資源簡(jiǎn)介

6.3.3平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示 導(dǎo)學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1. 掌握平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示；
2. 會(huì)用坐標(biāo)求兩向量的和、差
重點(diǎn)難點(diǎn)
1. 教學(xué)重點(diǎn)：平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示；
2. 教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示求點(diǎn)的坐標(biāo).
課前預(yù)習(xí) 自主梳理
知識(shí)點(diǎn)一 平面向量正交分解的定義
把一個(gè)平面向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
知識(shí)點(diǎn)二 平面向量的坐標(biāo)表示
（1）向量的坐標(biāo)表示
（2）向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系
在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作，設(shè)，則向量的坐標(biāo)(x，y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，終點(diǎn)A的坐標(biāo)(x，y)也就是向量a的坐標(biāo).
知識(shí)點(diǎn)三 平面向量加、減的坐標(biāo)運(yùn)算
（1）兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)表示
兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差).坐標(biāo)表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2).
（2）向量坐標(biāo)的幾何意義
如圖，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，則
＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所以＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1).
結(jié)論：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).
自主檢測(cè)
1．判斷正誤，正確的畫“正確”，錯(cuò)誤的畫“錯(cuò)誤”．
（1）兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同.( )
（2）當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo).( )
（3）兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的順序無關(guān).( )
（4）終點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同.( )
（2021上·北京門頭溝·高二大峪中學(xué)?？计谥校?br/>2．中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）
3．已知向量，，則＝（　　）
A． B．
C． D．
（2021·高一課時(shí)練習(xí)）
4．如圖所示，向量的坐標(biāo)是（ ）
A．(1，1) B．(－1，－2)
C．(2，3) D．(－2，－3)
（2021·高一課時(shí)練習(xí)）
5．已知=(-5，6)，=(-3，2)，=(x，y)，若-3+2=0，則等于（ ）
A．(-2，6) B．(-4，0)
C．(7，6) D．(-2，0)
新課導(dǎo)學(xué)
學(xué)習(xí)探究
環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
1.問題1：平面向量的基本定理是什么？
若是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使
2.問題2：用坐標(biāo)表示向量的基本原理是什么？
設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量，若a＝xi＋yj，則a＝(x，y).
【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)上節(jié)所學(xué)知識(shí)，引入本節(jié)新課.建立知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力.
環(huán)節(jié)二 觀察分析，感知概念
思考
已知，，你能得出，的坐標(biāo)嗎
，
即
同理可得
這就是說，兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）．
環(huán)節(jié)三 抽象概括，形成概念
例4 已知， ，求，的坐標(biāo)．
解：，．
環(huán)節(jié)四 辨析理解，深化概念
探究：如圖6.3-11，已知， ，你能得出的坐標(biāo)嗎
如圖，作向量，，則．
因此，一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)．
環(huán)節(jié)五 概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化
例5 如圖6.3-13，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別是，，，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
解法1：如圖6.3-13，設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．因?yàn)?，，又，所以．，解得?br/>所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
解法．如圖6.3-14，由向量加法的平行四邊形法則可知
．
所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
你能比較一下兩種解法在思想上的異同嗎？
【設(shè)計(jì)意圖】通過例題進(jìn)一步理解向量加法、減法的坐標(biāo)運(yùn)算，提高學(xué)生解決問題的能力.
環(huán)節(jié)六 歸納總結(jié)，反思提升
1.向量坐標(biāo)表示加減運(yùn)算：
2.向量的坐標(biāo)表示方法：
①定義法：分別向坐標(biāo)軸引垂線.
②原點(diǎn)法：向量起點(diǎn)放到原點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)
③兩點(diǎn)法：終點(diǎn)的坐標(biāo)-起點(diǎn)坐標(biāo).
3.平面向量的正交分解實(shí)質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應(yīng)用形式，只是兩個(gè)基向量e1和e2互相垂直.
4.要區(qū)分向量終點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo).如果一個(gè)向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，這個(gè)向量終點(diǎn)的坐標(biāo)就是這個(gè)向量的坐標(biāo)；若向量的起點(diǎn)不是原點(diǎn)，則向量的終點(diǎn)坐標(biāo)不是向量的坐標(biāo)，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，則＝(xB－xA，yB－yA).
5.向量和、差的坐標(biāo)就是它們對(duì)應(yīng)向量坐標(biāo)的和、差.“兩個(gè)向量相等，則它們的坐標(biāo)相同”，解題中主要應(yīng)用了方程的思想與數(shù)形結(jié)合思想.　　　
【設(shè)計(jì)意圖】通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力.
環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置
完成教材： 第30 頁 練習(xí) 第1，2題
第36 頁 習(xí)題6.3 第3，4題
備用練習(xí)
（2021上·高一單元測(cè)試）
6．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，向量，向量，那么中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
（2022下·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校校考期中）
7．已知、，且點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
（2020下·高一課時(shí)練習(xí)）
8．已知，，，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
（2022·高二課時(shí)練習(xí)）
9．在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且＝2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若＝(4,3)，＝(1,5)，則等于(　　)
A．(－2,7) B．(－6,21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
（2023下·廣東佛山·高一?？茧A段練習(xí)）
10．已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 錯(cuò)誤 正確 錯(cuò)誤 錯(cuò)誤
【分析】
根據(jù)向量的坐標(biāo)表示逐一判斷.
【詳解】（1）兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，這兩個(gè)向量的坐標(biāo)也有可能相同，（1）錯(cuò)誤；
（2）當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)，（2）正確；
（3）兩向量差的坐標(biāo)跟兩向量的順序有關(guān)，（3）錯(cuò)誤；
（4）終點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)可能相同，可能不同.（4）錯(cuò)誤.
故答案為：錯(cuò)誤；正確；錯(cuò)誤；錯(cuò)誤.
2．B
【分析】直接利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出A，B的中點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【詳解】由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，A，B的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，即．
故選：B．
3．B
【詳解】根據(jù)向量的加法坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)即可求解．
【解答】因?yàn)橄蛄?，?br/>則,
故選：B．
4．D
【分析】用終點(diǎn)坐標(biāo)減起點(diǎn)坐標(biāo)即可.
【詳解】由題圖知，M(1，1)，N(－1，－2)，則＝(－1－1，－2－1)＝(－2，－3)
故選：D.
5．D
【分析】根據(jù)平面向量加減、數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示列出方程組，解方程組即可.
【詳解】∵-3+2=0，
∴(-5，6)-(-9，6)+(2x，2y)=(0，0)，
即
即=(-2，0).
故選：D.
6．A
【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出的坐標(biāo)后得其中點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】由題意點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以中點(diǎn)坐標(biāo)為．
故選：A．
7．D
【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)，可得出點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，，
因?yàn)?，則，解得，即點(diǎn).
故選：D.
8．A
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則,依據(jù)題意列出等式求解.
【詳解】由題知:,,,
因?yàn)?
所以,
故,
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
9．B
【分析】由三角形的中線對(duì)應(yīng)的向量為兩相鄰邊對(duì)應(yīng)向量和的，再用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求值．
【詳解】點(diǎn)是的中點(diǎn)
∴，
，
，
故答案為（-6，21）
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中線對(duì)應(yīng)的向量與兩相鄰邊對(duì)應(yīng)向量的關(guān)系及向量共線的充要條件．
10．B
【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋瑒t.
故選：B
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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