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求幾何最值，看轉化策略
韓子榮
轉化是一種重要的數學思想，本文結合實例就幾何最值問題的常見幾種轉化策略進行歸納，供讀者參考。
1. 用對稱，化曲為直
例1 如圖1，BC為圓O的直徑，作半徑，連結AB、AC，E為AB上一點，，在AO上有一點P，使最小，則的最小值是多少？
圖1
分析：由已知可得為等腰三角形，作E點關于OA的對稱點，則點在AC上，且，連結，交AO于P，則P點就是所求作的點。
在中，易得
所以
2. 挖條件，化隱為顯
例2 不等邊兩邊的高分別為4和12，且第三邊上的高是整數，那么此高的最大值可能是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
分析：設三邊為a、b、c，對應高為4、12、h，則，由的三邊關系可知：
，所以，即，所以的最大值為5，選B。
3. 看圖形，化一般為特殊
例3 已知AB是圓O中一條長為4的弦，P是圓O上一動點，且，求的面積的最大值？
圖2
分析：顯然當P點運動到優弧的中點C時，最大，如圖2所示。
此時
因為
所以
故
4. 引參數，化為方程（組）
例4 已知四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于O，若，則四邊形ABCD的面積的最小值為（ ）
A. 21 B. 25 C. 26 D. 36
圖3
分析：若設，則問題就轉化為求的最小值。設，再求出的值，就可構造以S1、S2為兩實數根的一元二次方程，根據可求出的取值范圍，進而求出的最小值。
因為，所以
即S1、S2是方程的兩實數根
所以，即
，又，所以
因此，，即
的最小值為25
此時，故選B
例5 如圖4，中，，點D、E分別在AB、AC上，且，設的周長分別為，的周長為，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
圖4
分析：要求的最小值，即求的最大值，設，的三邊長分別為。
由可知：
由，得
，得
由，得：
于是
即
由，得
所以的最小值為，故選D。
5. 聯想圖形，化復雜為簡單
例6 如圖5，在平面直角坐標系中，在y軸的正半軸（坐標原點除外）上給定兩點A、B，試在x軸的正半軸（坐標原點除外）上求點C，使取得最大值。
圖5
分析：初看此題，似無法解決。若設C為x軸的正半軸上的點，且使為最大，點D為x軸的正半軸上異于C的一動點，則有。由此圖形聯想到“圓外角度數定理”的圖形，可知點C就是過A、B的圓與x軸相切的切點。不妨設，因為，所以即為所求。
解題過程通過巧妙聯想，顯得簡潔明快，讓人愉悅。
6. 設變量，化為函數的最值
例7 如圖6所示，，，。當兩三角形沿直線FC移動時，求圖中陰影部分的面積的最大值。
圖6
分析：設，則
由已知，得：
則
根據二次函數的最值知識可得
當時，取得最大值。

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