資源簡介

2023-2024學年高一下學期數(shù)學- 簡單幾何體的表面積和體積（人教A版2019必修第二冊）
一、知識歸納：
1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積
（1）正方體、長方體的表面積：
長、寬、高分別為的長方體的表面積： ；
棱長為的正方體的表面積： .
（2）棱柱、棱錐、棱臺的側面展開圖:
棱柱的側面展開圖為 ，一邊為棱柱的側棱，另一邊等于棱柱的 .如圖:
棱錐的側面展開圖由若干個 拼成如圖
棱臺的側面展開圖由若干個 拼成如圖.
（3）棱柱、棱錐、棱臺的表面積:
棱柱的表面積：；棱錐的表面積：；棱臺的表面積：
2.棱柱、棱錐、棱臺的體積
（1）棱柱的體積
棱柱的高：柱體的 之間的距離，即從一底面上任意一點向另一底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離，即垂線段的長.
棱柱的體積：柱體的體積等于它的底面積和高的乘積，即 .
（2）棱錐的體積
棱錐的高：錐體的 之間的距離，即從頂點向底面作垂線，頂點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離，即垂線段的長.
棱錐的體積：錐體的體積等于它的底面積和高的乘積的,即 .
（3）棱臺的體積
棱臺的高：臺體的 之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，此點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離，即垂線段的長
棱臺的體積： (,分別為上下底面面積，為臺體的高)
3.圓柱、圓錐、圓臺的表面積
（1）圓柱的表面積
圓柱的側面積：
圓柱的側面展開圖是一個 .圓柱的底面半徑為,母線長為,那么這個矩形的一邊長為圓柱的底面周長，另一邊長為圓柱的 ，故圓柱的側面積為.
圓柱的表面積： .
（2）圓錐的表面積：
圓錐的側面積：
圓錐的側面展開圖是一個 .圓錐的底面半徑為,母線長為,那么這個扇形的弧長為圓錐的底面周長，半徑為圓錐的 ，故圓錐的側面積為 .
圓錐的表面積：
（3）圓臺的表面積：
圓臺的側面積：圓臺的側面展開圖是一個 .圓臺的上底面半徑為,下底面半徑為,母線長為,故
圓臺的側面積為
圓臺的表面積：
4.圓柱、圓錐、圓臺的體積
（1）圓柱的體積：
（2）圓錐的體積：
（3）圓臺的體積：
5.球的表面積和體積：
（1）球的表面積： ；（2）球的體積: .
6.內切外接球的常用結論：
（1）球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的 ，此時球的半徑為 ，過在一個平面上的四個切點作截面如圖（1）．
（2）球與正方體的各條棱相切于各棱的中點，過球心作正方體的對角面有 ，如圖（2）．
（3）長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體的 ，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點的三條棱長為，則球的半徑為 ，如圖（3）.
（4）正方體棱長與外接球半徑的關系為 ．
（5）正四面體的棱長a與外接球半徑R的關系為 ．
自檢自糾：
1. （1）， （2）平行四邊形，底面周長，三角形，梯形
2. （1）兩底面， （2）頂點到底面，（3）兩底面，
3. （1）矩形，母線長，，（2）扇形，母線長，（3）扇環(huán)，， 4. （1）（2）（3） 5. （1）（2）
6. （1）內切球， （2） （3）外接球，（4） （5）
二、分層小練
A.基礎訓練
一、單選題：（每小題5分，共30分）
1．已知棱柱的底面積為，高為，則其體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】根據(jù)棱柱的體積公式可得，.故選：D
2．一個長方體的三個面的面積分別為則這個長方體的體積為( )
A．6 B． C．3 D．2
【答案】B
【詳解】設長方體的長、寬、高分別為x、y、z，則，，﹒故選：B.
3．如圖所示，圓柱與圓錐的組合體，已知圓錐部分的高為，圓柱部分的高為，底面圓的半徑為，則該組合體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】依題意可知，底面圓的半徑為圓柱部分的高為，圓錐部分的高為，所以圓柱部分的體積為，圓錐部分的體積為，所以該組合體的體積為.故選：C.
4．已知一個底面半徑為2，高為的圓錐，被一個過該圓錐高的中點且平行于該圓錐底面的平面所截，則截得的圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】根據(jù)題意可得圓臺的下底面半徑為2，上底面半徑為1，高為，故該圓臺的體積.故選：A.
5．某款廚房用具中的香料收納罐的實物圖如圖1所示，該幾何體為上、下底面周長分別為，的正四棱臺，若棱臺的高為，忽略收納罐的厚度，則該香料收納罐的容積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意可知，該四棱臺的上、下底面邊長分別為，，故該香料收納罐的容積為．故選：C．
6．一個三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，且長度分別為1、、3，則這個三棱錐的外接球的表面積為
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，它的外接球就是以分別為長寬高的長方體的外接球，長方體的對角線長：，所以球的直徑是4，半徑為2，球的表面積：.故選：A
二、多選題（每小題5分，有錯選0分，有漏選得2分，共10分）
7．已知某球的表面積為，則下列說法中正確的是（ ）
A．球的半徑為2 B．球的體積為 C．球的體積為 D．球的半徑為1
【答案】AC
【詳解】設球的半徑為，則，所以球的體積為，所以AC選項正確，BD選項錯誤.故選：AC
8．正三棱錐底面邊長為3，側棱長為，則下列敘述正確的是（ ）
A．正三棱錐高為3 B．正三棱錐的斜高為
C．正三棱錐的體積為 D．正三棱錐的側面積為
【答案】ABD
【詳解】設為等邊三角形的中心，為的中點，連接，則為正三棱錐的高，為斜高，又，，故,故AB正確.而正三棱錐的體積為，側面積為，故C錯誤，D正確.故選：ABD.
三、填空題（每小題5分，共10分）
9．若球的過球心的圓面圓周長是，則這個球的表面積是 .
【答案】
【詳解】設求的半徑為，則，所以球的表面積是：.故答案為：
10．如果三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱長度都是2，則它的外接球的體積是 .
【答案】
【詳解】因為三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，且側棱均為，所以它的外接球就是它擴展為正方體的外接球，求出正方體的對角線的長為，所以球的直徑是，半徑為，所以球的體積為.
故答案為：.
B.提升強化
一、單選題：（每小題5分，共30分）
1．如圖是一個圓臺的側面展開圖，若兩個半圓的半徑分別是2和4，則該圓臺的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設圓臺上底面圓半徑為，則，解得：，設圓臺下底面圓的半徑為，則，解得：，圓臺的母線長為，畫出圓臺，如下，過點D作DE⊥AB于點E，則，
由勾股定理得：，所以圓臺的體積為.故選：B.
2．已知某種裝水的瓶內芯近似為底面半徑是4dm、高是8dm的圓錐，當瓶內裝滿水并喝完一半，且瓶正立旋置時（如圖所示），水的高度約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．1.62dm B．1.64dm C．3.18dm D．3.46dm
【答案】B
【詳解】因為瓶內裝滿水并喝完一半，所以當裝水的瓶正立放置時，圓錐上半部分的體積占圓錐體積的一半，設上半部分小圓錐的底面半徑為r dm，則由題意可得小圓錐的高為2r dm，則，解得，即，．則剩余的水的高度為．故選：B
3．如圖，一個直三棱柱形容器中盛有水，且側棱.若側面水平放置時，液面恰好過，，，的四等分點處，，當?shù)酌嫠椒胖脮r，液面高為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設當?shù)酌嫠椒胖脮r，液面高為，依題意，側面水平放置時，液面恰好過，，，的四等分點處，，所以水的體積，解得.
故選：B
4．著名的古希臘數(shù)學家阿基米德一生最為滿意的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理：把一個球放在一個圓柱形的容器中，如果蓋上容器的上蓋后，球恰好與圓柱的上、下底面和側面相切（該球也被稱為圓柱的內切球），那么此時圓柱的內切球體積與圓柱體積之比為定值，則該定值為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設圓柱的母線長為l，內切球的半徑為r，如圖所示， 則其軸截面如圖所示，則，所以圓柱的內切球體積為，圓柱體積為，所以圓柱的內切球體積與圓柱體積之比為.故選：D.
5．如題圖所示，長方體的底面ABCD的斜二測直觀圖為平行四邊形．已知，，，則將該長方體截去一個三棱錐后剩余的幾何體體積為（ ）
A．50 B．30 C．25 D．15
【答案】A
【詳解】因為，，，所以在長方體中，，所以長方體的體積為，又，所以長方體截去一個三棱錐后剩余的幾何體體積為，故選：A.
6．將半徑為，圓心角為的扇形圍成一個圓錐（接縫處忽略不計），則該圓錐的內切球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設圓錐的母線長為，底面半徑為，由題意可得，由，所以．因為，圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，該等邊三角形（如圖）的內切圓半徑為圓錐內切球半徑，而等邊三角形的邊長為4，故，故．故選：C．
二、多選題（每小題5分，有錯選0分，有漏選得2分，共10分）
7．如圖，直三棱柱中，，，，側面中心為O，點E是側棱上的一個動點，有下列判斷，正確的是（ ）
A．直三棱柱側面積是 B．直三棱柱體積是
C．三棱錐的體積為定值 D．的最小值為
【答案】ACD
【詳解】在直三棱柱中，，，，底面和是等腰直角三角形，側面全是矩形，所以其側面積為1×2×2+，故A正確；直三棱柱的體積為，故B不正確；由BB1∥平面AA1C1C，且點E是側棱上的一個動點， 三棱錐的高為定值，××2＝，××＝，故C正確；
設BE＝x，則B1E＝2﹣x，在和中，∴＝．由其幾何意義，即平面內動點（x，1）與兩定點（0，0），（2，0）距離和的最小值，由對稱可知，當為的中點時，其最小值為，故D正確．故選：ACD．
8．若正四面體外接球的表面積為，則（ ）
A．該正四面體的體積
B．該正四面體的表面積為
C．該正四面體內切球的半徑為
D．該正四面體的外接球上一動點M到內切球上一動點N距離的最小值為
【答案】ACD
【詳解】設正四面體的外接球半徑為R，則，得.把正四面體A－CFG補形為正方體ABCD－EFHG，則，得，AF＝3.，A正確.該正四面體的表面積為，B錯誤.設正四面體的高為h，則，得，因為正四面體的外接球球心與內切球球心重合，所以內切球半徑，C正確.該正四面體的外接球上一動點M到內切球上一動點N距離的最小值為，D正確.故選：ACD.
三、填空題（每小題5分，共10分）
9．若一個正四棱臺的上下底面的邊長分別為2和4，側棱長為，則這個棱臺的體積為 ．
【答案】28
【詳解】因為上下底面的對角線長分別為和，求得正四棱臺的高為，所以棱臺的體積為．故答案為：28.
10．在四面體中，，，，，，則四面體ABCD外接球的表面積為 ．
【答案】
【詳解】如圖,因為,,,所以,在中,由正弦定理得,解得,因為,所以.取的中點,可知為四面體ABCD外接球的球
心,外接球的半徑.所以四面體外接球的表面積．2023-2024學年高一下學期數(shù)學- 簡單幾何體的表面積和體積（人教A版2019必修第二冊）
一、知識歸納：
1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積
（1）正方體、長方體的表面積：
長、寬、高分別為的長方體的表面積： ；
棱長為的正方體的表面積： .
（2）棱柱、棱錐、棱臺的側面展開圖:
棱柱的側面展開圖為 ，一邊為棱柱的側棱，另一邊等于棱柱的 .如圖:
棱錐的側面展開圖由若干個 拼成如圖
棱臺的側面展開圖由若干個 拼成如圖.
（3）棱柱、棱錐、棱臺的表面積:
棱柱的表面積：；棱錐的表面積：；棱臺的表面積：
2.棱柱、棱錐、棱臺的體積
（1）棱柱的體積
棱柱的高：柱體的 之間的距離，即從一底面上任意一點向另一底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離，即垂線段的長.
棱柱的體積：柱體的體積等于它的底面積和高的乘積，即 .
（2）棱錐的體積
棱錐的高：錐體的 之間的距離，即從頂點向底面作垂線，頂點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離，即垂線段的長.
棱錐的體積：錐體的體積等于它的底面積和高的乘積的,即 .
（3）棱臺的體積
棱臺的高：臺體的 之間的距離，即從上底面上任意一點向下底面作垂線，此點與垂足（垂線與底面的交點）之間的距離，即垂線段的長
棱臺的體積： (,分別為上下底面面積，為臺體的高)
3.圓柱、圓錐、圓臺的表面積
（1）圓柱的表面積
圓柱的側面積：
圓柱的側面展開圖是一個 .圓柱的底面半徑為,母線長為,那么這個矩形的一邊長為圓柱的底面周長，另一邊長為圓柱的 ，故圓柱的側面積為.
圓柱的表面積： .
（2）圓錐的表面積：
圓錐的側面積：
圓錐的側面展開圖是一個 .圓錐的底面半徑為,母線長為,那么這個扇形的弧長為圓錐的底面周長，半徑為圓錐的 ，故圓錐的側面積為 .
圓錐的表面積：
（3）圓臺的表面積：
圓臺的側面積：圓臺的側面展開圖是一個 .圓臺的上底面半徑為,下底面半徑為,母線長為,故
圓臺的側面積為
圓臺的表面積：
4.圓柱、圓錐、圓臺的體積
（1）圓柱的體積：
（2）圓錐的體積：
（3）圓臺的體積：
5.球的表面積和體積：
（1）球的表面積： ；（2）球的體積: .
6.內切外接球的常用結論：
（1）球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的 ，此時球的半徑為 ，過在一個平面上的四個切點作截面如圖（1）．
（2）球與正方體的各條棱相切于各棱的中點，過球心作正方體的對角面有 ，如圖（2）．
（3）長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體的 ，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點的三條棱長為，則球的半徑為 ，如圖（3）.
（4）正方體棱長與外接球半徑的關系為 ．
（5）正四面體的棱長a與外接球半徑R的關系為 ．
自檢自糾：
1. （1）， （2）平行四邊形，底面周長，三角形，梯形
2. （1）兩底面， （2）頂點到底面，（3）兩底面，
3. （1）矩形，母線長，，（2）扇形，母線長，（3）扇環(huán)，， 4. （1）（2）（3） 5. （1）（2）
6. （1）內切球， （2） （3）外接球，（4） （5）
二、分層小練
A.基礎訓練
一、單選題：（每小題5分，共30分）
1．已知棱柱的底面積為，高為，則其體積為（ ）
A． B． C． D．
2．一個長方體的三個面的面積分別為則這個長方體的體積為( )
A．6 B． C．3 D．2
3．如圖所示，圓柱與圓錐的組合體，已知圓錐部分的高為，圓柱部分的高為，底面圓的半徑為，則該組合體的體積為（ ）
A． B． C． D．
4．已知一個底面半徑為2，高為的圓錐，被一個過該圓錐高的中點且平行于該圓錐底面的平面所截，則截得的圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
5．某款廚房用具中的香料收納罐的實物圖如圖1所示，該幾何體為上、下底面周長分別為，的正四棱臺，若棱臺的高為，忽略收納罐的厚度，則該香料收納罐的容積為（ ）
A． B． C． D．
6．一個三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，且長度分別為1、、3，則這個三棱錐的外接球的表面積為
A． B． C． D．
二、多選題（每小題5分，有錯選0分，有漏選得2分，共10分）
7．已知某球的表面積為，則下列說法中正確的是（ ）
A．球的半徑為2 B．球的體積為 C．球的體積為 D．球的半徑為1
8．正三棱錐底面邊長為3，側棱長為，則下列敘述正確的是（ ）
A．正三棱錐高為3 B．正三棱錐的斜高為
C．正三棱錐的體積為 D．正三棱錐的側面積為
三、填空題（每小題5分，共10分）
9．若球的過球心的圓面圓周長是，則這個球的表面積是 .
10．如果三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱長度都是2，則它的外接球的體積是 .
B.提升強化
一、單選題：（每小題5分，共30分）
1．如圖是一個圓臺的側面展開圖，若兩個半圓的半徑分別是2和4，則該圓臺的體積是（ ）
A． B． C． D．
2．已知某種裝水的瓶內芯近似為底面半徑是4dm、高是8dm的圓錐，當瓶內裝滿水并喝完一半，且瓶正立旋置時（如圖所示），水的高度約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．1.62dm B．1.64dm C．3.18dm D．3.46dm
3．如圖，一個直三棱柱形容器中盛有水，且側棱.若側面水平放置時，液面恰好過，
，，的四等分點處，，當?shù)酌嫠椒胖脮r，液面高為（ ）
A． B． C． D．
4．著名的古希臘數(shù)學家阿基米德一生最為滿意的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理：把一個球放在一個圓柱形的容器中，如果蓋上容器的上蓋后，球恰好與圓柱的上、下底面和側面相切（該球也被稱為圓柱的內切球），那么此時圓柱的內切球體積與圓柱體積之比為定值，則該定值為（ ）．
A． B． C． D．
5．如題圖所示，長方體的底面ABCD的斜二測直觀圖為平行四邊形．已知，，，則將該長方體截去一個三棱錐后剩余的幾何體體積為（ ）
A．50 B．30 C．25 D．15
6．將半徑為,圓心角為的扇形圍成一個圓錐（接縫處忽略不計）,則該圓錐的內切球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題（每小題5分，有錯選0分，有漏選得2分，共10分）
7．如圖，直三棱柱中，，，，側面中心為O，點E是側棱上的一個動點，有下列判斷，正確的是（ ）
A．直三棱柱側面積是 B．直三棱柱體積是
C．三棱錐的體積為定值 D．的最小值為
8．若正四面體外接球的表面積為，則（ ）
A．該正四面體的體積
B．該正四面體的表面積為
C．該正四面體內切球的半徑為
D．該正四面體的外接球上一動點M到內切球上一動點N距離的最小值為
三、填空題（每小題5分，共10分）
9．若一個正四棱臺的上下底面的邊長分別為2和4，側棱長為，則這個棱臺的體積為 ．
10．在四面體中，，，，，，則四面體ABCD外接球的表面積為 ．

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