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第六章 平面向量
6.1 平面向量的概念
導(dǎo)學(xué)案
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；
2．理解平面向量的表示和兩個向量平行與相等的含義，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．
【學(xué)習(xí)重點】
理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量；
【學(xué)習(xí)難點】
理解平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系．
【新課導(dǎo)學(xué)】
環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
情境一：南轅北轍——戰(zhàn)國時，有個北方人要到南方的楚國去．他從太行山腳下出發(fā)，乘著馬車一直往北走去．有人提醒他：“到楚國應(yīng)該朝南走，你怎能往北呢？”他卻說：“不要緊，我有一匹好馬！”
想一想：他能如愿到達(dá)楚國嗎？
【預(yù)設(shè)答案】不能，方向錯誤
問題1：質(zhì)量、力、速度這三個物理量有什么區(qū)別？
【預(yù)設(shè)答案】質(zhì)量只有大小；力、速度既有大小，又有方向．
問題2：在物理中，位移與路程是同一個概念嗎？為什么？
【預(yù)設(shè)答案】不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小．
問題3：現(xiàn)實世界中有各種各樣的量，如年齡、身高、體重、力、速度、面積、體積、溫度、質(zhì)量、加速度等，怎樣正確區(qū)分這些量呢？
環(huán)節(jié)2：新課導(dǎo)入，知識生成
活動1：提出定義
向量定義：在數(shù)學(xué)中，我們把既有大小又有方向的量叫做向量．如位移、力、加速度等．
數(shù)量定義：把只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量．如年齡、身高、體重、面積、體積、質(zhì)量等．
注：①向量和數(shù)量的區(qū)別：向量有方向，數(shù)量沒有方向；數(shù)量可以比較大小，向量無法比較大小．
②向量和矢量：向量是從物理中的矢量抽象出來的，但是在數(shù)學(xué)上我們只考慮大小和方向，而物理中的矢量有時還要考慮其他屬性，如力除了大小方向之外，還要考慮作用點．
【牛刀小試】
1．因為溫度有正有負(fù)，所以溫度是向量．（ ）
【預(yù)設(shè)答案】【解析】溫度的正負(fù)，指的是零上和零下這一對相反意義，而向量是既有大小又有方向的量，故答案為：錯誤．
2．給出下列物理量：（1）質(zhì)量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）電流強(qiáng)度；（9）體積．其中不是向量的有（ ）
A.6個 B.5個 C.4個 D.3個
【預(yù)設(shè)答案】【解析】看一個量是不是向量，就要看它是否具備向量的兩個要素：大小和方向．
（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，（1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小沒有方向，不是向量．
故選：A．
活動2：向量的幾何表示
思考（1）：實數(shù)在數(shù)軸上是如何表示出來的？
【預(yù)設(shè)答案】數(shù)量可以用數(shù)軸上的點表示
（2）那么向量呢？我們能不能找到一種幾何圖形來表示平面向量呢？力是如何表示的？
概念生成：
1．有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，它包含三個要素：起點、方向、長度
以A為起點、B為終點的有向線段記作，線段AB的長度叫做有向線段的長度記作||
2．向量的表示：
（1）幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．向量的大小稱為向量的長度(或稱模)，記作．
（2）字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑體a，b，c，書寫時用，，)．
思考：向量與有向線段有什么區(qū)別？
【預(yù)設(shè)答案】向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關(guān)，只要大小相等和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量．有向線段有起點、方向與長度三個要素，若起點不同，盡管方向與長度相同，也是不同的有向線段．
【牛刀小試】在如圖所示的坐標(biāo)紙（規(guī)定小方格的邊長為1）中，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：
（1），點A在點O正南方向；
（2），點B在點O北偏西方向；
（3），點C在點O南偏西方向．
【預(yù)設(shè)答案】【解析】如圖．
活動3：零向量、單位向量
長度為0的向量叫做零向量，記作0；
長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量．
思考：零向量的方向是什么？兩個單位向量的方向相同嗎？
【預(yù)設(shè)答案】零向量的方向是任意的．兩個單位向量的方向不一定相同．
溫馨提示：①若用有向線段表示零向量，則其終點和起點重合．
②要注意0和0的區(qū)別及聯(lián)系：0是一個實數(shù)，0是一個向量，并且|0|=0，書寫時表示零向量，一定不能忘記上面的箭頭．
③單位向量有無數(shù)個，它們大小相等，但是方向不一定相同．
④在平面內(nèi)，將表示所有單位向量的有向線段的起點平移到同一點，則它們的終點就會構(gòu)成一個半徑為1的圓．
【牛刀小試】給出下列說法：
①零向量是沒有方向的；
②零向量的長度為0；
③零向量的方向是任意的；
④單位向量都相等．
其中正確的是________．（填序號）
【預(yù)設(shè)答案】②③
活動4：相等向量與共線向量
思考1：如果兩個向量所在的直線互相平行，那么這兩個向量的方向有什么關(guān)系？
【預(yù)設(shè)答案】相同或相反
思考2：觀察兩組向量，你能找出他們的共同特征嗎？
【預(yù)設(shè)答案】長度相等，方向相同
概念生成：1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．
記法：向量a與b平行，記作a∥b
規(guī)定：零向量與任意向量平行．
2．相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
3．共線向量：由于任一組平行向量都可以平移到同一直線上，所以平行向量也叫做共線向量．
共線向量與平行向量關(guān)系：如圖所示，因為任一組平行向量都可移到同一直線上（向量具有自由性，與有向線段的起點無關(guān)），所以平行向量就是共線向量．
思考：若平行向量有相同的起點，那么它們是否一定有相同的終點？
【預(yù)設(shè)答案】不一定，只有當(dāng)兩個平行向量相等時，它們才有相同的終點．
思考：不相等的兩個向量a，b可能平行嗎？
【預(yù)設(shè)答案】可能．事實上，考慮到零向量的特殊性，向量平行有如下三種情況：
（1）兩個向量a，b中，有一個為零向量，另一個為非零向量；
（2）兩個向量均為非零向量，方向相同，但模不相等；
（3）兩個向量均為非零向量，方向相反，模相等或不相等皆可．
【牛刀小試】判斷下列說法是否正確，正確的在后面的括號內(nèi)打“√”，錯誤的打“×”．
（1）平行向量方向一定相同．（ ）
（2）不相等向量一定不平行．（ ）
（3）與零向量相等的向量是零向量．（ ）
（4）若兩向量平行，則這兩向量的方向相同或相反．（ ）
（5）若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反．（ ）
【預(yù)設(shè)答案】（1）×（2）×（3）√（4）√（5）×
環(huán)節(jié)3：應(yīng)用新知，解決問題
例1：下列命題：
①兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同；
②若非零向量與是共線向量，則A，B，C，D四點共線；
③若a∥b且b∥c，則a∥c；
④任一向量與它的平行向量不相等．
其中真命題的個數(shù)為
A.0 B.1 C.2 D.3
【預(yù)設(shè)答案】【解析】相等向量起點相同時，終點必相同，故①錯誤；
向量的共線不同于有向線段共線，故當(dāng)與共線時，A，B，C，D四點不一定共線，即②錯誤；
當(dāng)b＝0時，推不出a∥c，故③錯誤；
因為平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，
所以任一向量與它的平行向量可能相等，故④錯誤．
例2 如圖，設(shè)O是正六邊形的中心．
（1）寫出圖中的共線向量；
（2）分別寫出圖中與，，相等的向量．
【預(yù)設(shè)答案】【解析】（1），，，是共線向量；
，，，是共線向量；
，，，是共線向量．
（2）；
；
．
環(huán)節(jié)4：學(xué)以致用，融會貫通
（1）若與都是單位向量，則．（ ）
【預(yù)設(shè)答案】向量相等指的是向量的方向相同，模長相等，與都是單位向量，
則兩個向量的模長相等，但是方向不一定相同．故錯誤．
故答案為：錯誤．
（2）方向為南偏西的向量與北偏東的向量是共線向量．（ ）
【預(yù)設(shè)答案】如圖所示，
分別在O點的南偏西和北偏東作向量與，根據(jù)幾何關(guān)系，O、A、B三點共線，所以與共線，所以說法正確﹒
故答案為：√
（3）直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸都是向量．（ ）
【預(yù)設(shè)答案】直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸不是向量，因為只有方向沒有大小，也沒有起點．
故答案為：錯誤．
（4）若與是平行向量，則．（ ）
【預(yù)設(shè)答案】與是平行向量，但的模不一定相等，所以不成立，
所以判斷錯誤．
故答案為：錯誤
環(huán)節(jié)5：課堂小結(jié)
思考：
教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本課時的內(nèi)容，并回答下面的問題：
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？
【預(yù)設(shè)答案】
（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？
【預(yù)設(shè)答案】類比的思想，直觀想象，邏輯推理
環(huán)節(jié)6：作業(yè)布置
第4頁 練習(xí) 第1，2，3，4題
第5 頁 習(xí)題6.1 第1，2，3，4題
環(huán)節(jié)7：課后鞏固
1．下列說法正確的是（ ）
A．向量的模是正實數(shù)
B．共線向量一定是相等向量
C．方向相反的兩個向量一定是共線向量
D．兩個有共同起點且共線的向量終點也必相同
2．下列命題正確的是（ ）
A．若和都是單位向量，則； B．相等的兩個向量一定是共線向量；
C．，，則； D．兩個非零向量的和可以是零.
3．設(shè)O是正方形ABCD的中心，則向量是（ ）
A．相等向量
B．平行向量
C．有相同起點的向量
D．模相等的向量
4．某人從A點出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點，然后改變方向沿東北方向走了 米到達(dá)C點，到達(dá)C點后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
5．如圖，四邊形ABCD為正方形，△BCE為等腰直角三角形.
（1）圖中與共線的向量有 ；
（2）圖中與相等的向量有 ；
（3）圖中與模相等的向量有 ；
（4）圖中與是 向量（填“相等”或“不相等”）；
（5）與相等嗎？
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】
根據(jù)向量、向量的模和共線向量的含義即可判定.
【詳解】
對于A，因為，不是正實數(shù)，故A錯誤；
對于B，共線向量是方向相同或相反的向量，但模的大小不確定，故B錯誤；
對于C，共線向量是方向相同或相反的向量，故方向相反的兩個向量一定是共線向量，故C正確；
對于D，兩個有共同起點且共線的向量方向相同或相反，長度也不一定相同，故終點不一定相同，故D錯誤．
故選：C．
2．B
【分析】根據(jù)單位向量的定義可判斷A的正誤，根據(jù)相等向量的定義可判斷B的正誤，根據(jù)向量的共線的定義可判斷C的正誤，根據(jù)向量的加法可判斷D的正誤.
【詳解】對于A，當(dāng)和的方向不同時，不成立，故A錯誤.
對于B，相等向量的方向是相同的，故必是共線向量，故B正確.
對于C，若是零向量，則可以不共線，故C錯.
對于D，當(dāng)兩個非零向量是相反向量時，它們的和為零向量，不是零.
故選：B.
3．D
【分析】根據(jù)圖像，既不是相等向量，也不是平行向量，起點也不是相同，根據(jù)正方形的性質(zhì)，模長是相等的，即可得解.
【詳解】
如圖，既不是相等向量，也不是平行向量，起點也不是相同，
顯然A，B，C錯誤，
而，故D正確，
故選：D.
4．（1）見解析；（2）米
【分析】（1）利用方位根據(jù)向量的定義作出向量.
（2）根據(jù)（1）作出的平面圖形，利用平面幾何知識求解.
【詳解】（1）作出向量，，；如圖所示：
（2）由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，
所以|米.
【點睛】本題主要考查平面向量的畫法和向量模的求法，還考查了方位問題和平面幾何知識，屬于基礎(chǔ)題.
5．（1），，（2）（3），，，（4）相等（5）不相等
【解析】根據(jù)共線向量與向量的模長相等的定義，寫出符合條件的向量即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得，（1）圖中與共線的向量為、、；
（2）與相等的向量有；
（3）圖中與模相等的向量有，，，；
（4）相等；
（5）與不相等；
故答案為：（1），，（2）（3），，，（4）相等（5）不相等
【點睛】本題考查了共線向量與向量的模長的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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