，不易之率也.”我們可以翻譯為：取一長方體，分成兩個一模一樣的直三棱柱，稱為塹堵，再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得一個四棱錐和一個三棱錐，這個四棱錐稱為陽馬，這個三棱錐稱為鱉臑.現已知某個陽馬的體積是2，則原長方體的體積是 .
8．已知正四棱柱的側棱長為2，體積為6，則該正四棱柱的表面積為 ．
9．已知一個三棱柱與一個四棱錐的底面面積和體積均相等，若三棱柱的高為1，則四棱錐的高為 ．
10．已知一個正六棱柱的底面邊長是，高為4，則這個正六棱柱的體積是 ．
11．已知長方體的體積為72，則三棱錐的體積為
題型三：求圓柱、圓錐、圓臺的表面積和側面積
解題思路：（1）側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝π(r1＋r2)l
（2）圓柱、圓錐、圓臺的表面積的求解步驟;
解決圓柱、圓錐、圓臺的表面積問題，要利用好旋轉體的軸截面及側面展開圖，借助平面幾何知識，求得所需幾何要素，代入公式求解即可，基本步驟如下：
①得到空間幾何體的平面展開圖．
②依次求出各個平面圖形的面積．
③將各平面圖形的面積相加．
例1．已知一個圓柱的高不變，它的體積擴大為原來的倍，則它的側面積擴大為原來的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
例2．已知一個圓柱和一個圓錐的底面半徑和高分別相等，圓柱的軸截面是一個正方形，則這個圓柱的側面積和圓錐的側面積的比值是（ ）
A． B． C． D．
例3．已知一個圓柱底面半徑為2，高為3，上底面的同心圓半徑為1，以這個圓面為上底面，圓柱下底面為下底面的圓臺被挖去，剩余的幾何體表面積等于（ ）
A． B． C． D．
例4．已知一個圓柱的底面半徑和高相等，且體積為，那么此圓柱的側面積S等于（ ）
A． B． C． D．
變式訓練
5．已知圓柱的底面半徑是3，高是4，那么圓柱的側面積是（ ）
A． B． C． D．
6．傳說古希臘數學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發現.在一個“圓柱容球”模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為 .
7．已知球與正方體的各個面都相切，當球內接圓柱的軸截面為正方形時，圓柱的側面積為，則該正方體的棱長為 .
8．某圓柱的側面展開圖是面積為的正方形，則該圓柱底面的半徑為 ．
9．若圓柱的底面半徑為，側面積為，則圓柱的母線長為 .
10．已知圓錐的高為，其側面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
11．已知圓錐的底面圓的面積為，側面展開圖為一個扇形，其面積為，則該圓錐的母線長為（ ）
A． B． C． D．
12．如圖，為圓錐底面圓的一條直徑，點為線段的中點，現沿將圓錐的側面展開，所得的平面圖形中為直角三角形，若，則圓錐的表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型四：求圓柱、圓錐、圓臺的體積
解題思路：（1）圓柱、圓錐、圓臺的體積公式：
①圓柱的體積公式：
②圓錐的體積公式：
③圓臺的體積公式：V＝(S上＋S下＋)h
例1．甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和．若，則 ．
例2．某圓錐的側面積為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的底面半徑長為（ ）
A．2 B．4 C． D．
例3．某圓錐的軸截面是斜邊長為2的等腰直角三角形，則該圓錐的側面積為（ ）
A． B． C． D．
例4．已知圓錐PO的母線長為2，O為底面的圓心，其側面積等于，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
變式訓練
5．已知某圓錐的軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的側面積與表面積的比值是（ ）
A． B． C． D．
6．若一個圓錐的母線長為，且其側面積與其軸截面面積的比為，則該圓錐的高為（ ）
A． B． C． D．
7．已知某圓錐的側面展開圖是一個圓心角為的扇形，若圓錐的體積為，則該圓錐的表面積為 ．
8．（多選）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，則（ ）

A．該圓臺的高為1cm B．該圓臺軸截面面積為
C．該圓臺的側面積為 D．該圓臺的體積為
9．已知圓臺上下底面圓的半徑分別為1，3，母線長為4，則該圓臺的側面積為（ ）
A． B． C． D．
10．一個圓臺的上、下底面的半徑分別為1和4，體積為，則它的表面積為（ ）
A． B． C． D．
11．已知圓錐的母線為6，底面半徑為1，把該圓錐截成圓臺，使圓臺的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺的上底面半徑為，則圓臺的側面積為（ ）
A． B． C． D．
12．如圖所示，某圓臺型木桶（厚度不計）上下底面的面積分別為和，且木桶的體積為，則該木桶的側面積為（ ）
A． B． C． D．
13．已知圓臺的上、下底面的半徑分別為1，3，其表面積為，則該圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
14．已知圓臺的上下底面半徑分別為1和2，側面積為，則該圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
45．已知一個圓臺的上、下底面半徑分別為2，4，它的側面展開圖扇環的圓心角為，則這個圓臺的側面積為 .
16．如果圓臺的上底面半徑為5，下底面半徑為R，中截面（與上、下底面平行且等距的平面）把圓臺分為上、下兩個部分，其側面積的比為，則 ．
17．已知圓臺的上、下底面的面積分別為，，側面積為，則這個圓臺的體積是 .
1．若甲、乙兩個圓柱的體積相等，底面積分別為和，側面積分別為和.若，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知圓錐的底面圓的面積為，側面展開圖為一個扇形，其面積為，則該圓錐的母線長為（ ）
A． B． C． D．
3．四羊方尊（又稱四羊尊）為中國商代晚期青銅器，其盛酒部分可近似視為一個正四棱臺（上、下底面的邊長分別為，高為），則四羊方尊的容積約為（　　）
A． B． C． D．
4．蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業生產和游牧生活，蒙古包古代稱作穹廬 氈包或氈帳.已知蒙古包的造型可近似的看作一個圓柱和圓錐的組合體，已知圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面圓的面積為平方米，則該蒙古包（含底面）的表面積為（ ）
A．平方米 B．平方米
C．平方米 D．平方米
5．如圖所示，該圖形由一個矩形和一個扇形組合而成，其中矩形和扇形分別是一個圓柱的軸截面和一個圓錐的側面展開圖，且矩形的長為2，寬為3，扇形的圓心角為，半徑等于矩形的寬，若圓柱高為3，則圓柱和圓錐的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
6．已知圓錐的高為，其側面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
7．已知某圓錐的底面半徑為2，體積為，則該圓錐的母線長為（ ）
A．1 B．2 C． D．5
8．已知圓臺上下底面圓的半徑分別為1，3，母線長為4，則該圓臺的側面積為（ ）
A． B． C． D．
9．底面積是，側面積是的圓錐的體積是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
10．已知圓臺上底面半徑為2，下底面半徑為5，圓臺的體積為，則圓臺的側面積為 .
11．已知圓錐的底面半徑為2，母線與底面所成的角為，則該圓錐的表面積為 ．
12．如圖，已知正四棱錐中，底面是正方形，與交于點M，是棱錐的高，若，則正四棱錐的體積為 .

13．圓錐的側面展開圖中扇形中心角為，底面周長為，這個圓錐的側面積是 ．

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