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巧用梅涅勞斯定理求解向量的線性相關系數
河南平頂山市第三高級中學 金小欣 467000
梅涅勞斯（Menelaus）定理簡介：
如果一直線順次與三角形ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于M、N、K三點，則：
。
證明： 過頂點B作AC的平行線與截線交于E，
則有：
， ，
∴
對該定理的幾點說明：①證明的方法：過其中一個頂點作其對邊的平行線與截線相交，利用“平行線截線段成比例定理”或相似Δ性質，將其中的兩個比例式等價轉化。②定理的實質：三個比例式的乘積等于1，每一個比例式的三個字母是共線的兩個頂點和一個分點；其結構特征為： ，呈現“首尾相接”；整體看，從某一個頂點出發，最后又回到該頂點。③該定理常與“塞瓦定理”結合使用。
梅涅勞斯定理的一個應用例子
題目：在△OAB的邊OA、OB上分別取點M、N，使||∶||=1∶3，||∶||=1∶4，設線段AN與BM交于點P，記= ，=，用 ，表示向量.
先給出高中常規解法（待定系數法）如下：
解法一：∵ B、P、M共線∴ 記=s
∴ --------①
同理，記 ，得： =--------②
∵ ,不共線∴ 由①、②得解之得：∴
上述解法的基本思想是：先設法求出點P分AN、BM的比，理論依據：一個是教材例題的結論（可作為定理直接使用），一個就是平面向量基本定理。利用該定理中兩個系數的唯一性，得到關于s，t的方程。
由于梅涅勞斯定理、塞瓦定理與比例線段、定比分點有著密切聯系，故嘗試本題能否用這兩個定理來解決。
解法二：
ΔOAN被直線MPB所截，由梅涅勞斯定理，得：
即 ，
∴ ∴
或者，ΔOBM被直線NPA所截，得：
∴
可見，只要選對了被截的三角形，用梅涅勞斯定理只列一個式子就可以了，非常便利。
三、 用梅涅勞斯定理求解向量線性相關系數的要點總結
以上例為例，經認真思考和實驗，其規律性體現為：欲求P分之比，則考察 為一邊的三角形被直線所截。若去掉線段AB，則截線顯然為
四、 變式練習
（1） 題目條件不變，若延長OP與AB交于點D，求向量與的線性關系。
分析：由“塞瓦定理”得： ，即：
,∴ ,下面只要求出P分OD的比即可。
由三之要點，考察POD所在ΔOAD被直線所截，由梅氏定理，
得： ，即： ，
∴ .
從而，
（2）題目條件不變，求用的表示式。
（ 答案： ）
可見，用梅涅勞斯定理可快速得到向量線性相關的相關系數，尤其對于選擇、填空題，極大提高了解題速度和質量。

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