資源簡介

二項式定理及其應用
【考綱解讀】
理解并掌握二項式定理，能夠運用二項式定理解答相關的數學問題；
理解并掌握二項展開式的性質和二項展開式的通項公式，能夠運用二項展開式的性質和二項展開式的通項公式解答相關的數學問題。
【知識精講】
一、二項式定理：
1、二項式定理：
公式所表示的定理，叫做二項式定理。
公式中右邊的多項式稱為的二項展開式，其中（r=0，1，2，----------n）叫做二項式的系數。
2、二項展開式的性質：
（1）二項展開式的項數為n+1項；
（2）各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a、b的指數之和為n；
（3）字母a按降冪排列，即從第一項開始次數由n逐項減少1至0；字母b按升冪排列，即從第一項開始次數由0逐項增加1至n；
（4）二項展開式的系數從，一直到，；
3、二項系數的性質：
（1）對稱性：在二項展開式中，與首末兩項等距離的兩項的二項系數相等，即=，=，=---------=----------；
（2）增減性與最大值：二項系數，當k＜時，二項系數是遞增的；當k＞時，二項系數是遞減的；如果二項式的冪指數是偶數，則中間一項的系數最大；如果二項式的冪指數是奇數，則中間兩項的二項系數相等，并且最大；
（3）①+++-------+=，
②++-------++--------=++-------++------=；
（4）在二項式的展開式中，是第k+1項，這里k+1是項數，是項；其中是該項的二項系數，它與a，b無關；項的系數是指化簡后除字母以外的數。
二、二項展開式的通項公式：
1、二項展開式的通項公式：
= （這里是二項展開式的第r+1項，r∈N）。
2、通項公式中的元素：
通項公式：= （k=0，1，2，------，n）中含有（項數），a，b，n，k五個元素，在這五個元素中已知其中的四個可以根據它們之間的相互關系求出另外一個。
【探導考點】
考點1二項式的展開式：熱點①求二項式展開式中指定的項；熱點②求二項式展開式中指定的項的系數；
考點2二項式系數的性質：熱點①二項式展開式系數的對稱性和增減性；熱點②求二項式展開式系數的最值。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、求展開式中項的系數；
2、已知的第五項的二項系數與第三項的二項系數的比是14:3，求展開式中不含x的項；
如果在的展開式中，前三項系數成等差數列，求展開式中的有理項和二項系數最大的項；
若在的展開式中，只有第六項的系數最大，求展開式則的常數項；
5、已知在的展開式中，第六項為常數項，求：（1）n；（2）含項的系數；
（3）展開式中所有的有理項。
6、求展開式中含的項；
7、求的展開式中項的系數；
『思考問題1』
（1）【典例1】是與二項展開式系數性質相關的問題，解決這類問題主要是運用二項展開式的通項公式先確定所在的項，再確定相應的系數；
（2）解答問題時，應該注意二項系數與項的系數具有不同的含義：在二項式的展開式中，是第k+1項，這里k+1是項數，是項；其中是該項的二項系數，它與a，b無關；項的系數是指化簡后除字母以外的數。
〔練習1〕解答下列問題：
1、求展開式則的常數項；
2、已知的展開式中前三項的系數成等差數列，求：
（1）展開式中系數最大的項； （2）展開式中所有的有理項；
3、的展開式則，常數項為15，求n；
4、求展開式中的常數項。
5、求的展開式中的常數項；
6、展開式中的常數項；
7、在的展開式中系數最小項的系數是多少？
【典例2】解答下列問題：
1、若=+x++------+，求：
（1）++------+的值；
（2）++------+的值。
2、在的展開式則，按x的降冪排列，求：
（1）含x的奇次項的系數之和；
（2）含x的偶次項的系數之和；（3）展開式的系數之和。
3、已知=，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
『思考問題2』
（1）【典例2】是與二項展開式的系數相關的問題，解決這類問題需要弄清楚二項展開式系數的意義，掌握二項展開式系數的性質；
（2）賦值法普遍適用于恒等式，是一種重要的方法。對形如，（a，b，cR）的式子求其展開式的各項的系數，常用賦值法，只需令x=1即可；對于形如
（a，b，R）的式子求其各項系數之和，只需令x=y=1即可；
（3）若f(x)=+x++--------+，則f(x)展開式中各項系數的和為f（1），奇數項系數之和為+++-------=，偶數項系數之和+++-------
=。
〔練習2〕解答下列問題：
1、設f(x)= =+x++------+。
（1）若a=1，b=-3，c=0，求++-----+和++----+的值；
（2）若+++------+=1024，且a-b+c=0，n=5，求正整數a、c的積的最大值及對應的a、c的值。
2、在的展開式中，求：
（1）含x的奇數項的系數之和； （2）含x的偶數項的系數之和；
（3）展開式的所有項系數之和； （4）所有項系數絕對值之和。
【典例3】解答下列問題：
1、已知的展開式中的系數是-280，求a的值；
2、按x降冪排列的展開式中，系數最大的項是第幾項？
3、求除100的余數。
4、求精確到0.001的近似值。
5、設=1+q++-------+（n，q1），=++-------+，用q和n表示。
6、求證：-8n-9（n）能被64整除。
『思考問題3』
（1）【典例3】是二項式定理運用的問題，這類問題主要包括：①已知二項式展開式中指定項的系數，求二項式中參數的值；②數的整除問題；③與數列相關的綜合問題；
（2）解答已知二項式展開式中指定項的系數，求二項式中參數值問題的基本方法是：①根據二項式展開式的通項公式=得到關于參數的方程；②求解方程求出所求參數的值；
（3）解答數的整除問題的基本方法是：①根據問題條件構造一個二項式；②運用二項式展開式的通項公式=，結合數整除的相關知識求出結果；
（4）解答與數列相關的綜合問題的基本方法是：①根據問題條件求出數列的通項公式；②由①得到所求式子的表示式；③運用二項式定理求出結果。
〔練習3〕解答下列問題：
1、設aZ，且0≤a<13，若+a能被13整除，則a=（ ）
A 0 B 1 C 11 D 12
2、的展開式中的系數是的系數與的系數的等差中項，求m的值。
3、求除以5的余數。
4、求證：-++-------+=。
【雷區警示】
【典例4】解答下列問題：
設二項式的展開式中常數項為A，則A= 。
設n，則+.6+.+-------+.= 。
『思考問題4』
【典例4】是解答二項式定理及運用問題時，容易觸碰的雷區。該類問題的雷區主要包括：①忽視通項公式中的符號，導致解答問題出現錯誤；②忽視二項展開式通項公式的結構特征，導致解答問題出現錯誤。
解答二項式定理及運用問題時，為避免忽視通項公式中符號的雷區，需要注意通項公式中每一項涉及的符號，尤其是通項公式中的“-”符號；
解答二項式定理及運用問題時，為避免忽視通項公式結構特征的雷區，需要注意二項展開式中通項公式=的結構的特征。
〔練習4〕解答下列問題：
求的展開式中的常數項；
2、設n，求+.3+.+-------+.的值。
【追蹤考試】
【典例5】解答下列問題：
1、展開式中常數項是 （成都市高2020級高三一診）
2、（1- ）的展開式中的系數為 （用數字作答）（2022全國高考新高考I卷）
3、展開式中項的系數為 （用數字作答）（2022成都市高三一診）
4、的展開式中的系數為（ ）（2022成都市高三二診）
A -160 B 160 C -80 D 80
5、（x+ ）的展開式中的系數為（ ）（2020全國高考新課標I）
A 5 B 10 C 15 D 20
6、的展開式中的系數是 （用數字作答）（2020全國高考新課標II）
7、的展開式中常數項是 （用數字作答）（2020全國高考新課標III）
8、（+2）的展開式的常數項為（ ）（2020成都市高三一診理）
A 25 B -25 C 5 D -5
9、的展開式中項的系數為 （2020成都市高三二診理）
『思考問題5』
【典例5】是近幾年高考（或高三診斷考試）試卷中有關二項式定理及運用的問題，歸結起來注意包括：①求二項展開式中指定的項；②求二項展開式中指定項的系數；③已知二項展開式中某項的系數，求參數的值等幾種類型；
解答二項式定理及運用的問題的基本方法是：①根據問題的結構特征，判斷問題的所屬類型；②按照解答該類型問題的基本思路和方法對問題實施解答；③得出問題解答的最終結果。
〔練習5〕解答下列問題：
1、展開式的常數項是 （2019成都市高三一診理）
2、的展開式中，含項的系數為 （用數字作答）（2019成都市高三三診理）
3、（1+2）的展開式中的系數為（ ）（2019全國高考新課標III（理））
A 12 B 16 C 20 D 24
4、的展開式中的系數為（ ）（2018全國高考新課標III卷（理））
A 10 B 20 C 40 D 80
5、的展開式中各項系數之和為 （2018成都市高三三診）
6、若的展開式中含項的系數為160，則實數a的值為（ ）（2018成都市高三二診）
A 2 B -2 C 2 D -2
的展開式中含項的系數為 （2018成都市高三一診）
二項式定理及其應用
【考綱解讀】
理解并掌握二項式定理，能夠運用二項式定理解答相關的數學問題；
理解并掌握二項展開式的性質和二項展開式的通項公式，能夠運用二項展開式的性質和二項展開式的通項公式解答相關的數學問題。
【知識精講】
一、二項式定理：
1、二項式定理：
公式所表示的定理，叫做二項式定理。
公式中右邊的多項式稱為的二項展開式，其中（r=0，1，2，----------n）叫做二項式的系數。
2、二項展開式的性質：
（1）二項展開式的項數為n+1項；
（2）各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a、b的指數之和為n；
（3）字母a按降冪排列，即從第一項開始次數由n逐項減少1至0；字母b按升冪排列，即從第一項開始次數由0逐項增加1至n；
（4）二項展開式的系數從，一直到，；
3、二項系數的性質：
（1）對稱性：在二項展開式中，與首末兩項等距離的兩項的二項系數相等，即=，=，=---------=----------；
（2）增減性與最大值：二項系數，當k＜時，二項系數是遞增的；當k＞時，二項系數是遞減的；如果二項式的冪指數是偶數，則中間一項的系數最大；如果二項式的冪指數是奇數，則中間兩項的二項系數相等，并且最大；
（3）①+++-------+=，
②++-------++--------=++-------++------=；
（4）在二項式的展開式中，是第k+1項，這里k+1是項數，是項；其中是該項的二項系數，它與a，b無關；項的系數是指化簡后除字母以外的數。
二、二項展開式的通項公式：
1、二項展開式的通項公式：
= （這里是二項展開式的第r+1項，r∈N）。
2、通項公式中的元素：
通項公式：= （k=0，1，2，------，n）中含有（項數），a，b，n，k五個元素，在這五個元素中已知其中的四個可以根據它們之間的相互關系求出另外一個。
【探導考點】
考點1二項式的展開式：熱點①求二項式展開式中指定的項；熱點②求二項式展開式中指定的項的系數；
考點2二項式系數的性質：熱點①二項式展開式系數的對稱性和增減性；熱點②求二項式展開式系數的最值。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
求展開式中項的系數。
【解析】
【知識點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理，運用二項式展開式通項公式，結合問題條件就可求出展開式中項的系數。
【詳細解答】==，由14-3r=2解得：r=4，展開式中項的系數為===35。
已知的第五項的二項系數與第三項的二項系數的比是14:3，求展開式中不含x的項。
【解析】
【知識點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理，運用二項式展開式通項公式，結合問題條件就可求出展開式中不含x的項。
【詳細解答】的第五項的二項系數與第三項的二項系數的比是14:3，==，-5n-50=0，n=10，==
，由5-=0解得：r=2，展開式中不含x的項為==5。
如果在的展開式中，前三項系數成等差數列，求展開式中的有理項和系數最大的項。
【解析】
【知識點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理，運用二項式展開式通項公式，結合問題條件就可求出展開式中有理項和系數最大的項。
【詳細解答】的展開式中，前三項系數成等差數列，=+1，-9n+8=0，n=8，==，由4-為整數解得：r=0，r=4，或r=8，的展開式中有理項為，x，，設的展開式中第r+1項的系數最大，==≥1①，==≤1②，聯立①②解得r=2，或r=3，的展開式中系數最大的項為7或7。
若在的展開式中，只有第六項的系數最大，求展開式中的常數項。
【解析】
【知識點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理，運用二項式展開式通項公式，結合問題條件就可求出展開式中的常數項。
【詳細解答】的展開式中，只有第六項的系數最大，=6，n=10，
==，由30-5r=0解得：r=6，展開式中的常數項為
==210。
5、已知在的展開式中，第六項為常數項，求：
（1）n；
（2）含項的系數；
（3）展開式中所有的有理項。
【解析】
【知識點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】（1）根據二項式定理，運用二項式展開式通項公式，結合問題條件就可求出n的值；（2）根據二項式定理，運用二項式展開式通項公式，結合問題條件就可求出展開式中項的系數；（3）根據二項式定理，運用二項式展開式通項公式，結合問題條件就可求出
展開式中的所有的有理項。
【詳細解答】（1）的展開式中，第六項為常數項，-=0，n=10；
==，由-=2解得：r=2，展開式中含項的系數為==；（3）==
，由-為整數解得：r=2，r=5，r=8，展開式中所有的有理項為，-，。
6、求展開式中含的項；
【解析】
【知識點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理，運用二項式展開式通項公式，結合問題條件就可求出展開式中含的項。
【詳細解答】展開式的通項公式為==
，展開式的通項公式為=，
展開式的通項公式為，0≤r≤5，0≤k≤5-r，
10-2r-4k=4，k=0，r=3，或k=1，r=1，含的項的系數為-64-16=-960，
展開式中含的項為-960。
7、求的展開式中項的系數；
【解析】
【知識點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理，運用二項式展開式通項公式，結合問題條件就可求出展開式中項的系數。
【詳細解答】展開式的通項公式為=，展開式的通項公式為=，的展開式的通項公式為=，0≤r≤4，0≤k≤7，4-r+k=2，
k=0，r=2，或k=1，r=3，或k=2，r=4，的展開式中項的系數為64
-128+256=2176。
『思考問題1』
（1）【典例1】是二項式展開式定理和二項式展開式通項公式及運用的問題，解決這類問題需要理解并掌握二項式展開式定理和二項式展開式通項公式，注意二項式展開式定理和二項式展開式通項公式運用的基本方法；
（2）解答問題時，應該注意二項系數與項的系數具有不同的含義：在二項式的展開式中，是第k+1項，這里k+1是項數，是項；其中是該項的二項系數，它與a，b無關；項的系數是指化簡后除字母以外的實數。
〔練習1〕解答下列問題：
1、求展開式的常數項。（答案：展開式的常數項為10）
2、的展開式則，常數項為15，求n。（答案：n=6）
3、求展開式中的常數項。（答案：展開式中的常數項為4200）
4、已知的展開式中前三項的系數成等差數列，求：展開式中所有的有理項。
（答案：展開式中所有的有理項為，x，）
5、求的展開式中的常數項。（答案：的展開式中的常數項為-20。）
6、展開式中的常數項。（答案：的展開式中的常數項為2101。）
7、在的展開式中系數最小項的系數是多少？（答案：的展開式中系數最小項的系數是-462。）
【典例2】解答下列問題：
1、若=+x++------+，求：
（1）++------+的值；
（2）++------+的值。
【解析】
【知識點】①二項系數定義與性質；②二項式展開式系數定義與性質；③二項式定理及運用。
【解題思路】（1）根據二項系數和二項式定展開式系數的性質，運用二項式定理，結合問題條件就可求出++------+的值；（2）根據二項系數和二項式定展開式系數的性質，運用二項式定理，結合問題條件就可求出++------+的值。
【詳細解答】（1）=+x++------+，令x=1得：+++------+
==1，==256，++------+=1-=1-256=-255；（2）
=+x++-----+，令x=1得：+++------+==1①，令x=-1得：-+-------+==6561②，聯立①②解得：++------+=-3280。
2、在的展開式則，按x的降冪排列，求：
（1）含x的奇次項的系數之和；
（2）含x的偶次項的系數之和；
（3）展開式的系數之和。
【解析】
【知識點】①二項系數定義與性質；②二項式展開式系數定義與性質；③二項式定理及運用。
【解題思路】（1）根據二項系數和二項式定展開式系數的性質，運用二項式定理，結合問題條件就可求出含x的奇次項的系數之和；（2）根據二項系數和二項式定展開式系數的性質，運用二項式定理，結合問題條件就可求出含x的偶次項的系數之和；（3）根據二項系數和二項式定展開式系數的性質，運用二項式定理，結合問題條件就可求出展開式的系數之和。
【詳細解答】（1）=++-------++x+，令x=1得：+++------+==①，令x=-1得：-+------+-+
==②，聯立①②解得：含x的奇次項的系數之和為（-）=（-1）；
由（1）知++-----++=-（-）=（+）=（+1），
=1，含x的偶次項的系數之和為（+1）-1；（3）展開式的系數之和為+
++------+=。
3、已知=，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
【解析】
【知識點】①二項系數定義與性質；②二項式展開式系數定義與性質；③二項式定理及運用。
【解題思路】（1）根據二項系數和二項式定展開式系數的性質，運用二項式定理，結合問題條件就可求出的值；（2）根據二項系數和二項式定展開式系數的性質，運用二項式定理，結合問題條件就可求出的值；（3）根據二項系數和二項式定展開式系數的性質，運用二項式定理，結合問題條件就可求出的值；（4）根據二項系數和二項式定展開式系數的性質，運用二項式定理，結合問題條件就可求出的值。
【詳細解答】（1）=，令x=1得：+++------+==-1，==1，=-1-1=-2；（2）
=，令x=1得：+++------+=
=-1①，令x=-1得：-+-------==2187②，聯立①②解得：++------+=-1094,；（3）+++------+==-1，++------+=-1094,，
=-1-（++------+）=-1+1094=1093；（4）||+||+------+||
==1093，|+||+------+||=-（++------+）=1094，=1093+1094=2187。
『思考問題2』
（1）【典例2】是求二項式展開式系數和的問題，解決這類問題需要理解并掌握二項式展開式系數和二項系數的定義與性質；
（2）賦值法普遍適用于恒等式，是求二項式展開式系數和的一種重要方法。對形如，（a，b，cR）的式子求其展開式的各項的系數和的基本方法就是賦值法，只需令x=1（或x=-1）即可；對于形如（a，b，R）的式子求其各項系數之和，只需令x=y=1（或x=y=-1）即可；
（3）若f(x)=+x++--------+，則求f(x)式子中各項系數的和為f（1），奇數項系數之和為+++-------=，偶數項系數之和+++-------
=。
〔練習2〕解答下列問題：
1、在的展開式中，求：
（1）含x的奇數項的系數之和； （2）含x的偶數項的系數之和；
（3）展開式的所有項系數之和； （4）所有項系數絕對值之和。
（答案：（1）含x的奇數項的系數之和為（-）；（2）含x的偶數項的系數之和為（+）-)；（3）展開式的所有項系數之和為； （4）所有項系數絕對值之和為。）
2、設f(x)= =+x++------+。
（1）若a=1，b=-3，c=0，求++-----+和++----+的值；
（2）若+++------+=1024，且a-b+c=0，n=5，求正整數a、c的積的最大值及對應的a、c的值。（答案：（1）++-----+=0，++----+=0=-1；（2）當a=c=1時，正整數a、c的積的最大值為1。）
【典例3】解答下列問題：
已知的展開式中的系數是-280，求a的值；
【解析】
【知識點】①二項系數定義與性質；②二項式展開式系數定義與性質；③二項式定理及運用。
【解題思路】根據二項系數和二項式定展開式系數的性質，運用二項式定理，結合問題條件得到關于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【詳細解答】==，的展開式中的系數是-280，
=35=-280，=-8，a=-2。
2、按x降冪排列的展開式中，系數最大的項是第幾項？
【解析】
【知識點】①二項系數定義與性質；②二項式展開式系數定義與性質；③二項式定理及運用。
【解題思路】根據二項系數和二項式定展開式系數的性質，運用二項式定理，結合問題條件
就可求出按x降冪排列的展開式中系數最大的項是第幾項。
【詳細解答】按x降冪排列的展開式中，系數最大的項的系數為正數，且為奇數項，設系數最大的項為（r為偶數），≥①，≥②，聯立①②解得：3.5≤r≤
5.5，r=4，按x降冪排列的展開式中，系數最大的項是第5項。
3、求除100的余數。
【解析】
【知識點】①數的整除性定義與性質；②二項式定理及運用。
【解題思路】根據數的整除性的性質，運用二項式定理，結合問題條件就可證明結論。
【詳細解答】==-9+-------+
-100+=100（-9+------+100-）+，除100的余數是除100的余數。
4、求精確到0.001的近似值。
【解析】
【知識點】①數的近似值定義與性質；②二項式定理及運用。
【解題思路】根據數的近似值的性質，運用二項式定理，結合問題條件就可求出精確到0.001的近似值。
【詳細解答】==-0.001+0.000001+--------，
精確到0.001的近似值為-0.001+0.00000132-0.0800+0.0008
31..921。
5、設=1+q++-------+（n，q1），=++-------+，用q和n表示。
【解析】
【知識點】①等比數列定義與性質；②二項式定理及運用。
【解題思路】根據等比數列的性質，運用二項式定理，結合問題條件就可求出關于q和n表示式。
【詳細解答】=1+q++-------+=，=++-------+
=[（++-------+）-（q++-------+）]=[（-1）-+1]
=[-]。
6、求證：-8n-9（n）能被64整除。
【解析】
【知識點】①數的整除性定義與性質；②二項式定理及運用。
【解題思路】根據數的整除性的性質，運用二項式定理，結合問題條件就可證明結論。
【詳細解答】證明：===++--------++8+1，
-8n-9=64（++-------+）+8n+8+1-8n-9=64（+
+-------+）能被64整除。
『思考問題3』
（1）【典例3】是二項式定理運用的問題，這類問題主要包括：①已知二項式展開式中指定項的系數，求二項式中參數的值；②數的整除問題；③與數列相關的綜合問題；
（2）解答已知二項式展開式中指定項的系數，求二項式中參數值問題的基本方法是：①根據二項式展開式的通項公式=得到關于參數的方程；②求解方程求出所求參數的值；
（3）解答數的整除問題的基本方法是：①根據問題條件構造一個二項式；②運用二項式展開式的通項公式=，結合數整除的相關知識求出結果；
（4）解答與數列相關的綜合問題的基本方法是：①根據問題條件求出數列的通項公式；②由①得到所求式子的表示式；③運用二項式定理求出結果。
〔練習3〕解答下列問題：
1、設aZ，且0≤a<13，若+a能被13整除，則a=（ ）（答案：D）
A 0 B 1 C 11 D 12
的展開式中的系數是的系數與的系數的等差中項，求m的值。
（答案：m=0或m=1）
3、求除以5的余數。（答案：除以5的余數是-1）
4、求證：-++-------+=。（提示：根據二項式定理構造二項式就可證明結論。）
【雷區警示】
【典例4】解答下列問題：
1、設二項式的展開式中常數項為A，則A= 。
【解析】
【知識點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理，運用二項式展開式通項公式，結合問題條件就可求出展開式中的常數項。
【詳細解答】==，由15-5r=0解得：r=3，A=-
=-10。
2、設n，則+.6+.+-------+.= 。
【解析】
【知識點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理，運用二項式展開式通項公式，結合問題條件就可求出展開式中的常數項。
【詳細解答】+.6+.+-------+.=（.6+.+.+-------+
.）=（+.6+.+.+-------+.-1）=（-1），+.6+
.+-------+.=（-1）。
『思考問題4』
【典例4】是解答二項式定理及運用問題時，容易觸碰的雷區。該類問題的雷區主要包括：①忽視通項公式中的符號，導致解答問題出現錯誤；②忽視二項展開式通項公式的結構特征，導致解答問題出現錯誤。
解答二項式定理及運用問題時，為避免忽視通項公式中符號的雷區，需要注意通項公式中每一項涉及的符號，尤其是通項公式中的“-”符號；
解答二項式定理及運用問題時，為避免忽視通項公式結構特征的雷區，需要注意二項展開式中通項公式=的結構的特征。
〔練習4〕解答下列問題：
1、求的展開式中的常數項；（答案：常數項為-20）
2、設n，求+.3+.+-------+.的值。（答案：+.3+.
+-------+.的值為（-1））。
【追蹤考試】
【典例5】解答下列問題：
1、展開式中常數項是 （成都市高2020級高三一診）
【解析】
【考點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理，運用二項式展開式通項公式，結合問題條件就可求出展開式中的常數項。
【詳細解答】==，由6-=0解得：r=4，展開式中常數項是.=1615=240。
2、（1- ）的展開式中的系數為 （用數字作答）（2022全國高考新高考I卷）
【解析】
【考點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理，運用二項式展開式通項公式，結合問題條件就可求出展開式中項的系數。
【詳細解答】=，（1- ）的展開式中的系數應該是的與兩項系數的和，==28，==56，（1- ）的展開式中的系數=28-56=-28。
3、展開式中項的系數為 （用數字作答）（2022成都市高三一診）
【解析】
【考點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理，運用二項式展開式通項公式，結合問題條件就可求出展開式中項的系數。
【詳細解答】==，由5-2r=3解得：r=1，展開式中項的系數為-.=-516=-80。
4、的展開式中的系數為（ ）（2022成都市高三二診）
A -160 B 160 C -80 D 80
【解析】
【考點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理，運用二項式展開式的通項公式求出的展開式中的系數就可得出選項。
【詳細解答】==，由6-r=3解得r=3，的展開式中的系數為=-820=-160, A正確，選A。
5、（x+ ）的展開式中的系數為（ ）（2020全國高考新課標I）
A 5 B 10 C 15 D 20
【解析】
【考點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理，運用二項式展開式的通項公式求出的展開式中和y的系數，兩個系數相加求出（x+ ）的展開式中的系數就可得出選
項。
【詳細解答】=，當r=3或r=1時，==10，=5,，10+5=15，
（x+ ）的展開式中的系數為15，C正確，選C。
6、的展開式中的系數是 （用數字作答）（2020全國高考新課標II）
【解析】
【考點】①二項式定理及運用；②二項式展開式的通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理和二項式展開式的通項公式，得到的展開式中的項就可求出展開式中的系數。
【詳細解答】= （）= ，=-1，r=3， 的展開式中的系數為=-35。
7、的展開式中常數項是 （用數字作答）（2020全國高考新課標III）
【解析】
【考點】①二項式定理及運用；②二項式展開式的通項公式及運用；③確定二項式展開式某項系數的基本方法。
【解答思路】根據二項式定理和二項式展開式的通項公式，結合問題條件確定常數項的項，運用確定二項式展開式某項系數的基本方法就可求出、的展開式中常數項。
【詳細解答】 = = ，當12-3r=0時，r=4，
的展開式中常數項是=1516=240。
8、（+2）的展開式的常數項為（ ）（2020成都市高三一診理）
A 25 B -25 C 5 D -5
【解析】
【考點】①二項式定理及運用；②二項式展開式的通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理和二項式展開式的通項公式，求出(+2) 的展開式的常數項就可得出選項。
【詳細解答】==，(+2) 的展開式的常數項是的展開式中項的系數與常數項的2倍的和，由6-2r=-2和6-2r=0分別解得：r=4或r=3，
(+2) 的展開式的常數項為+2=15-40=-25，B正確； 選B。
9、的展開式中項的系數為 （2020成都市高三二診理）
【解析】
【考點】①二項式定理及運用；②二項式展開式通項公式及運用。
【解題思路】根據二項式定理，運用二項式展開式通項公式，結合問題條件就可求出的展開式中的系數。
【詳細解答】=，由4-r=2解得：r=2, 的展開式中的系數為
==6。
『思考問題5』
【典例5】是近幾年高考（或高三診斷考試）試卷中有關二項式定理及運用的問題，歸結起來注意包括：①求二項展開式中指定的項；②求二項展開式中指定項的系數；③已知二項展開式中某項的系數，求參數的值等幾種類型；
解答二項式定理及運用的問題的基本方法是：①根據問題的結構特征，判斷問題的所屬類型；②按照解答該類型問題的基本思路和方法對問題實施解答；③得出問題解答的最終結果。
〔練習5〕解答下列問題：
1、展開式的常數項是 （2019成都市高三一診）（答案：常數項是24）
2、的展開式中，含項的系數為 （用數字作答）（2019成都市高三三診）（答案：含項的系數為80）
3、（1+2）的展開式中的系數為（ ）（2019全國高考新課標III）（答案：A）
A 12 B 16 C 20 D 24
4、的展開式中的系數為（ ）（2018全國高考新課標III卷）（答案：C）
A 10 B 20 C 40 D 80
5、的展開式中各項系數之和為 （2018成都市高三三診）（答案：各項系數之和為0）
6、若的展開式中含項的系數為160，則實數a的值為（ ）（2018成都市高三二診）（答案：B）
A 2 B -2 C 2 D -2
7、的展開式中含項的系數為 （2018成都市高三一診）（答案：含項的系數為40）
1、 展開式中的系數為（ ）（2017全國高考新課標I卷（理））
A 15 B 20 C 30 D 35
2、（x+y）的展開式中的系數為（ ）（2017全國高考新課標III卷（理））
A -80 B -40 C 40 D 80
3、（x-2）的展開式中的系數為（ ）（2017成都市高三一珍）
A 25 B 5 C -15 D -20
4、在二項式的展開式中，若常數項為-10，則a= （2017成都市高三二診）
5、的展開式中，常數項為 （用數字作答）（2017成都市高三三診）
6、的展開式中的系數是（ ）（2013全國高考I卷）
A 28 B 56 C 112 D 224
7、的展開式中的系數為 （用數字作答）（2014全國高考I卷）
8、的展開式中，的系數為（ ）（2015全國高考新課標I卷）
A 10 B 20 C 30 D 60
9、在的二項展開式中，常數項等于 （結果用數值表示）（2015全國高考上海卷）
10、在的展開式中，的系數為 （2015全國高考天津卷）
11、的展開式中，的系數為（ ）（2015全國高考新課標I卷）
A 10 B 20 C 30 D 60
12、（a+x）的展開式中，x的奇次冪的系數之和為32，則a= （用數字作答）（2015全國高考新課標II卷）
13、在的展開式中，的系數為 (用數字作答)（2015全國高考北京卷）
14、在的展開式中，的系數為 （結果用數字表示）（2015全國高考上海卷）
15、在的展開式中，的系數為 （2015全國高考天津卷）
16、在的展開式中，x的系數為 （2015全國高考廣東卷）
17、的展開式中的系數為 （用數字填寫答案）（2015全國高考安徽卷）
18、已知的展開式中第4項與第8項的二項系數相等，則奇數項的二項系數和為（ ）（2015全國高考湖北卷）
A B C D
19、已知的展開式中含的項的系數為30，則a=（ ）（2015全國高考湖南卷）
A B - C 6 D -6
20、的展開式中，的系數是 （用數字作答）（2015全國高考重慶卷）
21、（a+x）的展開式中x的奇次冪項的系數之和為32，則a= (2015全國高考遼寧卷)
22、在的展開式中，含的項的系數是 （用數字填寫答案）（2015全國高考四川卷）
23、觀察下列各式：= ；+ = ；+ + = ；+ + + = ；照此規律，當n時，+++-------+= （2015全國高考山東卷）
24、的展開式中，項的系數等于 （用數字作答）（2015全國高考福建卷）
25、二項式（n ）的展開式中的系數為15，則n=（ ）（2015全國高考陜西卷）
A 4 B 5 C 6 D 7
【綜合練習3（理）】
1、的展開式中，的系數與的系數之和= （2009全國高考I卷）
2、的展開式中的系數為 （2009全國高考II卷）
3、若=a+b(a、b為有理數)，則a+b=（ ）（2009全國高考北京卷）
4、的展開式中的系數是（ ）（2009全國高考重慶卷）
A 16 B 70 C 560 D 1120
5、的展開式中的常數項是 （用數字作答）（2009全國高考四川卷）
6、若=（x∈R）,則的值為（ ）（2009全國高考陜西卷）
A 2 B 0 C -1 D -2
7、設= ，則=（ ）（2009全國高考湖北卷）
A -1 B 0 C 1 D
8、在+ + 的展開式中，x的系數為 （用數字作答）（2009全國高考湖南卷）
9、展開式中不含x的項的系數絕對值的和為243，不含y的項的系數絕對值的和為32，則a、b、n的值可能為（ ）（2009全國高考江西卷）
Aa=2,b=-1,n=5 B a=-2,b=-1,n=6 C a=-1,b=2,n=6 D a=1,b=2,n=5
10\在二項式的展開式中，含的項的系數是（ ）（2009全國高考浙江卷）
A -10 B 10 C -5 D 5
11、的展開式中x的系數是（ ）（2010全國高考I卷）
A -4 B -2 C 2 D 4
12、若的展開式中的系數是-84，則a= （2010全國高考II卷）
13、的展開式中的常數項為 （2010全國高考遼寧卷）
14、的展開式中的第四項是 （2010全國高考四川卷）
15、（x∈R）的展開式中的系數為10，則實數a=（ ）（2010全國高考陜西卷）
A -1 B C 1 D 2
16、的展開式中的系數= （2010全國高考安徽卷）
17、展開式中不含項的系數的和是（ ）（2010全國高考江西卷）
A -1 B 0 C 1 D 2
18、的二項展開式中，x的系數與的系數之差為 （2011全國高考I卷）
19、在的展開式中各項系數之和為2，則該展開式中常數項為( )（2011全國高考新課標卷）
A -40 B -20 C 20 D 40
20、在的展開式中，系數為有理數的項共有 項（2010全國高考湖北卷）
21、的展開式中含的項的系數為 （結果用數值表示）（2011全國高考湖北卷）
22、（x∈R）展開式中的常數項是（ ）（2011全國高考陜西卷）
A -20 B -15 C 15 D 20
23、x 的展開式中，的系數是 （用數字作答）（2011全國高考廣東卷）
24、（其中n∈N,且n≥6）的展開式中與的系數相等，則n=（ ）（２０１１全國高考重慶卷）
A ６ B ７ C ８ D ９
25、若的展開式中第三項與第七項的二項式系數相等，則展開式中項的系數為
（2012全國高考I卷）
26、在的二項展開式中，x的系數為（ ）（2012全國高考天津卷）
A 10 B -10 C 20 D -20
27、的展開式中的系數等于8，則實數a= （2012全國高考福建卷）
28、的展開式中，的系數為 （用數字作答）（2012全國高考廣東卷）
29、的展開式中常數項為（ ）（2012全國高考重慶卷）
A B C D 105
30、的展開式中的系數為10，則實數a的值為 （2012全國高考陜西卷）
31、的展開式中的系數是（ ）（2012全國高考四川卷）
A 42 B 35 C 28 D 21
32、在的展開式中，常數項等于 （2012全國高考上海卷）
33、設m為正整數，的展開式的二項式系數的最大值為a，的二項式系數的最大值為b，若13a=7b，則m=（ ）（2013全國高考新課標I卷）
A 5 B 6 C 7 D 8
34、已知（1+ax）的展開式中的系數為5，則a=（ ）（2013全國高考新課標II卷）
A -4 B -3 C -2 D -1
35、的展開式中的系數為7，則實數a= （2013全國高考安徽卷）
36、的展開式中的常數項為（ ）（2013全國高考江西卷）
A 80 B -80 C 40 D -40
37、使（n）的展開式中含有常數項的最小的為n為（ ）（2013全國高考遼寧卷）
A 4 B 5 C 6 D 7
38、二項式的展開式中，含的項的系數是 （用數字作答）（2013全國高考四川卷）
39、設二項式的展開式中常數項為A，則A= （2013全國高考浙江卷）
40、的二項展開式中的常數項為 （2013全國高考天津卷）
41、的展開式中的系數為 （用數字作答）（2014全國高考I卷）
42、的展開式中，的系數為15，則a= （用數字作答）（2014全國高考新課標II卷）
43、（x-y）的展開式中，的系數為 （用數字作答）（2014全國高考新課標I卷）
44、若二項式的展開式中的系數是84，則實數a=（ ）（2014全國高考湖北卷）
A 2 B C 1 D
45、的展開式中，的系數為（ ）（2015全國高考新課標I卷）
A 10 B 20 C 30 D 60
46、（a+x）的展開式中，x的奇次冪的系數之和為32，則a= （用數字作答）（2015全國高考新課標II卷）
47、在的展開式中，的系數為 (用數字作答)（2015全國高考北京卷）
48、在的展開式中，的系數為 （結果用數字表示）（2015全國高考上海卷）
49、在的展開式中，的系數為 （2015全國高考天津卷）
50、在的展開式中，x的系數為 （2015全國高考廣東卷）
51、的展開式中的系數為 （用數字填寫答案）（2015全國高考安徽卷）
52、已知的展開式中第4項與第8項的二項系數相等，則奇數項的二項系數和為（ ）（2015全國高考湖北卷）
A B C D
53、已知的展開式中含的項的系數為30，則a=（ ）（2015全國高考湖南卷）
A B - C 6 D -6
54、的展開式中，的系數是 （用數字作答）（2015全國高考重慶卷）
55、（a+x）的展開式中x的奇次冪項的系數之和為32，則a= (2015全國高考遼寧卷)
56、在的展開式中，含的項的系數是 （用數字填寫答案）（2015全國高考四川卷）
57、觀察下列各式：= ；+ = ；+ + = ；+ + + = ；照此規律，當n時，+++-------+= （2015全國高考山東卷）
58、的展開式中，項的系數等于 （用數字作答）（2015全國高考福建卷）
59、二項式（n ）的展開式中的系數為15，則n=（ ）（2015全國高考陜西卷）
A 4 B 5 C 6 D 7
60、的展開式中，的系數是 （用數字作答）（2016全國高考新課標I卷）
61、在的展開式中，的系數為 （用數字作答）（2016全國高考北京卷）
62、在的二項式中，所有項的二項式系數之和為256，則常數項等于 （2016全國高考上海卷）
63、的展開式中，的系數為 （用數字作答）（2016全國高考天津卷）
【綜合練習3（文）】
1、的展開式中常數項為 （用數字作答）（2007全國高考II卷）
2、在的展開式中，的系數是 （用數字作答）（2007全國高考北京卷）
3、若的二項展開式中的系數是，則a= （用數字作答）（2007全國高考天津卷）
4、若的展開式中含有常數項，則最小的正整數n等于 （2007全國高考安徽卷）
5、若展開式的各項系數之和為32，則n= ，其展開式中的常數項
為 （用數字作答）（2008全國高考北京卷）
6、的二項展開式中的系數是 （用數字作答）（2008全國高考天津卷）
7、展開式中的系數為 （2008全國高考四川卷）
8、的展開式中沒有常數項，n∈，且2≤n≤8，則n= （2008全國高考遼寧卷）
9、若=，則
= （用數字作答）(2008全國高考福建卷)
10、已知（k是正整數）的展開式中，的系數小于120，則k= （2008全國高考廣東卷）
11、的展開式中，的系數與的系數之和= （2009全國高考I卷）
12、的展開式中的系數為 （2009全國高考II卷）
13、若=a+b(a、b為有理數)，則a+b=（ ）（2009全國高考北京卷）
14、的展開式中的系數是（ ）（2009全國高考重慶卷）
A 20 B 40 C 80 D 160
15、的展開式中的常數項是 （用數字作答）（2009全國高考四川卷）
16、、若=（x∈R）,則的值為（ ）（2009全國高考陜西卷）
A 2 B 0 C -1 D -2
17、已知=1+10x+b+，則b= （2009全國高考湖北卷）
18、在的展開式中，x的系數為 （用數字作答）（2009全國高考湖南卷）
19、若x++--------+能被7整除，則x、n的值可能為（ ）（2009全國高考江西卷）
A x=4,n=3 B x=4,n=4 C x=5,n=4 D x=6,n=5
20、的展開式中的系數是（ ）（2010全國高考I卷）
A -6 B -3 C 0 D 3
21、若的展開式中的系數是 （2010全國高考II卷）
22、的展開式中的常數項為 （用數字作答）（2010全國高考四川卷）
23、的展開式中的系數為（ ）（2010全國高考重慶卷）
A 4 B 6 C 10 D 20
24、在的展開式中的系數為 （2010全國高考湖北卷）
25、的二項展開式中，x的系數與的系數之差為 （2011全國高考I卷）
26、的展開式中含的項的系數為 （結果用數值表示）（2011全國高考湖北卷）
27、的展開式中的系數是 （2010全國高考重慶卷）
28、的展開式中的系數為 （2012全國高考I卷）
29、的展開式中的系數為（ ）（2012全國高考重慶卷）
A -270 B -90 C 90 D 270
30、的展開式中的系數是（ ）（2012全國高考四川卷）
A 21 B 28 C 35 D 42
31、在的展開式中，常數項等于 （2012全國高考上海卷）
32、的展開式中的系數是（ ）（2013全國高考I卷）
A 28 B 56 C 112 D 224
33、的展開式中的系數為 （用數字作答）（2014全國高考I卷）
34、的展開式中，的系數為（ ）（2015全國高考新課標I卷）
A 10 B 20 C 30 D 60
35、在的二項展開式中，常數項等于 （結果用數值表示）（2015全國高考上海卷）
36、在的展開式中，的系數為 （2015全國高考天津卷）
37、在的二項式中，所有項的二項式系數之和為256，則常數項等于 （2016全國高考上海卷）

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