資源簡介

第六章 平面向量
6.2.2 向量的減法運算
導學案
【學習目標】
1.理解相反向量的含義，借助相反向量理解向量減法運算的幾何意義，培養直觀想象的核心素養；
2.掌握平面向量減法運算及運算規則，提升數學抽象的核心素養；
3.能運用向量的加法和減法運算解決相關問題，提升數學運算的核心素養.
【學習重點】
理解并掌握向量減法的三角形法則
【學習難點】
向量減法的幾何意義及運算律
【課前回顧】
1.向量加法的定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。
2.向量的加法運算法則
（1）三角形法則
已知非零向量a，b，在平面上任取一點A，作＝a，＝b，則向量叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝.這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則。
記憶口訣：首尾相接首尾連（作平移，首尾連，由起點指終點）．
位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型.
（2）平行四邊形法則
以同一點為起點的兩個已知向量,,以為鄰邊作,則以為起點的向量是的對角線)就是向量與的和.我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.
記憶口訣：共起點，連對角（作平移，共起點，四邊形，對角線）
力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型.
【新課導學】
環節1：創設問題情境，引入向量減法
問題1:類比實數x的相反數是，對于向量a，你能定義出“相反向量” 它與原來的向量a有什么聯系
問題2: 類比實數x的減法，你認為向量的減法該怎樣定義
環節2：推陳出新，建構新知
活動1 向量的減法　
（1）定義：向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b)，求兩個向量差的運算叫做向量的減法.
（2）向量的減法可以轉化為向量的加法來進行：減去一個向量就等于加上這個向量的相反向量.
問題3: 對于任意兩個非零向量a與b，根據減法的定義如何作圖得到？
追問1：歸納出作圖得到的具體步驟，的幾何意義什么
記憶口訣：首同尾連指被減.
追問 2：觀察圖形，如果要求，你能直接用圖中的已知向量來表示嗎
活動2 動手實踐，探究向量的三角不等式
問題4：（1）已知向量共線，你能作出向量嗎？
（2）試探索不同情況下||，||，||之間的關系.
注：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，等號何時成立？
（1）當向量a，b不共線時，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；
（2）當向量a，b共線且同向時，前一個等號成立；當向量a，b共線且反向時，后一個等號成立.
【牛刀小試】
1．如果，，那么的取值范圍
環節3：鞏固新知，優化認知
例1：
2．如圖，已知向量，求作向量，．
變式：
3．如圖，已知向量不共線，求作向量.
【方法小結】求作兩個向量的差向量的兩種思路
（1）用向量減法的三角形法則作兩向量的差的步驟
此步驟可以簡記為“作平移，共起點，兩尾連，指被減”．
（2）利用相反向量作兩向量差的方法
作向量a－b時，先作向量＝a，再作＝－b，則向量＝＋＝a＋(－b)＝a－b.
例2：
4．填空：
； ； ； ； ．
變式：
5．化簡下列式子：
(1)；
(2)；
【方法小結】
1.向量減法運算的常用方法
2.向量加減法化簡的兩種形式
（1）首尾相連且為和；（2）起點相同且為差.
解題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時注意逆向應用.
例3
6．如圖，在平行四邊形中，，，用、表示向量、.
變式：
7．如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點，且，試用向量表示向量.
【方法小結】用向量表示其他向量的方法
（1）解決此類問題要充分利用平面幾何知識，靈活運用平行四邊形法則和三角形法則.
（2）表示向量時要考慮以下問題：它是某個平行四邊形的對角線嗎？是否可以找到由起點到終點的恰當途徑？它的起點和終點是否是兩個有共同起點的向量的終點？
（3）必要時可以直接用向量求和的多邊形法則.
環節4：學以致用，融會貫通
8．在四邊形ABCD中，若，則四邊形ABCD是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不確定
9． .
10．若菱形的邊長為，則
11．如圖所示，解答下列各題：
(1)用表示；
(2)用表示；
(3)用表示；
(4)用表示.
環節5：課堂小結
思考：
教師引導學生回顧本課時的內容，并回答下面的問題：
（1）通過這節課，你學到了什么知識？
（2）在解決問題時，用到了哪些數學思想？
環節6：作業布置
完成教材：第12頁 練習 第1，2，3題；第22 頁 習題6.2 第4,7題
環節7：課后鞏固
12．在△ABC中，若，，則等于（ ）
A． B． C． D．
13．四邊形ABCD中，設＝，＝，＝，則＝(　　)
A．－＋ B．－(＋)
C．＋＋ D．－＋
14．若是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知、為非零向量，則下列命題中真命題的序號是 .
①若，則與方向相同；②若，則與方向相反；
③若，則與有相等的模；④若，則與方向相同．
16．化簡．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．，
【分析】根據向量加法的三角形法則，由，則向量，同向時，有最小值；向量，反向時，有最大值；代入計算即可得到答案．
【詳解】解：
即
故答案為：，
2．見解析
【解析】將的起點移到同一點O，再將向量的終點連接，方向指向被減向量.
【詳解】如下圖所示，在平面內任取一點O，
作，，，，
則，．
【點睛】本題考查平面向量減法的幾何意義，考查數形結合思想，求解時注意與加法幾何意義的區別.
3．作圖見解析
【分析】
由平面向量的加法和減法運算作圖即可.
【詳解】法一：如圖①，在平面內任取一點O，作，則，
再作，則.
法二：如圖②，在平面內任取一點O，作，
則，再作，連接OC，則
4．
【解析】利用向量減法的三角形法則，進行向量的減法運算.
【詳解】因為向量的起點相同，可直接進行向量的相減運算，
所以；；；；．
故答案為：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)
【點睛】本題考查向量減法的運算，求解時注意向量用兩個大寫字母表示，可直接進行代數的運算，而無需再畫圖形.
5．(1)
(2)
【分析】按照向量的加法，減法運算法則化簡即可.
【詳解】（1）原式
（2）原式
6．，
【分析】
根據平面向量加、減法的定義計算可得.
【詳解】依題意，.
7．
【分析】
由平面向量的加法和減法運算求解即可.
【詳解】因為四邊形ACDE是平行四邊形，
所以，，
故.
8．B
【分析】
由相等向量，向量的減法運算求解即可.
【詳解】因為，所以四邊形ABCD是平行四邊形，
又因為，即，
所以平行四邊形ABCD是矩形.
故選：B.
9．
【分析】
根據向量加法和減法運算法則，即可求解.
【詳解】
，
.
故答案為：
10．2
【解析】由向量的加法的三角形法則可知，，根據模的定義即可得出結果.
【詳解】,
.
故答案為：2.
11．(1).
(2)
(3)
(4)
【分析】
（1）由向量的加法運算求解即可；
（2）由向量的減法運算和相反向量的定義求解即可；
（3）由向量的加法運算求解即可；
（4）由向量的加法運算和相反向量的定義求解即可；
【詳解】（1）因為.
（2）因為.
（3）因為.
（4）因為.
12．D
【分析】
由平面向量的減法運算求解即可.
【詳解】
.
故選：D.
13．A
【分析】在四邊形ABCD中, 觀察圖形知,由此能可得答案.
【詳解】解：在四邊形ABCD中,
＝，＝，＝,
,
=,
故選A.
【點睛】本題主要考查向量的加減混合運算及其幾何意義，得出,是解題的關鍵.
14．B
【詳解】根據平面向量減法運算的“三角形”法則可知＝-　，
只有選項B符合題意，
故選B.
15．①②④
【分析】
利用平面向量的線性運算結合和向量、差向量模的關系可得出結論.
【詳解】
對于①，若，則與方向相同，①對；
對于②③，若，則與方向相反，②對③錯；
對于④，若，則則與方向相同，④對.
故答案為：①②④.
16．
【分析】由向量的加法和減法運算求解即可.
【詳解】法一：
.
法二：
.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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