資源簡介

平行線與相交線
教學課題 平行線與相交線 課時計劃 第（3）次課
授課教師 學科 數學 授課日期和時段
上課學生 年級 上課形式
階段 基礎（ ） 提高（√ ） 強化（ ）
教學目標 1.互余和互補 2對頂角 3.同位角、內錯角、同旁內角（三線八角）
重點、難點 重點：兩直線平行的條件：1.同位角相等；2.內錯角相等；3.同旁內角互補。 難點：用尺規作一個角等于已知角。
(
“
凡事預則立，不預則廢
”
。科學地預習才能使我們上課聽講更有目的性和針對性。
我們要在預習的基礎上，認真聽講，做到眼睛看、耳朵聽、心里想、手上記。
)
一、學習與應用
(
Ⅰ
、知識梳理
認真閱讀、理解教材，帶著自己預習的疑惑認真聽課學習，
復習與本次課程相關的重點知識與公式及規律
，認真聽老師
講解本次課程基本知識要點
。課堂筆記或者其它補充填在右欄。
)
知識點一： 互余和互補
1.如果兩個角的和是直角,那么稱這兩個角互為余角；
2.如果兩個角的和是平角,那么稱這兩個角互為補角；
3.余角、補角的性質：同角或等角的余角相等；同角或等角的補角相等。
注意：(1)互余、互補都是指兩個角之間的關系。當∠1+∠2+∠3=90°時,不能說∠1、
∠2、 ∠3互余；當∠1+∠2+∠3=180°時,也不能說∠1、∠2、∠3互補。
(2)互余的兩個角都是銳角,而互補的兩個角可能是一個銳角一個鈍角或都是直角。
(3)互余和互補都是反映兩個角的數量關系,而不是位置關系。
(4)同角或等角的余角相等,即若∠1與∠2互余,∠1與∠3互余,則∠2=∠3；若∠1與
∠2互余,∠3與∠4互余,∠1=∠3,則∠2=∠4。
同角或等角的補角相等。即若∠1與∠2互補,∠1與∠3互補,則∠2=∠3；若∠1與
∠2互補,∠3與∠4=補,∠1=∠3,則∠2=∠4。
知識點二：對頂角
如果兩個角有公共頂點，且它們的兩邊互為反向延長線，那么這樣的兩個角叫做對頂角。
對頂角的性質：對頂角相等。
注意：(1)對頂角總是成對出現的,它們是具有特殊位置關系的兩個角,在相交的兩條直
線所成的角中,有兩對對頂角。
要判斷兩個角是不是對頂角,首先要看這兩個角是不是兩條直線相交得到的,再
看這兩個角是不是有公共頂點而沒有公共邊,符合這兩個條件時,才能確定這兩
個角是對頂角。
知識點三：同位角、內錯角、同旁內角（三線八角）
基本圖形 角的名稱 位置特征 圖形結構特征
同位角 在兩條被截直線的同旁，在截線的同側 “F型”
內錯角 在兩條被截直線之間， 在截線的兩側 “Z型”
同旁內角 在兩條被截直線之間， 在截線的同側 “U型”
注意:辨認各種類型的角,關鍵是找準截線(要判斷的兩角的公共邊所在的直線)和被截線
(要判斷的兩角的另兩邊),再由它們的位置來確定。
知識點四：
如右圖，用規范的幾何語言是：
∵∠1=∠2,∴AB∥CD(同位角相等,兩直線平行)；
∵∠3=∠6,∴AB∥CD(內錯角相等,兩直線平行)；
∵∠2+∠3=180°,∴AB∥CD(同旁內角互補,兩直線平行)。
注意：同位角、內錯角、同旁內角僅僅反映兩個角之間的位置關系,
它們沒有確定的數量關系,如右圖所示,∠1與∠2是同位角,但它們不相等
只有在“兩條平行直線被第三條直線所截”的前提下,同位角才相等。
同樣也只有在這個前提下,內錯角才相等,同旁內角才互補。
知識點五：平行線的性質
平行線的性質是指在兩直線平行的條件下,同位角、內錯角、同旁內角的關系,共有三個
方面的內容:
(1)兩直線平行,同位角相等。用幾何語言表述如下(如右圖所示):
因為a∥b,所以∠1=∠2(兩直線平行,同位角相等)。
(2)兩直線平行,內錯角相等。用幾何語言表述如下(如右圖所示):
因為a∥b,所以∠2=∠3(兩直線平行,內錯角相等)。
(3)兩直線平行,同旁內角互補。 用幾何語言表述如下(如右圖所示):
因為a∥b,所以∠2+∠4=18O°(兩直線平行,同旁內角互補)。
注意:(1)由平行線的性質,我們可以體會到,只有在兩直線平行的條件下,才會有同位角
相等、內錯角相等、同旁內角互補,要注意不要將條件和結論割裂開來,并不是所有的同
位角都相等、內錯角都相等,也不是所有的同旁內角都互補。
如右圖,∵∠1與∠2是同位角,∴∠1=∠2。
這是錯誤的結論,也是常犯的錯誤。
平行線的性質和判定中的條件和結論恰好相反,在“兩條直線被第三條直線所
截”的前提下,從同位角相等,內錯角相等或是同旁內角互補,推出兩條直線平行,
這是平行線的判定；而從兩直線平行推出同位角相等,內錯角相等,同旁內角互補,
這是平行線的性質。由此可知平行線判定的三個條件與平行線的三條性質是互逆的。
知識點六： 用尺規作一個角等于已知角
尺規作圖一般有以下三步:
(1)已知:當作圖是用文字語言敘述時,要根據文字語言用數學語言寫出題目中的條件；
(2)求作:根據題目寫出要求作的圖形及此圖形應滿足的條件；
(3)作法:根據作圖的過程寫出每一步的操作過程,當不要求寫作法時,要保留作圖痕跡。
已知:如下圖,∠AOB,求作:∠A′O′B′,使∠A′0′B′=∠AOB。
作法:①作射線O′A′；
②以點0為圓心,以任意長為半徑畫弧,交OA于點C,交OB于點D；
③以點O′為圓心,以0C長為半徑畫弧,交 O′A′于點C′；
④以點C′為圓心,以CD長為半徑畫弧,交前面的弧于點D′；
⑤過點D′作射線O′B′,則∠A′O′B′就是所求作的角。
注意:我們一般作圖要求不寫作法,但一定要保留作圖痕跡。
(
Ⅲ
、
經典例題-自主學習
認真分析、解答下列例題，嘗試總結提升各類型題目的規律和技巧，然后完成舉一反三
。若有其它補充可填在右欄空白處。
)
類型一：互余和互補
【典型例題】（1）一個銳角的補角正好是它的余角的4倍，請求出這個銳角的度數？
（2）填空：∵∠A+∠B=90 ，∠B+∠C=90
∴∠A ∠C( )
∵∠1+∠3=90 ，∠2+∠4=90 且∠1=∠2
∴∠3 ∠4 ( )
【對應練習】
1、若互為余角的兩個角之差為40°，則較大的角為( )
A.40° B.50° C.65° D.75°
2、如果兩個角互補,那么這兩個角可能是( )
①均為鈍角；②一個為銳角,一個為鈍角；③均為直角；④以上三者都有可能。
A.①②③④ B.①② C.②③ D.④
3、如右圖,是由兩塊直角三角板拼成的圖形,
在直角頂點處構成了三個銳角,其中互余的
角是 , 相等的是 ,
相等的理由是 。
類型二：對頂角
【典型例題】 (
1
2
1
2
1
2
1
2
A
B
C
D
)下列各圖中，∠1和∠2是對頂角的是（ ）
【對應練習】
1、下列選項中,∠1和∠2是對頂角的是（ ）
2、如右圖所示,AB與 CD相交于點O,∠AOD+∠BOC=280°,則∠AOC為 。
類型三：同位角、內錯角、同旁內角（三線八角）
【典型例題】（1）如右圖，①是 角；
它們是由直線 和直線 ，被直線 所截得的；
②是 角；它們是由直線 和直線 ，被直線 所截得的；
③∠3與∠5是 角；它們是由直線 和直線 ，被直線 所截得的。
【對應練習】
1、如右圖,其中是同位角關系的是( )
A.∠2與∠4 B.∠1與∠4 C.∠3與∠4 D.不存在
2、如右圖,∠1、∠2、∠3、∠4這4個角中,
同位角有 ,內錯角有 ,
同旁內角有 。
類型四：兩直平行的條件
【典型例題】下列說法正確的是（ ）
A.內錯角相等 B.兩直線被第三條直線所截,同旁內角互補
C.兩直線平行,同旁內角相等 D.“兩直線平行,同旁內角互補”是平行線的特征
【對應練習】
1、如右圖所示,點E在AC的延長線上,下列條件中能判斷AB∥CD的是( )
A.∠3=∠4 B.∠1=∠2 C.∠D=∠DCE D.∠D+∠ACD=180°
2、已知同一平面內的直線l1、l2、l3,如果l1⊥l2, l2⊥l3,那么l1與l3的位置關系是( )
A.平行 B.相交 C.垂直 D.以上都不對
3、兩條平行直線被第三條直線所截,下列命題正確的是( )
A.同位角相等,但內錯角不相等 B.同位角不相等,但同旁內角互補
C.內錯角相等,但同旁內角不互補 D.同位角相等,且同旁內角互補
4、在同一平面內有三條直線,如果其中有且只有兩條直線平行,那么它們有且只有 個交點。
（第5題圖） （第6題圖）
5、如右圖所示,填空:
(1)由∠1=∠2可知 ∥ ；理由( )
(2)由∠1=∠3可知 ∥ ；理由( )
6、如右圖,點D、E、F分別在AB、BC、AC上,
(1)若∠2= ,則DE∥AC；理由 。
(2)若∠2= ,則DF∥BC；理由 。
7、閱讀下列推理過程,在括號內填上推理的依據。
如右圖,∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°(已知),
所以∠1=∠4( )
所以a∥c( )
又因為∠2+∠3=180°(已知),
∠3=∠6( )
所以∠2+∠6=18O°(等量代換)
所以a∥b( )
從而b∥c( )
類型五：平行線的性質
（第1題圖） （第2題圖） （第3題圖）
1、如右圖,已知AB∥CD,且被EF所截。若∠2=70°,則下列結論不正確的是( )
A.∠1=70° B.∠3=110° C.∠4=70° D.∠5=70°
2、如右圖,若AB∥CD,則圖中與∠1互補的角共有( )
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
3、如右圖,DH∥EG∥BC,且DC∥EF,那么,圖中與∠1相等的角的個數是( )
A.2 B.4 C.5 D.6
（第4題圖） （第5題圖） （第6題圖）
4、如右圖所示,下列說法中正確的是( )
A.因為AD∥BC,所以∠2=∠4 B.因為AD∥BC,所以∠BAD+∠D=180°
C.因為AD∥BC,所以∠1=∠3 D.因為AB∥CD,所以∠BAD+∠B=180°
5、如右圖,D是BC延長線上一點,過C作CE∥AB,若∠A=54°,∠ACD=127°,則∠B= 。
6、如右圖,AB∥CD,EF⊥AB,∠1=36°,則∠2= 。
7、如右圖所示,已知DF∥AC,∠C=∠D,你能否推斷BD∥CE 試說明理由。
類型六：用尺規作一個角等于已知角
【典型例題】如下圖,已知∠α,∠β,求作∠AOB,使∠AOB=∠α+2∠β。
【對應練習】
1、如右圖所示，AD= 。（用a,b,c表示）
2、已知∠AOB=22.5°,分別以射線OA,OB為一邊,在∠AOB的外部作∠AOC=∠AOB,
∠BOD=2∠AOB,則0C與OD的位置關系是 。
3、如右圖所示,已知∠α,∠β,(1)求作∠A0B,使∠AOB=∠α+∠β。
(2)求作∠AOB,使∠AOB=2∠α-∠β。(不寫作法,保留作圖痕跡)
(
Ⅲ
、綜合練習
-
融會貫通
將各種類型的題目融合在一起，請大家認真分析、解答下列練習，嘗試總結提升各類型題目的規律和技巧，然后完成舉一反三
。若有其它補充可填在右欄空白處。
)
1、如果∠α=40°,那么∠α的補角是( )
A.50° B.60° C.140° D.160°
2、如果∠A與∠B互補,∠B與∠C互余,則∠A與∠C的關系是( )
A.∠A+∠C=90° B.∠A+∠C=180° C.∠A-∠C=90° D.∠A-∠C=180°
3、下列說明兩角相等,錯誤的是( )
A.對頂角相等 B.兩直線平行,同位角相等
C.因為∠1=∠2,∠2=∠3,所以∠1=∠3 D.兩條直線被第三條直線所截,內錯角相等
4、在同一平面內，如果直線a⊥b,b∥c,則a、c的關系是( )
A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能確定
5、若互余的兩個角有一條公共邊,則這兩個角的平分線所組成的角( )
A.等于45° B.大于45° C.小于或等于45° D.大于或等于45°
（第6題圖） （第7題圖） （第9題圖）
6、如右圖所示,a∥b,∠2是∠1的3倍,則∠2等于( )
A.45° B.90 C.135° D.150°
將一長方形紙片按右圖方式折疊,BC,BD為折痕,折疊后A′B與E′B在同一條直線上,
則∠CBD的度數( )
A.大于90° B.等于90° C.小于90° D.不能確定
8、停在湖面上點A處的一只小帆船被東南風吹走了一段距離后到達點B處,則點B在點A的( )
A.東南方向 B.東北方向 C.西南方向 D.西北方向
9、如右圖,一條公路修到湖邊時,需拐彎繞道而過,如果第一次拐的角∠A=120°,第二次拐的角∠B
是150°,第三次拐的角是∠C,這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行,則∠C是( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
10、一個角與它的補角的比是1：5,則這個角的度數是 。
11、如右圖,將三個相同的三角尺不重疊不留空隙地拼在一起,觀察圖形,在線段AB,AC,AE,ED,EC,
BD中,相互平行的線段有( )
A.4組 B.3組 C.2組 D.1組
（第10題圖）
（第12題圖） （第13題圖） （第15題圖） （第16題圖）
12、如右圖，要使a∥b,需要添加一個條件,這個條件可以是 。
13、如右圖,小明為了知道牙刷與杯子底面的夾角∠1的度數,他測得∠2=135°,那么∠1= 度。
14、已知兩個角互為余角,若其中一個角比另一個角大32°,那么這兩個角分別是 。
15、如右圖，AB∥EF∥CD,∠A=72°,∠D=18°, 則AE與DE的位置關系是 。
16、如右圖,已知∠B+∠C=180°,則∠1與∠2的大小關系為∠1 ∠2(填＜,＞,=)。
（第17題圖） （第18題圖）
17、如右圖,一把矩形直尺沿直線斷開并錯位,點E、D、B、F在同一直線上,若∠ADE=125°,
則∠DBC度數為 。
如右圖,一艘輪船在A處看見巡邏艇M在其北偏東62°的方向上,此時一艘客船在 B處看見
巡邏艇M在其北偏東13°的方向上,求此時從巡邏艇上看這兩艘船的視角∠AMB的度數為 。
課后測評
1、如右圖，已知∠1=∠2,∠5=∠6,∠3=∠4,試說明AE∥BD,AD∥BC。請完成下列證明過程。
證明:
∵∠5=∠6,
∴AB∥____( )
∴∠3=______( )
∵∠3=∠4,
∴∠4=∠BDC( )
∴____∥BD( )
∴∠2= ,
∵∠1=∠2,
∴∠1= ,
∴AD∥BC( )
2、如右圖,小紅走在一條筆直的小路AB上,小明站在
小路外的一點C上,你能幫小明設計一條路線,
使這條路線與小紅所走的路線平行嗎 (不保留作圖痕跡)

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