資源簡介

6.3.4平面向量數乘運算的坐標表示
導學案
學習目標
1.掌握向量數乘運算坐標表示，提要相應的數學抽象和數學運算核心素養.
2.理解并掌握平面向量共線的坐標表示的充要條件，會根據向量的坐標，判斷向量是否共線，三點是否共線，從而提高邏輯推理核心素養以及等價轉化的能力.
3.掌握平面上線段的中點坐標公式并會推導定比分點坐標公式，能把向量作為工具，用代數的方法解決一些幾何問題.
重點難點
1.教學重點：平面向量數乘運算的坐標表示，向量共線的充要條件的推導以及三點共線的坐標表示.
2.教學難點：用向量呈現幾何問題，定比分點公式推導.
課前預習 自主梳理
知識點一 平面向量數乘運算的坐標表示
符號表示 若a＝（x，y），則λa＝(λx，λy)
文字表示 實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標
知識點二 平面向量共線的坐標表示
條件 a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0
結論 向量a，b（b≠0）共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0
知識點三 中點坐標公式
若點P1，P2的坐標分別是（x1，y1），（x2，y2），線段P1P2的中點P的坐標為（x，y），則此公式為線段P1P2的中點坐標公式．
把x1y2－x2y1＝0寫成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0可以嗎？怎樣記憶此公式的表達形式？
提示：寫成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不對的，這一公式可簡記為：縱橫交錯積相減．
自主檢測
1．判斷正誤，正確的寫“正確”，錯誤的寫“錯誤”．
（1）向量（1，2）與向量（4，8）共線．( )
（2）已知，，若，則必有. ( )
（3）若向量，，且，則.( )
（4）若向量，，且，則 ( )
（5）若，，且，則與不共線. ( )
（6）若A，B，C三點共線，則向量都是共線向量. ( )
（2020下·湖南郴州·高一統考期末）
2．已知向量，.若，則的值為（ ）
A．2 B． C．1 D．
（2023·高一單元測試）
3．已知向量，，，若與共線，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
（2022下·天津·高一校聯考期中）
4．已知向量.若，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
（2020·高一單元測試）
5．已知，且，則=（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
新課導學
學習探究
環節一 創設情境，引入課題
問題1：上節課我們學面向量加減法的坐標表示已知，則 的坐標是什么？已知A,B兩點的坐標，如何求的坐標？
【答案】
問題2：除了向量的加減法運算外，我們還學習了向量的數乘運算，如何用坐標表示向量的數乘運算呢？已知 ，你能得到的坐標嗎？
中的相當于是倍數，倍數在坐標中相當于是橫坐標和縱坐標的倍數.
思考 已知，你能得出的坐標嗎？
，
即．
這就是說，實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標．
例6 已知，，求的坐標．
解：
環節二 觀察分析，感知概念
問題3：探究：設，若向量共線（其中），則這兩個向量的坐標應滿足什么關系？
探究
如何用坐標表示兩個向量共線的條件？
設，，其中．我們知道，，共線的充要條件是存在實數，使．如果用坐標表示，可寫為，即
消去，得．
這就是說，向量，共線的充要條件是．
環節三 抽象概括，形成概念
例7 已知， ，且，求．
解：因為，所以．解得．
例8 已知， ， ，判斷A，，三點之間的位置關系．
解：在平面直角坐標系中作出A，，三點（圖6.3-15）．
觀察圖形，我們猜想A，，三點共線，下面來證明．
因為，，
又，所以．
直線，直線有公共點A，所A，，三點共線．
環節四 辨析理解，深化概念
例9 設是線段上的一點，點，的坐標分別是，．
（1）當是線段的中點時，求點的坐標；
（2）當是線段的一個三等分點時，求點的坐標．
解：（1）如圖6.3-16，由向量的線性運算可知，
所以，點的坐標是．
若點，的坐標分別是，，線段的中點的坐標為，則 ，
此公式為線段的中點坐標公式．
（2）如圖6.3-17，當點是線段的一個三等分點時，有兩種情況，即或．
如果（圖6.3-17（1）），那么
即點的坐標是．
同理，如果（圖6.3-17（2）），那么點的坐標是．
環節五 概念應用，鞏固內化
探究
如圖6.3-18，線段的端點，的坐標分別是，．點是直線上的一點，當時，點的坐標是什么
環節六 歸納總結，反思提升
1.向量數乘運算的坐標表示；
2.共線向量的坐標表示；
3.中點坐標公式;
在平面向量加減法坐標表示基礎上進一步學習了數乘運算的坐標表示即；以及兩個向量共線的充要條件，還有三點共線的充要條件.
環節七 目標檢測，作業布置
完成教材： 習題6.3 第 6,13題
備用練習
（2023·高一單元測試）
6．已知向量，，若，則（ ）
A． B．1 C． D．
（2023下·四川宜賓·高二四川省高縣中學校校考期中）
7．已知，向量，，則“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
（2022上·山東濱州·高三校聯考期中）
8．已知向量，，與平行，則實數x的值為
A．1 B．2 C．3 D．4
（2021下·江蘇常州·高一統考期中）
9．已知向量與向量共線，則（ ）
A．-3 B．3 C． D．
（2020下·高一課時練習）
10．設向量，，若，則（ ）
A． B． C．4 D．2
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 正確 正確 錯誤 正確 正確 正確
【分析】由共線向量的定義和坐標表示對選項一一判斷即可得出答案.
【詳解】（1）設，因為，
所以向量（1，2）與向量（4，8）共線，故（1）正確；
（2）已知，，若，則必有，故（2）正確；
（3）若，，則，但不滿足，故（3）錯誤；
（4）若向量，，且，則，故（4）正確；
（5）若，，且，則與不共線.故（5）正確；
（6）若A，B，C三點共線，則向量都是共線向量，故（6）正確；
故答案為：正確；正確；錯誤；正確；正確；正確.
2．D
【分析】根據向量共線的坐標運算計算即可得答案.
【詳解】解：因為，
所以，解得：.
故選：D.
【點睛】本題考查向量平行的坐標表示，是基礎題.
3．D
【分析】根據向量的坐標運算求得的坐標，利用向量共線的坐標表示列出方程，求得答案.
【詳解】由題意向量，，，
則，
由于與共線，則，
故選：D
4．B
【分析】利用共線向量定理求解.
【詳解】解：因為向量，
所以，
因為，
所以，
解得，
故選：B
5．A
【解析】先求出和的坐標，利用向量共線的坐標表示列方程即可求解.
【詳解】，，
因為，所以，解得：，
故選：A
6．A
【分析】根據向量平行的坐標關系即得.
【詳解】由，得，
所以.
故選：A.
7．B
【分析】首先利用向量平行的坐標表示求，再根據充分，必要條件的定義判斷.
【詳解】若向量，則，即
解得：或,
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：B
8．D
【分析】利用平行的坐標運算列方程求解即可.
【詳解】解：由已知，又，
，解得：，
故選：D.
【點睛】本題考查平行的坐標運算，是基礎題.
9．C
【分析】由向量共線可得，再由二倍角正切公式求即可.
【詳解】由題意知：，則.
故選：C
10．B
【解析】根據平面向量共線定理得到方程，解得.
【詳解】解：因為向量，，若，則，解得．
故選：．
【點睛】本題考查平面向量共線定理的應用，屬于基礎題.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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