資源簡介

運用函數導函數判斷函數單調性
【考綱解讀】
理解并掌握運用函數導函數判斷函數單調性的定理；
掌握運用函數導函數判斷函數單調性和求函數單調區間的基本方法，
掌握參數分類討論的原則和基本方法，能夠對含義參數的函數判斷單調性（或求單調區間），掌握已知函數單調性，求參數的值（或取值范圍）的基本方法。
【知識精講】
一、運用函數導函數判斷函數單調性的理論依據：
定理：設函數y=f(x)在區間（a，b）內可導，且導函數為（x）
1、如果對任意的x（a，b），都有（x）≥0，則函數f(x)是區間（a,，b）上的單調遞增函數（注意其逆定理不一定成立）；
2、如果對任意的x（a，b），都有（x）≤0，則函數f(x)是區間（a,，b）上的單調遞減函數（注意其逆定理不一定成立）；
3、如果對任意的x（a，b），都有（x）=0，則函數f(x)是區間（a,，b）上的常值函數。
二、運用函數導函數判斷函數單調性的基本方法：
1、確定函數的定義域；
2、求函數的導函數（x），令（x）=0求出在定義域內的所有實根；
3、用函數f(x)的間斷點（不屬于f(x)定義域的點）和（2）中求出的實根按由小到大的順序把函數f(x)的定義域分成若干個小區間；
4、判斷導函數（x）在各個小區間上的符號，根據（x）的符號由定理判斷函數f(x)在各個小區間的增減性；
5、得出函數f(x)的單調性（注意同類的單調區間之間不能用“”，只能用“，”）。
三、求函數單調區間的基本方法：
1、確定函數的定義域；
2、求函數的導函數（x）；
3、求解不等式（x）≥0（或（x）≤0）；
4、得出函數f(x)的單調區間（注意同類的單調區間之間不能用“”，只能用“，”）。
四、含有參變量函數f(x)單調性判斷的基本方法：
1、確定函數的定義域；
2、求函數的導函數（x），令（x）=0求出在定義域內的所有實根；
3、根據參數分類討論的原則和基本方法對方程（x）=0的根是否在函數f(x)的定義域內進行分類；
4、對方程（x）=0的根與函數f(x) 間斷點（不屬于f(x)定義域的點）的橫坐標按大小把函數f(x)的定義域分成若干個小區間；
5、判斷導函數（x）在各個小區間上的符號，根據（x）的符號由定理得出函數f(x)在各個小區間的單調性；
6、綜合得出函數f(x)的單調性（注意同類的單調區間之間不能用“”，只能用“，”）。
五、已知函數f(x)的單調性，求參數的值（或取值范圍）：
1、根據函數的單調性和定理，得到不等式（x）0（或（x）0）在已知區間上恒成立（注意（x）=0在區間上不能恒成立）；
2、求解不等式（x）0（或（x）0）在已知區間上恒成立時參數的值（或取值范圍）；
3、得出所求參數的值（或取值范圍）（注意（x）=0在區間上不能恒成立）。
【探導考點】
考點1判斷不含參數函數的單調性（或求單調區間）：熱點①判斷函數的單調性；熱點②求函數的單調區間；
考點2判斷含參數函數的單調性（或求單調區間）：熱點①判斷函數的單調性；熱點②求函數的單調區間；
考點3已知函數的單調性，求參數的值（或取值范圍）：熱點①已知函數的單調性，求參數的值；熱點②已知函數的單調性，求參數的取值范圍。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、“在區間（a，b）內（x）＞0”是“f（x）在該區間內單調遞增”的（ ）
A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件
2、設（x）是函數f(x)的導函數，函數（x）的圖像如圖所示，則函數 f(x)的圖像可能是（ ）
y y y y y
-1 0 1 x -1 0 1 x -1 0 1 x -1 0 1 x -1 0 1 x
A B C D
3、函數f(x)= -lnx的單調遞減區間為（ ）
A （-1，1） B （0，1） C （1，+∞） D （0，+∞）
4、已知定義在區間（-，）上的函數f(x)=xsinx+cosx，則函數f(x)的單調遞增區間是 ；
5、判斷函數f(x)=4+的單調性；
6、已知函數f(x)=- +3+9x+a，求函數f(x)的單調區間；
『思考問題1』
（1）【典例1】是運用函數導函數判斷函數單調性（或求函數單調區間）的問題，解答這類問題需要理解函數導函數與函數單調性的關系定理，掌握運用函數導函數判定函數單調性（或求函數單調區間）的基本方法；
（2）解答運用函數導函數判斷函數單調性問題的基本方法是：①確定函數的定義域；②求函數的導函數（x），令（x）=0求出在定義域內的所有實根；③用函數f(x)的間斷點（不屬于f(x)定義域的點）和②中求出的實根按由小到大的順序把函數f(x)的定義域分成若干個小區間；④判斷導函數（x）在各個小區間上的符號，根據（x）的符號由定理判斷函數f(x)在各個小區間的增減性；⑤得出函數f(x)的單調性；
（3）解答運用函數導函數求函數單調區間問題的基本方法是：①確定函數的定義域；②求函數的導函數（x）；③求解不等式（x）≥0（或（x）≤0）；④得出函數f(x)的單調區間（注意同類的單調區間之間不能用“”，只能用“，”）。
〔練習1〕解答下列問題：
設（x）是函數f(x)的導函數，y=（x）的 y
圖像如圖所示，則y=f(x)的圖像最有可能是（ ）
0 1 2 x
y y y y
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
A B C D
函數f(x)=4+的單調遞增區間為（ ）
A （0，+∞） B （，+∞） C （-∞，-1） D （-∞，-）
3、已知函數f(x)=xlnx，則函數f(x)（ ）
A在（0，+∞）上遞增B在（0，+∞）時遞減C在（0，）上遞增D在（0，）上遞減
4、函數y=x-lnx的單調遞減區間是 。
5、函數f(x)=x-2sinx在（0，2）內的單調遞增區間是 。
6、求函數f(x)=(x-3) 的單調區間；
7、已知函數f(x)= lnx，求函數f(x)的單調區間。
【典例2】解答下列問題：
1、已知函數f(x)= ++ax+1（aR），求函數f(x)的單調區間；
2、已知a∈R,求函數f(x)= 的單調區間；
3、已知函數f(x)=lnx，g(x)=f(x)+a+bx，其中函數g(x)的圖像在點（1，g(1)）處的切線平行于x軸。
（1）確定a與b的關系；
（2）若a0，試討論函數g(x)的單調性。
4、（理）已知函數f(x)=2-a+b。
（1）討論函數f(x)的單調性；
（2）是否存在a，b，使得f(x)在區間［0，1］的最小值為-1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由。
（文）已知函數f(x)=2-a+2。
（1）討論函數f(x)的單調性；
（2）當0＜a＜3時，記f(x)在區間［0，1］的最大值為M，最小值為m，求M-m的取值范圍（2019全國高考新課標III）
『思考問題2』
【典例1】是運用函數導函數判斷函數f(x)解析式中含有參數的單調性（或求單調區間）的問題，解答這類問題需要理解函數導函數與函數單調性的關系定理和參數分類討論的原則與基本方法；
（2）解答運用函數導函數判斷函數f(x)解析式中含參數函數單調性的基本方法是：①確定函數的定義域；②求函數的導函數（x），令（x）=0求出在定義域內的所有實根（根據參數分類討論的原則和基本方法注分別求出實根）；③用函數f(x)的間斷點（不屬于f(x)定義域的點）和②中求出的實根按由小到大的順序把函數f(x)的定義域分成若干個小區間；④判斷導函數（x）在各個小區間上的符號（注意參數對不等式的影響），根據（x）的符號由定理判斷函數f(x)在各個小區間的單調性；⑤得出函數f(x)的單調性；
（3）解答運用函數導函數求函數f(x)解析式中含有參數的單調區間問題的基本方法是：①確定函數的定義域；②求函數的導函數（x），令（x）=0求出在定義域內的所有實根（根據參數分類討論的原則和基本方法注分別求出實根）；③用函數f(x)的間斷點（不屬于f(x)定義域的點）和②中求出的實根按由小到大的順序把函數f(x)的定義域分成若干個小區間；④判斷導函數（x）在各個小區間上的符號（注意參數對不等式的影響），根據（x）的符號由定理判斷函數f(x)在各個小區間的單調性；⑤得出函數f(x)的單調區間；
（4）含參數的函數的單調性問題一般要對參數分類討論，常見的分類討論標準是：①方程（x）=0是否有根；②若方程（x）=0有根，需要判斷求出的根是否在定義域內；③若方程（x）=0的根在定義域內且有兩個需要比較根的大小。
〔練習2〕解答下列問題：
討論函數f(x)=(a-1)lnx+a+1的單調性。
已知函數f(x)=a+6-x(a≠0)，求函數f(x)的單調區間；
3、已知函數f(x)= (ax+b)- -4x，曲線y= f(x)在點（0，f(0)）處的切線方程為y=4x+4。（1）求a，b的值；
（2）討論f(x)的單調性，并求f(x)的極大值。
【典例3】解答下列問題：
1、若函數f(x)=++mx+1是R上的單調函數，則實數m的取值范圍是（ ）
A （，+∞） B （-∞，） C ［，+∞） D （-∞，］
2、設函數f(x)= -a+(a-1)x+1在區間（1，4）內為減函數，在區間（6，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍；
3、設f(x)=a+x恰有三個單調區間，試確定實數a的取值范圍，并求出這三個單調間；
4、已知函數f(x)的圖像與函數h(x)=x++2的圖像關于點A（0，1）對稱。
（1）求函數f(x)的解析式；
（2）若g(x)=f(x)+ 在區間（0，2〕上為減函數，求實數a的取值范圍；
5、已知函數f(x)= -ax-1。
（1）若函數f(x)在實數集R上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）是否存在實數a，使函數f(x)在（-1，1）上單調遞減？若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，說明理由。
『思考問題3』
（1）【典例3】是已知函數的單調性，求函數解析式中參數的值（或取值范圍）的問題，解答這類問題需要根據函數導函數與函數單調性相關的定理和函數具有單調性的條件，得到關于參數的不等式（或不等式組），然后求解不等式（或不等式組）就可得出答案；
（2）已知函數的單調性，求函數解析式中參數的值（或取值范圍）的基本方法是：①根據函數f(x)在（a，b）上單調，則區間（a，b）是相應單調區間的子集尋求參數應該滿足的條件；②函數f(x)為增函數（或減函數）的充要條件是對任意的x∈（a，b）都有（x）0（或（x）0），且在（a，b）的任一非空子區間上（x）不恒為零（注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解）；③運用函數在某個區間存在單調區間參數應該滿足的條件得到不等式（或不等式組）；④求解不等式（或不等式組）。
〔練習3〕解答下列問題：
1、如果函數f(x)= -ax-1在實數集R上單調遞增，求實數a的取值范圍；（答案：實數a的取值范圍是（-∞，0]。）
2、如果函數f(x)=ax-在區間（0，2〕上單調遞增，求實數a的取值范圍。（答案：實數a的取值范圍是[- ， +∞）。）
3、已知函數f(x)=-+a+1（aR）。
（1）若函數y=f(x)在區間（0，）上遞增，在區間〔，+∞）遞減，求a的值；
（2）當x〔0,1〕時，設函數y=f(x)圖像上任意一點處的切線的傾斜角為，若給定常數a〔，+∞），求的取值范圍。（答案：（1）a=1；（2）（0，）。）
4、已知函數f(x)= lnx-a(aR)。
（1）若函數f（x）在點（1，f(1)）處的切線與直線y=x+1垂直，求a的值；
（2）若函數f(x)在（0，+∞）上是單調函數，求實數a的取值范圍。（答案：（1）a=2；（2）實數a的取值范圍是（-∞，1]。）
【雷區警示】
【典例4】解答下列問題：
已知函數f(x)= -+a-x-1在R上是減函數，求實數a的取值范圍。
2、已知函數f(x)= -ax-1，若函數f(x)在實數集R上單調遞增，求實數a的取值范圍；
『思考問題4』
【典例4】是解答運用函數導函數判斷函數單調性（或求函數單調區間）問題時，容易觸碰的雷區。該類問題的雷區主要是忽視運用函數導函數判斷函數單調性的充分必要條件，導致解答出現錯誤；
解答運用函數導函數判斷函數單調性（或求函數單調區間）問題時，為避免忽視運用函數導函數判斷函數單調性的充分必要條件的雷區，需要注意運用函數導函數判斷函數單調性的充分必要條件。
〔練習4〕解答下列問題：
1、如果函數f(x)=ax-在區間（0，2〕上單調遞增，求實數a的取值范圍。
2、設函數f(x)= -a+(a-1)x+1在區間（1，4）內為減函數，在區間（6，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍；
【追蹤考試】
【典例5】解答下列問題：
1、（理）記函數f(x)的導函數為(x)，若函數f(x)為奇函數，且當x（ -，0）時恒有f(x)<(x)tanx成立，則（ ）
A f（-）>f（-） B f（-）>-f（）
C f（）>f（） D f（-）（文）記函數f(x)的導函數為(x)，若函數f(x)為奇函數，且當x（ -，0）時恒有f(x)cosx<
(x)sinxx成立，則（ ）（成都市高2021級高三零診）
A f（-）>f（-） B f（）>-f（-）
C f（）>f（） D f（-）>-f（）
2、設a（0，1），若函數f(x)=+在（0，+）時單調遞增，則a的取值范圍是
（2023全國高考乙卷理）
3、已知函數f(x)=a-lnx在區間（1，2）上單調遞增，則a的最小值為（ ）（2023全國高
考新高考II）
A e B e C D
4、若函數f(x)=kx-2lnx，在區間（1，+）單調遞增，則實數k的取值范圍是（ ）（成都市2020級高三零診）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
5、（理）已知a=，b=cos，c=4sin，則（ ）
A c>b>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
（文）已知=10，a=-11，b=-9，則（ ）（2022全國高考甲卷）
A a>0>b B a>b>0 C b>a>0 D b>0>a
6、（理）設a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1，則（ ）
A a（文）設a0，若x=a為函數f(x)=a(x-b)的極大值點，則（ ）（2021全國高考乙卷）
A ab C ab< D ab>
『思考問題5』
【典例5】是近幾年高考（或成都市高三診斷考試）試卷中運用函數導函數判斷函數單調性（或求函數單調區間）的問題，歸結起來主要包括：①運用函數導函數判斷函數單調性；②運用函數導函數求函數的單調區間；③已知函數的單調性，求函數解析式中參數的值（或取值范圍）幾類問題；
（2）解答問題的基本方法是：①根據問題的結構特征判斷其所屬類型；②運用解答該類型問題的解題思路和基本方法實施解答；③得出問題的解答結果。
〔練習5〕解答下列問題：
1、已知函數f(x)=（x-1）-a+b。
（1）討論函數f(x)的單調性；
（2）從下面兩個條件中任選一個，證明：函數f(x)有一個零點。
①2a；②02、設函數f(x)= +ax-3lnx+1，其中a>0。
（1）討論函數f(x)的單調性；（答案：函數f(x)在（0，）上單調遞減，在（，+ ）上單調遞增；）
（2）若y=f(x)的圖像與X軸沒有公共點，求a的取
運用函數導函數判斷函數單調性
【考綱解讀】
理解并掌握運用函數導函數判斷函數單調性的定理；
掌握運用函數導函數判斷函數單調性和求函數單調區間的基本方法，
掌握參數分類討論的原則和基本方法，能夠對含義參數的函數判斷單調性（或求單調區間），掌握已知函數單調性，求參數的值（或取值范圍）的基本方法。
【知識精講】
一、運用函數導函數判斷函數單調性的理論依據：
定理：設函數y=f(x)在區間（a，b）內可導，且導函數為（x）
1、如果對任意的x（a，b），都有（x）≥0，則函數f(x)是區間（a,，b）上的單調遞增函數（注意其逆定理不一定成立）；
2、如果對任意的x（a，b），都有（x）≤0，則函數f(x)是區間（a,，b）上的單調遞減函數（注意其逆定理不一定成立）；
3、如果對任意的x（a，b），都有（x）=0，則函數f(x)是區間（a,，b）上的常值函數。
二、運用函數導函數判斷函數單調性的基本方法：
1、確定函數的定義域；
2、求函數的導函數（x），令（x）=0求出在定義域內的所有實根；
3、用函數f(x)的間斷點（不屬于f(x)定義域的點）和（2）中求出的實根按由小到大的順序把函數f(x)的定義域分成若干個小區間；
4、判斷導函數（x）在各個小區間上的符號，根據（x）的符號由定理判斷函數f(x)在各個小區間的增減性；
5、得出函數f(x)的單調性（注意同類的單調區間之間不能用“”，只能用“，”）。
三、求函數單調區間的基本方法：
1、確定函數的定義域；
2、求函數的導函數（x）；
3、求解不等式（x）≥0（或（x）≤0）；
4、得出函數f(x)的單調區間（注意同類的單調區間之間不能用“”，只能用“，”）。
四、含有參變量函數f(x)單調性判斷的基本方法：
1、確定函數的定義域；
2、求函數的導函數（x），令（x）=0求出在定義域內的所有實根；
3、根據參數分類討論的原則和基本方法對方程（x）=0的根是否在函數f(x)的定義域內進行分類；
4、對方程（x）=0的根與函數f(x) 間斷點（不屬于f(x)定義域的點）的橫坐標按大小把函數f(x)的定義域分成若干個小區間；
5、判斷導函數（x）在各個小區間上的符號，根據（x）的符號由定理得出函數f(x)在各個小區間的單調性；
6、綜合得出函數f(x)的單調性（注意同類的單調區間之間不能用“”，只能用“，”）。
五、已知函數f(x)的單調性，求參數的值（或取值范圍）：
1、根據函數的單調性和定理，得到不等式（x）0（或（x）0）在已知區間上恒成立（注意（x）=0在區間上不能恒成立）；
2、求解不等式（x）0（或（x）0）在已知區間上恒成立時參數的值（或取值范圍）；
3、得出所求參數的值（或取值范圍）（注意（x）=0在區間上不能恒成立）。
【探導考點】
考點1判斷不含參數函數的單調性（或求單調區間）：熱點①判斷函數的單調性；熱點②求函數的單調區間；
考點2判斷含參數函數的單調性（或求單調區間）：熱點①判斷函數的單調性；熱點②求函數的單調區間；
考點3已知函數的單調性，求參數的值（或取值范圍）：熱點①已知函數的單調性，求參數的值；熱點②已知函數的單調性，求參數的取值范圍。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、“在區間（a，b）內（x）＞0”是“f（x）在該區間內單調遞增”的（ ）
A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件
【解析】
【知識點】①運用導數判斷函數單調性的基本方法；②充分條件，必要條件，充分必要條件的定義與性質；③判斷充分條件，必要條件，充分必要條件的基本方法。
【解題思路】根據導數判斷函數單調性的基本方法和判斷充分條件，必要條件，充分必要條件的基本方法，對問題進行正確判斷就可得出選項。
【詳細解答】由在區間（a，b）內（x）＞0，可以推出函數f（x）在該區間內單調遞增；由函數f（x）在該區間內單調遞增，不一定能夠推出在區間（a，b）內（x）＞0，
“在區間（a，b）內（x）＞0”是“f（x）在該區間內單調遞增”的充分不必要條件，A正確，選A。
2、設（x）是函數f(x)的導函數，函數（x）的圖像如圖所示，則函數 f(x)的圖像可能是（ ）
y y y y y
-1 0 1 x -1 0 1 x -1 0 1 x -1 0 1 x -1 0 1 x
【解析】 A B C D
【知識點】①運用導數判斷函數單調性的基本方法；②函數圖像的定義與性質。
【解題思路】根據導數判斷函數單調性的基本方法和函數圖像的性質，利用函數（x）的圖像確定出函數 f(x)的圖像就可得出選項。
【詳細解答】由函數（x）的圖像可知，在區間（-1，1）上（x）>0，在區間（-∞，-1），（1，+∞）上（x）<0，函數 f(x) 在區間（-1，1）上單調遞增，在區間（-∞，-1），（1，+∞）上單調遞減，A正確，選A。
3、函數f(x)= -lnx的單調遞減區間為（ ）
A （-1，1） B （0，1） C （1，+∞） D （0，+∞）
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④運用導數判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據函數求導公式和求導法則，求出函數f(x)的導函數（x），運用導數判斷函數單調性的基本方法求出函數f(x)= -lnx的單調遞減區間就可得出選項。
【詳細解答】（x）=x-=，函數f(x)的定義域為（0，+∞），由（x）
=<0解得：-1選B。
4、已知定義在區間（-，）上的函數f(x)=xsinx+cosx，則函數f(x)的單調遞增區間是 ；
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④運用導數判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據函數求導公式和求導法則，求出函數f(x)的導函數（x），運用導數判斷函數單調性的基本方法就可求出函數f(x)= xsinx+cosx的單調遞增區間。
【詳細解答】（x）=sinx+x cosx-sinx= x cosx， y
作出函數（x）= x cosx在區間（-，）上的
圖像如圖所示，由圖知，函數（x）在區間（-， - - 0 x
-），（0，）上，（x）>0，函數 f(x) 的單調遞增區間是（-，-），（0，）。
5、判斷函數f(x)=4+的單調性；
【解析】
【知識點】①函數求導公式及運用；②函數求導法則及運用；③運用導數判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據函數求導公式和函數求導法則求出函數f(x)的導函數（x），運用函數導函數判斷函數單調性的基本方法就可判斷函數f(x)=4+的單調性。
【詳細解答】函數f(x)的定義域為（-∞， x （-∞，0）0 （0，）（，+∞）
0）（0，+∞），（x）=8x- （x） - - 0 +
=，令（x）=0解得x=,x， f(x)
（x），f(x)的變化情況如表所示：函數f(x)在（-∞，0），（0，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增。
6、已知函數f(x)=- +3+9x+a，求函數f(x)的單調區間；
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④運用導數判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據函數求導公式和求導法則，求出函數f(x)的導函數（x），運用導數判斷函數單調性的基本方法就可求出函數f(x)= xsinx+cosx的單調遞增區間。
【詳細解答】（x）=-3+6x+9=-3（-2x-3）=-3(x+1)（x-3），令（x）=0解得：x=-1或x=3，x，函數（x），f(x)的變化情況如表所示，函數f(x)的定義域為R，由表可知，當x（-∞，-1）（3， x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 （3，+∞）
+∞）時，（x）<0，當x（-1， （x） - 0 + 0 -
3）時，（x）>0，函數f(x)在 f(x)
區間（-∞，-1），（3，+∞）上單調遞減，在區間（-1，3）上單調遞增。
『思考問題1』
（1）【典例1】是運用函數導函數判斷函數單調性（或求函數單調區間）的問題，解答這類問題需要理解函數導函數與函數單調性的關系定理，掌握運用函數導函數判定函數單調性（或求函數單調區間）的基本方法；
（2）解答運用函數導函數判斷函數單調性問題的基本方法是：①確定函數的定義域；②求函數的導函數（x），令（x）=0求出在定義域內的所有實根；③用函數f(x)的間斷點（不屬于f(x)定義域的點）和②中求出的實根按由小到大的順序把函數f(x)的定義域分成若干個小區間；④判斷導函數（x）在各個小區間上的符號，根據（x）的符號由定理判斷函數f(x)在各個小區間的增減性；⑤得出函數f(x)的單調性；
（3）解答運用函數導函數求函數單調區間問題的基本方法是：①確定函數的定義域；②求函數的導函數（x）；③求解不等式（x）≥0（或（x）≤0）；④得出函數f(x)的單調區間（注意同類的單調區間之間不能用“”，只能用“，”）。
〔練習1〕解答下列問題：
設（x）是函數f(x)的導函數，y=（x）的 y
圖像如圖所示，則y=f(x)的圖像最有可能是（ ）（答案：C）
0 1 2 x
y y y y
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
A B C D
2、函數f(x)=4+的單調遞增區間為（ ）（答案：B）
A （0，+∞） B （，+∞） C （-∞，-1） D （-∞，-）
3、已知函數f(x)=xlnx，則函數f(x)（ ）（答案：D）
A在（0，+∞）上遞增B在（0，+∞）時遞減C在（0，）上遞增D在（0，）上遞減
4、函數y=x-lnx的單調遞減區間是 。（答案：（0，1））
5、函數f(x)=x-2sinx在（0，2）內的單調遞增區間是 。（答案：（0，），（，2））
6、求函數f(x)=(x-3) 的單調區間；（答案：函數f(x)在（-∞，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增。）
7、已知函數f(x)= lnx，求函數f(x)的單調區間；（答案：函數f(x)在（0，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增。）
【典例2】解答下列問題：
1、已知函數f(x)= ++ax+1（aR），求函數f(x)的單調區間；
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④運用導數判斷函數單調性的基本方法；⑤參數分類討論原則及基本方法。
【解題思路】根據函數求導公式和求導法則，求出函數f(x)的導函數（x），運用導數判斷函數單調性的基本方法和參數分類討論原則及基本方法對參數a的取值分別考慮求出函數f(x)= ++ax+1的單調區間，就可綜合得出結果。
【詳細解答】（x）=+2x+a，①當=4-4a0，即a1時，（x）0在R上恒成立，函數f(x)= ++ax+1在R上單調遞增；②當=4-4a>0，即a<1時，令（x）=0解得：x=-1 -或x=-1 +， x（-∞，-1-）（-1+，+∞）時，（x）>0，x（-1 -，-1+）時，（x）<0，函數f(x)= ++ax+1在區間（-∞，-1-），（-1+，+∞）上單調遞增，在區間（-1 -，-1+）上單調遞減，綜上所述，當a1時，函數f(x)= ++ax+1在R上單調遞增；當a<1時，函數f(x)= ++ax+1在區間（-∞，-1-），（-1+，+∞）上單調遞增，在區間（-1 -，-1+）上單調遞減。
2、已知a∈R,求函數f(x)= 的單調區間；
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④運用導數判斷函數單調性的基本方法；⑤參數分類討論原則及基本方法。
【解題思路】根據函數求導公式和求導法則，求出函數f(x)的導函數（x），運用導數判斷函數單調性的基本方法和參數分類討論原則及基本方法對參數a的取值分別考慮求出函數f(x)= 的單調區間，就可綜合得出結果。
【詳細解答】（x）=2x+a=( a+2x) ，令（x）=0解得：x=0或x=- ，①當-<0，即a>0時， x（-∞，-）（0，+∞）時，（x）>0，x（-，0）時，（x）<0，函數f(x)= 在區間（-∞，-），（0，+∞）上單調遞增，在區間（-，0）上單調遞減；②當a=0時， x（-∞，0）時，（x）<0，x（0，+∞）時，（x）>0，函數f(x)= 在區間（-∞，0）上單調遞減，在區間（0，+∞）上單調遞增；③當->0，即a<0時， x（-∞，0）（-，+∞）時，（x）<0，x（0，-）時，（x）>0，函數f(x)= 在區間（-∞，0），（-，+∞）上單調遞減，在區間（0，-）上單調遞增，綜上所述，當a>0時，函數f(x)= 在區間（-∞，-），（0，+∞）上單調遞增，在區間（-，0）上單調遞減；當a=0時，函數f(x)= 在區間（-∞，0）上單調遞減，在區間（0，+∞）上單調遞增；當a<0時，函數f(x)= 在區間（-∞，0），（-，+∞）上單調遞減，在區間（0，-）上單調遞增。
3、已知函數f(x)=lnx，g(x)=f(x)+a+bx，其中函數g(x)的圖像在點（1，g(1)）處的切線平行于x軸。
（1）確定a與b的關系；
（2）若a0，試討論函數g(x)的單調性。
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數在某點導數的幾何意義；⑤運用導數判斷函數單調性的基本方法；⑥參數分類討論原則及基本方法。
【解題思路】（1）根據函數求導公式和求導法則，求出函數f(x)的導函數（x），根據函數在某點導數的幾何意義得到關于a，b的等式，從而求出a與b的關系；（2）運用導數判斷函數單調性的基本方法和參數分類討論原則及基本方法對參數a的取值分別考慮求出函數f(x)= 的單調區間，就可綜合得出結果。
【詳細解答】（1） g(x)=f(x)+a+bx= lnx+a+bx，（x）=+2ax+b，函數g(x)的圖像在點（1，g(1)）處的切線平行于X軸，（1）=1+2a+b，b=-1-2a；（2）由（1）知（x）=+2ax+b==，函數g(x)的定義域為（0，+∞），①當a=0時，令（x）=0解得：x=1， x（0，1）時，（x）>0，x（1，+∞）時，（x）<0，函數g(x)在區間（0，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減；②當a>0時，令（x）=0解得：x=1或x= ，若>1，即00，x（1，）時，（x）<0，函數g(x)在區間（0，1），（，+∞）上單調遞增，在區間（1，）上單調遞減；若0<<1，即a>時， x（0，）（1，+∞）時，（x）>0，x（，1）時，（x）<0，函數g(x)在區間（0，），（1，+∞）上單調遞增，在區間（，1）上單調遞減；若
=1，即a=時， x（0，+∞）時，（x）0恒成立，函數g(x)在區間（0，+∞）上單調遞增，綜上所述，當a=0時，函數g(x)在區間（0，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減；當0a>時，函數g(x)在區間（0，），（1，+∞）上單調遞增，在區間（，1）上單調遞減。
4、（理）已知函數f(x)=2-a+b。
（1）討論函數f(x)的單調性；
（2）是否存在a，b，使得f(x)在區間［0，1］的最小值為-1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由。
（文）已知函數f(x)=2-a+2。
（1）討論函數f(x)的單調性；
（2）當0＜a＜3時，記f(x)在區間［0，1］的最大值為M，最小值為m，求M-m的取值范圍（2019全國高考新課標III）
【解析】
【考點】①函數導函數的定義與基本求法；②運用函數的導函數判斷函數單調性的基本方法；③參數分類討論的原則與基本方法；④求解探索性問題的基本方法；⑤運用導函數求函數最值的基本方法。
【解題思路】（1）運用求函數導函數的基本方法求出導函數（x），根據結合問題條件得到關于參數a的方程，求解方程得出a的值，根據參數分類討論的原則與基本方法和由函數的導函數判斷函數單調性的基本方法就可得到函數的單調性； （2）（理）根據求解探索性問題的基本方法和由函數的導函數求函數最值的基本方法求出函數f(x)在區間［0，1］上的最大值和最小值，結合問題條件就可得出結論。（文）根據由函數的導函數求函數最值的基本方法求出函數f(x) 在［0,1］上的最大值和最小值，從而得到關于參數a的函數，利用求函數值域的基本方法就可求出函數f(x)在［0,1］上的最大值和最小值之差的取值范圍。
【詳細解答】（1）（x）=6-2ax，函數（x）圖像的對稱軸為x=，與X軸的兩個交點為（0，0），（，0），①當a>0時，（x）>0在（-，0）（，+）上恒成立，（x）<0在（0，）上恒成立， 函數f(x)在（-，0），（，+）上單調遞增，在（0，）上單調遞減；②當a=0時，（x）0在R上恒成立，函數f(x)在R上單調遞增；③當a<0時，（x）>0在（-，）（0，+）上恒成立，（x）<0在（，0）上恒成立， 函數f(x)在（-，），（0，+）上單調遞增，在（，0）上單調遞減；綜上所述，當a>0時，函數f(x)在（-，0），（，+）上單調遞增，在（0，）上單調遞減；當a=0時，函數f(x)在R上單調遞增；當a<0時，函數f(x)在（-，），（0，+）上單調遞增，在（，0）上單調遞減；（2）（理）設存在a，b，使得f(x)在區間［0，1］的最小值為-1且最大值為1，①當0<<1，即00
在（，1]上恒成立，（x）<0在（0，）上恒成立，函數f(x)在（，1]上單調遞增，在（0，）上單調遞減， f(0)=0-0+b=b，f(1)=2-a+b，= f()=-+b
=-+b，=2-a+b（00在[0，1]上恒成立，函數f(x)在[0，1]上單調遞增，= f(0)= b =-1，= f(1)= 2-a+ b=1，此時沒有滿足條件的a，b的值存在，綜上所述，存在a=4，b=1或a=0，b=-1，使得函數f(x)在區間［0，1］的最小值為-1且最大值為1。
（文）0＜a＜3，0<<1，（x）>0在（，1]上恒成立，（x）<0在（0，）上恒成立，函數f(x)在（，1]上單調遞增，在（0，）上單調遞減， f(0)=0-0+b=b，f(1)=2-a+b，= f()=-+b=-+b，=2-a+b（0設g(a)= -a+2，(a)= -1=<0在（0，2）上恒成立，函數g(a)在（0，2）上單調遞減，< g(0)=0-0+2=2，> g(,2)= -2+2=，函數g(a)的值域為（，2）；②當2a<3時，M==b，m==-+b，M-m=，
設g(a)= ，(a)= >0在[2，3）上恒成立，函數g(a)在[2，3）上,單調遞增，
< g(3)=1，=g(2)= ，函數g(a)的值域為[，1），綜上所述，
若函數f(x)在區間［0，1］的最大值為M，最小值為m，則M-m的取值范圍是[，2）。
『思考問題2』
【典例1】是運用函數導函數判斷函數f(x)解析式中含有參數的單調性（或求單調區間）的問題，解答這類問題需要理解函數導函數與函數單調性的關系定理和參數分類討論的原則與基本方法；
（2）解答運用函數導函數判斷函數f(x)解析式中含參數函數單調性的基本方法是：①確定函數的定義域；②求函數的導函數（x），令（x）=0求出在定義域內的所有實根（根據參數分類討論的原則和基本方法注分別求出實根）；③用函數f(x)的間斷點（不屬于f(x)定義域的點）和②中求出的實根按由小到大的順序把函數f(x)的定義域分成若干個小區間；④判斷導函數（x）在各個小區間上的符號（注意參數對不等式的影響），根據（x）的符號由定理判斷函數f(x)在各個小區間的單調性；⑤得出函數f(x)的單調性；
（3）解答運用函數導函數求函數f(x)解析式中含有參數的單調區間問題的基本方法是：①確定函數的定義域；②求函數的導函數（x），令（x）=0求出在定義域內的所有實根（根據參數分類討論的原則和基本方法注分別求出實根）；③用函數f(x)的間斷點（不屬于f(x)定義域的點）和②中求出的實根按由小到大的順序把函數f(x)的定義域分成若干個小區間；④判斷導函數（x）在各個小區間上的符號（注意參數對不等式的影響），根據（x）的符號由定理判斷函數f(x)在各個小區間的單調性；⑤得出函數f(x)的單調區間；
（4）含參數的函數的單調性問題一般要對參數分類討論，常見的分類討論標準是：①方程（x）=0是否有根；②若方程（x）=0有根，需要判斷求出的根是否在定義域內；③若方程（x）=0的根在定義域內且有兩個需要比較根的大小。
〔練習2〕解答下列問題：
1、討論函數f(x)=(a-1)lnx+a+1的單調性。（答案：當a0時，函數f(x)在（0，+∞）上單調遞減；當02、已知函數f(x)=a+6-x(a≠0)，求函數f(x)的單調區間；（答案：當a>0時，函數f(x)在（，）上單調遞減，在（-∞，），（，+∞）上單調遞增；當a>0時，函數f(x)在（-∞，），（，+∞）上單調遞減，在（，）上單調遞增。）
3、已知函數f(x)= (ax+b)- -4x，曲線y= f(x)在點（0，f(0)）處的切線方程為y=4x+4。（1）求a，b的值；
（2）討論f(x)的單調性，并求f(x)的極大值。（答案：（1）a=4，b=4；（2）函數f(x)在（-∞，-2），（-ln2，+∞）上單調遞增，在（-2，-ln2）上單調遞減；= f(-2)=4（1- ），= f(-ln2)=-ln 2+2ln2+2。）
【典例3】解答下列問題：
1、若函數f(x)=++mx+1是R上的單調函數，則實數m的取值范圍是（ ）
A （，+∞） B （-∞，） C ［，+∞） D （-∞，］
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數單調性的定義與性質；⑤運用導函數判斷單調性的基本方法。
【解題思路】根據函數求導公式和求導法則，就可求出函數f(x) 的導數（x），運用函數單調性的性質和判斷函數單調性的基本方法得到關于參數m的不等式，求解不等式求出實數m的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】（x）=3+2x+m，函數f(x)=++mx+1是R上的單調函數，=4
-12m0，m，實數m的取值范圍是［，+∞），C正確，選C。
2、設函數f(x)= -a+(a-1)x+1在區間（1，4）內為減函數，在區間（6，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍；
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數單調性的定義與性質；⑤運用導函數判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據函數求導公式和求導法則，就可求出函數f(x) 的導數（x），運用函數單調性的性質和判斷函數單調性的基本方法得到關于參數a的不等式組，求解不等式組就可求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】（x）=-ax+a-1，函數f(x)= -a+(a-1)x+1在區間（1,4）內為減函數，在區間（6，+∞）上為增函數，（4）=15-3a0①，（6）=35-5a0②，=-4（a-1）0③,聯立①②③解得：5 a 7, 實數a的取值范圍是［5，7］。
3、設f(x)=a+x恰有三個單調區間，試確定實數a的取值范圍，并求出這三個單調間；
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數單調性的定義與性質；⑤運用導函數判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據函數求導公式和求導法則，就可求出函數f(x) 的導數（x），運用函數單調性的性質和判斷函數單調性的基本方法得到關于參數a的不等式組，求解不等式組就可求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】（x）=3a+1，①當a0時，（x）＞0在R上恒成立，函數f(x)在R上單調遞增，與題意不符；②當a＜0時，令（x）=0解得：x=或x=- ， x（-∞，）（-，+∞）時，（x）＜0，x（，-）時，（x）＞0，函數f(x)在區間（-∞， ），（-，+∞）上單調遞減，在區間（ ，-）上單調遞增，綜上所述，函數f(x)=a+x恰有三個單調區間，實數a的取值范圍是（-∞，0），函數f(x)的三個單調區間分別是（-∞，），（-，+∞），（，-）。
4、已知函數f(x)的圖像與函數h(x)=x++2的圖像關于點A（0，1）對稱。
（1）求函數f(x)的解析式；
（2）若g(x)=f(x)+ 在區間（0，2〕上為減函數，求實數a的取值范圍；
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數解析式的定義與性質； ⑤求函數解析式的基本方法；⑥函數單調性的定義與性質；⑦運用導函數判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】（1）運用函數解析式的性質和求函數解析式的基本方法就可求出函數f(x)的解析式；（2）根據函數求導公式和求導法則，求出函數g(x) 的導數（x），運用函數單調性的性質和判斷函數單調性的基本方法得到關于參數a的不等式，求解不等式就可求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】（1）設P（x，y）是函數f(x)圖像上的任意一點，它關于點A（0，1）的對稱點為（，）， =0，=1， =-x，=2-y，點（，）在函數h(x)的圖像上， =2-y = h(-x)=-x-+2，函數f(x)= x+；（2）g(x)=f(x)+ = x++， （x）=1- - = ， 函數g(x)在區間（0，2〕上為減函數， （x）= 0在區間（0，2〕上恒成立，-1a在區間（0，2〕上恒成立，設函數m（x）=-1，（x）=2x＞0在區間（0，2〕上恒成立，函數m（x）在區間（0，2〕上單調遞增， x∈（0，2〕時，= m（2）=4-1=3，若函數g(x)=f(x)+ 在區間（0，2〕上為減函數，則實數a的取值范圍是［3，+∞）。
5、已知函數f(x)= -ax-1。
（1）若函數f(x)在實數集R上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）是否存在實數a，使函數f(x)在（-1，1）上單調遞減？若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，說明理由。
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數單調性的定義與性質； ⑤運用導函數判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】（1）根據函數求導公式和求導法則，求出函數g(x) 的導數（x），運用函數單調性的性質和判斷函數單調性的基本方法得到關于參數a的不等式，求解不等式就可求出實數a的取值范圍；（2）設存在實數a，使函數f(x)在（-1，1）上單調遞減，利用函數單調性的性質和判斷函數單調性的基本方法得到關于參數a的不等式，求解不等式若有解，就可求出實數a的取值范圍；若無解，則不存在實數a，使函數f(x)在（-1，1）上單調遞減。
【詳細解答】（1）（x）=3-a，函數f(x)在實數集R上單調遞增，（x）0在R上恒成立，即a3在R上恒成立，設函數g(x)= 3， =0，若函數f(x)在實數集R上單調遞增，則實數a的取值范圍（-∞，0］；（2） 設存在實數a，使函數f(x)在（-1，1）上單調遞減，①當a0時，由（1）知函數f(x)在實數集R上單調遞增，與題意不符；②當a＞0時，令（x）=0解得：x=- 或x= ，函數f(x)在（-1，1）上單調遞減，- -1且1，a3，綜上所述，存在實數a∈［3，+∞），使函數f(x)在（-1，1）上單調遞減。
『思考問題3』
（1）【典例3】是已知函數的單調性，求函數解析式中參數的值（或取值范圍）的問題，解答這類問題需要根據函數導函數與函數單調性相關的定理和函數具有單調性的條件，得到關于參數的不等式（或不等式組），然后求解不等式（或不等式組）就可得出答案；
（2）已知函數的單調性，求函數解析式中參數的值（或取值范圍）的基本方法是：①根據函數f(x)在（a，b）上單調，則區間（a，b）是相應單調區間的子集尋求參數應該滿足的條件；②函數f(x)為增函數（或減函數）的充要條件是對任意的x∈（a，b）都有（x）0（或（x）0），且在（a，b）的任一非空子區間上（x）不恒為零（注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解）；③運用函數在某個區間存在單調區間參數應該滿足的條件得到不等式（或不等式組）；④求解不等式（或不等式組）。
〔練習3〕解答下列問題：
1、如果函數f(x)= -ax-1在實數集R上單調遞增，求實數a的取值范圍；（答案：實數a的取值范圍是（-∞，0]。）
2、如果函數f(x)=ax-在區間（0，2〕上單調遞增，求實數a的取值范圍。（答案：實數a的取值范圍是[- ， +∞）。）
3、已知函數f(x)=-+a+1（aR）。
（1）若函數y=f(x)在區間（0，）上遞增，在區間〔，+∞）遞減，求a的值；
（2）當x〔0,1〕時，設函數y=f(x)圖像上任意一點處的切線的傾斜角為，若給定常數a〔，+∞），求的取值范圍。（答案：（1）a=1；（2）（0，）。）
4、已知函數f(x)= lnx-a(aR)。
（1）若函數f（x）在點（1，f(1)）處的切線與直線y=x+1垂直，求a的值；
（2）若函數f(x)在（0，+∞）上是單調函數，求實數a的取值范圍。（答案：（1）a=2；（2）實數a的取值范圍是（-∞，1]。）
【雷區警示】
【典例4】解答下列問題：
1、已知函數f(x)= -+a-x-1在R上是減函數，求實數a的取值范圍。
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式，法則和基本方法；③運用函數導函數判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據函數導函數的性質，運用函數求導公式，法則和基本方法，求出函數f(x) 的導數（x），利用函數導函數判斷函數單調性的基本方法，結合問題條件得到關于參數a的不等式，求解不等式就可求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】（x）=-3+2ax-1，函數在R上是減函數，（x）=-3+2ax-1≤0在R恒成立，=4-12≤0，-≤a≤，即若函數f(x)= -+a-x-1在R上是減函數，則實數a的取值范圍是[-，]。
已知函數f(x)= -ax-1，若函數f(x)在實數集R上單調遞增，求實數a的取值范圍；
【解析】
【知識點】①函數導函數的定義與性質；②函數求導公式及運用；③函數求導法則及運用；
④函數單調性的定義與性質； ⑤運用導函數判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據函數求導公式和求導法則，求出函數g(x) 的導數（x），運用函數單調性的性質和判斷函數單調性的基本方法得到關于參數a的不等式，求解不等式就可求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】（x）=3-a，函數f(x)在實數集R上單調遞增，（x）0在R上恒成立，即a3在R上恒成立，設函數g(x)= 3， =0，若函數f(x)在實數集R上單調遞增，則實數a的取值范圍（-∞，0］；
『思考問題4』
【典例4】是解答運用函數導函數判斷函數單調性（或求函數單調區間）問題時，容易觸碰的雷區。該類問題的雷區主要是忽視運用函數導函數判斷函數單調性的充分必要條件，導致解答出現錯誤；
解答運用函數導函數判斷函數單調性（或求函數單調區間）問題時，為避免忽視運用函數導函數判斷函數單調性的充分必要條件的雷區，需要注意運用函數導函數判斷函數單調性的充分必要條件。
〔練習4〕解答下列問題：
1、如果函數f(x)=ax-在區間（0，2〕上單調遞增，求實數a的取值范圍。（答案：實數a的取值范圍是[- ， +∞）。）
2、設函數f(x)= -a+(a-1)x+1在區間（1，4）內為減函數，在區間（6，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍。（答案：實數a的取值范圍是［5，7］。）
【追蹤考試】
【典例5】解答下列問題：
1、（理）記函數f(x)的導函數為(x)，若函數f(x)為奇函數，且當x（ -，0）時恒有f(x)<(x)tanx成立，則（ ）
A f（-）>f（-） B f（-）>-f（）
C f（）>f（） D f（-）（文）記函數f(x)的導函數為(x)，若函數f(x)為奇函數，且當x（ -，0）時恒有f(x)cosx<
(x)sinxx成立，則（ ）（成都市高2021級高三零診）
A f（-）>f（-） B f（）>-f（-）
C f（）>f（） D f（-）>-f（）
【解析】
【考點】①奇函數定義與性質；②正切三角函數定義與性質；③函數求導公式，法則和基本方法；④運用函數導函數判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】（理）根據奇函數和正切三角函數的性質，運用函數求導公式，法則和基本方法，結合問題條件得到函數f(x)的解析式，利用函數導函數判斷函數單調性的基本方法，對各選項的正確與錯誤進行判斷，就可得出選項。（文）根據奇函數和正切三角函數的性質，運用函數求導公式，法則和基本方法，結合問題條件得到函數f(x)的解析式，利用函數導函數判斷函數單調性的基本方法，對各選項的正確與錯誤進行判斷，就可得出選項。
【詳細解答】（理）設函數f(x)=，(x) ==-，當x（ -，0）時，f(x)-(x)tanx=+）=（cosx+）<0恒成立，且函數設函數f(x)奇函數，函數f(x)=符合題意，對A，f（-）=
=-，f（-）=-1，-<-1，f（-）f（-）==-，-f（）=-=-3，->-3，f（-）>-f（），B正確；對C，f（）==，f（）=-=，<，f（）-3，f（-）>f（-），D錯誤，綜上所述，D正確，選D。
（文）設函數f(x)=，(x) ==-，當x（ -，0）時，cosxf(x)-(x)sinx=+）=<0恒成立，且函數設函數f(x)奇函數，
函數f(x)=符合題意，對A，f（-）==-，f（-）==-，
-<-，f（-）1，f（）>-f（），B正確；對C，f（）==1，f（）==，1<，f（）2、設a（0，1），若函數f(x)=+在（0，+）時單調遞增，則a的取值范圍是
（2023全國高考乙卷理）
【解析】
【考點】①指數函數定義與性質；②函數導函數定義與性質；③函數求導公式，法則和基本方法；④運用函數導函數判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據指數函數和函數導函數的性質，運用函數求導公式，法則與基本方法和用函數導函數判斷函數單調性的基本方法，結合問題條件得到關于a的不等式，求解不等式就可求出a的取值范圍。
【詳細解答】（x）=lna+ln(1+a)，函數f(x)=+在（0，+）時單
調遞增，（x）=lna+ln(1+a)≥0在（0，+）上恒成立，設g(x)=（x）=lna+ln(1+a)，（x）=lna+ln(1+a)>0在（0，+）上恒成立，
函數g(x)=（x）在（0，+）時單調遞增，>g(0)=（0）=lna+ln(1+a)
=ln(+a)≥0，+a-1≥0，a≤或a≥，a（0，1），≤a<1，
即若函數f(x)=+在（0，+）時單調遞增，則a的取值范圍是[，1）。
3、已知函數f(x)=a-lnx在區間（1，2）上單調遞增，則a的最小值為（ ）（2023全國高
考新高考II）
A e B e C D
【解析】
【考點】①函數導函數定義與性質；②函數求導公式，法則和基本方法；③運用函數導函數判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據函數導函數的性質，運用函數求導公式，法則和基本方法求出函數的導函數，利用函數導函數判斷函數單調性的基本方法，結合問題條件得到關于a的不等式，求解不等式求出a的最小值就可得出選項。
【詳細解答】（x）= a-,函數f(x)=a-lnx在區間（1，2）上單調遞增，（x）= a-0, a，若函數f(x)=a-lnx在區間（1，2）上單調遞增，則a的最小值為， C正確，選C。
4、若函數f(x)=kx-2lnx，在區間（1，+）單調遞增，則實數k的取值范圍是（ ）（成都市2020級高三零診）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
【解析】
【考點】①函數求導公式，法則和基本方法；②運用函數導函數判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據函數求導公式，法則和基本方法，結合問題條件求出函數f(x)的導函數 (x)，運用函數導函數判斷函數單調性的基本方法得到關于k的不等式，求解不等式求出實數k的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】 (x)= k-=，①當k0時， (x)<0在（1，+）恒成立，函數f(x)在（1，+）上單調遞減，與題意不符；②當k>0時，令 (x)=0解得x=，函數f(x)=kx-2lnx，在區間（1，+）單調遞增， 1，k2，綜上所述，若函數f(x)=kx-2lnx，在區間（1，+）單調遞增，則實數k的取值范圍是[2，+），B正確，選B。
5、（理）已知a=，b=cos，c=4sin，則（ ）
A c>b>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
（文）已知=10，a=-11，b=-9，則（ ）（2022全國高考甲卷）
A a>0>b B a>b>0 C b>a>0 D b>0>a
【解析】
【考點】①函數求導公式，法則和基本方法；②運用函數導函數判斷函數單調性的基本方法；③同角三角函數基本關系及運用；④正切三角函數定義與性質；⑤比較實數大小的基本方法。
【解答思路】（理）構造函數f(x)=1--cosx， x[0，]，根據函數求導公式，法則和基本方法求出函數f(x)的導函數，運用函數導函數判斷函數單調性的基本方法判斷函數f(x)在區間[0，]的單調性，從而可以比較a，b的大小；由同角三角函數的基本關系得到關于x的函數h(x)的解析式，根據正切三角函數的性質性質，得到函數h(x)在區間（0，）的單調性，從而可以比較b，c的大小，得到a，b，c的大小關系就可得出選項。（文）
構造函數f(x)= （x+1）=， x（0，+），根據函數求導公式，法則和基本方法求出函數f(x)的導函數，運用函數導函數判斷函數單調性的基本方法判斷函數f(x)在區間（1，+）上單調遞減，從而得到f(8)> f(9)> f(10)，利用比較實數大小的基本方法得出a，b與0的大小關系，就可得出選項。
【詳細解答】（理）設函數 f(x) =1--cosx， x[0，]，g(x)= （x）=-x+sinx，（x）=-1+cosx0在[0，]上恒成立，函數g(x)= （x）=-x+sinx 在[0，]上單調遞減， 對任意的x[0，]，g(x)= （x） g(0) =-0+0=0，函數f(x) 在[0，]上單調遞減， f ()=1-- cos=- cos=a-b< f(0)=1-0-1=0，a=4sin/ cos= ，設函數h（x）= ，x （0，），由正切三角函數的性
質可知，當x （0，）時，tanx>x恒成立， 函數h（x）= >1在（0，）
恒成立，即c>b， 綜上所述，c>b>a， A正確，選A。
（文）設函數 f(x) = （x+1）=， x（0，+），（x）=<0在（0，+）上恒成立，函數f(x)在（0，+）上單調遞減， f(8)> f(9)> f(10)，=10，n= ， b= -9= -9< -9=9-9
=0, b< 0，a= -11 =-11>-11= 11-11=0,a>0，綜上所述， a>0>b ， A正確，選A。
6、（理）設a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1，則（ ）
A a（文）設a0，若x=a為函數f(x)=a(x-b)的極大值點，則（ ）（2021全國高考乙卷）
A ab C ab< D ab>
【解析】
【考點】①對數定義與性質；②比較實數大小的基本方法；③函數求導公式，法則和基本方法；④運用函數導函數判斷函數單調性的基本方法；⑤函數極值定義與性質；⑥運用函數導
函數求函數極值的基本方法。
【解答思路】（理）根據對數的性質，運用比較實數大小和運用函數導函數判斷函數單調性的基本方法，得到實數a，b，c的大小關系，就可得出選項。（文）根據函數求導公式，法則和基本方法求出函數f(x)的導函數，運用函數導函數判斷函數在某點存在極值的基本方法，結合問題條件得到關于a，b的式子，從而求出a，b直角的關系就可得出選項。
【詳細解答】（理） a=2ln1.01=ln=ln1.0201，1.0201>1.02， a=2ln1.01> b=ln1.02，
設f(x)=2ln(1+x)-+1，（x）=-=>0在（0，2）上恒成立，函數f(x) 在（0，2）上單調遞增， f(0)=2ln(1+0)- +1=0-1+1=0，當x（0，2）時，f(x)>0恒成立，a>c，設g(x)=ln(1+2x)- +1，（x）=-
=<0在[0，+）上恒成立，函數g(x)在[0，+）上單調遞減， g(0)
=ln(1+0)- +1=0-1+1=0，當x[0，+）時，g(x)<0恒成立，c>b，綜上所述， b作出函數f(x)的 大致圖像如圖（1）所示，由圖
知0圖（2）所示，由圖知b， (圖1) (圖2)
D正確， 選D。
『思考問題5』
【典例5】是近幾年高考（或成都市高三診斷考試）試卷中運用函數導函數判斷函數單調性（或求函數單調區間）的問題，歸結起來主要包括：①運用函數導函數判斷函數單調性；②運用函數導函數求函數的單調區間；③已知函數的單調性，求函數解析式中參數的值（或取值范圍）幾類問題；
（2）解答問題的基本方法是：①根據問題的結構特征判斷其所屬類型；②運用解答該類型問題的解題思路和基本方法實施解答；③得出問題的解答結果。
〔練習5〕解答下列問題：
1、已知函數f(x)=（x-1）-a+b。
（1）討論函數f(x)的單調性；
（2）從下面兩個條件中任選一個，證明：函數f(x)有一個零點。
①2a；②0時，函數f(x)在（0，ln2a）上單調遞減，在（-，0），（ln2a，+）上單調遞增；（2）提示：若選擇①2a的條件，可證明函數f(x)在（-b，0）上有一個零點，從而證明結論；若選擇②02、設函數f(x)= +ax-3lnx+1，其中a>0。
（1）討論函數f(x)的單調性；
（2）若y=f(x)的圖像與X軸沒有公共點，求a的取值范圍。（答案：（1）函數f(x)在（0，）上單調遞減，在（，+ ）上單調遞增；（2）實數a的取值范圍為（，+ ））