資源簡介

6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示導學案
學習目標
1.借助平面直角坐標系，理解平面向量的正交分解.
2.掌握平面向量的坐標表示.
重點難點
1.教學重點：對平面向量正交分解及坐標表示的理解.
2.教學難點：平面向量的坐標表示.
課前預習自主梳理
知識點一平面向量坐標的相關概念
知識點二平面向量加 減運算的坐標表示
設向量，則有下表：
文字描述 符號表示
加法 兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和
減法 兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差
重要結論 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標 已知，則
1.正交分解與平面向量基本定理有何聯系？
提示：正交分解是平面向量基本定理的特殊形式（基底垂直）.
2.向量坐標與點的坐標的區別是什么？
提示：意義不同.點A的坐標表示點A在平面直角坐標系中的位置，向量
的坐標既表示向量的大小，也表示向量的方向.
自主檢測
1．判斷正誤，正確的畫“正確”，錯誤的畫“錯誤”.
（1）點的坐標與向量的坐標相同.( )
（2）零向量的坐標是（0，0）.( )
（3）相等向量的坐標相同，且與向量的起點 終點無關.( )
（4）當向量的起點在坐標原點時，向量的坐標就是向量終點的坐標.( )
（2021·高一單元測試）
2．已知點，，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·高一課時練習）
3．已知，，則把向量按向量平移后得到的向量是（ ）
A． B． C． D．
（2022下·重慶萬州·高一重慶市萬州高級中學校考階段練習）
4．已知，，則點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·山東煙臺·高一統考期末）
5．已知點，， 則與向量方向相同的單位向量為
A． B． C． D．
新課導學
學習探究
環節一創設情境，引入課題
問題1：什么是平面向量基本定理？
【答案預設】如果是同一平面內兩個不共線的向量，那么對這一平面內的任意一個向量，有且只有一對實數，使.我們把不共線向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.
【設計意圖】引導學生從本質上認識平面向量基本定理的實質就是把向量分解為兩個不共線的向量之和.特殊地，互相垂直時一種特殊分解，會為我們帶來方便.例如，在物理中，重力能分解成兩個方向的力，互相垂直，這就是力的正交分解.
引出正交分解的概念，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做正交分解
給定平面內兩個不共線的向量，，由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量，均可分解為兩個向量，，即，其中向量與共線，向量與共線.
不共線的兩個向量相互垂直是一種重要的情形.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
環節二觀察分析，感知概念
如圖6.3-7，重力沿互相垂直的兩個方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常見而實用的一種情形.
重力可以分解為這樣兩個分力：平行于斜面使木塊沿斜面下滑的力，垂直于斜面的壓力.
在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底時，將為我們研究問題帶來方便
問題2：我們知道，在平面直角坐標系中，每一點都可以用一對有序實數（即它的坐標）表示.那么，如何表示直角坐標平面內的一個向量呢？
如圖6.3-8，在平面直角坐標系中，設與軸 軸方向相同的兩個單位向量分別為，，取作為基底，對于平面內的任意一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數，，使得
.
這樣，平面內的任一向量都可由，唯一確定，我們把有序數對叫做向量的坐標，記作
.①
其中，叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，①叫做向量的坐標表示.
顯然，，，.
【預設答案】
（1）建立直角坐標系，選x，y軸方向上的單位向量作為基底；
（2）作平面內的任意一個向量，以為基底，根據平面向量基本定理，分解向量；
（3）這樣，平面內的任一向量都可由x，y唯一確定，我們把有序數對（x，y）叫做向量的坐標，記作.
其中，x叫做在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標，叫做向量的坐標表示.
環節三抽象概括，形成概念
如圖6.3-9，在直角坐標平面中，以原點為起點作，則點的位置由向量唯一確定.
思考1：在平面直角坐標系中，向量的坐標是什么含義？？
思考2：你能寫出向量的坐標表示嗎？
思考3：實數對“（0，1）”表示什么意思？
【活動預設】
（1）以x y軸方向上的單位向量為基底，分解后的系數所對應的實數對（x，y）
（2）.
（3）點A（0，1），區間（0，1），向量=（0，1），如果不作說明則指向不明.
【設計意圖】引導學生對向量坐標表示概念進行深入理解.
環節四辨析理解，深化概念
設，則向量的坐標就是終點的坐標；反過來，終點的坐標也就是向量的坐標.因為，所以終點的坐標就是向量的坐標.這樣就建立了向量的坐標與點的坐標之間的聯系.
【活動預設】
設，則向量的坐標（x，y）就是終點A的坐標；
反過來，終點A的坐標（x，y）也就是向量的坐標.
因為，所以終點A的坐標（x，y）就是向量的坐標.
所以，如果向量的起點在原點，則終點的坐標就是向量的坐標.這就建立了點的坐標與向量坐標之間的聯系.
【設計意圖】理解平面直角坐標系中，向量的坐標與點的坐標之間的聯系.
環節五概念應用，鞏固內化
例3如圖6.3-10，分別用基底表示向量，，，，并求出它們的坐標.
解：由圖6.3-10可知，，
所以.
同理，
【預設的答案】
方法1：由圖可知，，所以.
同理，，，
.
方法2：作
易得點M的坐標為（2，3），則
因為點M與N關于y軸對稱，與點P關于原點對稱，與Q點關于x軸對稱
則N（-2，3），P（-2，-3），Q（2，-3），
同理，，，.
【設計意圖】
（1）加深對向量坐標表示的理解；
（2）向量坐標與點坐標聯系的應用.
環節六歸納總結，反思提升
思考：1.你對平面向量的坐標表示如何理解？
2.平面向量的坐標與點的坐標有什么聯系？
【設計意圖】總結本節課學習的重點內容.
環節七目標檢測，作業布置
完成教材：第36頁習題6.3第1，2題
備用練習
（2023·江西上饒·統考二模）
6．已知平面向量，滿足，，，記向量，的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
（2023下·云南曲靖·高二會澤縣實驗高級中學校校考階段練習）
7．已知向量，若，則（ ）
A． B．2 C． D．4
（2021·高一課時練習）
8．向量，則（ ）
A．1 B． C． D．6
（2021下·高一課時練習）
9．在平面直角坐標系中，為坐標原點，，若繞點逆時針旋轉得到向量，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·高一課時練習）
10．若是平面內兩個不共線的向量，則下列說法中正確的是（ ）
A．不可以表示平面內的所有向量；
B．對于平面中的任一向量，使的實數有無數多對；
C．若均為實數，且向量與共線，則有且只有一個實數，使；
D．若存在實數使，則.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 錯誤 正確 正確 正確
【分析】根據向量坐標的定義判斷.
【詳解】對于平面內的任意一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數，使得，則有序數對叫做向量的坐標，與點坐標不同，所以（1）是錯誤的，
零向量大小為0，則，所以（2）是正確的，
由向量坐標定義知（3）是正確的，
向量坐標等于向量終點坐標減去起點的坐標，所以（4）是正確的.
2．C
【解析】根據平面向量的坐標表示，求出即可.
【詳解】點，，
則.
故選：C.
【點睛】本題考查向量的坐標運算，屬于基礎題.
3．C
【解析】根據向量平移時不改變大小和方向，得出平移后的向量與向量相等，進而可得出結果.
【詳解】當向量平移（起點和終點同時平移）時，不改變向量的大小和方向，所以所求的向量就是.
故選：C.
【點睛】本題考查向量平移的應用，考查向量坐標的計算，考查計算能力，屬于基礎題.
4．C
【分析】根據向量的坐標表示可得答案.
【詳解】因為，，所以點的坐標為，
故選：C
5．A
【分析】由題得，設與向量方向相同的單位向量為，其中，利用列方程即可得解.
【詳解】由題可得：，
設與向量方向相同的單位向量為，其中，
則，解得：或（舍去）
所以與向量方向相同的單位向量為
故選A
【點睛】本題主要考查了單位向量的概念及方程思想，還考查了平面向量共線定理的應用，考查計算能力，屬于較易題．
6．C
【分析】先求，然后平方將向量的模轉化為數量積可解.
【詳解】因為，∴，
又，，
∴，
∴
故選：C．
7．A
【分析】根據向量平行列方程，由此求得，進而求得.
【詳解】，則，得.
故選：A
8．D
【分析】根據向量數量積坐標表示直接求解，即得結果.
【詳解】因為
所以
故選：D
【點睛】本題考查向量數量積坐標表示，考查基本求解能力，屬基礎題.
9．A
【解析】由坐標可確定其與軸夾角，進而得到與軸夾角，根據模長相等可得到坐標.
【詳解】 與軸夾角為 與軸夾角為
又
故選：
【點睛】本題考查向量旋轉后坐標的求解問題，關鍵是能夠確定向量與軸的夾角的大小，進而根據模長不變求得向量.
10．D
【分析】根據平面向量基本定理可以判定ABD，取向量λ+μ與λ2+μ2均為零向量或者λ2+μ2為零向量的特殊情況，可以判定C.
【詳解】由平面向量基本定理可知，A錯誤，D正確；
對于B：由平面向量基本定理可知，若一個平面的基底確定，
那么該平面內的任意一個向量在此基底下的實數對是唯一的，故B錯誤；
對于C：當兩個向量均為零向量時，即λ1=λ2=μ1=μ2=0時，這樣的λ有無數個，
或當λ1+μ1為非零向量，而λ2+μ2為零向量(λ2=μ2=0)，此時λ不存在，故C錯誤；
故選：D.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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