資源簡介

6.3.1平面向量基本定理導學案
學習目標
1.理解平面向量基本定理及其意義；
2.會用基底表示某一向量；
3.通過學習平面向量基本定理，讓學生體驗數學的轉化思想，培養學生發現問題的能力.
重點難點
1．重點：平面向量基本定理的內容敘述與理解；用基底表示向量、用向量方法證明簡單的幾何命題
2．難點：證明幾何命題中的向量思想
課前預習 自主梳理
知識點 平面向量基本定理
條件 e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量
結論 對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 若e1，e2不共線，把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底
1．如果e1，e2是共線向量，那么向量a能否用e1，e2表示？為什么？
提示：不一定，當a與e1共線時可以表示，否則不能表示．
2．平面向量的基底是唯一的嗎？
提示：不是．平面內任意兩個不共線的向量都可以作為基底，基底一旦確定，平面內任一向量都可以用這一個基底唯一表示．
自主檢測
1．判斷正誤（正確的寫正確，錯誤的寫錯誤）
（1）基底中的向量不能為零向量．( )
（2）平面內的任何兩個向量都可以作為一個基底．( )
（3）若不共線，且，則.　( )
（4）平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內的任何一個向量都可被這個基底唯一表示．( )
（2021·全國·模擬預測）
2．如圖，在平行四邊形中，是邊的中點，是的一個三等分點（），若存在實數和，使得，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·高一課時練習）
3．在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點，F為AE的中點，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·廣東韶關·統考模擬預測）
4．已知是平行四邊形，，若，則（ ）
A． B．1 C． D．
（2021下·福建福州·高一福建省福州第八中學校考期中）
5．在中，點為對角線上靠近點的三等分點，連結并延長交于，則（ ）
A． B．
C． D．
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
物理學中的基本方法：受力分析與力的分解
在物理學中，受力分析是最基本最重要的研究方式，而力的分解是受力分析的重中之重.力的分解隨著問題場景的變化而有所不同.考慮如圖所示的兩個物體，圖1中的物體放在光滑水平地面上，圖2中的物體放在光滑斜面上，兩個物體都受到同樣的拉力F（假設拉力方向與斜面不平行）.
問題1：試運用物理學知識將力進行適合的分解.
追問：你在分解的時候使用了怎樣的向量運算法則？
【預設的答案】如圖所示，預設為大部分學生的分解結果.
【設計意圖】對于高一學生而言，力是最常接觸、最常處理的向量（矢量），采用之前已經學過的力的分解作為引入，能夠讓學生從熟悉的情境著手，引起學生的興趣.
我們知道，已知兩個力，可以求出它們的合力；反過來，一個力可以分解為兩個力．如圖6.3-1，我們可以根據解決實際問題的需要，通過作平行四邊形，將力分解為多組大小、方向不同的分力．
由力的分解得到啟發，我們能否通過作平行四邊形，將向量分解為兩個向量，使向量是這兩個向量的和呢
問題2：選取平面內的任意兩個兩個不共線的向量，假設向量與都不共線，試將按的方向進行分解.
環節二 觀察分析，感知概念
探究
如圖6.3-2 （1）， 設，是同一平面內兩個不共線的向量， 是這一平面內與，都不共線的向量．如圖6.3-2 （2），在平面內任取一點，作，，，將按，的方向分解，你有什么發現
如圖6.3-3，過點作平行于直線的直線，與直線交于點；過點作平行于直線的直線，與直線交于點，，由與共線，與共線可得，存在實數，，使得，，所以，也就是說，與，都不共線的向量都可以表示成的形式．
當是與，共線的非零向量時， 也可以表示成的形式；當是零向量時， 同樣可以表示成的形式． （為什么 ）
利用信息技術工具，可以動態地展示．
【活動預設】
（1）分組活動，首先讓學生嘗試將向量進行分解，然后交流成果.
（2）教師講解，將本題的分解過程完整板書.
以向量為對角線，根據所在直線作平行四邊形，則根據平行四邊形法則可找到向量在方向上的分向量.容易看出這兩個分向量分別與共線，根據共線向量定理，他們分別可以寫成的形式，其中都是確定且唯一的實數.于是，向量可以寫成如下的分解式：.
同理將的分解方式也進行板書.題目中向量的方向如此設計，可能會使一部分初學的學生有困難，故合作交流時會提示“直線的無限延展性”.
（3）展示信息技術作圖，用大量實例直觀展示同一平面內任意向量關于的分解過程.
環節三 抽象概括，形成概念
上述討論表明，平面內任一向量都可以按，的方向分解，表示成的形式，而且這種表示形式是唯一的．事實上，如果還可以表示成的形式，那么可得．由此式可以推出，全為0 （假設，不全為0，不妨假設，．由此可得，共線．這與已知，不共線矛盾），即，．也就是說，有且只有一對實數，，使．
綜上，我們得到如下定理:
平面向量基本定理 如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，，使．
若，不共線，我們把叫做表示這一平面內所有向量的一個基底（base）．
由平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一個基底唯一表示， 這為我們研究問題帶來了極大的方便．
【設計意圖】前面創設的實際情境與數學情境是為本節的重要定理：平面向量基本定理而服務的，需要通過清晰準確的敘述和解釋來抓住學生的思維，帶領學生更深刻的思考.
環節四 辨析理解，深化概念
例1 如圖，，不共線，且，用，表示．
解：因為，
所以
．
觀察，你有什么發現？
平面向量的等和線，“爪”字型圖及性質：
（1）已知，為不共線的兩個向量，則對于向量，必存在，，使得．
則，，三點共線 ．
當，則點與位于同側，且位于與之間．
當，則與位于兩側．
時，當， 則在線段上；當 ，則在線段的延長線上
（2）已知在線段上，且，則．
問題3：觀察分解式兩基底的系數，你發現了什么？再分別觀察以及的位置關系，你又發現了什么？試討論并總結你的觀察.
探究并證明以下問題：若在直線上有一點，滿足，試用表示
【預設答案】
教師將該結論板書總結：三點共線的重要結論
環節五 概念應用，鞏固內化
例2 如圖6.3-5，是的中線， ，用向量方法證明是直角三角形．
分析：由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一個基底表示，本題可取為基底，用它表示，．證明，可得，從而證得是直角三角形．
證明：如圖6.3-6，設，，則，
，于是．
．
因為，
所以．
因為，，
所以 ．
因此．
于是是直角三角形．
向量的數量積是否為零，是判斷相應的兩條線段（或直線）是否垂直的重要方法之一．
【設計意圖】
（1）初步熟悉用基底表示向量的一般過程，回顧向量運算法則.
（2）借助階梯式的設問，一步步深入探究關于三點共線的結論，培養學生的提問意識與問題解決意識.
環節六 歸納總結，反思提升

我們在本節課中學習了如下知識：
平面向量基本定理的內容
用基底表示向量的一般方法
三點共線的重要性質
用向量方法證明簡單的幾何命題
【設計意圖】再次回憶、回顧本節課所學內容，鞏固加深印象，為后續學習做準備.
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材：第27頁 練習 第1，2，3，題
第36頁 習題6.3 第1，11（1）題
備用練習
（2021下·高一課時練習）
6．O為ABCD的對角線的交點，，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
（2022·高一單元測試）
7．在△中，AB邊上的高為CD，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·陜西西安·高一統考期中）
8．如圖，點是正方形的中心，為線段的中點，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·湖北武漢·高一武漢市第一中學校聯考期中）
9．如圖所示，點為的邊的中點，為線段上靠近點B的三等分點，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖北·高二統考學業考試）
10．如圖，在任意四邊形ABCD中，E，F分別是AD，BC的中點，且，則實數（ ）

A． B．2 C． D．3
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 正確 錯誤 正確 正確
【分析】
根據題意，結合向量的定義，平面向量基底的定義，平面向量的基本定理，逐項判定，即可求解
【詳解】對于（1）中，因為零向量和任意向量共線，所以基底中的向量不能為零向量，所以（1）正確；
對于（2）中，平面內不共線的兩個向量才可以作為一個平面基底，所以（2）錯誤；
對于（3）中，由不共線，且，
根據向量的運算法則，可得，所以（3）正確；
對于（4）中，根據平面基底的定義，可得平面向量的基底不唯一，根據平面向量基本定理，可得平面內的任何一個向量都可被這個基底唯一表示，所以（4）正確.
故答案為：（1）正確；（2）錯誤；（3）正確；（4）正確.
2．C
【分析】根據平面向量的基本定理，利用向量的線性運算進行向量的基底表示，即可得的值.
【詳解】因為是的一個三等分點（），所以.因為是邊的中點，所以.又，所以.
故選：C.
3．C
【分析】根據平面向量的基本定理、平面向量的共線定理、平面向量的加法的幾何意義，結合已知和平行四邊形的性質進行求解即可.
【詳解】故選：C
【點睛】本題考查了平面向量的基本定理、平面向量共線定理、平面向量的加法的幾何意義，屬于基礎題.
4．C
【分析】根據平面向量線性運算法則及平面向量基本定理計算可得.
【詳解】因為，所以，
所以，又，所以，
．
故選：C．
5．B
【分析】把向量作為基底，根據題意可得為的中點，然后根據向量的加減法法則和平面向量基本定理求解即可
【詳解】解：因為點為對角線上靠近點的三等分點，
所以，
因為四邊形是平行四邊形，所以∥，
所以，所以，所以，
,
故選：B
6．B
【分析】根據向量的線性運算法則即可求解．
【詳解】由得，即，所以
故選：B
7．D
【分析】由已知條件可得，再由及向量加法的幾何意義即可得結果.
【詳解】
由題設，△△△且，則，
所以.
故選：D
8．D
【分析】根據條件可得出，，從而可得出結果.
【詳解】根據條件：，
故選：D.
【點睛】本題主要考查向量加法和數乘的幾何意義，屬于基礎題.
9．C
【分析】根據平面向量的線性運算結合圖像將用、表示，即可得出答案.
【詳解】解：
.
故選：C.
10．B
【分析】先將分別用表示，再結合題意即可得解.
【詳解】，
，
所以，
又因為，
所以.
故選：B.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑